Andrea Scozzari a.a Analisi di sensibilità

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1 Andrea Sozzari a.a Analisi di sensibilità 1

2 Problema di Massimo in forma generale ma ,5 0,3 0,5, regione ammissibile 2

3 Problema di Massimo in forma generale ma ,5 0,3 0,5, regione ammissibile ottimo finito unio 3

4 Analisi di sensibilità L analisi di sensibilità serve er analizzare se e ome ambia la soluzione ottima di un modello di PL quando si iotizzano ambiamenti nei dati iniziali he definisono il roblema. L elemento ruiale dell analisi di sensibilità è il rezzo ombra he raresenta uno strumento fondamentale nell analisi e nella soluzione dei modelli di ottimizzazione. Esso è artiolarmente utile er aire quali imortanti imliazioni una deisione ossa avere nell ambito della risoluzione di roblemi omlessi. 4

5 Analisi di sensibilità Problema di roduzione ma 130 1,5 0,3 0, vinoli di limitazione delle risorse in orrisondenza dell ottimo 1, ,312 0, ,1 soluzione ottima del modello guadagno totale giornaliero, $ Imlementando questa soluzione ottima, le risorse relative ai rimi due vinoli del roblema sono omletamente utilizzate. Se fosse ossibile disorre di una unità in iù della rima risorsa, otremmo trovare una soluzione migliore? 5

6 Analisi di sensibilità Problema di roduzione on 1 unità in iù della rima risorsa ma 130 1,5 0,3 0,5, vinoli di limitazione delle risorse in orrisondenza dell ottimo 1, ,314 0, ,7 soluzione ottima del modello 14 7 guadagno totale giornaliero 2520 $ inremento della f.o = 60 $ Sulla base di questo risultato, si uò valutare il rezzo ombra assoiato al vinolo di disonibilità della rima risorsa. Considerando he aquistando 1 unità in iù si guadagna 60 $, il rezzo ombra è rorio ari a $ 60. 6

7 Analisi di sensibilità Il rezzo ombra assoiato ad un vinolo è ari alla variazione della funzione obiettivo he si osserva in orrisondenza della variazione unitaria del termine noto di quel vinolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del roblema. Problema di roduzione on 1 unità in iù della seonda risorsa ma 130 1,5 0,3 0,5, vinoli di limitazione delle risorse in orrisondenza dell ottimo 1, ,310 0, soluzione ottima del modello 10 guadagno totale giornaliero 2500 $ inremento della f.o = 40 $ rezzo ombra assoiato al seondo vinolo $

8 Analisi di sensibilità Il rezzo ombra raresenta in questo modo il rezzo he una azienda sarebbe disosta a agare er una unità in iù di risorsa. Può essere dunque interretato ome il valore he ha una unità di risorsa in iù seondo l azienda. Se sul merato il rezzo della rima risorsa è inferiore a $ 60, l azienda sarà roensa ad aquistare risorsa aggiuntiva, altrimenti, se il rezzo è sueriore a $ 60 non si aquisterà altra risorsa. Ragionando in maniera analoga er il seondo vinolo, il rezzo ombra risulta ari a 0. Infatti, dal momento he nella soluzione ottima del modello questa risorsa non viene usata a ieno (vinolo non attivo), un aumento di questa risorsa non ambia la soluzione ottima e il rezzo ombra risulta 0. 8

9 Analisi di sensibilità Una volta alolata la soluzione ottima del modello di PL, er tutti i vinoli attivi in orrisondenza di tale soluzione si avranno rezzi ombra ositivi. Per tutti i vinoli non attivi in orrisondenza di tale soluzione si avranno rezzi ombra nulli. La variazione del valore ottimo e del valore della funzione obiettivo ossono essere visualizzate grafiamente.

10 Analisi di sensibilità regione ammissibile

11 Analisi di sensibilità 27 Se il termine noto del vinolo aumenta il vertie si sosta regione ammissibile Non è iù un vertie Il vertie si sosta a destra

12 Analisi di sensibilità Il valore della funzione obiettivo aumenta. 16 Il valore della f.o. è regione ammissibile Il valore della f.o. è

13 Analisi di sensibilità: inremento marginale del RHS Il valore della funzione obiettivo aumenta. 16 Il valore della f.o. è 2460 La soluzione ottima ambia, e orrisonde alla nuova osizione del vertie ottimo. 7 regione ammissibile Il valore della f.o. è

14 Analisi di sensibilità: deremento marginale del RHS Simmetriamente, se il termine noto del vinolo diminuise, il vertie ottimo si sosta e il valore della funzione obiettivo diminuise. Il vertie ottimo si sosta a sinistra 16 Non è iù un vertie La soluzione ottima ambia, e di nuovo orrisonde alla nuova osizione del vertie ottimo. regione ammissibile

15 Analisi di sensibilità: inremento non marginale del RHS 27 Se, erò, il termine noto del vinolo aumenta troo, il rezzo ombra non uò essere iù alolato. 16 Non è iù un vertie regione ammissibile Non è iù un vertie

16 Analisi di sensibilità L interretazione del rezzo ombra aena vista uò essere valida er inrementi o derementi dei termini noti dei vinoli anhe di iù di una unità. Tuttavia, ossiamo utilizzare il rezzo ombra assoiato a un vinolo solo er valutare la variazione marginale della funzione obiettivo. In orrisondenza di una variazione molto grande del termine noto non siamo in grado di onosere automatiamente l inremento della f.o. In genere, dunque, i software di risoluzione di modelli di PL, oltre i rezzi ombra assoiati a iasun vinolo, fornisono er iasun termine noto l intervallo di valori entro il quale il rezzo ombra ha validità (Range). 16

17 Analisi di sensibilità Esemio: foglio dell analisi di sensibilità in eel In un roblema di massimo, er il termine noto di un vinolo di tio on rezzo ombra nullo, l estremo sueriore del Range è +. 17

18 Prezzi ombra Il rezzo ombra assoiato a un vinolo è ari alla variazione del valore ottimo he si osserva er effetto di un inremento di una unità del termine noto di quel vinolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del roblema. In orrisondenza di un vinolo non attivo tale variazione è nulla. In orrisondenza di un vinolo attivo tale variazione uò essere ositiva o negativa in base al tio di roblema (MAX o MIN) ed al tio di vinolo ( o ) ome indiato nella tabella: PROBLEMA/VINCOLO MAX + - MIN

19 Prezzi ombra Il rezzo ombra assoiato a un vinolo è ari alla variazione del valore ottimo he si osserva er effetto di un inremento di una unità del termine noto di quel vinolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del roblema. In orrisondenza di un vinolo non attivo tale variazione è nulla. In orrisondenza di un vinolo attivo tale variazione uò essere ositiva o negativa in base al tio di roblema (MAX o MIN) ed al tio di vinolo ( o ) ome indiato nella tabella: PROBLEMA/VINCOLO MAX + - MIN - + Nel aso di vinoli di uguaglianza il rezzo ombra uò risultare sia ositivo he negativo. 1

20 Prezzi ombra ma 2y - f.o. di tio ma vinoli di tio 5y + 45 regione ammissibile 20

21 Prezzi ombra vertie ottimo ma 2y - f.o. di tio ma vinoli di tio 5y + 45 regione ammissibile 21

22 Prezzi ombra ma 2y - f.o. di tio ma vinoli di tio 5y + 45 regione ammissibile 5y + 46 Il valore ottimo diminuise 22

23 Range di validità del rezzo ombra Prezzo ombra di un vinolo attivo di tio Prezzo ombra di un vinolo non attivo di tio Il rezzo ombra è diverso da 0 e il range è un intervallo del tio [a, b]. Il rezzo ombra è ari a 0 e il range è un intervallo del tio [a, + ). Prezzo ombra di un vinolo attivo di tio Il rezzo ombra è diverso da 0 e il range è un intervallo del tio [a, b]. Prezzo ombra di un vinolo non attivo di tio Il rezzo ombra è ari a 0 e il range è un intervallo del tio (-, b]. 23

24 Costi ridotti I osti ridotti sono valori assoiati alle variabili e sono diversi da 0 solo in orrisondenza di variabili on valore nullo nella soluzione ottima. Essi ossono essere interretati nei due modi seguenti: variazione della funzione obiettivo er effetto di ogni unità di inremento della variabile orrisondente; valore massimo di ui si uò modifiare il oeffiiente della variabile nella funzione obiettivo senza he ambi la soluzione ottima. Anhe er questi valori viene fornito un range di validità L inremento/deremento ammissibile dei oeffiienti della funzione obiettivo (range di validità) india di quanto uò essere variato ogni singolo oeffiiente, tenendo fissi gli altri, senza he ambi la soluzione ottima del roblema (ambia erò il valore della soluzione ottima) 24

25 Analisi di sensibilità Il raorto sull analisi di sensibilità dei roblemi di PL fornise utili informazioni sulle onseguenze di eventuali ambiamenti dei oeffiienti della funzione obiettivo. Questo è utile sia er un analisi di tio what if, sia erhé i dati he vengono utilizzati nei modelli sono sesso inerti ed arossimati ed è quindi imortante saere osa aadrebbe se essi venissero modifiati. 25