RICERCA OPERATIVA (a.a. 2017/18) Nome: Cognome: Matricola:

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1 Quinto appello 8//8 RICERCA OPERATIVA (a.a. 7/8) Nome: Cognome: Matriola: ) Si risolva il seguente problema di PL max x x x x x x x x x appliando l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebria, a partire dalla base B = {, }. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie usente, la direzione di resita, il passo di spostamento e l indie entrante. In aso di ottimo finito: i) si disuta se la soluzione ottima primale individuata sia unia; ii) si determini l insieme di tutte le soluzioni ottime del problema duale. Giustifiare le risposte. it.) B = {, }, A B = [, A B = ȳ B = A B = [ [ ξ = A B u B(h) = it.) B = {, }, A B = [, x = A B b B = =, = [, ȳ N =, ȳ = [, h = min{i B : ȳ i < } =, B(h) =, [, A N ξ = =, J = {i N : A i ξ > } = {,, }, λ i = (b i A i x)/a i ξ, λ =, λ =, λ =, λ = min{λi : i J} =, [ k = min{i J : λ i = λ} = [ambio di base degenere, A B =, x = = ȳ B = [ = [, ȳ N =, ȳ = [, h =, B(h) =, [ [ ξ =, A N ξ = =, it.) B = {, }, A B = J = {, }, λ = λ = λ =, k = min{, } = [regola antiilo di Bland [, A B =, x = = ȳ B = [ = [, ȳ N =, ȳ = [, h =, B(h) =, [ [ ξ =, A N ξ = =, it.) B = {, }, A B = [ J = {}, λ = λ =, k = [ambio di base degenere, A B = ȳ B = [,, x = =, = [, ȳ N =, ȳ = [, STOP. Poihé ȳ B, la soluzione x = [, è ottima per il problema dato, mentre ȳ = [,,,, è una soluzione ottima per il suo problema duale. L esito è quindi ottimo finito. i) Essendo la soluzione ottima duale individuata non degenere, segue he x = [, è l unia soluzione ottima del problema primale. ii) Le soluzioni ottime del problema duale sono tutte e sole le soluzioni, ammissibili per il duale, he soddisfano le ondizioni degli sarti omplementari on x = [,. È immediato verifiare he l insieme degli indii dei vinoli attivi per x = [, è I( x) = {,, }.,

2 Quinto appello 8//8 Di onseguenza una soluzione duale y, tale he ya =, he formi on x una oppia di soluzioni omplementari deve soddisfare la ondizione y = y =. Affinhé y sia ammissibile per (D), essa deve inoltre soddisfare il sistema di equazioni: y y = y y = y, y, y Tale sistema ammette infinite soluzioni della forma ( α, α, + α), per α. Pertanto, le soluzioni ottime del problema duale sono tutte e sole le soluzioni aventi forma y(α) = (,, α, α, + α), per α.

3 Quinto appello 8//8 ) Si risolva geometriamente, per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale, il problema di PL in figura a partire dalla base B = {, }. Si noti he è ollineare ad A e perpendiolare ad A ; inoltre, A e A sono ollineari, ome pure A e A. Per ogni iterazione si fornisano la base, la soluzione di base primale e la direzione di spostamento (riportandoli direttamente sulla figura), il segno delle variabili duali in base, e gli indii usente ed entrante, giustifiando le risposte. Al termine, se il problema ammette ottimo finito: i) si disuta l uniità della soluzione ottima primale determinata; ii) si indihi se la soluzione ottima primale determinata resterebbe ottima nello senario = A, e si disuta la sua eventuale uniità. Giustifiare le risposte. A A ξ ξ x = x A A x x ξ A A it. ) B = {, }. y < e y < poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in a). Quindi h = per la regola antiilo di Bland. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza del vinolo, quindi k =. it. ) B = {, }, y < e y > poihé appartiene al ono generato da A ed A, ome mostrato in b). Quindi h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza dei vinoli e. Quindi k = per la regola antiilo di Bland. it. ) B = {, }, y < e y > poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in ). Quindi h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza del vinolo, attivo ma non in base. Quindi k = e si esegue un ambio di base degenere. it. ) B = {, }, y = e y > poihé è ollineare ad A, ome mostrato in d). La base è quindi sia primale he duale ammissibile, e l algoritmo termina avendo determinato una soluzione ottima per entrambi i problemi. a) b) ) d) A -A A -A -A A A -A A A A A i) Per disutere l uniità della soluzione ottima primale determinata possiamo utilizzare il teorema degli sarti omplementari. Poihé la base ottima individuata è duale degenere (y = ), la soluzione ottima primale potrebbe non essere unia. In effetti, tutti i punti del lato del poliedro individuato dal vinolo, avente x ome estremo, sono soluzioni primali ottime alternative, avendo lo stesso valore della funzione obiettivo di x (essendo ollineare ad A ). ii) Se = A, la soluzione ottima primale x ontinuerebbe a restare ottima. Infatti, {, }, {, } e {, } sarebbero tutte basi ottime. Nel aso = A, tuttavia, x sarebbe l unia soluzione ottima primale, ome è immediato verifiare per via geometria.

4 Quinto appello 8//8 ) Si individui un albero dei ammini minimi di radie 8 sul grafo in figura, utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della omplessità omputazionale e giustifiando la selta effettuata. Per ogni iterazione si fornisano il nodo selezionato, i vettori dei predeessori e delle etihette e l insieme dei nodi andidati Q (se utilizzato). Al termine si disegni l albero dei ammini minimi individuato e se ne disuta l uniità Rinumerando i nodi ome segue originale rinumerato si dimostra he il grafo è ailio: infatti per ogni aro (i, j) del grafo rinumerato risulta i < j. L algoritmo più onveniente dal punto di vista omputazionale risulta quindi essere SPT.Ayli, he ha omplessità in tempo O(m) (anhe in presenza di arhi di osto negativo). Nello svolgimento si utilizzano i nomi dei nodi dopo la rinumerazione, e si riporta solamente il numero del nodo selezionato. Inoltre, non vengono riportate informazioni relative all insieme Q in quanto non utilizzato dall algoritmo. Poihé la radie 8 è rinumerata ome nodo, l algoritmo inizia a iterare da u =. Il nodo non è quindi raggiungibile dalla radie. M = (n ) max{ ij : (i, j) A} + = = 7. p[ d[ u nil nil nil nil nil nil nil nil Di seguito si riporta l albero dei ammini minimi individuato (di radie, sul grafo rinumerato). Tale albero è l unia soluzione ottima del problema. Infatti, tutti gli arhi non appartenenti all albero rispettano le ondizioni di Bellman ome stretta disuguaglianza

5 Quinto appello 8//8 ) Si individui un flusso massimo dal nodo al nodo sulla rete in figura utilizzando l algoritmo di Edmonds e Karp a partire dal flusso indiato, di valore v =. Nella visita degli arhi di una stella usente si utilizzi l ordinamento resente dei rispettivi nodi testa (ad esempio, (,) è visitato prima di (,)). Ad ogni iterazione si fornisa l albero della visita, il ammino aumentante individuato on la relativa apaità, e il flusso ottenuto on il relativo valore. Al termine, si indihi il taglio (N s, N t ) restituito dall algoritmo e la sua apaità, giustifiando la risposta. Si disuta infine quali sarebbero il valore del flusso massimo e il taglio di apaità minima restituito dall algoritmo qualora la apaità dell aro (, ) fosse u =.,,,,,,,,,,, i u ij, x ij j Le iterazioni sono rappresentate di seguito, dall alto in basso. Per ogni iterazione, a sinistra è mostrato l albero della visita e il ammino aumentante P individuato (arhi evidenziati); a destra viene invee indiato il flusso ottenuto in seguito all invio, lungo P, di una quantità di flusso pari alla apaità θ(p, x), on il relativo valore v. Al termine è riportato il taglio (N s, N t ) = ({}, {,,,, }) determinato dall algoritmo. Il taglio è di apaità minima: infatti u(n s, N t ) = u + u = + = = v. it. ) θ(p, x) = v= it. ) θ(p, x) = v= 8 it. ) θ(p, x) = v= 8 it. ) θ(p, x) = v= it. ) Se la apaità dell aro (, ) fosse u =, nel orso della quarta iterazione sarebbe possibile inviare unità di flusso dal nodo al nodo lungo il ammino aumentante (,,, ). Il valore del flusso massimo sarebbe quindi v = 7. (N s, N t ) = ({}, {,,,, }) ontinuerebbe ad essere un taglio di apaità minima, in quanto si avrebbe u(n s, N t ) = u + u = + = 7 = v

6 Quinto appello 8//8 ) Si onsideri il seguente problema di PL: Supponiamo he il sistema (P ) max{ x : Ax b, x }. (S) Aξ ξ ξ > ammetta una soluzione ξ R n. Dimostrare he se (P ) è non vuoto, allora è superiormente illimitato. Sia x una qualsiasi soluzione ammissibile per (P ) e onsideriamo x(λ) := x + λ ξ. ammissibile per (P ) per ogni λ ; infatti: Tale soluzione risulta essere e Ax(λ) = A x + λa ξ A x b x(λ) = x + λ ξ x dove le prime disuguaglianze di entrambe le espressioni seguono dal fatto he ξ risolve (S) e λ, mentre le seonde dall ammissibilità di x. Inoltre, il valore della funzione obiettivo rese indefinitamente al resere di λ: in quanto ξ >. x(λ) = x + λ ξ + per λ + ξ è quindi una direzione ammissibile di resita illimitata per (P ), he pertanto è superiormente illimitato.

7 Quinto appello 8//8 7 ) Si applihi alla seguente istanza del problema dello zaino max 8x +x +7x +x +x +x x +x +x +x +x +x x, x, x, x, x, x {, } l algoritmo Branh&Bound he utilizza il rilassamento ontinuo per determinare la valutazione superiore, l euristia Greedy CUD per determinare la valutazione inferiore, esegue il branhing sulla variabile frazionaria, visita l albero di enumerazione in modo breadth-first e, tra i figli di uno stesso nodo, visita per primo quello in ui la variabile frazionaria è fissata a. Per ogni nodo dell albero si riportino le soluzioni ottenute dal rilassamento e dall euristia (se vengono eseguiti) on le orrispondenti valutazioni superiore ed inferiore. Si indihi inoltre se viene effettuato il branhing, e ome, o se il nodo viene hiuso e perhé. Si disuta infine se la soluzione ottima determinata resterebbe ottima anhe nel aso di apaità dello zaino pari a, giustifiando la risposta. Indihiamo on x la soluzione ottenuta dal rilassamento e on x quella ottenuta dall euristia. Indihiamo inoltre on z la valutazione superiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z = x ), on z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z = x) e on z la migliore delle valutazioni inferiori determinate. Le variabili non sono ordinate per Costo Unitario Deresente (CUD). L ordine CUD è: x, x, x, x, x, x. Inizializzazione La oda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radie dell albero delle deisioni, orrispondente a non aver fissato aluna variabile; inoltre, si pone z =. Nodo radie x = [,,,,, /, z =, x = [,,,,,, z =. Poihé z > z =, si aggiorna z =. Siome z > z, si esegue il branhing sulla variabile frazionaria x. x = x = [,,, /,,, z = + /, x = [,,,,,, z =. Poihé z = < z =, z non ambia. Si osservi inoltre he, essendo tutti i parametri interi, la valutazione superiore z può essere arrotondata per difetto al valore. Pertanto, poihé z = = z, il nodo viene hiuso dalla valutazione superiore. x = x = [,,,, /,, z = + /, x = [,,,,,, z =. Poihé z = = z, z non ambia. Anhe in questo aso inoltre, essendo tutti i parametri interi, la valutazione superiore z può essere arrotondata per difetto al valore. Pertanto, poihé z = = z, il nodo viene hiuso per ottimalità (ome pure dalla valutazione superiore). Poihé Q è vuota, l algoritmo Branh&Bound termina, restituendo la soluzione ottima [,,,,,, di osto. Tale soluzione è ammissibile anhe nel aso in ui la apaità dello zaino sia. Si osservi inoltre he il problema di zaino risolto mediante l algoritmo Branh&Bound è un rilassamento del problema di zaino on apaità pari a. Di onseguenza, poihé la soluzione ottima di tale rilassamento è ammissibile per il problema on apaità, e la funzione obiettivo è invariata, segue he la soluzione [,,,,, è ottima anhe per lo senario on apaità.