Informatica 3. LEZIONE 17: Alberi generici. Modulo 1: Definizione e ADT Modulo 2: Implementazione Modulo 3: Alberi e classi di equivalenza

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1 Informatica 3 LEZIONE 17: Alberi generici Modulo 1: Definizione e ADT Modulo 2: Implementazione Modulo 3: Alberi e classi di equivalenza

2 Informatica 3 Lezione 17 - Modulo 1 Definizione e ADT

3 Introduzione Albero generico Definizione di albero T: insieme finito di uno o più nodi tali che esiste un nodo R detto radice di T i rimanenti nodi sono partizionati in n>=0 sottoinsiemi disgiunti T 1, T 2,..., T n ognuno dei quali è un albero e le cui radici R 1, R 2,... R n sono figli di R T 1, T 2,..., T n sono sotto-alberi di T i T i sono ordinati: T i viene prima di T j se i<j Grado di uscita di un nodo (out degree): numero di figli del nodo Foresta: collezione di uno o più alberi

4 ADT dell albero generico // General tree node ADT template <class Elem> class GTNode { public: GTNode(const Elem&); // Constructor ~GTNode(); // Destructor Elem value(); // Return value bool isleaf(); // TRUE if is a leaf GTNode* parent(); // Return parent GTNode* leftmost_child(); // First child GTNode* right_sibling(); // Right sibling void setvalue(elem&); // Set value void insert_first(gtnode<elem>* n); void insert_next(gtnode<elem>* n); void remove_first(); // Remove first child void remove_next(); // Remove sibling };

5 ADT dell albero generico (2) template <class Elem> class GenTree { private: void printhelp(gtnode*); // Print helper function public: GenTree(); // Constructor ~GenTree(); // Destructor void clear(); // Send nodes to free store GTNode* root(); // Return the root // Combine two subtrees void newroot(elem&, GTNode<Elem>*, GTNode<Elem>*); void print(); // Print a tree };

6 Attraversamento di un albero generico Attraversamenti preordine si visita la radice e poi ogni sotto-albero da sinistra verso destra (VLR) postordine si visitano prima i sotto-alberi da sinistra verso destra e poi la radice (LRV) in ordine non definito template <class Elem> void GenTree<Elem>:: preorder(gtnode<elem>* subroot) { if (subroot->isleaf()) cout << "Leaf: "; else cout << "Internal: "; cout << subroot->value() << "\n"; for (GTNode<Elem>* temp = subroot->leftmost_child(); temp!= NULL; temp = temp->right_sibling()) preorder(temp); } RACDEBF

7 Informatica 3 Lezione 17 - Modulo 2 Implementazione

8 Implementazione con lista dei figli Implementazione con lista dei figli ogni nodo viene rappresentato in un array e contiene i dati, il puntatore al padre ed un puntatore alla lista dei figli, memorizzati da sinistra verso destra indice dato padre immediato: trovare figlio di sinistra non immediato: trovare fratello di destra combinare alberi se sono memorizzati in array differenti

9 Implementazione con figlio di sinistra e fratello di destra (1) Implementazione con figlio di sinistra e fratello di destra ogni nodo viene rappresentato in un array e contiene i dati, il puntatore al padre, al primo figlio di sinistra e al fratello di destra sx dato padre dx risolve i problemi dell implementazione trami lista ai figli richiede meno spazio per ogni nodo è necessaria una quantità costante di spazio

10 Implementazione con figlio di sinistra e fratello di destra (2) combinazione di due alberi sx dato padre dx

11 Implementazione con nodi dinamici (1) Implementazione con nodi dinamici ogni nodo viene rappresentato in un array e contiene i dati, il numero dei figli e i puntatori ai figli array di puntatori ai figli come parte del nodo il numero di figli deve essere noto quando si crea il nodo e funziona bene se non cambia dinamicamente implementare un garbage collector oppure un gestore della memoria dato #figli

12 Implementazione con nodi dinamici (2) lista concatenata dei puntatori ai figli più flessibile ma richiede più spazio

13 Implementazione dinamica con figlio di sinistra e fratello di destra Si noti che l implementazione con figlio di sinistra e fratello di destra è un albero binario da un albero generico è possibile passare ad un albero binario in cui il figlio di sinistra rappresenta il primo nodo figlio dell albero generico e il nodo di destra rappresenta il fratello di destra dell albero generico lo si può applicare anche a foreste di nodi in cui le radici sono considerate come fratelli radice

14 Alberi N-ari Albero N-ario: albero i cui nodi hanno tutti N figli 2 figli: albero binario 4 figli: PR quadtree Si implementano in modo simile agli alberi binari all aumentare di N il numero di puntatori NULL rischia di aumentare preferire un implementazione in cui i nodi interni e le foglie vengono tenute distinte

15 Implementazione sequenziale (1) Scopo: memorizzare i valori di una serie di nodi con l informazione minima per ricostruire la struttura dell albero implementazione sequenziale vantaggio: risparmia spazio perchè non memorizza i puntatori svantaggio: l accesso ad un nodo richiede l accesso ai nodi che lo precedono nella sequenza - non è più Θ(log n) Serializzazione di una struttura ad albero: oggetto memorizzato come sequenza di byte

16 Implementazione sequenziale (2) Implementazione: i valori dei nodi vengono memorizzati come enumerazione di un attraversamento in preordine si memorizzano informazioni sulla struttura Albero binario: si elenca ogni valore del nodo i nodi non vuoti vengono trattati come nodi interni con due figli (che possono essere vuoti) solo i valori NULL vengono trattati come foglie AB/D//CEG///FH//I//

17 Implementazione sequenziale (3) Alberi binari pieni si marcano i nodi come interni ( ) o foglia Se un nodo è interno allora ha due figli Se è foglia allora il nodo successivo è il figlio di destra di un antenato A B /DC E G/F HI

18 Implementazione sequenziale (4) Alberi generici occorre tener traccia del numero di figli in alternativa: indicare quando termina la lista dei figli ) indica che è una foglia un ulteriore ) che è anche l ultimo figlio del padre RAC)D)E))BF))) foglia ultimo figlio di B ultimo figlio di R

19 Informatica 3 Lezione 17 - Modulo 3 Alberi e classi di equivalenza

20 Implementazione Implementazione con puntatore al padre per ogni nodo si memorizza solamente il puntatore al padre dati due nodi, appartengono allo stesso albero? --> FIND merging di due alberi --> UNION dato un nodo qual è il figlio più a sinistra? ed il fratello? KO indice del padre dato indice del nodo

21 Implementazione (2) // Return TRUE if nodes in different trees bool Gentree::differ(int a, int b) { int root1 = FIND(a); // Find root for a int root2 = FIND(b); // Find root for b return root1!= root2; // Compare roots } // Return the root node int Gentree::FIND(int curr) const { while (array[curr]!=root) curr = array[curr]; return curr; // At root } void Gentree::UNION(int a, int b) { int root1 = FIND(a); // Find root for a int root2 = FIND(b); // Find root for b if (root1!= root2) array[root2] = root1; }

22 Problema delle classi di equivalenza Problema: assegnare gli elementi di un insieme a delle classi equivalenza rappresentate da insiemi disgiunti I A B D A J C H E A

23 Problema delle classi di equivalenza Problema: assegnare gli elementi di un insieme a delle classi equivalenza rappresentate da insiemi disgiunti I A B D A J C H E A classi di equivalenza

24 Algoritmo Input: insieme di elementi da assegnare alle classi di equivalenza insieme di coppie di equivalenza Esempio elementi = { A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, } coppie di equivalenza = { (A,B), (C,H), (G,F), (D,E), (I.F), (A,H), (E,G), (H,E) }

25 Algoritmo (2)

26 Regola della union pesata Per avere un algoritmo efficiente: mantenere bassa l altezza dell albero Regola della union pesata: fare l unione di due alberi inserendo l albero con il minor numero di nodi come figlio dell albero con più nodi Profondità: Θ(log n) deriva dal fato che: profondità dell albero più piccolo si incrementa di 1 profondità dell albero più grande = profondità del nodo più profondo dei due alberi (+ 1 se il nodo più profondo si trova nell albero più piccolo) totale nodi >= 2 * numero dei nodi dell albero più piccolo

27 Compressione del percorso int Gentree::FIND(int curr) const { if (array[curr] == ROOT) return curr; return array[curr] = FIND(array[curr]); }