7 Settimana 7-11 novembre

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "7 Settimana 7-11 novembre"

Transcript

1 7 Settimana 7-11 novembre 7.1 Topologia di R Definizione 7.1 Sia x R. Un insieme U R si die intorno di x se ontiene un intervallo aperto ontenente x. Equivalentemente, se esiste ɛ > 0 tale he ]x ɛ, x + ɛ[ U. Se W ontiene un intorno U di x, allora W è intorno di x. In partiolare, l unione (anhe infinita) di intorni di x è un intorno di x. Un intersezione finita di intorni di x è un intorno di x. Un intersezione infinita di intorni può non essere un intorno, ome nel aso di U n =] 1/n, 1/n[, n Z +. Grazie al onetto di intorni, possiamo riformulare la definizione di suessione onvergente nel seguente modo: la suessione (x n ) onverge a x se e solamente se per ogni U intorno di x, x n U definitivamente. Definizione 7.2 Un insieme A R si die aperto se è intorno di ogni suo punto. insieme F R si die hiuso se il suo omplementare F è un aperto. Un Proposizione 7.1 Unione (anhe infinita) di aperti è aperta. Intersezione finita di aperti è aperta. Intersezione (anhe infinita) di hiusi è hiusa. Unione finita di hiusi è hiusa. Proposizione 7.2 (Caratterizzazione di aperti e hiusi tramite suessioni) A R è aperto se e solamente se per ogni x A ogni suessione he onverge ad x appartiene ad A definitivamente. F R è hiuso se e solamente il limite di ogni suessione onvergente a valori in F appartiene ad F. Definizione 7.3 Sia E R. La parte interna di E è l insieme E:= A. A E La hiusura di E è l insieme E := F E F. Quindi la parte interna di E è un aperto (il più grande aperto ontenuto in E), mentre la hiusura di E è un hiuso (il più piolo hiuso he ontiene E). Vale E E E. Eserizio 7.1 Dimostrare le seguenti aratterizzazioni di parte interna e hiusura E= {x E E intorno di x} = {x E ɛ > 0 tale he ]x ɛ, x + ɛ[ E}, E = {x R U intorno di x risulta U E } = {x R ɛ > 0, ]x ɛ, x + ɛ[ E }. 1

2 Soluzione. Il punto x appartiene ad E se e soltanto se appartiene ad un aperto ontenuto in se e soltanto se E è un intorno di x, se e soltanto se esiste ɛ > 0 tale he ]x ɛ, x+ɛ[ E. Il punto x non appartiene ad E se e solamente se appartiene al omplementare di un hiuso ontenente se e solamente se esiste un intorno di x disgiunto da se e solamente se esiste ɛ > 0 tale he ]x ɛ, x + ɛ[ E =. Quindi x appartiene ad E se e solamente se per ogni intorno U di x risulta U E, se e solamente se per ogni ɛ > 0 risulta ]x ɛ, x + ɛ[ E =. Eserizio 7.2 Dimostrare he x E se e solamente se ogni suessione onvergente ad x appartiene ad E definitivamente. Dimostrare he x E se e solamente se esiste una suessione di elementi di E he onverge a x. Soluzione. Se x appartiene ad per la Proposizione 7.2 ogni suessione he onverge ad x appartiene ad E definitivamente ( E è aperto), e quindi ad E definitivamente. Vieversa, supponiamo he ogni suessione he onverge ad x appartiene ad E definitivamente e ragioniamo per assurdo: se x non appartenesse a per l eserizio 7.1 per ogni n Z + l insieme ]x 1/n, x+1/n[ E sarebbe non vuoto, quindi potremmo trovare una suessione x n ]x 1/n, x + 1/n[ E, he quindi onverge ad x ma i ui valori non appartiengono mai ad E. Se x per ogni n Z + l insieme ]x 1/n, x + 1/n[ E è non vuoto (eserizio 7.1), quindi detto x n un elemento di tale insieme si ha he x n E ed (x n ) tende a x. Se vieversa x è il limite di una suessione (x n ) a valori in allora in partiolare x n e dal fatto he E è hiuso segue he x E (Proposizione 7.2). Eserizio 7.3 Dimostrare le seguenti formule E = ( E ), E= (E ). Soluzione. Riordiamo le formule ( Allora si ha i I A i) = i I E = E = F E A E A i, F A ( = i I A i) = i I A E = F E A = E, F = E, A i. e passando ai omplementari si trovano le formule volute. 2

3 Eserizio 7.4 Dimostrare he A B = A B, he A B A B, ma he in generale l inlusione è stretta. Dimostrare he (A B)= A B, he (A B) A B, ma he in generale l inlusione è stretta. Soluzione. L insieme A B è hiuso e ontiene A B, quindi A B A B. D altra parte, da A A B (e B A B) segue he A A B (e B A B). Quindi A B A B, e periò vale l uguaglianza. L insieme A B è hiuso e ontiene A B, quindi A B A B. L esempio A = [0, 1[, B =]1, 2] mostra he l inlusione può essere stretta. Usando le formule dell eserizio 7.3 e quanto dimostrato sopra si ha (A B)= ((A B) ) = (A B ) = (A B ) = A B = A B, (A B)= ((A B) ) = (A B ) (A B ) = A B = A B, ome volevasi dimostrare. Definizione 7.4 Un elemento x R si die punto di aumulazione per E R se ogni intorno di x ontiene elementi di E diversi da x stesso. Equivalentemente, se per ogni ɛ > 0 l insieme (]x ɛ, x + ɛ[ E) \ {x} è non vuoto. Un elemento x E si die punto isolato di E se non è punto di aumulazione per E. L insieme dei punti di aumulazione è un hiuso. La hiusura di E è omposta dall unione (disgiunta) dei suoi punti di aumulazione e dei suoi punti isolati. Proposizione 7.3 Il punto x R è punto di aumulazione di E se e solamente se esiste una suessione x n E \ {x} he onverge ad x. Eserizio 7.5 Determinare parte interna, hiusura, punti di aumulazione e punti isolati degli insiemi { 1 A = m + 1 } { } m 2 m, n Z+, B = m N, n Z+. n n2 Soluzione. La parte interna di A è ovviamente vuota. Mostriamo he i punti di aumulazione di A sono tutti i soli i punti dell insieme { } 1 H := {0} k k Z+. Innanzitutto, è ovvio he tutti i punti di H sono punti di aumulazione di A: se U è un intorno di 0, allora il punto 2/n = 1/n + 1/n appartiene ad U per n suffiientemente grande; se V è un intorno di 1/k allora 1/k + 1/n appartiene a V per n suffiientemente grande. Mostriamo he ogni x R punto di aumulazione di A è un punto dell insieme H. Per la 3

4 aratterizzazione della Proposizione 7.3, esiste una suessione (1/n h + 1/m h ) h N di punti di A he tende ad x ma he non prende il valore x. Allora neessariamente (n h ) oppure (m h ) è illimitata (altrimenti la suessione prenderebbe un numero finito di valori, e quindi oiniderebbe on il suo limite x definitivamente). Supponendo ad esempio (m h ) illimitata e selta (m kh ) una sottosuessione divergente si hanno due asi: se (n kh ) è illimitata, neessariamente diverge, quindi 1/n kh + 1/m kh 0 e quindi x = 0; se (n kh ) è limitata, neessariamente è definitivamente uguale ad un erto n, quindi 1/n kh + 1/m kh 1/n e x = 1/n. Dato he la hiusura di A è l unione di A e dei suoi punti di aumulazione, A = A {0} (gli ltri punti di H appartengono ad A). I punti isolati di A sono pertanto tutti i punti in A \ H, ioè i punti della forma 1/n + 1/m tali he n + m non divide nm. Essendo omposto da numeri razionali, l insieme B ha parte interna vuota. Mostriamo he l insieme dei punti di aumulazione di B è l intervallo [0, + [. Ovviamente, ogni punto di aumulazione deve stare in questo intervallo. Sia x 0. Dato he i razionali sono densi in R, possiamo trovare una suessione di razionali positivi (n h /m h ) he onverge a x e he non prende il valore x. Allora (n 2 h /m2 h ) è una suessione di punti di B he onverge ad x senza prendere mai il valore x. Quindi la hiusura di B è anh essa l intervallo [0, + [, e B non ha punti isolati. Eserizio 7.6 Trovare un sottoinsieme E di R tale he i seguenti 7 insiemi risultino distinti: E. Dimostrare he ontinuando ad alternare parti interne e hiusure non se ne possono trovare di nuovi. Soluzione. Un esempio è l insieme per ui E = [0, 2] {3} [4, 5], E = [0, 1[ ]1, 2] {3} ([4, 5] Q), E=]0, 2[ ]4, 5[, E=]0, 1[ ]1, 2[, E = [0, 2] [4, 5], E = [0, 2], E=]0, 2[. Proseguendo in questo modo non si possono trovare insiemi nuovi per il seguente motivo. Se F è la hiusura di un aperto, allora la hiusura della parte interna di F oinide on F. Se A è la parte interna di un hiuso, allora la parte interna della hiusura di A oinide on A. Dimostriamo la prima affermazione. Per ipotesi F = A on A aperto. Dato he A F è un aperto, si ha A F, e prendendo le hiusure F = A F. D altra parte, essendo F F un hiuso, F F. Conludiamo he F = F. La seonda affermazione si dimostra in modo analogo, oppure si può dedurre dalla prima passando ai omplementari. Se infatti A = F on 4

5 , si ha A = F, quindi A è la hiusura di un aperto, e per la prima affermazione A = A. Ma il primo insieme è uguale a A, he a sua volte è uguale a ( A). Conludiamo he A = A. 5

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE. funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si dice continua in un punto c D se risulta.

FUNZIONI CONTINUE. funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si dice continua in un punto c D se risulta. FUNZIONI CONTINUE funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si die ontinua in un punto D se risulta Analizza bene la definizione: lim x f ( x) = f ( ) Il punto deve

Dettagli

Figura 2.1. A sottoinsieme di B

Figura 2.1. A sottoinsieme di B G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi Insiemi Generalità Un insieme è una ollezione distinguibile di oggetti, detti elementi dell'insieme Quando un elemento

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

Massimo e minimo limite di successioni

Massimo e minimo limite di successioni Massimo e minimo limite di successioni 1 Premesse Definizione 1.1. Definiamo R esteso l insieme R = R { } {+ }. In R si estende l ordinamento tra numeri reali ponendo < a < +, a R. In base a tale definizione,

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

Osservazione 1.1 Si verifica facilmente che esiste un unica relazione d ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato.

Osservazione 1.1 Si verifica facilmente che esiste un unica relazione d ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato. 1 Numeri reali Definizione 1.1 Un campo ordinato è un campo K munito di una relazione d ordine totale, compatibile con le operazioni di somma e prodotto nel senso seguente: 1. a, b, c K, a b = a + c b

Dettagli

Lezione 9. Prestazioni dinamiche dei sistemi di controllo

Lezione 9. Prestazioni dinamiche dei sistemi di controllo Lezione 9 Prestazioni dinamihe dei sistemi di ontrollo Caratterizzazione delle prestazioni dinamihe Le prestazioni dinamihe fanno riferimento al omportamento del sistema di ontrollo durante i transitori,

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora +

(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora + 1. Spazi di misura In questo paragrafo accenneremo alla nozione di spazio di misura. Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se : (1) A; (2) se A

Dettagli

L INSIEME DEI NUMERI REALI. DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali.

L INSIEME DEI NUMERI REALI. DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali. PROF GIOVANNI IANNE L INSIEME DEI NUMERI REALI DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali DEFINIZIONE DI INTERVALLO L intervallo è un particolare insieme

Dettagli

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 5. Funzioni continue Soluzione dell Esercizio 76. Osserviamo che possiamo scrivere p() = n (a n + u()) e q() = m (b m + v()) con lim

Dettagli

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p =

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p = 5. Rette e piani in R 3 ; sfere. In questo paragrafo studiamo le rette, i piani e le sfere in R 3. Ci sono due modi per desrivere piani e rette in R 3 : mediante equazioni artesiane oppure mediante equazioni

Dettagli

CALCOLO 2 COMPLEMENTI DI TEORIA

CALCOLO 2 COMPLEMENTI DI TEORIA CALCOLO 2 COMPLEMENTI DI TEORIA 1 In breve I) Sia A un aperto di R N. Per poter affermare he le f C 1 (A) soddisfano la tesi del Teorema di Lagrange per ogni selta di oppia di punti in A è neessario he

Dettagli

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione

Dettagli

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie per i Media Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Massimo A. Picardello BOZZA 10.11.2011 21:24 i CAPITOLO 1 Successioni

Dettagli

Esercizi sul Principio d Induzione

Esercizi sul Principio d Induzione AM110 - ESERCITAZIONI I - II - 4 OTTOBRE 01 Esercizi sul Principio d Induzione Esercizio svolto 1. Dimostrare che per ogni n 1, il numero α(n) := n 3 + 5n è divisibile per 6. Soluzione. Dimostriamolo usando

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Esercizi di preparazione allo scritto a.a. 2015-16 Esercizio 1. Dimostrare che Topologia 1. d(x, y) = max 1 i n x i y i definisce una distanza su R n. 2. d(x,

Dettagli

13 LIMITI DI FUNZIONI

13 LIMITI DI FUNZIONI 3 LIMITI DI FUNZIONI Estendiamo la nozione di ite a funzioni reali di variabile reale. Definizione caratterizzazione per successioni) Si ha fx) = L x 0, L R) se e solo se per ogni successione a n x 0 con

Dettagli

Presentazione di gruppi

Presentazione di gruppi Presentazione di gruppi Sia G un gruppo e X un suo sottoinsieme non vuoto, indichiamo con Gp(X) = {x ɛ 1 1 x ɛ 2 2... x ɛ n n x i X, ɛ i = ±1} dove gli elementi di questo insieme sono da intendersi come

Dettagli

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI 1. GLI ASSIOMI DI PEANO Come puro esercizio di stile voglio offrire una derivazione delle proprietà elementari dei numeri naturali e delle operazioni

Dettagli

Precorsi di matematica

Precorsi di matematica Precorsi di matematica Francesco Dinuzzo 12 settembre 2005 1 Insiemi Il concetto di base nella matematica moderna è l insieme. Un insieme è una collezione di elementi. Gli elementi di un insieme vengono

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

Esercizi sulla funzione integrale

Esercizi sulla funzione integrale Eserizi sulla funzione integrale Versione del 8 marzo 27 In questo fasioletto propongo aluni eserizi sulla funzione integrale. I testi della prima parte sono presi dalle prove assegnate agli esami di stato

Dettagli

3. Successioni di insiemi.

3. Successioni di insiemi. 3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare

Dettagli

TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO

TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO Si die he, per he tende a, la funzione y=f() ha per ite l e si srive: l = l I( ) ESEMPIO DI VERIFICA DI

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 2 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.5, 3.6,

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 4 Sommario. Dimostriamo il Teorema di Completezza per il Calcolo dei Predicati del I ordine. 1. Teorema di Completezza Dimostriamo il Teorema

Dettagli

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica Facoltà di Ingegneria Precorso di Matematica Parte I : Fondamenti di Matematica 1. Teoria degli insiemi e cenni di logica Il concetto di insieme costituisce l elemento fondante di gran parte delle esposizioni

Dettagli

Completezza e compattezza

Completezza e compattezza 1 Completezza e compattezza Spazi metrici completi Data una successione x : N X, j x j, una sua sottosuccessione è la composizione x ν, ove ν : N N è strettamente crescente. Data una successione (x j )

Dettagli

Analisi funzionale. Riccarda Rossi Lezione 9

Analisi funzionale. Riccarda Rossi Lezione 9 Riarda Rossi Lezione 9 Caratterizzazione della onvergenza debole in L p (Ω) Siano 1 < p < e {f n}, f L p (Ω): allora f n f in L p (Ω) Teorema di ompattezza debole in L p (Ω) Teorema Siano 1 < p < e {f

Dettagli

Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi

Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi ESERCIZI DI GEOMETRIA 3 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi Esercizio 1. Sia (X, d) uno spazio

Dettagli

I NUMERI. Si dice "radice quadrata" di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a.

I NUMERI. Si dice radice quadrata di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a. Questa dispensa rappresenta una breve introduzione ai numeri reali e alla loro Topologia, minimo necessario per affrontare serenamente lo studio dell ANALISI MATEMATICA. Inoltre non si ha la pretesa che

Dettagli

Teoria della Programmazione Lineare

Teoria della Programmazione Lineare 5 Teoria della Programmazione Lineare In questo capitolo iniziamo lo studio formale dei problemi di Programmazione Lineare e, in particolare, dimostriamo il Teorema fondamentale della Programmazione Lineare.

Dettagli

PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE.

PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO. INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE. DEF. Una funzione F() si die primitiva di una funzione y f() definita nell intervallo

Dettagli

1. equivalenze e implicazioni logiche. Esercizio 1.2. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R):

1. equivalenze e implicazioni logiche. Esercizio 1.2. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): . equivalenze e implicazioni logiche Esercizio.. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): () x < y, () x = y, () x y, () x y, () (x y) > 0. Osserviamo subito che (x y) > 0 equivale

Dettagli

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che

Dettagli

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile

Dettagli

ANALISI MATEMATICA III ELM+TEM A.A Traccia della lezione del 27 aprile 2012

ANALISI MATEMATICA III ELM+TEM A.A Traccia della lezione del 27 aprile 2012 ANALISI MATEMATICA III ELM+TEM A.A. 2011-2012 Traccia della lezione del 27 aprile 2012 April 27, 2012 1 Le distribuzioni come estensione dello spazio L 1 loc icordiamo quanto visto nella lezione precedente.

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE Tra tutte le urve, ne esistono quattro partiolari he vengono hiamate onihe perhé sono ottenute tramite l intersezione di una superfiie i-onia on un piano. A seonda della

Dettagli

1. Elementi di Calcolo Combinatorio.

1. Elementi di Calcolo Combinatorio. . Elementi di Calolo Combinatorio. Prinipio Base del Conteggio Supponiamo he si devono ompiere due esperimenti. Se l esperimento uno può assumere n risultati possibili, e per ognuno di questi i sono n

Dettagli

Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: C = {2, 4, 6, 8, 10,...}.

Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. Teoria degli insiemi Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: A = {a, b, c} B = {1, 2} C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. 2. Enunciando una proprietà che è

Dettagli

1 Se X e Y sono equipotenti, Sym(X) e Sym(Y ) sono isomorfi

1 Se X e Y sono equipotenti, Sym(X) e Sym(Y ) sono isomorfi In ogni esercizio c è la data del giorno in cui l ho proposto. 1 Se X e Y sono equipotenti, Sym(X) e Sym(Y ) sono isomorfi Se X è un insieme indichiamo con Sym(X) l insieme delle biiezioni X X. Si tratta

Dettagli

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA 1 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali e reali) CALCOLO LETTERALE RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA I NUMERI COMPLESSI ELEMENTI DI GEOMETRIA

Dettagli

1 Principio di Induzione

1 Principio di Induzione 1 Principio di Induzione Per numeri naturali, nel linguaggio comune, si intendono i numeri interi non negativi 0, 1,, 3, Da un punto di vista insiemistico costruttivo, a partire dall esistenza dell insieme

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

8. Completamento di uno spazio di misura.

8. Completamento di uno spazio di misura. 8. Completamento di uno spazio di misura. 8.1. Spazi di misura. Spazi di misura completi. Definizione 8.1.1. (Spazio misurabile). Si chiama spazio misurabile ogni coppia ordinata (Ω, A), dove Ω è un insieme

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I (corso tenuto dal Prof Alessandro Fonda) Università di Trieste, CdL Fisica e Matematica, aa 2012/2013 1 Principio di induzione 1 Dimostrare che per ogni numero naturale

Dettagli

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non

Dettagli

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x. ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se

Dettagli

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3)

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Nicola Durante 2011-12 Abstract 1 Insiemi numerici (Lezione del 5.10.11) 1.1 Cenni di teoria degli insiemi Richiamiamo brevemente alcuni simboli usati in

Dettagli

04 - Logica delle dimostrazioni

04 - Logica delle dimostrazioni Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 04 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 013/014 D. Provenzano,

Dettagli

Appunti di informatica. Lezione 7 anno accademico Mario Verdicchio

Appunti di informatica. Lezione 7 anno accademico Mario Verdicchio Appunti di informatica Lezione 7 anno accademico 2016-2017 Mario Verdicchio L algoritmo di Euclide per l MCD Dati due numeri A e B, per trovare il loro MCD procedere nel seguente modo: 1. dividere il maggiore

Dettagli

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/01/2013

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/01/2013 FACOLTÀ DI INGEGNERIA ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meania PROF A PRÁSTARO /0/03 Fig Diso D, ruotante, on rihiamo elastio radiale in un piano vertiale π, e portatore di aria

Dettagli

PRINCIPIO BASE DEL CONTEGGIO

PRINCIPIO BASE DEL CONTEGGIO Calolo ombinatorio PRINCIPIO BASE DEL CONTEGGIO Se dobbiamo ompiere due esperimenti onseutivi ed il primo esperimento può assumere N risultati diversi e per ognuno di questi il seondo esperimento ne può

Dettagli

Geometria della programmazione lineare

Geometria della programmazione lineare Geometria della programmazione lineare poliedri punti estremi, vertici, soluzioni di base esistenza di punti estremi rif. Fi 3.1; BT 2.1, 2.2, 2.5 Iperpiani, semispazi Definizione Sia a un vettore non

Dettagli

DEFINIZIONE DI INSIEME

DEFINIZIONE DI INSIEME ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO Indice 1 DEFINIZIONE DI INSIEME ------------------------------------------------------------------------------------------------ 3 2 METODI DI

Dettagli

COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ INDICE

COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ INDICE COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE INDICE 1. Principio di induzione e completezza dei numeri reali 1 1.1. Il principio di induzione 1 1.2. Completezza

Dettagli

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,

Dettagli

LIMITI. 1. Definizione di limite.

LIMITI. 1. Definizione di limite. LIMITI 1. Definizione di limite. Sia A un sottoinsieme di IR; se il numero reale x 0 è di accumulazione per A in ogni intorno di x 0 si trovano elementi di A distinti da x 0. Allora ha senso chiedersi

Dettagli

Soluzioni. Matematica. Dividere le figure. Nome:

Soluzioni. Matematica. Dividere le figure. Nome: 1) Dividi la figura in 6 parti uguali e indica a 2) Dividi la figura in 3 parti uguali e indica a 3) Dividi la figura in 4 parti uguali e indica a 4) Dividi la figura in 8 parti uguali e indica a 5) Dividi

Dettagli

Numeri cardinali. Definizione 1.1 Due insiemi A e B, non vuoti, si dicono equipotenti, e si scrive A B, se esiste un applicazione f : A B biunivoca.

Numeri cardinali. Definizione 1.1 Due insiemi A e B, non vuoti, si dicono equipotenti, e si scrive A B, se esiste un applicazione f : A B biunivoca. Numeri cardinali 1 Insiemi equipotenti e cardinalità Partiamo da un semplice esempio. Sia A = {a, b, c, d, e, f} l insieme delle prime sei lettere dell alfabeto. Che tipo di operazione facciamo per concludere

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...)

Dettagli

Programmazione Lineare

Programmazione Lineare Programmazione Lineare Andrea Scozzari a.a. 2012-2013 March 14, 2013 Andrea Scozzari (a.a. 2012-2013) Programmazione Lineare March 14, 2013 1 / 18 Metodo del Simplesso Dato un problema di PL in forma standard

Dettagli

Nozioni introduttive e notazioni

Nozioni introduttive e notazioni Nozioni introduttive e notazioni 1.1 Insiemi La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica, in quanto ne fornisce il linguaggio base e le notazioni. Definiamo un insieme come una collezione

Dettagli

Il teorema di Lusin (versione )

Il teorema di Lusin (versione ) G.Gorni 7/8 Il teorema di Lusin versione 8-6-). Distanza da un insieme Deinizione. Dato uno spazio metrico X, d), un sottinsieme non vuoto A X e un punto x X deiniamo distanza ra x e A il numero distx,

Dettagli

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 Esercizio 1. Usando l algoritmo euclideo delle divisioni successive, calcolare massimo comune divisore e identità di Bézout per le seguenti coppie

Dettagli

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte

ANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte ANALISI MATEMATICA 1 (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte Rispondere ai quesiti a risposta multipla Qi, risolvere gli esercizi Ei, enunciare le definizioni Di e svolgere le dimostrazioni

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN FISICA

CORSO DI LAUREA IN FISICA CORSO DI LAUREA IN FISICA ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia di R quindi

Dettagli

Note sulla correttezza di RSA e sulla complessità degli attacchi

Note sulla correttezza di RSA e sulla complessità degli attacchi Note sulla orrettezza di RSA e sulla omplessità degli attahi P. Bonatti 21 novembre 2016 1 Rihiami elementari di algebra Elevamento a potenza di binomi Riordiamo la definizione di oeffiiente binomiale:

Dettagli

Insiemi. Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un insieme.

Insiemi. Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un insieme. Insiemi Definizione: Definizione: Un Un insieme insieme è è una una collezione collezione di di oggetti oggetti individuati individuati da da una una Determinata Determinata specificazione. specificazione.

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche

Dettagli

LEZIONE 30. Se x = 1 si dice che x è un versore. Se poi y = (y 1,..., y n ) R n poniamo. Ricordiamo che vale la cosiddetta disuguaglianza triangolare

LEZIONE 30. Se x = 1 si dice che x è un versore. Se poi y = (y 1,..., y n ) R n poniamo. Ricordiamo che vale la cosiddetta disuguaglianza triangolare LEZIONE 30 30.1. Insiemi aperti e chiusi in R n. Nel corso di Analisi sono state introdotte alcune nozioni di topologia di R, come la nozione di aperto, di chiuso, di punto d accumulazione. Lo scopo di

Dettagli

7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI

7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI 7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI Sia E un insieme numerico, sia cioè. Esempi Si dice che E è un insieme APERTO se tutti i suoi punti sono interni. Ogni intervallo aperto (dove

Dettagli

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 Corso integrato di Matematica per le scienze naturali ed applicate Materiale integrativo Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine, via delle Scienze

Dettagli

CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione

CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI Fondamenti Segnali e Trasmissione Numerizzazione dei segnali Nei moderni sistemi di memorizzazione e trasmissione i segnali in ingresso sono di tipo numerio, normalmente

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO 1 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO nota per il orso di Teleomuniazioni a ura di F. Benedetto G. Giunta 1. Introduzione Il proesso di ampionamento è di enorme importanza ai fini della realizzazione dei dispositivi

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

1 Alcune idee classiche di topologia euclidea

1 Alcune idee classiche di topologia euclidea CAPITOLO 1 LA DIMENSIONE 1 Alcune idee classiche di topologia euclidea Nota In questa sezione iniziamo la discussione del concetto di dimensione topologica Proprietà di normalità Nella discussione che

Dettagli

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo. Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione

Dettagli

Dato un intervallo limitato A di estremi a e b con a b, si definisce misura dell intervallo il numero b a e si indica con :

Dato un intervallo limitato A di estremi a e b con a b, si definisce misura dell intervallo il numero b a e si indica con : E-school di Arrigo Amadori Analisi I Integrali di Riemann 01 Introduzione. L integrale è, oltre alla derivata, l altro oggetto fondamentale che sta alla base del calcolo differenziale. Con gli integrali

Dettagli

Teoria di Lebesgue. P n E = n=1

Teoria di Lebesgue. P n E = n=1 Teoria di Lebesgue 1. La misura di Peano-Jordan La misura di Peano Jordan di un insieme é quasi sempre proposta per sottoinsiemi limitati E R 2 : si tratta di quanto suggerito dalla carta quadrettata,

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

Un insieme si dice ben definito quando si può stabilire in modo inequivocabile se un oggetto appartiene o non appartiene a tale insieme

Un insieme si dice ben definito quando si può stabilire in modo inequivocabile se un oggetto appartiene o non appartiene a tale insieme Gli insiemi In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti (persone, simboli, numeri, lettere, figure ) che sono detti elementi dell insieme

Dettagli

Esercizi di ottimizzazione vincolata

Esercizi di ottimizzazione vincolata Esercizi di ottimizzazione vincolata A. Agnetis, P. Detti Esercizi svolti 1 Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata max x 1 + x 2 x 1 4x 2 3 x 1 + x 2 2 0 x 1 0 studiare l esistenza di punti

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)

Dettagli

0 Insiemi, funzioni, numeri

0 Insiemi, funzioni, numeri Giulio Cesare Barozzi, Giovanni Dore, Enrico Obrecht Elementi di analisi matematica - Volume 1 Zanichelli 0 Insiemi, funzioni, numeri Esercizi 0.1. Il linguaggio degli insiemi 0.1.1. Esercizio Poniamo

Dettagli

Esercizio L1 L2 L3. Il numero 1152 scomposto in fattori primi si scrive [1] [2] [3] 7 31 [4] Risposta

Esercizio L1 L2 L3. Il numero 1152 scomposto in fattori primi si scrive [1] [2] [3] 7 31 [4] Risposta Il numero 1152 scomposto in fattori primi si scrive [1] 2 7 3 2 [2] 2 5 11 [3] 7 31 [4] 1152 Il numero 1152 termina con la cifra 2 e, di conseguenza, è divisibile per 2. Questo significa che ha il numero

Dettagli

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema

Dettagli

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE.

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. PH. ELLIA Indice Introduzione 1 1. Divisori di un numero. 1 2. Il Teorema Fondamentale dell Aritmetica. 2 3. L insieme dei numeri primi è

Dettagli