Tecniche euristiche greedy

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1 Tecniche euristiche greedy PRTLC -

2 Schema delle esercitazioni Come ricavare la soluzione ottima Modelli Solver commerciali

3 Schema delle esercitazioni Come ricavare la soluzione ottima Modelli Solver commerciali Come ricavare una stima dell ottimo: rilassamenti Rilassamento continuo - generazione di colonne Rilassamento Lagrangiano e surrogato

4 Schema delle esercitazioni Come ricavare la soluzione ottima Modelli Solver commerciali Come ricavare una stima dell ottimo: rilassamenti Rilassamento continuo - generazione di colonne Rilassamento Lagrangiano e surrogato Come ricavare una soluzione ammissibile Euristiche greedy e tecniche costruttive (costruiscono una soluzione ammissibile) Euristiche di ricerca locale (partono da una soluzione data e la migliorano)

5 (goloso) Costruisce la soluzione per passi

6 (goloso) Costruisce la soluzione per passi Inizialmente parte da una soluzione vuota Ad ogni iterazione aggiunge un elemento alla soluzione, mantenendo la soluzione parziale potenzialmente ammissibile

7 (goloso) Costruisce la soluzione per passi Inizialmente parte da una soluzione vuota Ad ogni iterazione aggiunge un elemento alla soluzione, mantenendo la soluzione parziale potenzialmente ammissibile In ogni iterazione seleziona la scelta migliore sulla base della soluzione attuale (scelta miopica)

8 (goloso) Costruisce la soluzione per passi Inizialmente parte da una soluzione vuota Ad ogni iterazione aggiunge un elemento alla soluzione, mantenendo la soluzione parziale potenzialmente ammissibile In ogni iterazione seleziona la scelta migliore sulla base della soluzione attuale (scelta miopica) Le decisioni non vengono ridiscusse (soluzione non ottima, in generale) Si eseguono un numero di iterazioni note a priori (polinomiali nelle dimensioni del problema)

9 Ingredienti Struttura della soluzione, gli elementi che la compongono

10 Ingredienti Struttura della soluzione, gli elementi che la compongono Criterio per selezionare la miglior scelta da fare data la soluzione parziale corrente

11 Ingredienti Struttura della soluzione, gli elementi che la compongono Criterio per selezionare la miglior scelta da fare data la soluzione parziale corrente Verifica dell ammissibilità della soluzione parziale

12 Schema dell algoritmo begin { X :=,

13 Schema dell algoritmo begin { X :=,S:=E;

14 Schema dell algoritmo begin { X :=,S:=E; repeat { e:= Best(S); (miglior scelta) S:= S\{e}

15 Schema dell algoritmo begin { X :=,S:=E; repeat { e:= Best(S); (miglior scelta) S:= S\{e} if(x e è ammissibile) then X:=X e;

16 Schema dell algoritmo begin { end} X :=,S:=E; repeat { e:= Best(S); (miglior scelta) S:= S\{e} if(x e è ammissibile) then X:=X e; }until (S= X completa)

17 Connessione di una rete Problema Una rete rappresentata da un grafo non direzionato G = (N, A) Costo associato ad ogni arco della rete Selezionare un sottoinsieme di archi in modo da collegare tutti i nodi della rete a costo minimo Albero di copertura di costo minimo

18 per albero di copertura di costo minimo Kruskal Soluzione è rappresentata da un sottoinsieme di archi

19 per albero di copertura di costo minimo Kruskal Soluzione è rappresentata da un sottoinsieme di archi Gli elementi della soluzione sono archi: ad ogni iterazione seleziono il nuovo arco da aggiungere

20 per albero di copertura di costo minimo Kruskal Soluzione è rappresentata da un sottoinsieme di archi Gli elementi della soluzione sono archi: ad ogni iterazione seleziono il nuovo arco da aggiungere La miglior scelta è l arco di costo minimo

21 per albero di copertura di costo minimo Kruskal Soluzione è rappresentata da un sottoinsieme di archi Gli elementi della soluzione sono archi: ad ogni iterazione seleziono il nuovo arco da aggiungere La miglior scelta è l arco di costo minimo Soluzione parziale è ammissibile se non contiene cicli e può essere completata connettendo tutti i nodi

22 per albero di copertura di costo minimo Kruskal Inizialmente la solusione è l insieme vuoto Gli archi vengono ordinati dal meno costoso al più costoso Ad ogni iterazione si estrae il primo arco dall elenco Se l arco scelto non genera cicli con quelli già selezionati viene aggiunto alla soluzione La procedura termina quando tutti i nodi sono collegati (la soluzione contiene N 1 archi) Per questo problema il greedy garantisce di trovare sempre la soluzione ottima

23 Dati Insieme A di possibili siti in cui installare antenne

24 Dati Insieme A di possibili siti in cui installare antenne Un costo di installazione di un antenna associato ad ogni possibile sito Un insieme di test point T, da servire

25 Dati Insieme A di possibili siti in cui installare antenne Un costo di installazione di un antenna associato ad ogni possibile sito Un insieme di test point T, da servire Distanza d ij tra ogni possibile antenna i e ogni test point j Distanza massima R tra antenna e test point che possono comunicare

26 Problema Decidere dove installare le antenne in modo che per ogni test point ci sia almeno un antenna a distanza inferiore a R

27 Problema Decidere dove installare le antenne in modo che per ogni test point ci sia almeno un antenna a distanza inferiore a R con l obiettivo di minimizzare il costo complessivo delle antenne installate

28 Modello Variabili y i i A : y i = 1 se viene installata un antenna nel sito i

29 Modello Variabili y i i A : y i = 1 se viene installata un antenna nel sito i Modello min i A c i y i m ij y i 1, i A j T

30 Algoritmo greedy Inizialmente non ci sono antenne scelte

31 Algoritmo greedy Inizialmente non ci sono antenne scelte I siti vengono ordinati per costo descrescente

32 Algoritmo greedy Inizialmente non ci sono antenne scelte I siti vengono ordinati per costo descrescente Si aggiunge l antenna migliore finché tutti i test point non sono coperti

33 Algoritmo greedy Inizialmente non ci sono antenne scelte I siti vengono ordinati per costo descrescente Si aggiunge l antenna migliore finché tutti i test point non sono coperti Varianti Ordinare per rapporto tra costo e numero di test point raggiunti crescente: c i {j T : d ij R}

34 Algoritmo greedy Inizialmente non ci sono antenne scelte I siti vengono ordinati per costo descrescente Si aggiunge l antenna migliore finché tutti i test point non sono coperti Varianti Ordinare per rapporto tra costo e numero di test point raggiunti crescente: c i {j T : d ij R} Ordinare per rapporto crescente tra costo e numero di test point raggiunti che non sono ancora coperti dalla soluzione corrente

35 Caso con antenne capacitate Come cambia il problema Ogni antenna può servire un numero massimo di test point (P)

36 Caso con antenne capacitate Come cambia il problema Ogni antenna può servire un numero massimo di test point (P) Oltre alla localizzazione delle antenne bisogna definire anche l assegnamento

37 Caso con antenne capacitate Come cambia il problema Ogni antenna può servire un numero massimo di test point (P) Oltre alla localizzazione delle antenne bisogna definire anche l assegnamento Come cambia il Si ordinano i siti e si seleziona il miglior sito Si assegnano all antenna scelta al più P test point coperti dal sito

38 Caso con antenne capacitate Come cambia il problema In questo modo si garantisce l ammissibilità? Cosa accade se un test point è raggiungibile da una sola antenna e se ad essa sono già stati assegnati P test point?

39 Caso con antenne capacitate Come cambia il problema In questo modo si garantisce l ammissibilità? Cosa accade se un test point è raggiungibile da una sola antenna e se ad essa sono già stati assegnati P test point? Possiamo ad esempio ordinare i test point coperti dall antenna selezionata in base al numero di antenne che li possono servire.

40 j V : (i,j) A k K min (i,j) A xij k xji k = j V : (j,i) A c ij y ij 1 se i = s k, 1 se i = t k 0 se i s k, t k, d k x k ij λy ij, (i, j) A µ ij 0 x k ij {0, 1}, y ij Z +

41 Elementi della soluzione Instradamento delle domande Dimensionamento dei canali sugli archi

42 Elementi della soluzione Instradamento delle domande Dimensionamento dei canali sugli archi Fissato l instradamento il dimensionamento è una conseguenza

43 Elementi della soluzione Instradamento delle domande Dimensionamento dei canali sugli archi Fissato l instradamento il dimensionamento è una conseguenza Basiamo il greedy sull instradamento

44 Ordiniamo le domande per quantità di traffico descrescente Per ogni domanda calcoliamo il percorso con il minor costo incrementale Assegnamo costo 0 agli archi su cui è disponibile una capacità superiore all entità della domanda Assegnamo costo pari all installazione del numero di canali necessario per gestire la domanda considerata Calcoliamo il cammino minimo sulla base di questi costi Instradiamo la domanda sul percorso calcolato Aggiorniamo il dimensionamento della capacità sugli archi coinvolti

45 Esempio Tre domande: 1 da 1 a 6, di traffico 7 2 da 1 a 4, di traffico 3 3 da 1 a 5, di traffico 2 Capacità dei canali λ = 10

46 Soluzione Ordino le domande per volume di traffico non crescente (1,2,3) Tutti gli archi hanno costo originale

47 Soluzione Ordino le domande per volume di traffico non crescente (1,2,3) Tutti gli archi hanno costo originale La domanda 1 è instradata sul cammino minimo (1, 2), (2, 3), (3, 6), su ciascun arco si installa un canale

48 Soluzione Ordino le domande per volume di traffico non crescente (1,2,3) Tutti gli archi hanno costo originale La domanda 1 è instradata sul cammino minimo (1, 2), (2, 3), (3, 6), su ciascun arco si installa un canale Considero la seconda domanda: i costi degli archi (1, 2), (2, 3), (3, 6) sono nulli La seconda domanda è instradata sul cammino (1, 2), (2, 3), (3, 4): sull arco (3, 4) si installa un canale

49 Soluzione Ordino le domande per volume di traffico non crescente (1,2,3) Tutti gli archi hanno costo originale La domanda 1 è instradata sul cammino minimo (1, 2), (2, 3), (3, 6), su ciascun arco si installa un canale Considero la seconda domanda: i costi degli archi (1, 2), (2, 3), (3, 6) sono nulli La seconda domanda è instradata sul cammino (1, 2), (2, 3), (3, 4): sull arco (3, 4) si installa un canale Considero la terza domanda: tutti gli archi hanno costo originale, tranne (3, 4) e (3, 6), di costo nullo La domanda è instradata sull arco (1, 5), su cui si installa un canale.

50 Soluzione Su ogni arco della soluzione è installato un canale costo complessivo 24

51 È la soluzione ottima? Su ogni arco della soluzione è installato un canale costo complessivo 23

52 Problema: dati Insieme I di trasmettitori

53 Problema: dati Insieme I di trasmettitori Insieme F di frequenze che possono essere assegnate ai trasmettitori

54 Problema: dati Insieme I di trasmettitori Insieme F di frequenze che possono essere assegnate ai trasmettitori Distanza d ij tra il trsmettitore i e il trasmettitore j

55 Problema: dati Insieme I di trasmettitori Insieme F di frequenze che possono essere assegnate ai trasmettitori Distanza d ij tra il trsmettitore i e il trasmettitore j Problema Assegnare una frequenza a ciascun trasmettitore

56 Problema: dati Insieme I di trasmettitori Insieme F di frequenze che possono essere assegnate ai trasmettitori Distanza d ij tra il trsmettitore i e il trasmettitore j Problema Assegnare una frequenza a ciascun trasmettitore garantendo che due trasmettitori che distano meno di d non siano assegnati alla stessa frequenza

57 Problema: dati Insieme I di trasmettitori Insieme F di frequenze che possono essere assegnate ai trasmettitori Distanza d ij tra il trsmettitore i e il trasmettitore j Problema Assegnare una frequenza a ciascun trasmettitore garantendo che due trasmettitori che distano meno di d non siano assegnati alla stessa frequenza con l obiettivo di minimizzare il numero di frequenze usate

58 Modello x if {0, 1} = 1 se al trasmettitore i è assegnata la frequenza f y f {0, 1} = 1 se la frequenza f viene usata min f F x if = 1 f F y f i I x if + x jf 1 f F, i, j I : d ij d x if y f i I, f F

59 Problema di coloramento di grafo

60 Soluzione euristica Idea Seleziono il nodo con grado massimo Assegno una frequenza (colore) Coloro la sua stella Cerco un nuovo nodo non ancora colorato

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64 Stime dell ottimo Clique Sottoinsieme di nodi completamente connesso Bound Devono essere tutti di colori diversi Il numero minimo di colori è maggiore od uguale alla cardinalità della clique massima