Analisi di Post-Ottimalità (Analisi della Sensitività della Soluzione)

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1 Analisi di Post-Ottimalità (Analisi della Sensitività della Soluzione) Dato un problema di programmazione lineare maxc x Ax = b x e data la soluzione ottima x * e la base ottima associata B, determinare con quali condizioni è possibile variare certe caratteristiche del problema lasciando invariata la base ottima. re casi: a) variazione di un coefficiente della funzione obiettivo associato ad una variabile fuori base (c N ); b) variazione di un coefficiente della funzione obiettivo associato ad una variabile in base (c B ); c) variazione del termine noto di un vincolo (b). PO-15

2 Caso a) variazione di un coefficiente della funzione obiettivo associato ad una variabile fuori base. Sia c k, k R, il coefficiente che viene variato. l coefficiente di costo ridotto associato alla k-esima variabile fuori base è positivo poichè la base è ottima rk c = BB ak ck = y * ak ck Allora facendo variare c k varia r k. ck ck r$ k = y * ak ( ck ) Perchè la soluzione corrente resti ottima il nuovo valore del coefficiente deve rimanere positivo (altrimenti la variabile fuori base associata sarebbe candidata ad entrare in base) $ * r y a ( c ) y * k k k δ ak ck δ rk Poichè il problema considerato è una massimizzazione il limite inferiore di variazione per δ è PO-16

3 Caso b) variazione di un coefficiente della funzione obiettivo associato ad una variabile in base. Sia c Bi, i=1,...,m, il coefficiente che viene variato. ale variazione modifica i coefficienti di costo ridotto (positivi poichè la base è ottima) associati alle variabili fuori base k B k k cb i cb i cb cb ei r = c B a c k R dove k B k k i k $r = c B a c e B a dove e i B = ( B ) i è la riga i-esima di B -1 M ei = 1 ( i esimoelemento) M Le condizioni su δ si ottengono imponendo che $ i rk = rk ( B ) ak k PO-17

4 Caso c) variazione del termine noto di un vincolo. Sia b i, i=1,...,m, il termine noto del i-esimo vincolo che viene variato. A causa di tale variazione si modificano i valori delle variabili di base: bi bi B = B ( b ei ) = B b ( B ) i B = xb ( B ) i dove B ei = ( B ) i è la colonna i-esima di B -1 Le condizioni su δ si ottengono imponendo che $ xb = xb ( B ) i PO-18

5 Analisi di post-ottimalità per mezzo del tableau Consideriamo il seguente tableau iniziale ed il corrispondente tableau ottimo: ableau iniziale ableau ottimo var. di base iniziali var. di base finali s xb xn x B N b c B c N s xb xn x B B N B b c B B c B N c c B B b B N { r vettore dei costi ridotti Caso a) Nella riga della funzione obiettivo nel tableau ottimo si trovano i costi ridotti associati alle var. fuori base. Quindi è immediato verificare la condizione variazione di un c k, k R δ r k relativa alla Caso b) La quantità ( B ) i ak corrisponde all elemento y ik del tableau. Quindi le condizioni da verificare r y si costruiscono semplicemente leggendo i valori di r k dalla riga della funzione obiettivo ed i valori y ik nella riga i-esima del tableau in corrispondenza delle variabili fuori base. k ik PO-19

6 Caso c) Ai valori ottimi delle variabili in base (ultima colonna del tableau) si deve aggiungere δ moltiplicato per il coefficiente nella la i-esima colonna di B -1. Se la base iniziale era formata solamente da slack, e tali slack sono uscite tutte dalla base ottima, allora il tableau ottimo contiene la matrice B -1 ; infatti le slack nella base iniziale sono uscite dalla base ottima s xb xn x B N b c B c N s xb xn x B B N B b c B B c B B N c N c B B b L inversa della base è contenuta in quella parte del tableau che inizialmente conteneva la matrice (la base iniziale). n questi casi le condizioni su δ xb ( B ) i possono essere scritte direttamente. PO-11

7 Un esempio (Product Mix, l azienda che produce vernici) l problema in forma standard max x = x + x s. t. x + x + x = 6 E x + x + x = 8 E x + x + x = 1 E x E x, x, x, x, x, x E il corrispondente tableau iniziale xe x x1 x x x4 x x x x x x = 4 il tableau ottimo (con in evidenza l inversa della base B -1 ) x x xe x x4 xe x x1 x x x PO-111

8 Poichè in questo caso i coeff. c k che moltiplicano le var. fuori base sono tutti nulli, e le corrispondenti colonne a k della matrice N sono i vettori e k, i coeff. di costo ridotto nel tableau ottimo forniscono direttamente il valore dell ottimo duale: rk c BB ak ck c = = BB ek = y * * ek = yk * = [ 1 4 ] y Caso b) Variamo i coeff. delle var di base x e x E nizialmente c = c c r1 = 1 + δ δ 1 r 4 1 = δ δ 4 c 6 nizialmente c E = ce ce r r = δ δ 1 = + δ δ 4 1 c E 4 PO-11

9 Caso c) Variamo i coeff. del vettore b. Esistono due possibilità: c.1) aumentare la disponibilità delle risorse scarse (b 1 e b ) c.) diminuire l eccesso di risorse abbondanti (b e b 4 ) c.1) Aumentiamo i coeff. dei vincoli saturi nizialmente b 1 =6 b b 1 1 = 4 + δ δ E = 1 1δ δ 1 = δ δ 4 = δ δ 1 4 b 1 7 nizialmente b =6 b b = 4 1δ δ 4 E = 1 + δ δ 5 = δ 4 = + 1δ δ 6 b 1 PO-11

10 c.) Diminuiamo i coeff. dei vincoli non saturi (immaginando che anch essi rappresentino vincoli su risorse non completamente utilizzate). nizialmente b =1 b b dall unica condizione significativa $x = δ b nizialmente b 4 = b4 b4 $x 4 = δ b4 4 PO-114

11 Caso a) potizziamo, per esercizio, che i coeff. delle slack fuori base (x 1 e x ) nella funzione obiettivo vengano aumentati (questa ipotesi nel caso considerato non è realistica poichè in questo modo si premierebbe il non utilizzo di una risorsa) nizialmente c 1 = c1 c1 direttamente dalla 1 a riga del tableau ottimo $r 1 = r1 δ δ r1 δ 1 nizialmente c = c c direttamente dalla 1 a riga del tableau ottimo $r = r δ δ r δ 4 PO-115