PROBLEMA DEL COMMESSO VIAGGIATORE

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1 PROBLEMA DEL COMMESSO VIAGGIATORE INTRODUZIONE Il problema del commesso viaggiatore (traveling salesman problem :TSP) è un classico problema di ottimizzazione che si pone ogni qual volta, dati un numero di luoghi da visitare ed i costi di viaggio, è necessario trovare il percorso di andata e ritorno più conveniente seguendo il quale si riesca a visitare una sola volta le destinazioni prefissate per poi fare ritorno al punto di partenza. Il problema del commesso viaggiatore è considerato come caso particolare dei più generici problemi di vehicle routing (VRP). In particolare dato un grafo G (N;A), con N 1; 2; ;n; l insieme dei nodi ed A l insieme degli archi. Ad ogni arco (i; j) è associato un costo c ij > 0. Data una flotta di m veicoli e un determinato insieme di clienti da servire, un problema di vehicle routing consiste nel determinare un insieme di m rotte a costo minimo in maniera tale da raggiungere ogni cliente. Nel caso in cui tutti i clienti sono rappresentati da nodi, allora si parla di problema di node routing". Il problema del commesso viaggiatore è un caso particolare di problema di node routing" con un solo veicolo, su un grafo connesso. Si lavora su un grafo ausiliario completo G (N A ;). Per ogni arco (i; j) A, il corrispondente costo c ij è determinato come il costo di un cammino minimo da i a j nel grafo di partenza G. Di conseguenza, per ogni (i; j) A vale la disuguaglianza triangolare: ci j c + c, per k N', ik kj con k i e k j In sintesi la soluzione ad un problema di TSP è l individuazione sul grafo di partenza di un Ciclo Hamiltoniano di costo minimo ossia di un ciclo che parte da un nodo, tocca ogni nodo del grafo esattamente una ed una sola volta e ritorna al nodo di partenza. Il metodo più diretto per trovare la soluzione ad un tale problema sarebbe provare tutte le possibili permutazioni degli n nodi e valutare la più vantaggiosa; poiché il numero delle permutazioni è n!, ovviamente questa metodologia risolutiva diviene praticamente inattuabile per grafi di una certa grandezza.

2 In sintesi le modalità risolutive per i problemi di commesso viaggiatore sono i seguenti: Metodi esatti: metodi che forniscono la migliore soluzione del problema. Metodi euristici (dal greco scoprire): metodi che forniscono una soluzione ammissibile, non necessariamente ottima del problema. I metodi euristici più noti sono i seguenti: Metodi costruttivi (generano un circuito hamiltoniano) Nodo più prossimo (Nearest Neighbor) Inserimento o Nodo più vicino o Nodo più lontano Doppio albero ricoprente Christofides Metodi di miglioramento (partono da un circuito hamiltoniano e ne producono uno migliore) 2-OPT 3-OPT Lin Kernighan Metodi a due fasi ( sono metodi ibridi che si servono dei risultati raggiunti dagli algoritmi precedenti) Cluster first Route second Route first Cluster second

3 Nella presenta esercitazione, dato il seguente insieme di nodi: Nodi id nodo coord. X coord. Y 1 A 10,00 85,00 2 B 23,00 49,00 3 C 47,00 68,00 4 D 12,00 74,00 5 E 53,00 12,00 6 F 62,00 28,00 7 G 41,00 44,00 8 H 77,00 39,00 9 I 79,00 66,00 10 L 86,00 0,00 11 M 92,00 4,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 Le cui reciproche distanze euclidee sono calcolate nella tabella successiva, per mezzo della nota espressione: d ij ( x x ) + ( y y ) 2 j 2 i j i x 10,00 23,00 47,00 12,00 53,00 62,00 41,00 77,00 79,00 86,00 92,00 y 85,00 49,00 68,00 74,00 12,00 28,00 44,00 39,00 66,00 0,00 4,00 x y DISTANZE A B C D E F G H I L M 10,00 85,00 A 0,00 38,28 40,72 11,18 84,72 77,16 51,40 81,27 71,57 114,02 115,26 23,00 49,00 B 38,28 0,00 30,61 27,31 47,63 44,29 18,68 54,92 58,52 79,81 82,38 47,00 68,00 C 40,72 30,61 0,00 35,51 56,32 42,72 24,74 41,73 32,06 78,39 78,24 12,00 74,00 D 11,18 27,31 35,51 0,00 74,33 67,94 41,73 73,82 67,48 104,65 106,30 53,00 12,00 E 84,72 47,63 56,32 74,33 0,00 18,36 34,18 36,12 59,93 35,11 39,81 62,00 28,00 F 77,16 44,29 42,72 67,94 18,36 0,00 26,40 18,60 41,63 36,88 38,42 41,00 44,00 G 51,40 18,68 24,74 41,73 34,18 26,40 0,00 36,35 43,91 62,94 64,82 77,00 39,00 H 81,27 54,92 41,73 73,82 36,12 18,60 36,35 0,00 27,07 40,02 38,08 79,00 66,00 I 71,57 58,52 32,06 67,48 59,93 41,63 43,91 27,07 0,00 66,37 63,35 86,00 0,00 L 114,02 79,81 78,39 104,65 35,11 36,88 62,94 40,02 66,37 0,00 7,21 92,00 4,00 M 115,26 82,38 78,24 106,30 39,81 38,42 64,82 38,08 63,35 7,21 0,00 Si chiede di risolvere il problema del commesso viaggiatore adoperando : Euristica del doppio albero ricoprente Euristica di Christofides

4 EURISTICA DEL DOPPIO ALBERO RICOPRENTE Prima di procedere all esposizione dell euristica del doppio albero ricoprente, è bene riportare alcune utili definizioni: 1. Albero : una rete con numero di rami pari al numero di nodi meno uno, senza circuiti e connesso. 2. Albero ricoprente minimo : l albero di lunghezza minima che tocca tutti i nodi. Sia c(t*) il costo di tale albero. 3. Circuito hamiltoniano : percorso hamiltoniano a cui è stato aggiunto un arco per chiudere il circuito stesso. Sia c(h*) il costo di tale circuito. A questo punto è possibile elencare la successione di passi che compone l algoritmo in esame. 1. Si costruisce l albero ricoprente di costo minimo T* a partire dal grafo iniziale G, tale fase nella fattispecie è stata eseguita attraverso il software Concorde 1.1, del quale si riporta di seguito, una schermata: Nodi del grafo esaminato Il software in tal caso ha fornito il seguente albero ricoprente minimo:

5 Albero ricoprente minimo Ora è necessario osservare che: Ogni percorso hamiltoniano è un albero il cui costo è certamente maggiore o uguale al costo dell albero ricoprente minimo c(t*). Quindi il costo del circuito hamiltoniano minimo c(h*), che a sua volta è maggiore del costo del percorso hamiltoniano, è certamente maggiore o uguale al costo dell albero ricoprente minimo c(t*): c(t*) c(h*)

6 2. Si raddoppiano gli archi dell albero ricoprente minimo: 3. A partire dal grafo appena creato si genera un circuito C che visiti, eventualmente più volte, tutti i nodi. Il circuito C ha un costo massimo di 2 c(t*), maggiore o uguale al costo del circuito hamiltoniano minimo H*: c(t*) c(h*) 2 c(t*) In tal caso, è possibile generare due circuiti differenti, dei quali si riporta la successione dei nodi: Circuito : A, D, B, G, C, G, F, H, I, H, F, E, L, M, A Circuito : A, D, B, G, C, G, F, E, L, M, L, E, F, H, I, A 4. Si riduce il circuito ottenuto al passo precedente ad un circuito hamiltoniano; ciò è possibile seguendo il circuito individuato, saltando i nodi già visitati e connettendo ( archi verdi in fig.) i nodi che si trovano ad essere contigui nella nuova successione. Si ottiene un circuito hamiltoniano CH di costo: c(ch) 2 c(t*) c(t*) c(h*) c(ch) 2 c(t*)

7 Nel presente caso si riportano i circuiti hamiltoniano generati a partire dai due circuiti precedenti, nei quali sono stati evidenziati in rosso i nodi visitati più di una volta: Circuito : A, D, B, G, C, G, F, H, I, H, F, E, L, M, A Circuito hamiltoniano : A, D, B, G, C, F, H, I, E, L, M, A Circuito : A, D, B, G, C, G, F, E, L, M, L, E, F, H, I, A Circuito hamiltoniano: A, D, B, G, C, F, E, L, M, H, I, A

8 5. Adoperando la tabella delle distanze (riportata in precedenza) si valuta la lunghezza complessiva dei circuiti hamiltoniani individuati e si sceglie il circuito più breve. 1 - Circuito hamiltoniano : A, D, B, G, C, F, H, I, E, L, M, A D tot _ 1 d AD DB BG GC CF FH HI IE EL LM MA 387,8-2 - Circuito hamiltoniano: A, D, B, G, C, F, E, L, M, H, I, A D tot _ 2 dad DB BG GC CF FE EL LM MH HI IA 322,0 Quindi in definitiva si sceglie il secondo circuito:

9 EURISTICA DI CHRISTOFIDES Prima di procedere all esposizione dell euristica del doppio albero ricoprente, è bene riportare alcune utili definizioni: 1. Albero : una rete con numero di rami pari al numero di nodi meno uno, senza circuiti e connesso. 2. Grado di un nodo (pari o dispari) : numero degli archi incidenti al nodo stesso (numero pari o dispari). 3. Albero ricoprente minimo : l albero di lunghezza minima che tocca tutti i nodi. 4. Circuito hamiltoniano : percorso hamiltoniano a cui è stato aggiunto un arco per chiudere il circuito stesso, ossia un circuito che parte da un nodo, tocca ogni nodo del grafo esattamente una ed una sola volta e ritorna al nodo di partenza. Sia c(h*) il costo di tale circuito. 5. Circuito Euleriano : è un ciclo che parte da un nodo, tocca tutti gli archi esattamente una ed una sola volta ed ogni nodo del grafo una o più volte e ritorna al nodo di partenza. A questo punto è possibile elencare la successione di passi che compone l algoritmo in esame. 1. Si costruisce l albero ricoprente di costo minimo T* a partire dal grafo iniziale G, tale fase nella fattispecie è stata eseguita attraverso il software Concorde 1.1, e si individuano l insieme D dei nodi di grado dispari (colorati di rosso) : D (Nodi di grado dispari): A, G, C, F, I, M.

10 2. Si costruisce il matching perfetto M di costo minimo sui nodi di grado dispari appartenenti all insieme D. [ In particolare dato un insieme di nodi D, un matching M è un sottoinsieme di archi tale che ogni nodo di D incide al più un solo arco di M. Se tutti i nodi appartenenti a D risultano accoppiati tale matching si dice perfetto.] Nel presente caso è possibile costruire tre tipi di matching perfetti ( gli archi di matching sono rappresentati con il colore blu).

11 3. Si individua il circuito euleriano dato da: T * M [Si ricorda che un circuito euleriano è un circuito che parte da un nodo, tocca tutti gli archi esattamente una ed una sola volta ed ogni nodo del grafo una o più volte e ritorna al nodo di partenza.] In questo caso è possibile individuare i tre seguenti circuiti euleriani: 1 - Circuito euleriano: A,G,C,F,H,I,M,L,E,F,G,B,D,A. 2 - Circuito euleriano: A,G,C,I,H,F,M,L,E,F,G,B,D,A 3 - Circuito euleriano: A,C,G,I,H,F,M,L,E,F,G,B,D,A 4. Si ricava un circuito hamiltoniano a partire dal circuito euleriano individuato. Ciò è possibile seguendo il circuito individuato, saltando i nodi già visitati e connettendo ( archi verdi in fig.) i nodi che si trovano ad essere contigui nella nuova successione.

12 Nel presente caso percorrendo i circuiti euleriani in senso orario e antiorario, si ricavano differenti circuiti hamiltoniano che riportiamo di seguito: 1 - Circuito euleriano percorso in senso orario: A,G,C,F,H,I,M,L,E,F,G,B,D,A. 1 - Circuito hamiltoniano A,G,C,F,H,I,M,L,E,B,D,A. 1 - Circuito euleriano percorso in senso antiorario A,D,B,G,F,E,L,M,I,H,F,C,G,A 2 - Circuito hamiltoniano A,D,B,G,F,E,L,M,I,H,C,A.

13 2 - Circuito euleriano percorso in senso orario: A,G,C,I,H,F,M,L,E,F,G,B,D,A 3 - Circuito hamiltoniano A,G,C,I,H,F,M,L,E,B,D,A. 2 - Circuito euleriano percorso in senso antiorario A,D,B,G,F,E,L,M,F,H,I,C,G,A 4 - Circuito hamiltoniano A,D,B,G,F,E,L,M,H,I,C,A.

14 3 - Circuito euleriano percorso in senso orario: A,C,G,I,H,F,M,L,E,F,G,B,D,A 5 - Circuito hamiltoniano A,C,G,I,H,F,M,L,E,B,D,A 3 - Circuito euleriano percorso in senso antiorario: A,D,B,G,F,E,L,M,F,H,I,G,C,A 6 - Circuito hamiltoniano A,D,B,G,F,E,L,M,H,I,C,A E bene osservare che il quarto ed il sesto circuito hamiltoniano sono perfettamente coincidenti.

15 5. Adoperando la tabella delle distanze (riportata in precedenza) si valuta la lunghezza complessiva dei sei circuiti hamiltoniani individuati e si sceglie il circuito più breve. D tot _ 1 D tot _ 2 D tot _ 4 D tot _ 3 D tot _ 5 D tot _ 6 356,3 317,1 282,2 320,7 321,9 282,2 Il circuito più breve risulta essere il quarto ( che coincide con il sesto)