SI RICORDA CHE LE LEZIONI DI MERCOLEDÌ 5 E 12 APRILE SI TERRANNO IN AULA D3 DALLE 9 ALLE 11

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1 SI RICORDA CHE LE LEZIONI DI MERCOLEDÌ 5 E 12 APRILE SI TERRANNO IN AULA D3 DALLE 9 ALLE 11 MARTEDÌ 11 APRILE LA LEZIONE SI TERRÀ IN AULA SEMINARI PIANO C 1di 26 LEZIONE N.7 INTRODUZIONE AI METODI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE, IL METODO DEL SIMPLESSO Parte 2 2di 26

2 Metodo del Simplesso Il metodo del simplesso dovuto a Dantzing ed a Kantorovich è un algoritmo il cui nome deriva dal fatto che una delle sue prime applicazioni fu fatta ad un problema nel quale l insieme delle relazioni lineari era rappresentato da un simplesso, cioè da un poliedro convesso a n+1 vertici in uno spazio ad n dimensioni. Il metodo del simplesso consente: 1. Di stabilire se una soluzione ammissibile di base è ottima o no, anche senza conoscere alcun altra soluzione ammissibile di base; 2. Di migliorare una soluzione ammissibile di base non ottima passando da essa alla migliore soluzione ammissibile di base adiacente, fino ad ottenere quella ottima se esiste. 3di 26 Si dimostra che in generale, un problema di programmazione lineare, può essere così equivalentemente riscritto: Z=c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n +0.x n x n+m ottimizzare funzione obbiettivo da a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n +x n+1 =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n +x n+2 =b 2. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n +x n+m =b m e x i 0 con i=1,...,n+m dove le variabili x j con j=n+1,, n+m sono le m variabili di scarto (non negative) che servono a trasformare le disequazioni in equazioni e sono precedute dal segno + se la disuguaglianza è dal segno - se la disuguaglianza è. 4di 26

3 Supponendo le equazioni linearmente indipendenti, il primo passo consiste quindi nel: Trovare una soluzione ammissibile di base cioè nel mettersi in un vertice dell iperpoliedro. Per ottenere una soluzione di base è sufficiente porre, nel sistema dei vincoli, n variabili uguali a zero (uguale al limite inferiore); si ha così un sistema lineare di m equazioni in m incognite, questo sistema in cui la matrice dei coefficienti delle m variabili non annullate ha determinante non nullo, ha una unica e ben determinata soluzione. Si ottiene così una prima soluzione con variabili di base (m) e variabili non di base (n). Una soluzione di base si dice ammissibile se rispetta anche i vincoli di non negatività quindi se gli m valori dei termini noti sono tutti positivi b j > 0 con j =1,, m si forma subito una soluzione ammissibile di base tenendo conto delle n variabili x i = 0 con i =1,, n poste uguali a zero (variabili strutturali) e delle m variabili di scarto x n+j = b j con j = 1,, m. 5di 26 Trovata una prima soluzione ammissibile di base, si inizia un procedimento iterativo che porta all ottimizzazione della funzione obiettivo e che dal punto di vista grafico corrisponde a spostarsi da un vertice dell iperpoliedro all altro. Per facilitare la comprensione prenderemo come esempio il problema precedentemente trattato e risolto con il metodo grafico e lo risolveremo con il metodo del simplesso. Il problema lineare era: Max Z(x 1, x 2 ) = 4x 1 + 2x 2 2x 1 +4x x 1 +4x x 1 50 e x 1 0 ; x 2 0 6di 26

4 si introducono le variabili di scarto (slack variables) e si ottiene: max Z=4x 1 + 2x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 2x 1 +4x 2 +x 3 =160 4x 1 +4x 2 +x 4 =240 x 1 +x 5 =50 e x 1 0 ; x 2 0 x 3 0 ; x 4 0 x 5 0 Una prima soluzione ammissibile di base è: x 1 =0 ; x 2 =0 x 3 =160 ; x 4 =240 ; x 5 =50 La prima operazione è la costruzione di una tabella, chiamata tavola di Charnes, Cooper e Henderson qui di seguito ricostruita: 7di Nella riga cj sono stati riportati i coefficienti che le variabili hanno nella funzione obbiettivo: Z=4x1+ 2x2+0x3+0x4+0x5; 8di 26

5 2. Nella riga xj figurano le variabili del programma lineare; 9di Nella colonna c i sono stati riportati i coefficienti che le variabili non nulle della soluzione ammissibile di base considerata (nel nostro caso x 3, x 4, x 5 ) hanno nella funzione obbiettivo: Z=4x 1 + 2x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 (cioè 0,0,0 per c i ) ; c i di 26

6 4. Nella colonna x i figurano le variabili non nulle della soluzione ammissibile di base considerata (nel nostro caso x 3, x 4, x 5 ); c i 0 0 x i x 3 x 4 0 x 5 11 di Nelle righe x3, x4, x5 sono riportati i coefficienti del sistema dei vincoli 2x1+4x2+x3=160 (2,4,1,0,0) per x3 4x1+4x2+x4=240 (4,4,0,1,0) per x4 x1+x5=50; (1,0,0,0,1) per x5 c i x i 0 x x x di 26

7 6. Nella colonna x 0 sono riportati i valori delle variabili non nulle della soluzione ammissibile di base considerata (nel nostro caso 160,240,50); c i x i Base x 0 0 x x x di I valori della riga z j si ottengono facendo la somma dei prodotti tra gli elementi della colonna considerata ed i coefficienti della colonna c i ad esempio z 1 =(2*0)+(4*0)+(1*0)=0; z 2 =(4*0+4*0+0*0)=0; etc. In particolare, il valore z 0 =(160*0)+(240*0)+(50*0)=0 fornisce il valore della funzione Z corrispondente alla soluzione ammissibile di base considerata ( x 1 =0 ; x 2 =0; x 3 =160 ; x 4 =240 ;x 5 =50); c i x i Base x 0 0 x x x z j 0 = z di 26

8 8. Gli elementi della riga zj-cj si ottengono facendo la differenza tra gli elementi della riga zj e gli elementi della riga cj. c i x i Base x 0 0 x x x z j z j -c j di 26 Il problema è quello di trasformare la tavola in modo da passare da una soluzione ammissibile di base ad un altra ad essa adiacente cioè da un vertice dell iperpoliedro all altro adiacente che ottimizzi la funzione obbiettivo nel caso illustrato >> la massimizzi. Il passaggio viene effettuato sostituendo di volta in volta un vettore colonna in un vettore riga attraverso un pivot o elemento cardine. Per vedere come è necessario operare, ad ogni iterazione, si osserva nella tabella 1 la riga z j -c j e si procede come segue: 16 di 26

9 Se la funzione obiettivo è da massimizzare: 1. Se tutti i valori zj-cj sono positivi o nulli, si è trovata la soluzione ottima massimizzante 2. Se esiste almeno un valore zj-cj<0 e: A. Tutti i coefficienti della colonna scelta per sostituire una riga sono negativi o nulli allora l ottimizzazione della funzione la renderebbe infinita B. Uno o più coefficienti della colonna scelta per sostituire una riga sono positivi non si è raggiunto il punto di massimo perché è possibile migliorare la soluzione. 17 di 26 Se la funzione obiettivo è da minimizzare: 1. Se tutti i valori zj-cj sono negativi o nulli, si è trovata la soluzione ottima minimizzante 2. Se esiste almeno un valore zj-cj>0 e: A. Tutti i coefficienti della colonna scelta per sostituire una riga sono negativi o nulli allora l ottimizzazione della funzione la renderebbe infinita B. Uno o più coefficienti della colonna scelta per sostituire una riga sono positivi non si è raggiunto il punto di minimo perché è possibile migliorare la soluzione. 18 di 26

10 Nel caso illustrato, con la soluzione ammissibile di base (x1=0; x2=0; x3=160; x4=240; x5=50) Z=0 e quindi per ottenere il massimo incremento si sceglierà come vettore entrante quello con il valore più negativo di zj-cj e cioè x1 per il quale z1=-4 (freccia blu nella tabella 1). Stabilito così il criterio di selezione del vettore entrante da introdurre nella nuova base, sarà necessario scegliere il vettore uscente ossia il vettore che cederà il posto ad x1 e definire la dimensione con la quale x1 potrà entrare. La dimensione con la quale x1 può entrare viene determinata calcolando i rapporti tra gli elementi della colonna x 0 e quelli del vettore colonna entrante x 1. Nel nostro caso, il minimo valore positivo di questi rapporti (160/2, 240/4, 50/1) che è 50/1=50 stabilisce la dimensione con la quale il vettore x1 può entrare nella seconda soluzione ammissibile di base ed inoltre individua il vettore uscente nel nostro caso x5 (freccia verde nella tabella 1) che viene eliminato dalla seconda soluzione. 19 di 26 TABELLA 1 c i x i Base x 0 0 x x x z j z j -c j Tavola di Charnes, Cooper e Henderson 20 di 26

11 L elemento all incrocio fra il vettore colonna entrante x1 ed il vettore riga uscente x5 viene definito pivot od elemento cardine (cerchio rosso nella tabella 1). L entrata del vettore x1 nella seconda soluzione ammissibile di base comporta però il ricalcolo della base stessa e dei coefficienti di tutti i vettori colonna interessati dalla sostituzione (x1e x5). Per prima cosa si calcola la seconda soluzione ammissibile di base.in essa il vettore uscente x5=50 viene sostituito dal vettore entrante x1 con dimensione 50/1=50 cioè x1=50. Gli altri vettori della base (x3 e x4) vengono ottenuti detraendo al precedente valore il prodotto tra l elemento corrispondente nel vettore colonna entrante (x1) e la dimensione con la quale il vettore colonna entrante entra nella base (50) Ossia : x3=160-(2*50)=60 x4=240-(4*50)=40 21 di 26 La seconda soluzione ammissibile di base sarà allora data da (x1=50 ; x2=0 ; x3=60 ; x4=40 ; x5=0) I vettori colonna interessati dalla sostituzione sono tutti quelli che presentano coefficiente non nullo nel vettore riga uscente (x5) tra cui sicuramente i vettori colonna entrante (x1) e uscente (x5) Per il vettore colonna entrante: I coefficienti del vettore colonna entrante (x1) assumono tutti valore 0 ad eccezione del pivot che assume il valore 1 Per il vettore colonna uscente: I coefficienti del vettore colonna uscente (x5) si ricavano dai vecchi coefficienti del vettore colonna entrante (x1) esprimendoli in funzione del vettore colonna uscente (x5) ossia: x1=2 x3+4 x4+ x5 da cui x5=-2 x3-4 x4+ x1 e quindi (-2,-4,1) che sono i nuovi coefficienti del vettore colonna uscente (x5). Tab.2 22 di 26

12 Nel caso vi fossero stati altri vettori colonna interessati alla sostituzione, i nuovi coefficienti si sarebbero ottenuti inserendo l espressione del nuovo vettore colonna uscente (x5=-2 x3-4 x4+ x1) nel vettore colonna in esame, ricavando i rispettivi coefficienti. A questo punto è facile completare il vettore colonna ci e xi e calcolare i vettori riga zj e zj-cj. Quanto detto finora è sintetizzato in tabella 2 23 di 26 TABELLA 2 c i x i Base x 0 0 x x x z j z j -c j di 26

13 Iterando il procedimento precedentemente descritto si ottiene la tabella 3 Con la terza soluzione ammissibile di base (x1=50 ; x2=10 ; x3=20 ; x4=0 ; x5=0) Z=220 e si osserva che nella tabella 3 tutti i valori della riga zj-cj sono positivi o nulli questo significa che si è trovata la soluzione ottima massimizzante. 25 di 26 TABELLA 3 c i x i Base x 0 0 x x x z j z j -c j di 26