argomenti alberi terminologia tipo di dato astratto albero tipo astratto, implementazione, algoritmi es.: radice R con n sottoalberi radice

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1 argomenti alberi tipo astratto, implementazione, algoritmi! tipo astratto albero! definizione! implementazione in Java! algoritmi di visita! alberi binari! implementazione di alberi binari in Java ASD - Alberi 2 tipo di dato astratto albero! insieme vuoto di nodi oppure costituito da una radice R e da 0 o più alberi (sottoalberi)! la radice di ogni sottoalbero è collegata a R da un arco es.: radice R con n sottoalberi R terminologia! genitore, figlio, fratello! concetti intuitivi! nodo! foglia se ha zero figli! interno se ha almeno un figlio radice foglia nodo interno T 1 T 2 T n ASD - Alberi 3 ASD - Alberi 4

2 terminologia/2 alberi?! livello di un nodo! lunghezza (n.ro nodi) percorso radice-nodo! ramo! percorso radice-foglia! altezza albero! lunghezza (n.ro nodi) ramo più lungo livello radice = 1 altezza = 3 ASD - Alberi 5 ASD - Alberi 6 esempi di alberi! alberi genealogici! gerarchie di ereditarietà! ad es., in Java! classificazioni di specie animali! organizzazione del territorio! continente, nazione, regione, provincia ecc! (alcuni) organigrammi! file system! domini Internet ASD - Alberi 7 rappresentazione di alberi con liste collegate A Primo figlio di R Fratello di A C livello di C = 3 R B Elemento Riferimento al primo figlio Riferimento al prossimo fratello ASD - Alberi 8

3 operazioni sugli alberi! operazioni più importanti! element(v): restituisce l elemento memorizzato nel nodo v! root(): restituisce la radice dell albero! parent(v): restituisce il genitore del nodo v! children(v): restituisce i figli di v! isleaf(v): restituisce true se v è una foglia! isroot(v): restituisce true se v è la radice operazioni sugli alberi! Altre operazioni! livello di un nodo! altezza dell albero! # nodi! # foglie! arità! max # di figli di un nodo dell albero! isempty! true se l albero ha zero nodi ASD - Alberi 9 ASD - Alberi 10 rappresentazione dei nodi in Java! nodi class TreeNode { Object element; TreeNode firstchild; TreeNode nextsibling; TreeNode parent; tipo astratto albero in Java public interface Tree { Object element(treenode v); TreeNode root(); TreeNode parent(treenode v); ListIterator children(treenode v); boolean isleaf(treenode v); boolean isroot(treenode v); ASD - Alberi 11 ASD - Alberi 12

4 algoritmi su alberi algoritmi su alberi/2! livello di un nodo public int level(treenode v) { if(this.isroot(v)) return 1; else return 1 + level(this.parent(v));! costo proporzionale all altezza: O(h ) ASD - Alberi 13! altezza di un (sotto)albero! costo proporzionale al numero di nodi:!(n )! viene esaminato ogni nodo! ciascun nodo viene esaminato una sola volta int height(v) { int h=0, hmax=0; if(v == null) return 0; if(isleaf(v)) return 1; TreeNode w = v.firstchild; hmax = height(w); while(w.nextsibling!= null) { w = w.nextsibling; h = height(w); if(h > hmax) hmax = h; return 1 + hmax; ASD - Alberi 14 algoritmi su alberi/3! visita (o attraversamento) di un albero! in profondità (depth-first search, a scandaglio): DFS! vengono visitati i rami, uno dopo l altro! tre varianti! in ampiezza (breadth-first search, a ventaglio): BFS! a livelli, partendo dalla radice ASD - Alberi 15 visite in profondità/preordine! in preordine (preorder, o ordine anticipato)! dato un nodo v! visita v! visita i sotto-alberi aventi come radice i figli di v, da sinistra verso destra void treepreorder(root) { if(root == null) return; <visita root> r = root.firstchild while (r!= null) { treepreorder(r); r = r.nextsibling; ASD - Alberi 16

5 visite in profondità/inordine! in ordine simmetrico (inorder)! dato un nodo v con k sotto-alberi! visita il primo sotto-albero (radice v.firstchild)! visita v void treeinorder(root) { if(root == null) return; r = root.firstchild; treeinorder(r); <visita root> r = r.nextsibling;! visita gli altri k-1 sotto-alberi while (r!= null) { treeinorder(r); r = r.nextsibling; ASD - Alberi 17 visite in profondità/postordine! in postordine (postorder, o ordine posticipato)! dato un nodo v! visita i sotto-alberi aventi come radice i figli di v, da sinistra verso destra! visita v void treepostorder(root) { if(root == null) return; r = root.firstchild while (r!= null) { treepostorder(r); r = r.nextsibling; <visita root> ASD - Alberi 18 visite in profondità preordine inordine postordine ASD - Alberi 19 visita in ampiezza! breadth-first search (BFS), usa una coda! dato un nodo v void bfs(v) { if(v == null) return; queue.enqueue(v); while (!queue.isempty()) { v = queue.dequeue(); v.visit(); TreeNode w = v.firstchild; while(w!= null) { queue.enqueue(w); w = w.nextsibling; ASD - Alberi 20

6 visita in ampiezza BFS ASD - Alberi 21 alberi binari! un albero si dice binario se ogni nodo può avere al più 2 figli! la rappresentazione si semplifica public class BinaryNode { protected Object element; protected BinaryNode leftchild; protected BinaryNode rightchild; implementazione minima ASD - Alberi 22 ADT albero binario in Java public interface BinaryTree { Object element(binarynode v); BinaryNode root(); BinaryNode parent(binarynode v); BinaryNode leftchild(binarynode v); BinaryNode rightchild(binarynode v); boolean isleaf(binarynode v); boolean isroot(binarynode v); alberi binari/visita in preordine void treepreorder(binarynode v) { if(v == null) return; <visita v> treepreorder(leftchild(v)); treepreorder(rightchild(v)); ASD - Alberi 23 ASD - Alberi 24

7 alberi binari/visita inordine void treeinorder(binarynode v) { if(v == null) return; treeinorder(leftchild(v)); <visita v> treeinorder(rightchild(v)); alberi binari/visita in postordine void treepostorder(binarynode v) { if(v == null) return; treepostorder(leftchild(v)); treepostorder(rightchild(v)); <visita v> ASD - Alberi 25 ASD - Alberi 26 alberi binari/visita in ampiezza void bfs(v) { TreeNode p = v; queue.enqueue(p); while (!queue.isempty()) { p = (BSTNode) queue.dequeue(); p.visit(); if (p.leftchild!= null) queue.enqueue(p.leftchild); if (p.rightchild!= null) queue.enqueue(p.rightchild); ASD - Alberi 27 strutture dati per alberi binari! vettori! rappresentazioni collegate! esercizi:! implementare l interfaccia BinaryTree usando una rappresentazione collegata! scrivere un programma che legga gli elementi (stringhe) di un albero binario e li stampi effettuando una visita in preordine ASD - Alberi 28

8 4 uso di vettori! ogni nodo v è memorizzato in posizione p(v)! se v è la radice allora p(v)=1 (indice 0 in Java, C, C++)! se v è il figlio sinistro di u allora p(v)=2p(u) 2! se v è il figlio destro di u allora p(v)=2p(u) uso di vettori/2! implementazione statica: è necessaria una stima del numero massimo di nodi dell albero! può portare a spreco di risorse! nel caso peggiore, un albero con n nodi richiede un vettore con 2 n -1 elementi (se l albero degenera in una catena) ASD - Alberi - 29 ASD - Alberi 30 uso di vettori/3! in Java: si possono usare le classi Vector (sincronizzata) o ArrayList (non sincronizzata)! Vector e ArrayList gestiscono anche il ridimensionamento quando il numero di elementi cresce oltre la capacità corrente! ciò porta a ritardi (per gestire l allocazione di nuova memoria)! esercizio: scrivere una classe che implementi l interfaccia BinaryTree usando ArrayList o Vector rappresentazione collegata public class LinkedBinaryTree implements BinaryTree { private BinaryNode root; /* Rif. alla radice*/ private int size; public LinkedBinaryTree() { root = new BinaryTreeNode(null, null, null); size = 0; /* Metodi */ /* Fine della classe */ ASD - Alberi 31 ASD - Alberi 32