Corso di Matematica Applicata A.A

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1 Corso di Matematica Applicata A.A Programmazione lineare (III parte) Prof.ssa Bice Cavallo

2 Iterazioni del simplesso

3 Basi teoriche dell algoritmo

4 Operazione di pivot Sottomatrice di base B=I Cambiare la base: eliminata dalla base B una di queste colonne, che poniamo sia la p- esima, a p, sostituirla con il vettore colonna q- esimo, a q.

5 Operazione di pivot step 1 STEP 1: Si dividono ambo i membri della equazione p- esima per a pq a pq 0 a p a q

6 Operazione di pivot step 2 STEP 2: Successivamente, occorre portare a zero tutti i restanti elementi della colonna q- esima.

7 Operazione di pivot esempio Soluzione di base: (7, 6, 4, 0, 0, 0) possono essere pivot tutti gli elementi delle colonne 4, 5 e 6, tranne l elemento a 26 che è nullo. Se si decide di cambiare base, sostituendo ad esempio la seconda colonna con la quarta, il pivot è l elemento a 24 = 3.

8 Operazione di pivot step 1 a 2 ' = a 2 a 24 b 2 ' = b 2 a 24 STEP 1: si dividono tutti gli elementi della seconda riga per a 24 = 3 a p ' = a p a pq b p ' = b p a pq

9 Operazione di pivot step 2 STEP 2: Occorre portare a zero tutti i restanti elementi della quarta colonna. q = 4 p = 2 a 1 '' = a 1 a 14 a 2 ' a 3 '' = a 3 a 34 a 2 ' b 1 '' = b 1 a 14 b 2 ' b 3 '' = b 3 a 34 b 2 ' a i '' = a i a iq a p ' b i '' = b i a iq b p ' i p Soluzione di base: (- 1, 0,2,2,0,0)

10 Operazione pivot unico step a p ' = a p a pq b p ' = b p a pq a i '' = a i a iq a p ' b i '' = b i a iq b p ' i p a i '' = a i a iq a p a pq b i '' = b i a iq b p a pq i p a p '' = a p a pq b p '' = b p a pq

11 Il mantenimento dell ammissibilità Se la soluzione di base relativa ad una tabella del simplesso è ammissibile, ciò significa che le componenti del vettore b nella rappresentazione attuale sono non negative. b p '' = b p a pq 0 Si deve scegliere a pq > 0 b i '' = b i a iq b p a pq 0 i p b i a iq b p a pq i p dipende da a iq scelto a pq > 0 (a iq < 0) b i '' > b i (a iq > 0) b i a iq b p a pq

12 Il mantenimento dell ammissibilità

13 Il mantenimento dell ammissibilità se si vuole introdurre in base il quinto vettore colonna e contemporaneamente mantenere l ammissibilità, il pivot non può essere l elemento 1 (il pivot deve essere positivo) e va scelto tra gli altri due elementi, 2 e 5, calcolando i rapporti: 7/2=3.5 4/5=0.8 il pivot è 5.

14 Il mantenimento dell ammissibilità

15 Il mantenimento dell ammissibilità

16 Il mantenimento dell ammissibilità R 1 2R 3 R 2 + R 3

17 Verifica dell ottimalità Il valore assunto dalla funzione oggetto in corrispondenza di una soluzione di base si può ottenere in modo ovvio per sostituzione nella sua espressione dei valori delle componenti della soluzione stessa. Questo però non consente di comprendere se la soluzione ottenuta è ottima oppure se è migliorabile (e neppure se la funzione oggetto è superiormente illimitata). Per avere queste informazioni, il metodo del simplesso prevede che ad ogni iterazione anche la funzione oggetto sia trasformata: in particolare, si fa in modo che essa contenga solo le variabili fuori base e saranno i coefficienti di queste ultime ad indicare se si è giunti o no alla soluzione ottima.

18 Verifica dell ottimalità

19 Verifica dell ottimalità

20 Verifica dell ottimalità

21 Verifica dell ottimalità

22 Verifica dell ottimalità

23 La funzione obiettivo nel simplesso

24 La funzione obiettivo nel simplesso Es. produzione di biciclette max 8 x + 10y + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 10 x + 5 y +s 1 = x + 6 y +s 2 = x + 10 y +s 3 = 160 x, y,s 1,s 2,s 3 0

25 Simplesso per produzione di biciclette R 3 10 R 1 5R 3 R 2 6R 3 R 4 +10R 3 R 2 =13 R 2 5 R 1 8R 2 R R 2 R 4 + 4R 2

26 Esercizio colorificio

27 Esercizio colorificio (forma canonica) max 7 x + 10y x + y 750 x + 2 y 1000 y 400 x, y 0

28 Esercizio colorificio (risolutore)

29 Esercizio colorificio (forma standard) max 7 x + 10y + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 x + y +s 1 = 750 x + 2 y +s 2 = 1000 y +s 3 = 400 x, y,s 1,s 2,s 3 0

30 Esercizio colorificio (step simplesso) R 1 R 3 R 2 2R 3 R 4 +10R 3 R 1 R 2 R 3 R 4 + 7R 2 R 2 + 2R 1 R 3 R 1 R 4 + 4R 1