Nome Cognome: RICERCA OPERATIVA (a.a. 2010/11) 6 o Appello 2/9/ Corso di Laurea: L Sp Matricola:

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1 o Appello /9/ RICERCA OPERATIVA (a.a. /) Nome Cognome: Corso di Laurea: L- Sp Matriola: ) Si individui un albero dei ammini minimi di radie sul grafo in figura 8-7 utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della omplessità omputazionale in tempo e giustifiando la selta effettuata. Per ogni iterazione si fornisano il nodo selezionato u i vettori dei predeessori e delle etihette l insieme dei nodi andidati Q; durante l algoritmo si visitino gli arhi della stella usente di u in ordine resente del nodo testa. Al termine si disegni l albero dei ammini minimi individuato. La soluzione trovata è unia? Giustifiare la risposta. Non essendo il grafo ailio (si onsideri ad esempio il ilo (7 )) ed essendo presenti arhi di osto negativo (si onsideri ad esempio l aro (7 )) l algoritmo più onveniente dal punto di vista della omplessità omputazionale tra quelli studiati è l algoritmo SPT.L he ha omplessità in tempo O(mn). M (n ) max it. u p p p p p p p7 p8 d d d d d d d7 d8 Q nil {} nil { 7} nil 8 7 {7 } 7 7 nil { } 7 nil { } 7 nil { } 7 nil 7 9 { } 7 nil 7 { } 8 nil 7 { } 9 nil 7 { } nil 7 { } nil 7 { } nil 7 {} nil 7 Si noti he il nodo 8 non è raggiungibile da. Poihé le ondizioni di Bellman per aluni arhi non appartenenti all albero sono verifiate ome uguaglianza la soluzione ottima puó non essere unia. Infatti è possibile ottenere una soluzione ottima alternativa sostituendo nella soluzione l aro ( ) on l aro ( ) he rispetta le ondizioni di Bellman ome uguaglianza.

2 o Appello /9/ ) Si risolva il problema di flusso di osto minimo relativamente all istanza in figura utilizzando l algoritmo di anellazione di ili a partire dal flusso indiato. Per ogni iterazione dell algoritmo si mostri il ilo individuato on il suo verso osto e apaità e si indihi il flusso ottenuto dopo l appliazione dell operazione di omposizione on il suo osto. Al termine si dimostri he il flusso ottenuto è di osto minimo. b i i ij u ij x ij b j j Il flusso ammissibile iniziale ha osto x 8. A partire da tale flusso l algoritmo di anellazione di ili esegue tre iterazioni illustrate dalle prime tre figure (dall alto in basso da sinistra a destra): in ogni figura è mostrato il ilo C utilizzato (arhi evidenziati) ol il suo verso (freia tratteggiata) e la sua apaità θ nonhé il flusso x al termine dell iterazione ossia dopo l appliazione dell operazione di omposizione on C on il relativo osto x. La quarta figura mostra il grafo residuo relativo all ultimo flusso individuato ed il orrispondente albero dei ammini minimi (arhi evidenziati) di radie fittizia r (non mostrata in figura). Tale albero è ottimo ome dimostrano le etihette assoiate ai nodi he soddisfano le ondizioni di Bellman. L esistenza di un albero dei ammini minimi dimostra he non esistono ili orientati di osto negativo nel grafo residuo ovvero non esistono ili aumentanti di osto negativo rispetto all ultimo flusso determinato x he è quindi un flusso di osto minimo. θ (C) - 7 θ (C) - 7 θ (C)

3 o Appello /9/ ) Si onsideri il seguente problema di P.L.: max x x x + x x x x x x Si applihi l algoritmo del Simplesso Primale per via algebria a partire dalla base B { }. Per ogni iterazione si indihino: la base la matrie di base e la sua inversa la oppia di soluzioni di base l indie usente la direzione di resita il passo di spostamento e l indie entrante giustifiando le risposte. Se una volta risolto il problema il termine noto del penultimo vinolo diventasse (ovvero il penultimo vinolo fosse x ) la soluzione ottima primale determinata dall algoritmo ontinuerebbe a restare ottima? In aso ontrario quale algoritmo del Simplesso utilizzeresti per risolvere il problema primale modifiato per erare di sfruttare la omputazione già effettuata? it.) B { } A B A B y B A B ξ A B u B(h) it.) B { } A B A B b B y N y h min{i B : y i < } B(h) A N ξ J {i N : A i ξ > } { } λ i (b i A i x)/a i ξ λ λ λ λ min{λi : i J} y B ξ k min{i J : λ i λ} ambio di base degenere A B y N y h B(h) A N ξ J { } λ λ λ k min{ } regola antiilo di Bland it.) B { } A B A B y B y N y h B(h) ξ A N ξ it.) B { } A B y B J {} λ λ k ambio di base degenere A B y N y STOP. Poihé y B segue he x ( ) è una soluzione ottima per il problema dato mentre y ( ) è una soluzione ottima per il suo problema duale. Se il penultimo vinolo diventasse x la soluzione x ( ) non sarebbe più ottima per il problema primale in quanto non ammissibile (il quarto vinolo sarebbe violato). In tal aso onverrebbe utilizzare l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B { } in quanto tale base rimarrebbe duale ammissibile.

4 o Appello /9/ ) Si risolva grafiamente il problema di PL indiato in figura utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B { }. Per ogni iterazione si indihino: la base la soluzione primale di base (in figura) l indie entrante k i segni delle omponenti dei vettori y B e η B l indie usente h giustifiando le risposte. Si disuta inoltre la degenerazione sia primale he duale delle basi visitate dall algoritmo. x x A A A x x A A it. ) B { }. La soluzione primale di base x viola i vinoli e pertanto k min{ } per la regola antiilo di Bland. y > e y > in quanto è interno al ono generato da A e A. La base è pertanto duale non degenere ed è anhe primale non degenere in quanto I(x ) { }. Poihé A ono(a A ) ome mostrato in figura (a) risultano η > η >. Ma è anhe evidente he mentre la base B { } è ammissibile la base { } non lo è (si veda anora la figura (a): ono(a A ) mentre / ono(a A )). Pertanto dovrà siuramente risultare y /η > y /η e quindi h. it. ) B { }. La soluzione primale di base x viola il solo vinolo pertanto k. y > e y > in quanto è interno al ono generato da A e A. La base è pertanto duale non degenere ed è anhe primale non degenere in quanto I(x ) { }. Poihé A ono(a A ) ome mostrato in figura (b) risultano η > η < ; pertanto h. it. ): B { }. La soluzione primale di base x viola il solo vinolo pertanto k. y > e y > in quanto è interno al ono generato da A e A. La base è pertanto duale non degenere ed è inoltre primale non degenere in quanto I(x ) { }. Poihé A ono(a A ) ome mostrato in figura () risultano η > η < ; pertanto h. it. ): B { }. La soluzione primale di base x non viola alun vinolo e pertanto x è ottima per il problema primale. y > e y > in quanto è interno al ono generato da A e A ; la base è pertanto duale non degenere ma è primale degenere in quanto I(x ) { }. In effetti è faile verifiare he x è l unia soluzione ammissibile del problema e di onseguenza è siuramente la soluzione ottima. Qualsiasi traslazione per quanto piola della retta orrispondente al quinto vinolo (individuato da A ) in direzione opposta a quella del suo gradiente renderebbe x inammissibile e quindi il problema primale vuoto ed il problema duale superiormente illimitato (essendo non vuoto). A A (a) A (b) A A -A () A A A -A A

5 o Appello /9/ ) Il gruppo ommeriale Sat deide di aprire m punti vendita per rifornire n lienti. Sia u j il massimo numero di lienti he il punto vendita j è in grado di rifornire e sia ij il osto di servizio sostenuto da j nel aso in ui rifornirà il liente i i... n j... m. Tramite un indagine di merato Sat stima il oeffiiente di soddisfaimento s ij del liente i nel aso in ui verrà rifornito dal punto vendita j. Per erare di favorire il soddisfaimento dei lienti Sat deide di far pagare ad ogni punto vendita j una penalità p j nel aso in ui il soddisfaimento totale dei lienti da esso riforniti risulterà inferiore ad una prefissata soglia S. Si formuli in termini di P.L.I. il problema di assegnare gli n lienti agli m punti vendita in modo he ogni liente sia rifornito da esattamente un punto vendita e he i vinoli di apaità siano rispettati minimizzando i osti omplessivi sostenuti dai punti vendita (osti di servizio più eventuali penalità legate al grado di (sarso) soddisfaimento dei lienti). Per desrivere il problema introduiamo le seguenti variabili logihe: { se il liente i è assegnato al punto vendita j x ij altrimenti i... n j... m { se il punto vendita j pagherà la penale y j j... m. altrimenti Utilizzando tali variabili booleane si può proporre la seguente formulazione per il problema di Sat: min n m m ij x ij + p j y j i j m x ij j n x ij u j i j n s ij x ij S( y j ) i i... n j... m j... m x ij { } i... n j... m y j { } j... m Il primo bloo di vinoli stabilise he ogni liente sia assegnato ad esattamente un punto vendita. Il seondo gruppo di vinoli rappresenta i vinoli di apaità relativi ai punti vendita. Il terzo gruppo di vinoli stabilise he il punto vendita j dovrà pagare la penale (e la orrispondente y j dovrà assumere il valore ) se e solo se il soddisfaimento totale dei lienti assegnati a j n i s ijx ij risulterà minore di S. Infine la funzione obiettivo da minimizzare è la somma dei osti di servizio e dei osti di penalità.