Analisi di sensitivitá. Analisi di sensitivitá p. 1/4

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1 Analisi di sensitivitá Analisi di sensitivitá p. 1/4

2 Analisi di sensitivitá Ci porremo ora la seguente domanda: dato un problema di PL di cui ho giá determinato una soluzione ottima, che cosa succede se modifico il valore di un coefficiente di una variabile (nell obiettivo o nei vincoli) o il valore di un termine noto? ovvero: come cambiano il valore ottimo e la soluzione ottima del problema in corrispondenza di queste modifiche? Analisi di sensitivitá p. 2/4

3 Problema degli aiuti umanitari max 14x 1 + 5x 2 + 4x 3 10x x x x x x x x 2 + 5x x 1,x 2,x 3 0 Analisi di sensitivitá p. 3/4

4 Perché questa domanda? In alcuni casi nei problemi di PL compaiono dati stimati e non dati oggettivi. Per tali dati é importante stabilire quanto é sensibile il risultato ottenuto a perturbazioni di tali dati: Nel problema degli aiuti umanitari i valori di utilitá (coefficienti nell obiettivo) sono valori stimati. Inoltre, in alcuni casi dopo aver risolto il problema intervengono fattori esterni che modificano alcuni dati originari del problema. Nel problema degli aiuti umanitari qualcuno puó procurare, ad esempio, 1000 sacchi di farina in piú. Analisi di sensitivitá p. 4/4

5 Problema di PL max cx Ax = b x 0 Ipotesi : esiste base ottima del problema B. max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N )x N x B = A 1 B b A 1 B A N x N x B,x N 0 Analisi di sensitivitá p. 5/4

6 Continua Soluzione ottima del primale: Soluzione ottima del duale: x B = A 1 B b x N = 0, u B = c B A 1 B. Valore ottimo per il primale e per il duale: c B A 1 B b. Analisi di sensitivitá p. 6/4

7 Problema degli aiuti umanitari In forma standard: max 14x 1 + 5x 2 + 4x 3 10x x x 3 + y 1 = x x x 3 + y 2 = x x 2 + 5x 3 + y 3 = 1805 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 Qual é il significato delle variabili y 1,y 2,y 3? Analisi di sensitivitá p. 7/4

8 Continua Base ottima B = {y 1,x 3,x 1 }: max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 Analisi di sensitivitá p. 8/4

9 Continua Soluzione ottima del primale: y 1 = 960 x 3 = 193 x 1 = 28 x 2 = y 2 = y 3 = 0. Matrice A 1 B : A 1 B = Analisi di sensitivitá p. 9/4

10 Continua Soluzione ottima del duale u B : u B = c B A 1 B = (0 4 14)A 1 B = ( ) Valore ottimo del primale e del duale: 1164 Analisi di sensitivitá p. 10/4

11 Modifica di un termine noto con b b b i = b i i r b r = b r + b r Riformulazione rispetto a B dopo la modifica: max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N )x N x B = A 1 B b A 1 B A N x N x B,x N 0 Analisi di sensitivitá p. 11/4

12 Continua Quando la base B resta ottima? B continua ad essere ammissibile per il duale (non cambiano i coefficienti di costo ridotto) e quindi rimane ottima se continua ad essere anche ammissibile per il primale, ovvero se A 1 B b 0 Variazione del valore ottimo: c B A 1 B b c B A 1 B b = u B (b b) = m i=1 u B i (b i b i ) = ur B b r. Quindi il valore di una variabile duale nella soluzione ottima del duale misura la rapiditá con cui cambia il valore ottimo del problema al variare del termine noto del vincolo corrispondente nel primale. Analisi di sensitivitá p. 12/4

13 Continua Nuova soluzione ottima del primale x B = A 1 B b x N = 0, Nuovo valore ottimo per il primale e per il duale: La soluzione ottima del duale: c B A 1 B b. u B = c B A 1 B. non cambia (non dipende dai termini noti del problema primale). Analisi di sensitivitá p. 13/4

14 Calcolo di A 1 B b b = b 1. b r. b m + 0. b r. 0 = b + b r Analisi di sensitivitá p. 14/4

15 Quindi... A 1 B b = A 1 B b + b r A 1 B A 1 B b giá noto (termini noti nella riformulazione rispetto a B ) Analisi di sensitivitá p. 15/4

16 Continua b r A 1 B é pari a b r moltiplicato per la colonna r-esima di A 1 B. Analisi di sensitivitá p. 16/4

17 E se B non é piú ottima? Se con la modifica B non é piú base ottima, ovvero: A 1 B b 0 B continua a rimanere ammissibile per il duale e quindi posso utilizzare B come base iniziale per il simplesso duale senza dover risolvere di nuovo tutto il problema da capo. Analisi di sensitivitá p. 17/4

18 Nell esempio Modifica b 2 del secondo termine noto. Nuovo vettore di termini noti: b = (5100 ( b 2 ) 1805). Modifica nella riformulazione dell obiettivo: u 2 b y y x 2 Modifica termini noti dei vincoli: ( ) + b 2 ( ) 230 Analisi di sensitivitá p. 18/4

19 Continua b 2 = 1150: max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 Nuova soluzione ottima: y 1 = 410 x 3 = 223 x 1 = 23 y 2 = y 3 = x 2 = 0 Nuovo valore ottimo: 1214 Analisi di sensitivitá p. 19/4

20 Continua b 2 = 2300 max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 B non é piú base ottima. Si parte da B con il simplesso duale. Analisi di sensitivitá p. 20/4

21 Continua Intervallo in cui posso variare b 2 mantenendo B base ottima: ( ( ) + b ) = 230 ( b b b b b b ) 0 Analisi di sensitivitá p. 21/4

22 Ancora nell esempio Modifica b 1 del primo termine noto. Nuovo vettore di termini noti: b = (( b 1 ) ). Modifica nella riformulazione dell obiettivo: u 1 b y y x 2 Modifica termini noti dei vincoli: ( ) + b 1 (1 0 0) Analisi di sensitivitá p. 22/4

23 Continua b 1 = 100: max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 Nuova soluzione ottima: y 1 = 1060 x 3 = 193 x 1 = 28 y 2 = y 3 = x 2 = 0 Valore ottimo invariato! É sorprendente? Analisi di sensitivitá p. 23/4

24 Modifica nell obiettivo Riformulazione rispetto a B : c N c N max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N )x N x B = A 1 B b A 1 B A N x N x B,x N 0 Analisi di sensitivitá p. 24/4

25 Quando B rimane base ottima? Questo accade se i coefficienti di costo ridotto restano tutti 0, ovvero c N c B A 1 B A N 0 In tal caso soluzione ottima del primale e del duale e valore ottimo del problema restano invariati. Analisi di sensitivitá p. 25/4

26 E se B non é piú ottima? Ovvero: se c N c B A 1 B A N 0 In tal caso B non é piú ammissibile per il duale ma lo é per il primale e quindi si puó ripartire da essa con il simplesso primale. Analisi di sensitivitá p. 26/4

27 Nell esempio Modifica del coefficiente di x 2 : da 5 a 5 + c x2 Modifica nella riformulazione dell obiettivo: y y x 2 + c x2 x 2 Analisi di sensitivitá p. 27/4

28 Continua c x2 = 1 max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 Analisi di sensitivitá p. 28/4

29 Continua c x2 = 1 max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 Analisi di sensitivitá p. 29/4

30 Continua Intervallo in cui può variare c x2 senza cambiare la base ottima c x 2 0 Analisi di sensitivitá p. 30/4

31 Modifica nell obiettivo c B c B Riformulazione rispetto a B : max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N )x N x B = A 1 B b A 1 B A N x N x B,x N 0 Analisi di sensitivitá p. 31/4

32 Quando B rimane base ottima? Questo accade se i coefficienti di costo ridotto restano tutti 0, ovvero c N c B A 1 B A N 0 In tal caso soluzione ottima del primale non cambia, quella del duale diventa c B A 1 B mentre il valore ottimo cambia di una quantitá pari alla variazione del coefficiente moltiplicata per il valore della variabile di cui si é modificato il coefficiente nella soluzione ottima del primale (vedi esempi). Analisi di sensitivitá p. 32/4

33 E se B non é piú ottima? Ovvero: se c N c B A 1 B A N 0 In tal caso B non é piú ammissibile per il duale ma lo é per il primale e quindi si puó ripartire da essa con il simplesso primale. Analisi di sensitivitá p. 33/4

34 Nell esempio Modifica del coefficiente di x 1 : da 14 a 14 + c x1 Modifica nella riformulazione dell obiettivo: y y x 2 + c x1 x 1 = y y x 2+ + c x1 ( y y x 2) = ( c x1 + y c x ( +y c x ) + ) + x 2 ( c x 1 23 ) Analisi di sensitivitá p. 34/4

35 Continua c x1 = 1 max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 B rimane base ottima ed il valore ottimo varia della quantitá c x1 x 1 = 1 28 = 28 Analisi di sensitivitá p. 35/4

36 Continua c x1 = 2 max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 La base B non é piú ottima ma é ancora ammissibile per il primale. Posso ripartire da essa con il simplesso primale. Analisi di sensitivitá p. 36/4

37 Continua Intervallo in cui può variare c x1 senza cambiare la base ottima c x c x c x In tale intervallo il valore ottimo varia della quantitá c x1 x 1 = 28 c x1 Analisi di sensitivitá p. 37/4

38 Modifica nei vincoli Riformulazione rispetto a B : A N A N max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N )x N x B = A 1 B b A 1 B A N x N x B,x N 0 Analisi di sensitivitá p. 38/4

39 Quando B rimane base ottima? Questo accade se i coefficienti di costo ridotto restano tutti 0, ovvero c N c B A 1 B A N 0 In tal caso soluzione ottima del primale e del duale e valore ottimo del problema restano invariati. Analisi di sensitivitá p. 39/4

40 E se B non é piú ottima? Ovvero: se c N c B A 1 B A N 0 In tal caso B non é piú ammissibile per il duale ma lo é per il primale e quindi si puó ripartire da essa con il simplesso primale. Analisi di sensitivitá p. 40/4

41 Nell esempio Modifica a 22 del coefficiente di x 2 nel secondo vincolo: da 20 a 20 + a 22 Modifica nella riformulazione dell obiettivo: y y x 2 u 2 a 22 x 2 Analisi di sensitivitá p. 41/4

42 Continua Modifica coefficienti di x 2 nei vincoli: ( ) ( a ) 230 ovvero: il vettore dei coefficienti originari di x 2 nei vincoli della riformulazione a cui sottraggo la modifica a 22 moltiplicata per la colonna di A 1 B corrispondente al vincolo in cui ho introdotto la modifica (in tal caso la seconda). Analisi di sensitivitá p. 42/4

43 Continua a 22 = 10: max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 B rimane ottima, le soluzioni ottime del primale e del duale e il valore ottimo non cambiano. Analisi di sensitivitá p. 43/4

44 Continua a 22 = 10 max y y x 2 y 1 = y y x 2 x 3 = y y x 2 x 1 = y y x 2 x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3 0 B non é piú ottima ma continua ad essere ammissibile per il primale. Posso ripartire da B con il simplesso primale. Analisi di sensitivitá p. 44/4

45 Continua Intervallo in cui può variare a 22 senza cambiare la base ottima: 9 23 u 2 a 22 = 9 23 a Analisi di sensitivitá p. 45/4

46 Domanda Secondo voi il problema é molto sensibile a modifiche a 12 del coefficiente di x 2 nel primo vincolo del problema? Analisi di sensitivitá p. 46/4

47 Continua A B A B Nel caso peggiore si ha che B non é piú neppure una base! [ ] 2 1 A B = 1 0 [ ] 2 0 A B = 1 0 Analisi di sensitivitá p. 47/4

48 Inoltre anche se B rimane una base abbiamo la seguente riformulazione rispetto a B : max c B A 1 B b + (c N c B A 1 B A N )x N x B = A 1 B b A 1 B A N x N x B,x N 0 Da cui si nota che si puó perdere sia l ammissibilitá del primale che quella del duale per B e quindi non si puó utilizzare B né come base di partenza del simplesso primale né del simplesso duale. Analisi di sensitivitá p. 48/4