Ricerca Operativa a.a : IV appello

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1 Ricerca Operativa a.a : IV appello (Prof. Fasano Giovanni) Università Ca Foscari Venezia - Sede di via Torino 5 settembre 2016 Regole per l esame: la violazione delle seguenti regole comporta il ritiro dell elaborato e l allontanamento dello studente dall aula È necessario rispondere alle domande e risolvere gli esercizi usando esclusivamente i fogli distribuiti dal docente. Ogni risposta/calcolo deve essere opportunamente motivata/o dallo studente. È necessario scrivere Nome-Cognome-Matricola sul presente foglio e su ciascun foglio contenente le risposte dello studente (i fogli privi di tale informazione saranno cestinati e non considerati per la valutazione). In aggiunta, è necessario indicare (SI/NO) se il voto della Prova Intermedia (20 Novembre 2015) deve essere considerato dal docente. Il tempo complessivo per la prova è di 1h 40 : per gli studenti che hanno superato la Prova Intermedia; 3h 00 : per gli studenti che NON hanno superato la Prova Intermedia. È necessario risolvere gli esercizi e rispondere alle domande, secondo le seguenti modalità: gli studenti che hanno superato la Prova Intermedia devono risolvere/rispondere solo gli/alle esercizi/domande con (***); gli studenti che NON hanno superato la Prova Intermedia devono risolvere/rispondere tutti gli/le esercizi/domande; È vietato parlare durante la prova. È vietato usare durante la prova: testi, appunti, note, dispense, dispositivi cellulari, tablets, palmari, calcolatori/calcolatrici programmabili. Durante la prova non è possibile allontanarsi dall aula. Nome: Cognome: Matricola: Considerare la Prova Intermedia: SI NO

2 Esercizio 1 Un impresa di informatica produce 4 modelli di laptop, con caratteristiche diverse, usando 2 linee di produzione. Ciascun tipo di laptop viene venduto al prezzo (Euro) indicato di seguito laptop laptop laptop laptop Il costo di produzione di ciascun tipo di laptop dipende dalla linea di produzione sulla quale viene prodotto. Il costo di produzione (Euro) è riportato come segue tipo di laptop linea di produzione 1 linea di produzione 2 laptop laptop laptop laptop Usando manodopera particolarmente specializzata, se sulla linea di produzione 1 si producono laptop di tipo 1 o di tipo 4, allora l impresa deve pagare un costo aggiuntivo di Euro. È noto inoltre che: se il numero laptop di tipo 2 prodotto è superiore alle unità, oppure se il numero di laptop di tipo 2 prodotto sulla linea di produzione 1 è superiore alle 5500 unità, allora si rende necessario pagare un costo addizionale per la manutenzione di 8800 Euro; per esigenze di manodopera, sulla linea di produzione 1 si devono produrre almeno 2000 laptop in più rispetto al numero di laptop prodotti sulla linea 2; la produzione di laptop del tipo 4 è incompatibile con la linea di produzione 2. Inoltre, la produzione di laptop di tipo 2 sulla linea di produzione 2 è incompatibile con la produzione di laptop 2 sulla linea di produzione 1; i laptop di tipo 1 e 3 complessivamente prodotti, devono essere in numero non inferiore al 60% del totale dei laptop prodotti. Lo studente formuli un modello di PL/PLI per la massimizzazione dei profitti dalla vendita dei laptop, in base al quale si possano determinare le quantità dei 4 tipi di laptop che vanno prodotte su ciascuna delle 2 linee di produzione.

3 SOLUZIONE: x ij = numero di laptop di tipo i-simo (i = 1, 2, 3, 4) prodotti sulla linea di produzione j-sima (j = 1, 2) y 2j = z 1 = z 2 = max se si producono laptop di tipo 2 sulla linea di produzione j 0 altrimenti, 1 se x 21 + x 22 > oppure se x 21 > altrimenti, 1 se x 11 + x 41 > 0 0 altrimenti, x 1j j=1 x 2j j=1 x 3j j=1 (1200x x 12 ) (1300x x 22 ) j=1 x 4j (1550x x 32 ) (1950x x 42 ) 8800z z 2 4 x i i=1 x 42 = 0; 4 x i2 ; i=1 y 21 x 21 M, M 1; y 22 x 22 M ; y 21 + y 22 1; z 1 x 21 + x ; M z 1 x ; M z 2 x 11 + x 41 M ; j=1 (x 1j + x 3j ) i=1 j=1 x ij ; x ij 0, intera, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2.

4 Esercizio 2 (***) Si risolva il seguente problema di PL con il Metodo del Simplesso. min x 1 4x 2 4x 3 x 4 3x 1 x 2 + x 3 2x 4 = 1 x 1 3x 2 x 4 5 x 0

5 SOLUZIONE: Il problema può essere riportato alla forma canonica, essendo equivalente al problema max x 1 +4x 2 +4x 3 +x 4 3x 1 x 2 +x 3 2x 4 = 1 x 1 3x 2 +x 4 +x 5 = 5 x 0 in cui x 3 ed x 5 sono in base, e tutte le altre variabili sono fuori base. Inoltre è b = Applicando quindi direttamente la Fase II del Metodo del Simplesso si ottiene alla prima iterazione ( ) ( ) Si ha che il vettore dei guadagni ridotti (cambiato di segno) è pari a γ T = ( ) 0, quindi il criterio di arresto non è soddisfatto, così come anche il criterio di illimitatezza. Scegliamo come variabile entrante la x 2 (per la Regola di Bland), come variabile uscente (obbligatoriamente) la x 5, e l elemento di pivot è +3. Il nuovo tableau risulta essere ( ) ( ) +8/ /3 +1/3 +8/3, 1/ /3 +1/3 +5/3 +25/ /3 +8/3 +52/3 inoltre il vettore dei guadagni ridotti (cambiato di segno) risulta pari a γ T = (+25/3 19/3 + 8/3) 0, pertanto il criterio di arresto non è soddisfatto, così come anche il criterio di illimitatezza. Pertanto scegliamo come variabile entrante (obbligatoriamente) la x 4, come variabile uscente (obbligatoriamente) la x 2, e l elemento di pivot è +1/3. Il nuovo tableau risulta essere ( ) ( ) Ora il vettore dei guadagni ridotti (cambiato di segno) risulta pari a γ T = ( ) 0, quindi il criterio di arresto è soddisfatto e ci fermiamo. La soluzione finale risulta x = ( ) T con valore della funzione obiettivo pari a 49.

6 Esercizio 3 Si determini il numero massimo di vertici del seguente poliedro, al variare del parametro k IR. Successivamente, si determinino tali vertici (se esistono). x 1 + x 2 + x 3 5 kx 1 + x 2 kx 3 3 x 3 2

7 SOLUZIONE: Essendo n = 3 (numero variabili) ed m = 3 (numero vincoli), il massimo numero di vertici del poliedro sarà inferiore o al massimo uguale a m! n!(m n)! = 3! 3! = 1. Basterà pertanto considerare solamente il seguente sistema di uguaglianze: x 1 + x 2 + x 3 = 5 kx 1 + x 2 kx 3 = 3 x 3 = 2 che fornisce il punto e per il quale si ha k 1 k P = 2k 1 k 3 5k 1 k 2 = 1 k 0 k 1. Pertanto possiamo concludere che per k 1 il poliedro ammette come vertice il punto P, risultando anche ben posto il calcolo delle coordinate di quest ultimo. Invece, se k = 1, il poliedro non ammette vertici.

8 Esercizio 4 (***) Si risolva il seguente esercizio di Knapsack binario in IR 6, con il metodo del B&B. max 2x 1 + 3x 3 x 4 + x 5 + x 6 x 1 + x 2 + x 3 2x 4 + 3x 5 x x {0, 1} 6. (K 0 )

9 SOLUZIONE: In (K 0 ) possiamo senz altro assegnare facilmente il valore di alcune variabili (i.e. x 4 = 1 y 4, y 4 {0, 1}, in quanto è presente con segno negativo sia nella funzione obiettivo che nel vincolo; x 6 = 1, in quanto ha segno negativo nel vincolo e segno positivo nella funzione obiettivo; x 2 = 0, in quanto ha segno positivo nel vincolo e coefficiente nullo nella funzione obiettivo), ottenendo in particolare il problema equivalente max 2x 1 + 3x 3 + y 4 + x 5 x 1 + x 3 + 2y 4 + 3x 5 5 x 1, x 3, y 4, x 5 {0, 1}. ( K 0 ) Quest ultimo problema ammette la soluzione intera corrente ˆx = 0, con f(ˆx) = 0. Creiamo la lista dei problemi aperti L = {( K 0 )} ed estraiamone l unico problema ( K 0 ). Consideriamo il suo rilassamento lineare, si provvede ora ad ordinare in modo non crescente i rapporti dei coefficienti delle restanti 4 variabili (x 1, x 3, y 4, x 5 ), i.e , e di conseguenza si passa a risolvere (riordinando le variabili) il problema rilassato Essendo h = 3, risulta per la soluzione rilassata di ( K 0 ) max 3x 3 + 2x 1 + y 4 + x 5 x 3 + x 1 + 2y 4 + 3x 5 5, 0 x 1, x 3, y 4, x 5 1. x (0) 3 = 1, x (0) 1 = 1, y (0) 4 = 1, x (0) 5 ( ) 5 = = 1/3, 3 cui corrisponde un valore della funzione obiettivo superiore al valore f(ˆx). Pertanto chiudiamo ( K 0 ), effettuiamo un Branching e dividiamo ( K 0 ) nei 2 sottoproblemi (settando rispettivamente x 5 = 0 e x 5 = 1) max 2x 1 + 3x 3 + y 4 x 1 + x 3 + 2y 4 5 x 1, x 3, y 4 {0, 1}, max 2x 1 + 3x 3 + y x 1 + x 3 + 2y 4 2 x 1, x 3, y 4 {0, 1}, ( K 1 ) ( K 2 ) ed aggiorniamo la lista L = {( K 1 ), ( K 2 )}. Estraiamo il primo problema che ammette la soluzione rilassata (coincidente con una soluzione intera) x (1) = ( ) T con f(x (1) ) = 6. Pertanto chiudiamo ( K 1 ) ed aggiorniamo ˆx = ( ) T, con f(ˆx) = 6. Poi estraiamo da L anche ( K 2 ) che ammette anch esso soluzione rilassata coincidente con una soluzione intera, data da x (2) = ( ) T, con f(x (2) ) = 6. Pertanto chiudiamo anche ( K 2 ) ma senza aggiornare di nuovo l ottimo corrente ˆx. Per la soluzione finale si ha x = ( ) T.

10 Domanda Scritta 1 Date le matrici A IR m n e C IR p n, i vettori b IR m e d IR p, nonchè l insieme A = {x IR n : Ax = b, Cx d} dimostrare esplicitamente (i.e. applicando la definizione di convessità) che l insieme A è convesso. Domanda Scritta 2 (***) Data la funzione f : IR n IR, con f convessa su IR n, si dimostri che tutti i suoi insiemi di livello sono convessi.