RICERCA OPERATIVA (a.a. 2018/19)

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1 1 RICERC OPERTIV (a.a. 2018/19) 1) Fornire le definizioni di soluzione di base primale, ammissibile e non ammissibile, degenere e non degenere, e di soluzione di base duale, ammissibile e non ammissibile, degenere e non degenere. Si onsideri il seguente problema di PL: max x 3 x 1 + x 2 + x 3 1 x 1 + x 3 2 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 0 x 2 0 x 3 0 Fornire una soluzione di base primale degenere e non ammissibile ed una soluzione di base duale degenere e non ammissibile. Giustifiare la risposta appliando le definizioni date sopra. 2) Si onsideri il seguente problema di PL: max x 1 + x 2 x 1 + (a) Si indihino basi he siano rispettivamente: (i) primale ammissibile e non degenere (ii) primale non ammissibile e degenere (iii) duale ammissibile e degenere (iv) duale ammissibile e non degenere. 3) Fornire le definizioni di soluzione di base primale, ammissibile e non ammissibile, degenere e non degenere, e di soluzione di base duale, ammissibile e non ammissibile, degenere e non degenere. Si onsideri il seguente problema di PL: max x 1 2x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 3 x 1 + x 3 2 x 1 1 x 2 1 x 3 2 Fornire una soluzione di base primale ammissibile e degenere ed una soluzione di base duale non ammissibile e degenere. Giustifiare la risposta appliando le definizioni date sopra. 4) Si onsideri il seguente problema di PL: max x 1 x 1 2x 2 2 Utilizzando il Teorema degli sarti omplementari si verifihi se la soluzione x = (2, 2) è ottima per il problema, giustifiando la risposta. In aso affermativo, si determini l insieme delle soluzioni duali ottime. 5) Si onsideri il seguente problema di PL: min 2y 1 + y 2 + 4y 3 + y 4 y 1 + y 2 + y 3 = 1 y 1 y 2 + 2y 3 y 4 = 2 y 1, y 2, y 3, y 4 0 Utilizzando gli sarti omplementari, si verifihi se la soluzione ȳ = (0, 0, 1, 0) sia ottima per il problema. Inoltre, si individui l insieme di tutte le soluzioni ottime del problema duale di quello dato. Giustifiare le risposte.

2 2 6) Si onsideri il seguente problema di PL: min 2y 1 + 6y 2 + 3y 3 + y 4 y 1 + 2y 2 + y 3 + y 4 = 2 y 1 y 2 + y 4 = 1 y 1 + y 2 + y 3 = 1 y 1, y 2, y 3, y 4 0 Utilizzando il Teorema degli sarti omplementari, si verifihi se la soluzione ȳ = (0, 0, 1, 1) è ottima per il problema. Giustifiare la risposta. 7) Si onsideri il seguente problema di PL: max 3x 1 + x 2 x x 1 2 x 1 Utilizzando il Teorema degli sarti omplementari, si verifihi se la soluzione x = (2, 2) è ottima per il problema. In aso affermativo, si individui l insieme delle soluzioni duali ottime. Giustifiare le risposte. 8) Si onsideri il seguente problema di PL, parametrio rispetto al parametro α: max x 1 + 2x 2 + αx 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 2 x 1, x 2, x 3 0 ssumendo α = 1, si determini una soluzione ottima del problema, utilizzando il Teorema degli sarti omplementari. Si indihi quindi per quali valori di α la soluzione trovata resta ottima. Giustifiare le risposte. 9) Si onsideri il seguente problema di PL, in ui γ è un parametro reale: max ( 1 γ)x 1 + ( 1 + 2γ)x 2 x 1 x 2 1 x 2 0 x 1 x 2 1. Si individui l insieme di valori di γ per ui B = {4, 5} è una base ottima per tale problema, giustifiando la risposta. Si onsideri quindi la seguente variante del problema, in ui γ = 0 e α è un ulteriore parametro reale: max x 1 x 2 2α α x 1 x α x 2 0 x 1 x 2 1. Si individui l insieme di valori di α per ui B = {4, 5} è una base ottima per questo seondo problema. 10) Si onsideri il seguente problema di PL: max 2x 1 + x 2 + 4x 3 x 1 + βx 2 + x 3 5 γx 1 x 2 3 αx 1 + x 2 + 2x 3 0 x 1 + αx 2 βx 3 4 Si determinino tutte le terne di valori dei parametri α, β e γ per i quali x = (1, 1, 0) e ȳ = (0, 1, 2, 0) sono rispettivamente una soluzione ottima del problema e del suo duale. Tra le terne osì individuate si determini per quali di esse il problema duale ammette una soluzione ottima ŷ tale he ŷ 1 > 0. Giustifiare le risposte.

3 3 11) Si onsideri il seguente problema di P.L.: max x 2 2x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 1 x 1 2x 2 1 Si applihi l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebria, a partire dalla base B = {2, 4}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie usente, la direzione di resita, il passo di spostamento e l indie entrante, giustifiando le risposte. 12) Si onsideri il seguente problema di P.L.: max x 1 + 2x 2 x 2 0 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 5 Si applihi l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebria, a partire dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie usente, la direzione di resita, il passo di spostamento e l indie entrante, giustifiando le risposte. 13) Si onsideri il seguente problema di P.L.: max x 2 2x 1 + x 2 6 x 2 0 Si applihi l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebria, a partire dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie usente, la direzione di resita, il passo di spostamento e l indie entrante, giustifiando le risposte. In aso di ottimo finito, si disuta se la soluzione ottima individuata sia unia, giustifiando la risposta. 14) Si risolva geometriamente il problema di PL (di massimizzazione) in figura, mediante l algoritmo del Simplesso Primale, partendo dalla base B = {1, 2}. d ogni iterazione si indihino: la base, la soluzione primale di base, i segni delle variabili duali di base, l indie usente, la direzione di resita individuata e l indie entrante, giustifiando le risposte.

4 4 15) Si risolva geometriamente per mezzo dell algoritmo primale del simplesso il problema di PL di figura. Si usi ome base di partenza B = {1, 4}. Per ogni iterazione si fornisano la base e il segno delle variabili duali. Indiare poi, se e ne sono, quali fra le soluzioni trovate sono degeneri. x x 1 16) Si risolva geometriamente per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale il problema di P.L. in figura, partendo dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si fornisano la base, il segno delle variabili duali in base e gli indii usente ed entrante, e si riportino sulla figura la soluzione primale e la direzione di spostamento, giustifiando le risposte. = 6 = 7 6 7

5 5 17) Si onsideri il seguente problema di PL: max x 2 x 1 + 2x x 1 0 Si applihi l algoritmo del Simplesso Duale, per via algebria, a partire dalla base B = {1, 2}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie entrante k, il vettore η B, il passo θ e l indie usente h, giustifiando le risposte. 18) Si onsideri il seguente problema di P.L.: 1 x 1 x 2 0 x 1 + x 1 0 Si applihi l algoritmo del Simplesso Duale, per via algebria, a partire dalla base B = {1, 3}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie entrante k, il vettore η B, il passo θ e l indie usente h, giustifiando le risposte. 19) Si onsideri il seguente problema di P.L.: max x 1 + x 2 x 1 + x 2 1 x 1 0 x 1 x 2 1 x 1 + Si applihi l algoritmo del Simplesso Duale, per via algebria, a partire dalla base B = {3, 4}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie usente k, il vettore η B, il passo θ e l indie entrante h, giustifiando le risposte. 20) Si risolva grafiamente il problema di P.L. indiato in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {3, 4}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l indie entrante k, i segni delle omponenti dei vettori y B e η B, l indie usente h, giustifiando le risposte. = 6

6 6 21) Si risolva grafiamente il problema di P.L. indiato in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {3, 4}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l indie entrante k, i segni delle omponenti dei vettori y B e η B, l indie usente h, giustifiando le risposte. = = ) Si risolva grafiamente il problema di PL indiato in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B = {4, 6}. Per ogni iterazione si indihino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l indie entrante k, i segni delle omponenti dei vettori y B e η B, l indie usente h, giustifiando le risposte. Si disuta inoltre la degenerazione, sia primale he duale, delle basi visitate dall algoritmo. = 6 23) Il professore di Riera Operativa ha preparato un eserizio di Programmazione Lineare per il ompito del prossimo 30 Giugno. Purtroppo, ha sbadatamente dimentiato il foglio on il testo e la soluzione dell eserizio nel tashino della amiia, he ha poi lavato in lavatrie. Una volta reuperato ed asiugato il foglio, la maggior parte del testo e della soluzione risulta ompletamente illeggibile. Il professore riese omunque a leggere he una soluzione ottima del problema primale è x = (1, 1, 0) e he una soluzione ottima del problema duale è ȳ = (2, 0, 0, 1) ma non è altrettanto fortunato on la formulazione del problema. Con grande fatia riese soltanto a deifrare i seguenti dati parziali: max 5x 1 x 2 + x 3 + x 2 x x 2 + x 3 0 x 1 + 2x 3 2. Mentre la funzione obiettivo è ompleta, i vinoli individuati sono inompleti ed altri manano ompletamente. Utilizza le tue onosenze di Programmazione Lineare per aiutare il professore a reuperare l eserizio, individuando una formulazione ompleta del problema primale he sia ompatibile on i dati disponibili. Giustifiare la risposta.