RICERCA OPERATIVA (a.a. 2012/13) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello 9/9/ RICERCA OPERATIVA (a.a. /) Nome: Cognome: Matricola: ) Si individui un albero dei cammini minimi di radice sul grafo in figura 6-7 utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della complessità computazionale in tempo, giustificando la scelta effettuata. Per ogni iterazione si forniscano il nodo selezionato u, i vettori dei predecessori e delle etichette, e l insieme dei nodi candidati Q, esaminando gli archi della stella uscente di u per ordine crescente dei rispettivi nodi testa. Al termine si disegni l albero dei cammini minimi individuato. Tale soluzione è l unico albero dei cammini minimi di radice? Giustificare la risposta. Il grafo contiene cicli (ad esempio (,6,)) ed è presente un arco di costo negativo, ovvero (,): pertanto, l algoritmo più conveniente dal punto di vista della complessità computazionale in tempo, tra quelli studiati, è l algoritmo SPT.L in cui Q è implementato come una coda, che ha complessità in tempo O(nm). M = (n )c max + = 6 + =. it. u p[] p[] p[] p[] p[] p[6] p[7] d[] d[] d[] d[] d[] d[6] d[7] Q nil () nil (,, ) nil 6 (,, 7) nil 6 (, 7,, 6) nil 6 (7,, 6) 7 nil 6 (, 6) 6 nil (6, 7) 7 6 nil 6 (7, ) 8 7 nil 6 () 9 nil 6 { } L albero trovato è mostrato in figura: 6-7 Per studiare l eventuale unicità di tale albero, verifichiamo se esistono archi non appartenenti all albero che soddisfino le condizioni di Bellman in forma di uguaglianza. L unico arco per cui vale tale proprietà è (,), in quanto d()+ = d() =. Tuttavia, l aggiunta di (, ) all albero individuato, e la rimozione dell arco dell albero entrante nel nodo, ovvero di (, ), determinerebbero una struttura non connessa e ciclica, che quindi non è un albero: segue che l albero individuato è l unico albero dei cammini minimi di radice.

2 o Appello 9/9/ ) Si risolva il problema di flusso di costo minimo relativamente all istanza in figura utilizzando l algoritmo di cancellazione dei cicli a partire dal flusso indicato di costo cx =. Per ogni iterazione si mostri il ciclo individuato con il suo verso, costo e capacità e la soluzione ottenuta dopo l applicazione dell operazione di composizione, con il suo costo. Al termine si dimostri che la soluzione ottenuta è ottima, e si discuta la sua unicità. b i i c ij, u ij, x ij b j -,, j -,,,,, 9, -, 6,,,,,,, L algoritmo esegue tre iterazioni, illustrate dalle prime tre figure(in alto, da sinistra a destra): in ogni figura è mostrato il ciclo C utilizzato (archi evidenziati) col il suo verso (freccia tratteggiata) e la sua capacità θ, nonché il flusso x al termine dell iterazione, ossia dopo l applicazione dell operazione di composizione con C, con il relativo costo cx. La figura in basso mostra il grafo residuo dell ultima soluzione ed il corrispondente albero dei cammini minimi (archi evidenziati) con insieme di radici N, come dimostrano le etichette ai nodi che soddisfano le condizioni di Bellman. L esistenza di un albero dei cammini minimi dimostra che non esistono cicli orientati di costo negativo nel grafo residuo, e quindi che non esistono cicli aumentanti di costo negativo rispetto ad x, e quindi che il flusso è ottimo. Si può però notare che esistono archi sul grafo residuo che rispettano le condizioni di Bellman all uguaglianza pur non appartenendo all albero dei cammini minimi; in questo caso, entrambi gli archi (, ) e (, ). Ciò è condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché esista un ciclo aumentante di costo nullo; infatti è facile verificare che tale è (,, ). È pertanto possibile inviare quantità di flusso opportunamente piccole lungo il ciclo (in questo caso in ciascuna delle due direzioni possibili, come evidenziato dal fatto che tutti gli archi coinvolti nel ciclo sono non saturi e non vuoti, ossia esistono con entrambi gli orientamenti nel grafo residuo), ottenndo altre soluzioni ammissibili con lo stesso costo; quindi la soluzione ottima determinata non è unica. θ =, c(c) = -, cx = 9 θ =, c(c) = -, cx = θ =, c(c) = -, cx =

3 o Appello 9/9/ ) Si consideri il seguente problema di PL, P α, in cui α è un parametro reale: max x + x x + x x x + x x + x α x si determini per quali valori di α la soluzione x = [,] è ottima per il problema, discutendone l unicità, e per quali valori di α il problema duale associato a P α è illimitato. Giustificare le risposte. Considerando la coppia asimmetrica di problemi duali (P)max{ cx : Ax b} (D)min{ yb ya = c,y } il teorema forte della dualità ed il teorema degli scarti complementari garantiscono la seguente caratterizzazione dell ottimalità primale: Proposizione. Sia x una soluzione ammissibile per (P): allora, x è ottima se e solo se esiste una soluzione ȳ ammissibile per (D) complementare a x, ovvero tale che x e ȳ verifichino le condizioni degli scarti complementari ȳ(b A x) = Per l ammissibilità delle soluzioni x e ȳ, le condizioni degli scarti complementari sono equivalenti al sistema di equazioni Il duale D α associato a P α è ȳ i (b i A i x) = i =,...,m. min y + αy + y y y + y + y = y y + y + y = y, y, y, y, y È immediato verificare che la soluzione x = [,] è ammissibile per P α se e solo se α ; l insieme degli indici dei vincoli attivi in x è I( x) = { i {,...,m} : A i x = b i } = {,} per α >, mentre è I( x) = {,,} per α =. Consideriamo il caso α > : una soluzione duale ȳ tale che ȳa = c e che formi con x una coppia di soluzioni complementari deve quindi soddisfare il sistema di equazioni y =, y +y =, y = y = y = che ammette come unica soluzione ȳ = [,,/,,]; poiché ȳ è ammissibile, per fissato α > si ha che x = [,] è soluzione ottima di P α e ȳ è l unica soluzione ottima di D α. Poiché ȳ è ammissibile anche per α =, x è ottima anche in quel caso. Per studiare l unicità applichiamo nuovamente il teorema degli scarti complementari: qualsiasi soluzione ottima per il primale deve rispettare le condizioni degli scarti complementari con qualsiasi soluzione ottima del duale, e quindi in particolare con ȳ. Questo significa che il vincolo deve essere rispettato come uguaglianza, ossia che deve valere x = x. Intersecando questo vincolo con l ammissibilità di P α si ottengono le disuguaglianze x, x, x α, x da cui segue in particolare che x α/. Pertanto, x è l unica soluzione ottima per α =, mentre per α > non vi è unicità. Osservando infine che la regione ammissibile del problema duale D α è non vuota per ogni valore di α, si ha che D α è illimitato se e solo se la regione ammissibile di P α è vuota. Sommando le disuguaglianze relative ai vincoli e e considerando il vincolo otteniamo le relazioni x α da cui segue che per α < la regione ammissibile di P α è vuota, e quindi D α è illimitato.

4 o Appello 9/9/ ) Si risolva graficamente il problema di PL indicato in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {,} (si noti che c // A ). Per ogni iterazione si indichino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l indice entrante k, i segni delle componenti dei vettori ȳ B e η B, l indice uscente h, giustificando le risposte. Si discuta inoltre la degenerazione, sia primale che duale, delle basi visitate dall algoritmo. x x A A A x x A c A it. ) B = {,}. La soluzione primale di base x viola i vincoli e, pertanto k = per la regola anticiclo di Bland. ȳ > e ȳ > in quanto c è interno al cono generato da A e A ; la base è pertanto duale non degenere, ma è primale degenere in quanto I(x ) = {,,} B. Poiché A cono(a,a ), come mostrato in figura (a), risultano η >, η > ; ma poiché la base {,} è ammissibile mentre la base {,} non lo è, come è immediato verificare ancora dalla figura (a), deve necessariamente risultare h =, ossia si avrà ȳ /η < ȳ /η, come è possibile verificare anche con opportune considerazioni geometriche. it. ) B = {,}. La soluzione primale di base x viola il solo vincolo, pertanto k =. ȳ > e ȳ > in quanto c è interno al cono generato da A e A ; la base è pertanto duale non degenere, ed anche primale non degenere in quanto I(x ) = {,}. Poiché A cono(a,a ), come mostrato in figura (b), risultano η >, η > ; ma essendo c // A si ha anche ȳ /η = ȳ /η, e pertanto h = per la regola anticiclo di Bland. it. ): B = {,}. La soluzione primale di base x viola il vincolo, pertanto k =. Poiché c // A si ha ȳ = e ȳ > ; la base è pertanto duale degenere, ed è anche primale degenere in quanto I(x ) = {,,}. Poiché A cono(a, A ), come mostrato in figura (b), risultano η >, η < ; pertanto h =. it. ): B = {,}. La soluzione primale di base x non viola alcun vincolo, ed è quindi una soluzione ottima del primale: l algoritmo termina. Poiché c // A si ha ȳ > e ȳ = ; la base è pertanto duale degenere, ma è primale non degenere in quanto I(x ) = {,}. A A A A A c c A c A -A A (a) A (b) (c)

5 o Appello 9/9/ ) Si riformuli il seguente problema di ottimizzazione min max{x x +x, x +x x } x {,,7} x {,} x = = x [,8] x = = x = in termini di Programmazione Lineare Intera PLI; si giustifichi la correttezza della (ri)formulazione proposta. Il modello matematico proposto non è un modello PLI in quanto: la funzione obiettivo non è lineare, bensì è definita come il massimo di due funzioni lineari; la variabile x assume un insieme discreto di valori che non sono interi successivi; sono presenti implicazioni logiche che legano la variabile x alla variabile binaria x ; il dominio di x è disconnesso: il singolo valore oppure l intervallo [,8]. Il modello può comunque essere (ri)formulato in termini di PLI nel modo seguente: min z z x x +x z x +x x x = y +y +7y y +y +y = y, y, y {,} x {,} x x 8x Infatti, la variabile di soglia z permette di stimare per eccesso il massimo tra i valori restituiti dalle funzioni lineari x x +x e x +x x : minimizzando z, il solutore attribuirà pertanto alle variabili (ed in particolare quindi a x, x ex ) queivalori(ammissibili) cheminimizzanoil massimovalorerestituitodalle due funzionilineari. Le variabili binarie ausiliarie y,y e y permettono di formulare la variabile a valori discreti x semplicemente scegliendo quale dei tre valori ammissibili essa debba avere. Infine, l ultimo vincolo ha una doppia funzione: se x = allora garantisce che la variabile x sia forzata ad assumere il valore zero, mentre se x = allora garantisce che la variabile x possa assumere valori nell intervallo [, 8] (tecnica standard per definire una minima quantità positiva prefissata). Quindi l ultimo vincolo implementa sia il legame logico tra la variabile binaria x e quella continua x che il particolare dominio disconnesso di quest ultima, per via del quale viene detta variabile semicontinua.

6 o Appello 9/9/ 6 6) Si risolva la seguente istanza di TSP - - mediante un algoritmo di B&B che usa MST come rilassamento e nessuna euristica. Si effettui il branching come segue: selezionato un vertice i col più piccolo valore r > di lati dell MST in esso incidenti, crea r(r )/ figli corrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile corrispondente a r di tali lati. Si visiti l albero delle decisioni a ventaglio, e si inseriscano in coda i figli di un nodo dell albero delle decisioni in ordine lessicografico crescente dell insieme di lati la cui variabile è fissata a zero (nel caso r =, in ordine crescente del vertice j del lato {i,j} fissato a zero, dove i è il vertice con grado ). Per ogni nodo dell albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento con la corrispondente valutazione inferiore; si indichi poi se, e come, viene effettuato branching o se il nodo viene chiuso e perché. Si esplorino solamente i primi due livelli dell albero delle decisioni (la radice conta come un livello); se ciò non è sufficiente a risolvere il problema, si indichi il gap relativo ottenuto, giustificando la risposta. Indichiamo con z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo e con z la migliore delle valutazioni superiori determinate. Inizializzazione: La coda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radice dell albero delle decisioni, corrispondente a non aver fissato alcuna variabile; inoltre, si pone z = +. Nodo radice Il corrispondente MST, con z =, è mostrato in (a). Poichè non è un ciclo Hamiltoniano, non si è determinata alcuna soluzione ammissibile ed occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il vertice (che ha tre lati incidenti) e creare tre figli, in ciascuno dei quali si fissa a zero la variabile corrispondente a uno di tali lati; per la strategia di visita stabilita, si inseriscono in Q nell ordine {,}, {,} e {,}. x = Il corrispondente MST, con z =, è mostrato in (b). Poichè è un ciclo Hamiltoniano, si pone z =. Inoltre il nodo viene chiuso per ottimalità. x = Il corrispondente MST, con z =, è mostrato in (c). Poichè z < z =, occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il vertice (che ha tre lati incidenti), e creare tre figli fissando a zero, rispettivamente, la variabile relativa ai lati {,}, {,} e {,}. x = Il corrispondente MST, con z =, è mostrato in (d). Poichè z > z, il nodo viene potato dalla valutazione inferiore. Poiché Q non è vuota, l algoritmo viene interrotto anticipatamente. L analisi dell algoritmo B&B assicura che min { z, min { z(p ) : P Q } } è una valutazione inferiore globale corretta, dove Q è l insieme dei predecessori immediati dei nodi in Q. In questo caso Q contiene il nodo x =, che ha z =, e pertanto la valutazione inferiore globale è. Poiché z =, il gap relativo quando l algoritmo viene interrotto è limitato superiormente da ( )/ = %. (a) - - (b) - - (c) - - (d) -