Esempi di Problemi di Programmazione Lineare

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1 Esempi di Problemi di Programmazione Lineare Esempio 1: Soluzione con l algoritmo del simplesso dell esempio in forma standard ma = = = = Il problema può essere inizializzato usando le variabili di slack. 6 B = = è la base iniziale (degenere). Il tableau iniziale uscente entrante = 7 2 il Pivot 1 a iterazione: 1 entra in base 5 esce dalla base PL-55

2 Il tableau dopo la 1 a iterazione. nuovo il Pivot entrante valore obiettivo uscente = 9 4 ( = 2, 25) = 21 8( = 2, 62) = 21 2 ( = 10, 5) 2 a iterazione: 2 entra in base 3 esce dalla base Il tableau dopo la 2 a iterazione. base ottima coeff. non negativi valore ottimo obiettivo soluzione ottima Il tableau è ottimo! PL-56

3 Esempio 2: L azienda che produce vernici. ma Z = 3E + 2I E + 2I 6 2E + I 8 E + I 1 I 2 E I Deve essere trasformato in forma standard. ma Z = 3E + 2I E + 2I + s1 = 6 2E + I + s2 = 8 E + I + s3 = 1 I + s4 = 2 E, I, s1, s2, s3, s4 Forma standard: n=6, m=4 Il problema può essere inizializzato usando le variabili di slack. B = s1 s 2 s3 s 4 = La base iniziale PL-57

4 Il tableau iniziale entrante E I s1 s2 s3 s4 z il Pivot s uscente s s s a iterazione: E entra in base s 2 esce dalla base Il tableau dopo la 1 a iterazione. uscente il Pivot entrante s s s z 1 E 3 4 s s s s E I = = = a iterazione: I entra in base s 1 esce dalla base PL-58

5 Il tableau dopo la 2 a iterazione. coeff. non negativi valore ottimo obiettivo base ottima z I E s3 s4 E I s1 s2 s3 s soluzione ottima Il tableau è ottimo! PL-59

6 Esempio 3: Soluzione illimitata. Un problema molto semplice: ma 0 = In forma standard ma 0 = = X La regione di ammissibilità X è aperta Il problema ha n=3, m=1 Adottiamo il punto (1,0) come soluzione di base iniziale. B = [ ] = [ ] N = = 0 3 PL-60

7 Costruendo il tableau iniziale si nota che l obiettivo deve essere espresso in funzione delle variabili fuori base (si deve eliminare 1 ). le variabili in base devono avere coeff. nullo nell obiettivo Il tableau iniziale si ricava eliminando 1 dalla riga dell obiettivo ora anche il valore dell obiettivo è corretto la variabile 3 entra in base senza mai violare il vincolo. La soluzione ottima è all infinito. Aumentando 3 ci si muove lungo l asse 1 (direzione estrema) X... funz. obiettivo PL-61

8 Quante sono le possibili direzioni estreme di un poliedro X? Ad [ B N] d B = 0 BdB NdN d N = 0 + = 0 db = B 1 NdN quindi è possibile fissare arbitrariamente direzione estrema come d N e calcolare una d db = d N = B 1 Nd N e j Una scelta possibile è fissare 0 1 M dn = e j = 1 j esimo e j M 0 n m n m R d = B 1 a j e j dove a j è la j-esima colonna di N. Per ogni matrice B possono essere scelti n-m vettori a j distinti. Quindi il numero massimo di possibili direzioni estreme è n m n m ( ) PL-62

9 Nell esempio l asse di 1 corrisponde a B a d = j = 0 = e j 1 Si può verificare che ( j = 2) 1 Ad = 0 [ ] 0 = 1 1 = 0 ( n = 3, m = 1) 1 La possibilità di avere soluzioni ottime finite è regolata dal seguente teorema 6. Teorema Dato il problema di PL ma c T 0 = A = b siano d j, j=1,...,d le direzioni estreme del poliedro X non vuoto dei vincoli. Condizione necessaria e sufficiente perchè esista soluzione ottima finita è c T d j 0 j = 1,..., D in tal caso l ottimo coincide con un punto estremo di X. PL-63

10 Esempio 4: Inizializzazione con il Two-phases method. min 0 = = , 2 in forma standard ma 0 = = = = 4 1, 2, 3, 4 I Fase (Definizione e soluzione del problema ausiliario) min z = y1 + y2 ma z = y1 y y1 = y2 = = 4 1, 2, 3, 4, y1, y2 PL-64

11 z y1 y y1 y si devono eliminare le var. di base dalla riga dell obiettivo Il tableau iniziale z y1 y y1 y Il tableau finale z y y con questi valori può essere inizializzato il tableau del problema originale PL-65

12 II Fase (Inizializzazione e soluzione del problema originale) si devono eliminare le var. di base dalla riga dell obiettivo Il tableau iniziale del problema originale PL-66