3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon

Transcript

1 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon ordine per A, oppure (equivalentemente) che (A, ) è un insieme bene ordinato se ogni sottoinsieme non vuoto di A ha minimo (rispetto alla restrizione ad esso di ). Osservazione Ogni buon ordine è una relazione di ordine totale. Dimostrazione Sia A un insieme, e sia un buon ordine per A. Siano B, C A. Per ipotesi, { BC, } ha minimo: se tale minimo è B, si ha che B C; se tale minimo è C, si ha che C B. In ogni caso BC, sono confrontabili e dunque è una relazione di ordine totale in A. Esempio La relazione di ordine Ÿ in definita nella sez. 2.8 è un buon ordine per (lo si è provato col teorema 2.9.2). Osservazione L usuale relazione di ordine Ÿ definita in non è un buon ordine per (l insieme dei " numeri razionali rappresentati dalle frazioni della forma 8 con 8 non ha minimo; e del resto lo stesso insieme non ha minimo). L usuale relazione di ordine Ÿ definita in non è un buon ordine per (valgono in sostanza gli esempi appena visti per ). Esempio Si pone ³ { B ÎBœ( 8, 2) con 2 {!, "}} e si definisce in la seguente relazione : ( 8, 2 ) ( 7, 5) se e soltanto se ( 2œ! e 5œ" ) oppure ( 2œ5 e 8Ÿ7 in ). La relazione così definita è un buon ordine in.

2 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 2 Teorema ( del buon ordine ) Qualunque sia l insieme A, esiste un buon ordine per A. Dimostrazione Sia A un insieme. Se A œ g, non c è niente da dimostrare (la relazione vuota, che è l unica relazione su A, è un buon ordine per A). Possiamo dunque supporre A Ág. Sia U l insieme ( 1) delle coppie ordinate (B, Ÿ B) tali che B A e Ÿ B è un buon ordine per B. Poiché A Ág, anche U Ág(se B è un qualsiasi sottoinsieme finito di A, c è sicuramente almeno un ordine in B con la proprietà richiesta). Definiamo in U la seguente relazione (di continuazione ): (X, Ÿ ) (Y, Ÿ ) (e si dice che (X, Ÿ ) trova continuazione in (Y, Ÿ ) ( 2)) sse X Y ( 3 ) X Y ( 33) Ÿ X è la restrizione a X di Ÿ Y ( 333) B Ÿ C per ogni B X e per ogni C YÏX. Y X Si verifica senza problemi che è una relazione di ordine su U. Osserviamo ora che ogni catena V di U ha una limitazione superiore in U. Sia B V l unione degli insiemi B che compaiono come primo elemento nelle coppie di V, e sia Ÿ l unione ( 3 V ) delle relazioni che compaiono come secondo elemento nelle coppie di V: è immediato verificare che (B, Ÿ B) (B V, Ÿ V) per ogni (B, Ÿ B) V. Per dimostrare che (B V, Ÿ V ) è una limitazione superiore per V in U resta da provare che (B, Ÿ ) U, cioè che Ÿ V è un buon ordine per B. V V Sia X un sottoinsieme non vuoto di B V e sia B X ; allora esiste B tale che (B, Ÿ B) V e B B, cosicché X B Á g e (poiché Ÿ B è un buon ordine per B) X B ha minimo 7(rispetto all ordine Ÿ B ). Poiché (B, Ÿ B) (B V, Ÿ ), in base alla condizione ( 333) per ogni C Xψ V X B è 7Ÿ V C e dunque 7 è anche minimo per X rispetto a Ÿ V. Si è così provato che Ÿ V è un buon ordine per B V, come si voleva. Dunque ogni catena di U ha una limitazione superiore in U. Possiamo applicare il lemma di Zorn (teorema 3.2.1) e concludere che esistono un sottoinsieme B! di A e una relazione di ordine Ÿ in B tali che (B, Ÿ ) è massimale rispetto a. B!!!! B Vogliamo provare che B! œ A (da cui immediatamente il nostro asserto). Ma se così non fosse esisterebbe +! AÏ B!; si potrebbe allora porre B ³ B! { +!} ed estendere Ÿ B! ad una relazione Ÿ B in B per la quale ogni elemento di B precede + : la coppia (B, Ÿ B ) *!! apparterrebbe a U e si avrebbe (B!, Ÿ B ) (B, Ÿ B ) assurdo per la massimalità di! * (B!, Ÿ ) in U rispetto a. B! V Y 1 Si osservi che U può essere definito mediante l assioma-schema di separazione, essendo un sottoinsieme di k (A) k(a A). 2 si dice anche che (X, Ÿ ) è segmento iniziale di (Y, Ÿ ). X 3 ricordiamo che ogni relazione è un insieme di coppie ordinate! Y

3 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag Dal buon ordine all assioma della scelta. Deduciamo infine a b dal principio del buon ordine. T - Sia A un insieme i cui elementi sono a due a due disgiunti, e sia Ÿ un buon ordine per A. Posto B ³ { B A ÎB X con X A, e B œ min(x, Ÿ )} (un tale insieme B esiste per l assioma-schema di separazione), è immediato verificare che ogni elemento di B appartiene a un elemento di A, e in ogni elemento non vuoto di A c è uno e un solo elemento che appartiene a B. Esercizio Si commenti la seguente affermazione, attribuita a Bertrand Russell: Per scegliere, tra infinite paia di calzini, un calzino per ogni paio serve l assioma della scelta; mentre per scegliere, tra infinite paia di scarpe, una scarpa per ogni paio non c è bisogno dell assioma della scelta Ancora sugli insiemi bene ordinati. Un insieme bene ordinato ha significativi punti in comune con l insieme (, Ÿ ) che abbiamo studiato nel capitolo 2. Ad esempio, si può generalizzare la nozione di successivo. Per evitare confusione, noi useremo qui un termine simile ma diverso. Sia (A, ) un insieme bene ordinato. Se + A, ( + diverso dall eventuale massimo di A) si dice successore di + l elemento + "³ min{ B A Î+ B (cioè, + B e + ÁB)}. Osservazione Sia (A, ) un insieme bene ordinato, e siano +,, A. Se + e, hanno lo stesso successore, allora +œ,. Dimostrazione Per l oss , è una relazione di ordine totale in A. Supponiamo che sia +, ; allora + ",, " da cui + ", ", contro l ipotesi che sia + "œ, "Þ Analogamente si raggiunge un assurdo supponendo che sia, +, dunque non può che essere +œ,.

4 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 4 Sia (A, ) un insieme bene ordinato. Ovviamente il minimo di (A, ) non è successore di alcun elemento di A; ma non è necessariamente l unico elemento di A con tale proprietà. Un elemento di A (diverso dal minimo) che non è successore di alcun elemento di A si dice un elemento limite di A. Osservazione Sia (A, ) un insieme bene ordinato. Accenniamo, per una volta senza preoccuparci troppo delle formalità ( 4), a come si possono indicare gli elementi di A. Poiché A ha minimo, indichiamo con! tale minimo; indichiamo poi con " il successore di!, con 2 il successore di " e così via. Se, raggiunto un numero naturale 8, si sono esauriti gli elementi di A, il nostro compito è finito; altrimenti, indichiamo con = il minimo degli elementi che non si possono indicare con alcun numero naturale, con = " il suo successore, con = # il successore di = " e così via. Se ci sono elementi di A che non si possono indicare né con alcun numero naturale 8 né con alcuna scrittura della forma = 8, indichiamo con =# il minimo di tal elementi. Proseguendo allo stesso modo, avremo in A elementi che si indicano con = # ", = # #, = # $, á, = $, á, = 8, á. Se ancora non sono esauriti gli elementi di A, il minimo di quelli # # # che rimangono sarà indicato con =. Poi, naturalmente, potremo avere = ", = #, á, # # $ 8 8 " = = = =, á, = 8 = 2 5, á, =, á, = 7 = 7 á, =, á, = = á =, á. " Teorema Sia (A, ) un insieme bene ordinato. Ogni sottoinsieme non vuoto B di A che sia superiormente limitato ha estremo superiore. Dimostrazione Infatti se l insieme L delle limitazioni superiori di B non è vuoto deve esistere il minimo di L che appunto, per definizione, è l estremo superiore di B. Un altra analogia fra gli insiemi bene ordinati e l insieme dei numeri naturali è data dalla possibilità di procedere induttivamente, sia per le dimostrazioni che per definire funzioni; per le dimostrazioni, però, è sufficiente una proprietà un po più debole del buon ordinamento: la studieremo nella prossima sezione, tornando poi agli insiemi bene ordinati per alcune applicazioni. 4 per le quali sarebbe comunque necessario utilizzare l assioma della scelta; torneremo in parte sulla questione con il teorema

5 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag Insiemi ben fondati. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che (A, ) è un insieme ben fondato se ogni sottoinsieme non vuoto di A ha almeno un elemento minimale (rispetto alla restrizione ad esso di ). È chiaro che ogni ogni insieme bene ordinato è ben fondato; e che un insieme ben fondato è bene ordinato se e soltanto se la relazione di ordine considerata è totale. Esempio Sia l la relazione divide in (cioè: comunque presi B, C, BlC se e soltanto se esiste 8 tale che Cœ8B). Allora (, l) è un insieme ben fondato ma non bene ordinato (infatti la relazione l non è una relazione di ordine totale). Teorema Sia (A, ) un insieme ordinato. Sono fatti equivalenti: ( 3 ) (A, ) è ben fondato; ( 33 ) in (A, ) vale il principio generalizzato di induzione: se P( + ) è una proprietà tale che (*) per ogni B A, se P( C) è vera per ogni C Ballora anche P( B) è vera allora P( + ) è vera per ogni + A. Dimostrazione () 3 Ê ( 33). Supponiamo che valga la (*) e dimostriamo che P( + ) è vera per ogni + A. Sia F ³ { B A ÎP( B) è falsa} e supponiamo per assurdo che F non sia vuoto; per la ( 3Ñ esiste in F un elemento minimale 7. Allora per ogni C 7non può essere C F, cioè P( C) è vera: per la (*) allora anche P( 7) è vera, e questo è assurdo perché 7 F. Dunque F è vuoto, cioè P( + ) è vera per ogni + A, come si voleva dimostrare. ( 33) Ê ( 3). Dobbiamo provare che ogni sottoinsieme di A ha almeno un elemento minimale. Sia B un sottoinsieme di A senza elementi minimali, e dimostriamo che B è vuoto: utilizziamo il principio generalizzato di induzione per dimostrare che la proprietà P( B ) ³ B  B è vera per ogni B A. Dobbiamo dimostrare che per ogni B A se P( C) è vera per ogni C B allora anche P( B) è vera cioè che per ogni B A se CÂB per ogni C Ballora nemmeno B B ; ma in effetti se esistesse B! B tale che CÂB per ogni C B, tale Bsarebbe un elemento minimale di B, contro l ipotesi che B sia un sottoinsieme di A privo di elementi minimali.

6 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 6 Sia A un insieme. Ricordiamo che si dice successione a valori in A, o anche semplicemente successione in A, una funzione f: Ä A Þ Se f è una successione in A, si scrive spesso f anziché f( 8), e la stessa f si indica con la notazione ( f ). 8 8 Una successione si dice stazionaria se esiste 8 tale che f œ f per ogni 8 8! 8 8!!. Sia (A, ) un insieme ordinato. Una successione in A si dice decrescente se comunque presi 8, 8 si ha " # 8" Ÿ 8 # Ê f f 8 8 " #. Teorema Sia (A, ) un insieme ordinato. Sono fatti equivalenti: ( 3 ) (A, ) è ben fondato; ( 33) ogni successione decrescente in A è stazionaria. Dimostrazione () 3 Ê ( 33). Sia ( f 8 ) una successione decrescente in A, e sia B la sua immagine: per la ( 3) in B c è un elemento minimale 7! che è l immagine di un certo 8!. Per ogni 8 8!, deve essere f8 Ÿ f8 œ 7 f8 œ 7 7!! (perché la successione è decrescente) da cui! (per la minimalità di! in B) come si voleva dimostrare. ( 33) Ê ( 3). Sia B un sottoinsieme di A, e supponiamo per assurdo che in B non ci siano elementi minimali; in particolare, comunque presi,,,, á,, B l insieme " # =.(,",,#, á,, = ) ³ { B B ÎB, " e B, #, á, e B, = } non è vuoto. Sia,! B, e sia f una funzione di scelta su k(b); definiamo induttivamente come segue una successione 5 a valori in B: 5(!) ³,! ; 5( 8 ) ³ f(b \ 5({!"#á,,,, 8})). La successione 5 è decrescente ma non è stazionaria, contro la ( 33). Poiché ciò è assurdo, in B ci devono essere elementi minimali.

7 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 7 Osservazione Nella dimostrazione del teorema abbiamo utilizzato certi sottoinsiemi.(,",,#, á,, = ) di B definiti mediante l assioma-schema di separazione. A suo tempo (oss ) ci eravamo impegnati ad usare tale schema di assioma soltanto un numero finito di volte; ma per ognuna delle infinite scelte di,",,#, á,, = la condizione che definisce quali elementi di B costituiscono il sottoinsieme.(,",,#, á,, = ) è diversa! Stiamo venendo meno all impegno preso? Naturalmente, no! Di fatto, possiamo utilizzare l assioma di separazione una sola volta definendo per, B il sottoinsieme.(,) ³ { B B ÎB,} e ponendo poi.(,,,, á, ³.(, ). " # = 3 3œ" = Applicazioni del principio generalizzato di induzione agli insiemi bene ordinati. Sia (A, ) un insieme ordinato. Una funzione f : A Ä A si dice strettamente crescente se comunque presi + ", + # A + + Ê f( + ) f( + ). " # " # Teorema Sia (A, ) un insieme bene ordinato. Per ogni funzione f : A Ä A strettamente crescente si ha +Ÿ f( + ). Dimostrazione Applicando il principio generalizzato di induzione, basterà dimostrare che per ogni B A (*) se per ogni C Bsi ha CŸf( C), allora BŸf( B). In effetti, supponiamo per assurdo che esista B! A tale che per ogni C B! si ha CŸf( C), ma f( B! ) B!. Allora deve essere f( B! ) Ÿ faf( B! ) b (perché f( B! ) B! ) ma anche faf( B! ) b f( B! ) (perché f è crescente): poiché ciò è assurdo, un tale B! non esiste; si è così provata la (*) e quindi il teorema.

8 Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 8 Teorema ( di recursione transfinita ) Sia (A, ) un insieme bene ordinato. Indichiamo con! il minimo di A. A Siano B un insieme,,! B e w una funzione A B Ä B ( 5). Esiste una e una sola funzione f : A Ä B tale che f (!) œ,! e inoltre f( + ) œ w( +, f ) per ogni + A k [!+ (indicando con f la restrizione di f all intervallo [ ). k [!+!+ Dimostrazione Dobiamo provare che per ogni + A esiste una e una sola funzione f : A Ä B tale che f (!) œ,! e inoltre f( + ) œ w( +, fk [!+ ). Procediamo per induzione generalizzata, supponendo l asserto vero per ogni B +. È subito chiaro che se f esiste essa è unica; supponiamo infatti che anche g sia tale che g (!) œ,! e inoltre g( + ) œ w( +, gk [!+ ). Per ogni B + è g( B) œf( B) grazie all ipotesi di induzione, dunque gk coincide con fk e quindi anche g( + ) œ w( +, gk ) œ w( +, fk ) œ f( + ). [!+ [!+ [!+ [!+ Ora supponiamo che per ogni B + esista una funzione f : A ÄB (che abbiamo appena visto essere necessariamente unica) tale che f (!) œ,! e inoltre f( B) œ w( B, fk [!B ). Questo ci permette di definire la f anche in + mediante la condizione f( + ) ³ w( +, fk [!+ ) ; e il teorema è così dimostrato. 5 A indichiamo con B l insieme di tutte le funzioni A Ä B.