LA GRAN PARTE DI QUESTI ELEMENTI DOVREBBE ESSERE GIÀ NOTA

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1 I PRESUPPOSTI DELL ALGORITMO DEL SIMPLESSO CONSISTONO IN UN INSIEME DI ELEMENTI TEORICI LEGATI ALLO STUDIO DEGLI INSIEMI CONVESSI ED UN ALTRO INSIEME DI ELEMENTI TEORICI LEGATI ALLO STUDIO DEI SISTEMI DI EQUAZIONI LINERI. LA GRAN PARTE DI QUESTI ELEMENTI DOVREBBE ESSERE GIÀ NOTA

2 INSIEMI CONVESSI Un insieme A in E n si dice convesso se comunque si assegni una coppia di punti x ed y appartenenti ad esso, una qualsiasi combinazione lineare dei due punti appartiene ancora all'insieme. 0 y z x z = y + β(x-y) z = βx+y(-β) (0 β ) Geometricamente: se un insieme è convesso, tutti i punti del segmento congiungente due suoi punti appartengono ancora ad esso. Insiemi convessi Insieme non convesso

3 Per convenzione un insieme costituito da un solo punto è convesso. x y x x x Se A è un insieme convesso, qualsiasi combinazione convessa di m suoi punti individua ancora un punto appartenente ad esso. x ed x appartengono all'insieme A convesso. Il punto y: y = ìx + ( - ì)x (0 ì ) (a) essendo per ipotesi A convesso, appartiene ad A. x sia un altro punto di A. Il punto x: appartiene ad A. x = çx + ( - ç) y (0 ç ) (b)

4 Sostituendo (a)in (b) : Posto: risulta: x = = µ ηx + ( - η) [ µ x + ( µ ) x ] = ( η) x + ( η)( µ ) x + ηx µ ( η) ( η)( µ ) η = β = β = β i i β, β, β 0 e β =. Generalizzando, si può dire che, dato un insieme convesso A ed m punti x i appartenenti ad esso, un punto x definito come: x = m b i= i x i b i i = ; b i 0, ( i =,,...,m) appartiene ad A. [Espressione di x come combinazione convessa di m punti x i appartenenti ad un insieme A].

5 L'intersezione R di insiemi convessi definisce un insieme convesso. A x x R A Se x ed x sono elementi di R allora sono elementi di ciascuno degli m insiemi Ai. Inoltre, poiché A, A,..., A m sono convessi: y = λx + ( -λ)x (0 λ ) appartiene a ciascuno degli insiemi A,..., A m il che equivale a dire che appartiene alla loro intersezione. L'insieme R rispetta, quindi, la condizione di convessità.

6 Un iperpiano è un insieme convesso. E sufficiente mostrare che un iperpiano rispetta la condizione di convessità. x ed x z = c T x. siano due punti appartenenti all'iperpiano x* sia un punto sulla congiungente x, x x* = µ x + ( µ ) x ( 0 µ ) si verifica: c T x* = µc T x + ( - µ)c T x = µz + ( - µ)z = z Dunque x* appartiene all'iperpiano ed è, quindi, soddisfatta la condizione di convessità. In modo del tutto analogo è possibile dimostrare che: un semispazio definito da z c T x o z c T x è un insieme convesso.

7 Si può, in definitiva, affermare che: un'equazione lineare definisce un iperpiano, il quale è un insieme convesso; una disequazione lineare definisce un semispazio ed è anche esso convesso; l'insieme definito da un sistema di equazioni e disequazioni lineari (intersezione di insiemi convessi) è anche esso convesso, ovvero il dominio di definizione di un problema di programmazione lineare è un insieme convesso. Un insieme convesso particolare è il raggio. Esso costituisce l'insieme dei punti x definiti da: dove: x = x 0 + alfa d (d 0; alfa 0) x 0 è detto vertice del raggio; d è detto direzione del raggio.

8 Assegnato un insieme convesso, Un vettore non nullo d è detto direzione dell'insieme qualora, per ogni punto x 0 nell'insieme, il raggio x 0 + alfa d, con alfa 0, appartiene a sua volta all'insieme. Dalla definizione risulta evidente che in un insieme limitato non esistono direzioni che appartengano ad esso. PUNTI ESTREMI E DIREZIONI ESTREME Un punto x di un insieme convesso A viene definito estremo o vertice di esso se non può essere espresso come combinazione convessa di due punti distinti dell'insieme. E' evidente da tale definizione che un vertice deve appartenere alla frontiera dell'insieme, ma non tutti i punti di frontiera sono vertici.

9 A x x x x ed x sono vertici, il punto x, pur appartenendo alla frontiera non è un vertice. Ogni punto di un insieme convesso limitato può essere espresso come combinazione convessa dei vertici. Si dice direzione estrema di un insieme convesso una direzione dell'insieme che non può essere rappresentata come una combinazione positiva di due distinte direzioni dell'insieme. Ogni punto di un insieme convesso non limitato può essere espresso come combinazione convessa dei vertici più una combinazione lineare a coefficienti positivi delle direzioni estreme.

10 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Un sistema di equazioni lineari può essere: inconsistente (cioè non ammette soluzioni) consistente (ne ammette una o infinite) Teorema di Rouche-Capelli - Un sistema di m equazioni lineari in n variabili Ax = b è consistente se e solo se il rango della matrice dei coefficienti aumentata del vettore colonna dei termini noti Ab risulta eguale al rango della matrice dei coefficienti A. Se r(ab) = k = r(a) esistono k colonne linearmente indipendenti di A tali che ciascuna colonna di Ab (ed in particolare la colonna b possa essere espressa come combinazione lineare di esse, il che implica l'esistenza di un vettore x 0 tale che: Ax 0 = b ovvero il sistema ammette almeno una soluzione.

11 Se, invece: r(ab) = k = r(a) + ogni gruppo di k colonne indipendenti in Ab deve necessariamente contenere b la quale, quindi, non può essere espressa come combinazione lineare delle colonne di A, ovvero il sistema Ax = b non ammette soluzioni. Un sistema consistente di equazioni lineari Ax = b di m equazioni in n variabili ammette un'unica soluzione se e solo se r(a) = r(ab) = n. Se per un sistema consistente di equazioni lineari Ax = b di m equazioni in n variabili si verifica: r (A) = r (Ab) = k < n il sistema ammette n-k soluzioni determinate dalla possibilità di assegnare valori arbitrari ad (n-k) variabili (variabili indipendenti) ricavando i valori per le k residue (variabili dipendenti).

12 Qualora alle (n-k) variabili indipendenti venga assegnato il valore zero, la particolare soluzione che ne risulta è detta soluzione di base (o basica). Le k variabili dipendenti sono dette variabili di base; le (n-k) variabili indipendenti sono dette variabili non di base. Se infine: r (A) = r (Ab) = k < m esistono (m-k) equazioni del sistema ridondanti, cioè esprimibili come combinazione lineare delle altre e quindi ogni m pla che soddisfi le k equazioni indipendenti soddisfa le (m-k) ridondanti che possono dunque essere eliminate.

13 L'INSIEME DELLE SOLUZIONI DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Si consideri il sistema di relazioni: Ax = b x 0 che definisce l'insieme delle soluzioni di un generico problema di programmazione lineare. E' evidente che, perché sussista la possibilità di ottimizzare, devono verificarsi due condizioni: ) il sistema Ax = b deve essere compatibile, ovvero deve essere r(ab) = k = r(a), con k<n, caso in cui il numero delle soluzioni è infinito; ) il sistema Ax = b deve ammettere anche soluzioni non negative.

14 Le soluzioni del sistema possono essere classificate in cinque tipi. Soluzioni generiche: sono le infinite soluzioni del sistema Ax=b. Soluzioni ammissibili: sono quelle soluzioni del sistema Ax=b, che il vincolo di non negatività x 0 (dominio di ammissibilità del problema). Soluzioni di base: sono quelle soluzioni che soddisfano il sistema di equazioni Ax=b con (nm) variabili nulle. Un limite superiore al numero di soluzioni di base è: N b n = = m n! ( n m )!m!

15 Soluzioni di base ammissibili: sono quelle soluzioni di base che soddisfano il vincolo di non negatività. Soluzioni di base ammissibili degeneri: sono quelle soluzioni di base ammissibili che presentano più di (n-m) variabili nulle. SOLUZIONI DI BASE - SISTEMI IN FORMA CANONICA Si consideri il sistema Ax = b e si supponga il suo rango massimo pari ad m. Posto p = (n-m), si supponga che: le ultime m colonne di A siano linearmente indipendenti. ciascuna delle m colonne indipendenti presenti tutti valori nulli ed uno unitario. La matrice costituita dalle ultime m colonne è una matrice identità. Un tale sistema si dice in forma canonica.

16 Una forma canonica di un sistema è particolarmente vantaggiosa in quanto: annullando le p variabili non associate alle colonne unitarie (variabili non di base) è possibile ricavare immediatamente una soluzione di base in cui ciascuna delle variabili di base (quelle associate alle colonne unitarie) assume il valore del corrispondente termine noto b i. Infatti, risolvendo il sistema Ax = b rispetto alle m variabili da x p+ ad x n si ottiene: p x p + i = bi a ijx j (i =,,...,m) j= per cui, annullando le x j (j =,,..., p), si ottiene: x p+i =b i, (j =,,, p)

17 TRASFORMAZIONE DI UN SISTEMA DI EQUAZIONI LINEARI IN FORMA CANONICA La riduzione di un sistema lineare alla forma canonica può essere effettuata sfruttando il concetto di sistema equivalente. Due sistemi di equazioni lineari algebriche si dicono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni. Un sistema assegnato di m equazioni in n variabili può essere trasformato in uno equivalente ad esso: scambiando tra loro due equazioni; moltiplicando coefficienti e termine noto di una equazione per uno scalare k 0; sostituendo ad una equazione la somma della stessa e di un'altra anche se moltiplicata per uno scalare diverso da zero.

18 LA TECNICA DEL PIVOT (METODO DI GAUSS E JORDAN) La tecnica del pivot trasforma la colonna p s della matrice A in un vettore unitario u r con l'uno nella r esima posizione utilizzando i principi enunciati e si esplica in tre fasi: scelta di un coefficiente a rs (pivot) diverso da zero nella equazione r esima, in corrispondenza della variabile s esima ; sostituzione dell'equazione r esima, E r, con: E'r = E r /a rs sostituzione di ogni altra equazione Ei del sistema con: E' i = E i a is E' r = E i E r a a is rs

19 ESEMPIO Si consideri il sistema: x x x + x + x x x + x + x 7x + x + 5x = = 6 = 4 (E (E (E ) ) ) e lo si voglia trasformare in forma canonica rispetto alle variabili x, x, x. Partendo dal coefficiente della x in E, si ha: x +/x /x 5/x + + x x x 7/x 4 +/x 4 +7/x 4 =/ =/ = 7/ (E' (E' (E' = E = E = E /a -a -a ) E' E' ) ) Effettuando una analoga operazione per il coefficiente di x in E' si ottiene:

20 x x + 5x 4x 8x +6x x 4x = 7 = = 4 (E'' (E'' (E'' = E' = E' = E' -a' /a' -a' E'' ) E'' ) ) Ed ancora per il coefficiente di x nella E'' si ha: x x x + x x + x = = = (E''' (E''' (E''' = E'' = E'' = E'' -a'' -a'' /a'' E''' E''' ) ) ) Che fornisce la forma canonica del sistema di partenza rispetto alle variabili x, x, x, da cui scaturisce la soluzione basica: x = ; x = ; x = ; x 4 = 0 Si comprende che se, ora, si volesse portare il sistema in forma canonica rispetto ad un altro insieme di variabile, sia x, x, x 4, sarebbe sufficiente effettuare una sola operazione di pivot sull'elemento a,4 ()

21 CORRISPONDENZA TRA SOLUZIONI DI BASE AMMISSIBILI DEL SISTEMA DI EQUAZIONI E VERTICI DEL DOMINIO DI DEFINIZIONE Una soluzione di base ammissibile del sistema Ax=b, x 0, corrisponde ad un vertice dell'insieme delle soluzioni ammissibili. La dimostrazione di tale teorema può essere condotta verificando che una soluzione di base ammissibile non può essere espressa come combinazione convessa di altre soluzioni appartenenti all'insieme di ammissibilità. Si può dimostrare che: In assenza di degenerazione, un vertice corrisponde ad una ed una sola soluzione di base ammissibile.

22 ESTREMI DELL'INSIEME DI DEFINIZIONE ED OTTIMO DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Dato un problema di programmazione lineare: z = s.a cx Min! Ax = b x 0 definito su un insieme convesso limitato con k vertici. La soluzione ottima si trova in corrispondenza di un vertice, cioè di una soluzione di base ammissibile. La generica soluzione x dell'insieme può essere espressa mediante una combinazione convessa dei k vertici x* j : x = β j j=,k j=,k β β j j x * j = 0 (j =,,..., k) ed il problema posto può essere trasformato in uno equivalente nelle variabili β j (j=,,...,k):

23 z = s.a k (c j= β j=,k j * x j ) β β j j Min! = 0 (j =,,..., k) Dunque il valore che la funzione obiettivo z assume in corrispondenza di una generica soluzione ammissibile, x, del problema può essere espresso come combinazione convessa dei valori che la funzione stessa assume in corrispondenza dei k vertici x*j dell'insieme di definizione. Indicando con [min j (cx* j )] il minimo dei valori assunti dalla funzione obiettivo in corrispondenza dei vertici, e sostituendolo a ciascuno dei termini della (5.4), si ha: cioè: z = cx k β j= j [min j (cx j )]

24 z [ * min (cx ] β j j ) k j= j essendo: = j=, k β j ne deriva: z = cx min j * ( cx j ) In corrispondenza di un qualsiasi punto dell'insieme di ammissibilità il valore assunto dalla funzione obiettivo risulta non inferiore ( ) del valore minimo che la stessa assume nell'insieme dei vertici, il minimo viene cioè attinto in corrispondenza di uno dei vertici, e, quindi, di una soluzione di base ammissibile.

25 RICERCA DELL'OTTIMO NELL'INSIEME DELLE SOLUZIONI DI BASE AMMISSIBILI Si è ricavato che: le soluzioni di base ammissibili di un problema di programmazione lineare corrispondono ai vertici dell'insieme delle soluzioni ammissibili l'ottimo, se esiste ed è finito, viene attinto in corrispondenza di una soluzione di base ammissibile. Questo risultato, sposta la ricerca della soluzione ottima di un problema p.l., dall'insieme delle (n-m) soluzioni del sistema Ax=b a quello, finito, delle soluzioni di base ammissibili, il cui numero è limitato dal valore: n m n! = ( n - m )! m! che costituisce il numero massimo delle soluzioni di base. La considerazione che il numero di soluzioni tra cui va ricercato l'ottimo è finito non deve creare eccessive illusioni circa la possibilità di risolvere il problema per enumerazione totale.

26 Il numero delle soluzioni basiche N b è limitato dal coefficiente binomiale CB. Per m = 5 ed n = 0 si ha: CB= 5 che rappresenta il numero di sistemi che bisognerebbe risolvere qualora si volesse ricercare l'ottimo in maniera esaustiva, attraverso, cioè, l'enumerazione totale delle soluzioni. I valori che N b può raggiungere allorché n ed m assumono, come spesso capita nella pratica, valori dell'ordine delle centinaia, delle migliaia, o delle diecine di migliaia, risultano sicuramente proibitivi rispetto ad una ricerca esaustiva. La ricerca dell'ottimo, nell'insieme delle soluzioni di base ammissibili, può essere effettuata con l'algoritmo del simplesso Tale algoritmo, estremamente efficace, consente, partendo da una prima soluzione di base ammissibile, di giungere all'ottimo passando per soluzioni che migliorano progressivamente il valore della funzione obiettivo, senza esplorare, nella gran parte dei casi, tutto l'insieme delle soluzioni di base ammissibili.