Stime dell ottimo - Rilassamenti. PRTLC - Rilassamenti

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1 Stime dell ottimo - Rilassamenti PRTLC - Rilassamenti

2 Schema delle esercitazioni Come ricavare la soluzione ottima Modelli Solver commerciali Come ricavare una stima dell ottimo: rilassamenti Rilassamento continuo - generazione di colonne Rilassamento Lagrangiano e surrogato Come ricavare una soluzione ammissibile Euristiche greedy Euristiche di ricerca locale

3 Stima dell ottimo La stima deve essere : migliore dell ottimo: Minore per problemi di minimo (lower bound) Maggiore per problemi di massimo (upper bound) più semplice e veloce da calcolare

4 Rilassamento Rilassamento Dato un problema P : min{c(x) : x X R n } il problema RP è un rilassamento di P se RP : min{f(x) : x F R n } X F (considero una regione ammissibile più ampia) f(x) c(x), x X (per soluzioni ammissibili la funzione obiettivo non è superiore)

5 Rilassamenti Rilassamento continuo min c(x) min c(x) (P) Ax b (RP) Ax b x Z n + x R n + Esempi: x Z n + x 0 x {0,1} 0 x 1 Nota bene Tutte le variabili del problema devono essere rilassate per ottenere un rilassamento continuo.

6 Rilassamento continuo Regione ammissibile P 5 4 x x 1

7 Rilassamento continuo Regione ammissibile RP 5 4 x x 1

8 Rilassamento continuo Cosa fare quando il numero di variabili è esponenziale, come nelle formulazioni per cammini? Non è possibile enumerare tutte le variabili Cominciamo con un sottoinsieme e aggiungiamo solo le variabili buone Sfruttiamo la dualità per selezionare le variabili da aggiungere Generazione di colonne N.B. Le proprietà del duale valgono solo per variabili continue: la generazione di colonne non si può applicare a problemi a variabili intere o binarie. Nel caso di problemi a variabili intere, viene applicato per trovare stime della soluzione ottima.

9 Dualità Problema primale e duale Problema primale Problema duale (PP) (DP) mincx maxbu Ax b ua c x 0 u 0 variabile primale vincolo duale vincolo primale variabile duale

10 Dualità Soluzioni complementari x e u sono complementari se x(c ua) = 0 u(b Ax) = 0 Proprietà Se x e u sono ammissibili (per primale e duale) sono entrambe ottime Sfruttiamo questa proprietà per capire se il sottoinsieme di variabili è ottimo o se dobbiamo aggiungere altre variabili

11 Generazione di colonne Procedimento Dato un problema con un sottoinsieme esponenziale di variabili V Si comincia a considerare il problema Master Ridotto (RM) che opera su un sottoinsieme di variabili V 0 Nel duale abbiamo solo un sottoinsieme di vincoli Sia x la soluzione ottima di RM e u la corrispondente soluzione duale: se u è ammissibile per il problema completo sono ottime Altrimenti: x non è ottima Esiste un vincolo, associato a una variabile primale non espressa, che è violato Dobbiamo individuare il vincolo duale violato e aggiungerlo aggiungiamo una variabile primale (pricing) Risolviamo nuovamente RM con l aggiunta delle nuove variabili e ripetiamo il processo

12 Network design Modello per cammini min c ij y ij (i,j) A x p = 1 k K p P k d k x p λy ij, (i,j) A k:p P k p P ij x p {0,1} y ij 0,intere

13 Network design Modello per cammini: rilassamento min c ij y ij (i,j) A x p 1 k K p P k λy ij d k x p 0, (i,j) A p P ij k:p P k x p 0 y ij 0

14 Network design Generazione di colonne RM inizialmente considera solo alcuni dei cammini (insieme P 0 ) P 0 deve garantire ammissibilità deve essere presente almeno un cammino per ogni domanda RM viene risolto Per verificare se la soluzione ottenuta è ottima anche per il problema originario, o decidere quali variabili aggiungere, si risolve il problema di pricing

15 Network design Problema di pricing min c ij y ij (i,j) A x p 1 k K σ k 0 p P k λy ij d k x p 0, (i,j) A µ ij 0 p P ij k:p P k x p 0 y ij 0

16 Pricing Vincolo duale σ k (i,j) p d k µ ij 0 p P Pricing Trovare un cammino il cui vincolo duale sia violato = trovare un cammino tale che d k µ ij < σ k (i,j) p Cerchiamo il cammino minimo tra la sorgente e la destinazione di ogni domanda di traffico k su un grafo i cui costi sono d k µ ij, (i,j) A

17 Pricing Pricing Se anche il cammino minimo è maggiore di σ k, allora il vincolo duale è rispettato per tutte le variabili, anche quelle che non sono presenti nel RM, la soluzione trovata è ottima Altrimenti si aggiunge la variabile associata al cammino trovato

18 Localizzazione di concentratori Dati Insieme T di nodi terminali (client o customer), origini e le destinazioni della domande di traffico: tik traffico dal nodo i al nodo k Un insieme C di siti candidati ad ospitare i nodi concentratori (facility), che raccolgono il traffico dei terminali Capacità Γi, che rappresenta il massimo traffico che il concentratore può gestire Costo di installazione fi g ij, i C,j T costo per unità di traffico inviata da j a i e viceversa

19 Localizzazione di concentratori Problema Decidere Dove installare i concentratori A quale concentratore assegnare ogni terminale, garantendo che ogni terminale sia servito da uno e un solo concentratore con l obiettivo di minimizzare il costo totale della rete

20 Modello alternativo Si basa sull assegnamento di sottoinsiemi di nodi terminali, anziché dei singoli terminali Dati S: insieme di tutti i sottoinsiemi di nodi terminali S i : insieme di tutti i sottoinsiemi di nodi terminali che possono essere assegnati ad uno stesso nodo concentratore i senza violarne la capacità S j l insieme dei sottoinsiemi a cui appartiene il nodo terminale j Il costo relativo al traffico associato al sottoinsieme s S i e al concentratore i è ) c si = j s g ij ( k T(t jk +t kj ) = g ij w j j s

21 Modello alternativo Variabili decisionali x si, s S j,i C : x si = 1 se il sottoinsieme s S i è assegnato al concentratore i y i i C : y i = 1 se viene installato un concentratore nel sito i Funzione obiettivo min c si x si + f i y i i C s S i i C

22 Modello alternativo Vincoli Assegnamento dei nodi terminali: x si = 1, i C s S i S j j T Legame tra variabili di apertura e di assegnamento: x si y i i C s S i Dominio delle variabili: xsi {0,1} i C,s S i yi {0,1} i C N.B. Il vincolo di capacità è soddisfatto dalla costruzione dei sottoinsiemi

23 Localizzazione di concentratori Modello basato sui sottoinsiemi: rilassamento min c si x si + f i y i i C s S i i C x si 1, j T i C s S i s S j y i s S i x si 0 i C x si 0 i C,s S i 0 y i 1 i C

24 Localizzazione di concentratori Modello basato sui sottoinsiemi min c si x si + f i y i i C s S i i C x si 1, j T µ j 0 i C s S i s S j y i s S i x si 0 i C λ i 0 x si 0 i C,s S i 0 y i 1 i C

25 Pricing Vincolo duale µ j λ i g ij w j s S i,i C j s j s Pricing Trovare un sottoinsieme il cui vincolo duale sia violato = trovare un gruppo di nodi terminali che possa essere assegnato insieme a un concentratore i tale che λ i < j s (µ j g ij w j ) Dobbiamo costruire un tale insieme, se esiste

26 Pricing Problema di pricing max (µ j g ij w j )u j j T w j u j Γ i j T u j {0,1} Problema di pricing Il pricing è un problema di zaino binario

27 Pricing Pricing Se l ottimo dello zaino è minore di λ i la soluzione trovata è ottima Altrimenti si aggiunge la variabile associata al sottoinsieme trovato