RICERCA OPERATIVA (a.a. 2012/13) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello 7// RICERCA OPERATIVA (a.a. /) Nome: Cognome: Matricola: ) Si individui un albero dei cammini minimi di radice sul grafo in figura utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della complessità computazionale in tempo giustificando la scelta effettuata. Per ogni iterazione si forniscano il nodo selezionato u i vettori dei predecessori e delle etichette e l insieme dei nodi candidati Q. Al termine si disegni l albero dei cammini minimi individuato. Nel caso in cui il costo dell arco ( ) fosse un parametro reale ǫ (anzichè valere come in figura) per quali valori di tale parametro l albero individuato al passo precedente continuerebbe ad essere un albero dei cammini minimi di radice? Giustificare la risposta. Il grafo contiene il ciclo ( ) e non sono presenti archi di costo negativo. Pertanto l algoritmo più conveniente dal punto di vista della complessità computazionale in tempo tra quelli studiati è l algoritmo SPT.S che ha complessità in tempo O(n ) nel caso in cui la coda di priorità Q sia implementata come una lista. M (n )c max + +. it. u p[ p[ p[ p[ p[ p[ p[7 d[ d[ d[ d[ d[ d[ d[7 Q {} { 7} { 7} { 7} { 7} { 7} {7} 7 7 L albero trovato è mostrato in figura: 7 7 Se il costo dell arco () fosse pari a un parametro reale ǫ l etichetta del nodo varrebbe d[ +ǫ. L albero in figura continuerebbe ad essere un albero dei cammini minimi di radice per tutti e soli i valori di ǫ che garantiscono il soddisfacimento delle condizioni di ottimalità di Bellman. Considerando i due archi del grafo non appartenenti all albero ed incidenti il nodo ovvero () e () si ottiene che l albero determinato è un albero dei cammini minimi di radice se e solo se ǫ.

2 o Appello 7// ) Si risolva il problema di flusso di costo minimo relativamente all istanza in figura utilizzando l algoritmo di cancellazione dei cicli a partire dal flusso indicato di costo cx. Per ogni iterazione si mostri il ciclo individuato con il suo verso costo e capacità e la soluzione ottenuta dopo l applicazione dell operazione di composizione con il suo costo. Al termine si dimostri che la soluzione ottenuta è ottima. b i i c ij u ij x ij b j - j L algoritmo esegue tre iterazioni illustrate dalle prime tre figure(in alto da sinistra a destra): in ogni figura è mostrato il ciclo C utilizzato (archi evidenziati) col il suo verso (freccia tratteggiata) e la sua capacità θ nonché il flusso x al termine dell iterazione ossia dopo l applicazione dell operazione di composizione con C con il relativo costo cx. La figura in basso mostra il grafo residuo dell ultima soluzione ed il corrispondente albero dei cammini minimi (archi evidenziati) con insieme di radici N come dimostrano le etichette ai nodi che soddisfano le condizioni di Bellman. L esistenza di un albero dei cammini minimi dimostra che non esistono cicli orientati di costo negativo nel grafo residuo e quindi che non esistono cicli aumentanti di costo negativo rispetto ad x e quindi che il flusso è ottimo. θ c(c) - cx θ c(c) - cx 9 θ c(c) - cx

3 o Appello 7// ) Si consideri il seguente problema di PL parametrico in α R: (P α ) max x x x + x x x x + x α x x Si determini per quali valori di α la soluzione di base duale associata alla base B {} sia ottima per il problema duale discutendo l unicità di tale soluzione al variare di α. Si dimostri infine che il problema (P α ) non può essere superiormente illimitato per nessun valore di α. Giustificare le risposte. Consideriamo la matrice di base associata a B {} e la sua inversa: A B [ A B [ La soluzione di base duale associata a B è quindi data da:. ȳ B ca B [ [ [ ȳ N ȳ [. Essendo ȳ non degenere ȳ è ottima se e solo se la corrispondente soluzione di base primale ovvero: [ x A B b B [ [ è ammissibile per (P α ): ciò si verifica se e solo se + α ossia per α. Per discutere l unicità della soluzione ottima ȳ distinguiamo due casi:. α > : in tal caso x è una soluzione di base (ottima) non degenere e pertanto ȳ è l unica soluzione duale ammissibile in scarti complementari con essa; segue che ȳ è l unica soluzione ottima duale;. α : in tal caso x è una soluzione di base (ottima) degenere in quanto I( x) { } e quindi potrebbero esistere altre soluzioni duali ammissibili in scarti complementari con x (oltre a ȳ); imponendo tali condizioni ad esempio si ricava che la soluzione di base duale ammissibile y [ soddisfa le condizioni degli scarti complementari con x ed è quindi una soluzione ottima duale alternativa a ȳ. Infine (P α ) non può essere superiormente illimitato per nessun valore di α. Infatti il problema duale ammette la soluzione ammissibile ȳ indipendentemente dal valore assunto da α con valore della funzione obiettivo duale pari a ȳb con b [α. Dal Teorema debole della dualità segue che la funzione obiettivo di (P α ) è superiormente limitata dal valore.

4 o Appello 7// ) Si risolva il seguente problema di PL max x + x x x x x x + x x + x x x utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale per via algebrica a partire dalla base B { }. Per ogni iterazione si indichino: la base la matrice di base e la sua inversa la coppia di soluzioni di base l indice entrante k il vettore η B il passo θ e l indice uscente h giustificando le risposte. it. ) B {}: A B A N x [ A B [ / / ȳ B ca B [ [ / / [ η B A k A B [ [ / / b N [ x A / / B b B [ [ [ ȳ N ȳ [ k min{ i N : A i x > b i } min{} [regola anticiclo di Bland [ θ min{ ȳ i /η i : i B η i > } min{} [cambio di base duale degenere h min{ i B : η i > θ ȳi /η i } min{} [ [ [ [ it. ) B {}: A B A B / / / / x / / / / ȳ B [ [ / / / / A N x it. ) B {}: A B [ 8/ / η B [ [ / / / / [ [ A B ȳ B [ [ / / / / A N x [ [ 8/ / [ ȳ N ȳ [ / 8/ / b N k min{} [ / θ min{} h min{} / / / / [ x / / / / [ [ [ / ȳ N ȳ [ / b N STOP: x e ȳ sono ottime.

5 o Appello 7// ) Il Comune di Pisa decide di aprire alcuni presidi per l assistenza ad anziani per far fronte alla crescente richiesta. Individua pertanto un insieme J di siti candidati per la costruzionedi tali presidi e stima pari a c j il costoda sostenere per costruire un presidio nel sito j j J. Individua inoltre l insieme dei quartieri I che necessitano del servizio di assistenza ad anziani e in particolare stima pari ad a i il numero di anziani del quartiere i che necessitano del servizio i I. Gli assessori preposti al servizio valutano che minuti sia il tempo di viaggio adeguato per il servizio; in altri termini il tempo che un anziano dovrebbe impiegare per recarsi dal proprio quartiere ad un presidio ove ricevere assistenza non dovrebbe eccedere minuti. Il Comune di Pisa ha però un budget limitato pari a B: decide quindi di costruire presidi compatibilmente con il budget disponibile in modo da massimizzare il numero di anziani che riusciranno a recarsi presso un presidio di assistenza entro tale limite temporale ovvero entro minuti. Per garantire un servizio accettabile per tutti si stabilisce inoltre che ogni anziano debba comunque potersi recare presso almeno uno dei presidi aperti entro minuti. Dati i sottoinsiemi D (i) e D (i) che specificano per ogni quartiere i i siti in J la cui distanza temporale da i è minuti e minuti rispettivamente si formuli in termini di PLI il problema di decidere in quali siti di J costruire i presidi rispettando il vincolo di budget e garantendo che ogni anziano possa recarsi presso almeno uno dei presidi aperti entro minuti con l obiettivo di massimizzare il numero di anziani che riusciranno a recarsi presso un presidio entro minuti. Per descrivere il problema introduciamo le variabili binarie { se viene aperto un presidio nel sito j y j altrimenti j J. Introduciamo inoltre le variabili binarie { se il quartiere i ha una distanza temporale min da almeno un presidio z i altrimenti i I. Utilizzando tali variabili il problema del Comune di Pisa può essere formulato mediante il seguente modello PLI: max i I a iz i j J c jy j B j D y (i) j i I j D y (i) j z i i I y j {} j J z i {} Il primo è il vincolo di budget che impone che il costo totale di costruzione dei presidi non ecceda il budget disponibile B. Il secondo blocco è costituito da classici vincoli di copertura: per ogni quartiere i si impone che almeno uno dei presidi aperti disti da i non più di minuti. Tali vincoli quindi garantiscono che ogni anziano possa recarsi presso almeno uno dei presidi aperti entro minuti. Il terzo blocco di vincoli è costituito da vincoli di copertura e vincoli logici. Per ogni quartiere i se nessun presidio è raggiungibile da i entro minuti allora j D (i) y j e ciò forza la variabile z i a. Se invece almeno un presidio è raggiungibile da i entro minuti allora j D (i) y j è un intero. In questo caso z i può assumere sia il valore che il valore. A livello di soluzione ottima tuttavia poichè la funzione obiettivo da massimizzare è i I a iz i in tale secondo caso z i assumerà correttamente il valore segnalando che il quartiere i ha una distanza temporale min da almeno un presidio e conteggiando gli anziani del quartiere i nel gruppo di anziani che riescono a recarsi presso un presidio nel tempo ritenuto più adeguato ovvero entro minuti. i I

6 o Appello 7// ) Con riferimento al problema di flusso di costo minimo si forniscano le definizioni di pseudoflusso flusso ammissibile e pseudoflusso minimale. Si indichi poi se quello mostrato in figura relativamente all istanza data è oppure no uno pseudoflusso un flusso ammissibile o uno pseudoflusso minimale giustificando le risposte. - () (88) () (9) () () (788) 8 i (c ij u ij x ij ) b i i j Dato un grafo orientato G (NA) un vettore di capacità degli archi u [u ij (ij) A ed un vettore di deficit dei nodi b [b i i N uno pseudoflusso è un vettore x [x ij (ij) A che rispetta i vincoli di capacità e di non-negatività ossia x ij u ij (ij) A mentre un flusso ammissibile è uno pseudoflusso che rispetta anche i vincoli di conservazione del flusso ossia x ji x ij b i i N (ji) BS(i) (ij) F S(i) dove BS(i) e FS(i) sono rispettivamente la stella entrante e la stella uscente di i N. Infine è minimale uno pseudoflusso che ha costo minimo tra tutti gli pseudoflussi con lo stesso vettore di sbilanciamento e x (i) x ji x ij b i i N. (ji) BS(i) (ij) F S(i) Il vettore x in figura è uno pseudoflusso in quanto sono rispettati i vincoli di capacità: x u 8 x u x u x u x u 8 x 8 u x u mentre non è un flusso ammissibile in quanto i vincoli di conservazione del flusso relativi ai nodi e sono violati; ad esempio per il nodo si ha x +x x x + b. Infine lo pseudoflusso x non è minimale; ciò si deduce facilmente dalla caratterizzazione alternativa derivante dal teorema di decomposizione degli pseudoflussi secondo la quale uno pseudoflusso x è minimale se e solo se non esistono cicli aumentanti di costo negativo rispetto ad x. In questo caso il ciclo C {} con il verso tale che C + {()()} e C {()} ha costo c +c c + 7 e capacità θ(c) min{ 8} > : pertanto C è un ciclo aumentante rispetto ad x di costo negativo e quindi x non è minimale.