ESERCIZI ELEMENTI TEORIA DEGLI INSIEMI A.A. 2017/2018 Giovanni Luciano Matr TEORIA ZF E ASSIOMI DI PEANO. Esercizio 1

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1 ESERCIZI ELEMENTI TEORIA DEGLI INSIEMI A.A. 2017/2018 Giovanni Luciano Matr TEORIA ZF E ASSIOMI DI PEANO Esercizio 1 Dimostrare che A B F un(a, B) Abbiamo visto a lezione l esistenza dell insieme A B = {t P(P(A B) a A b B t = (a, b)}, allora per l assioma delle parti esiste anche l insieme P(A B) e per l assioma di separazione esiste allora l insieme: F un(a, B) = {t P(A B) a A!b B (a, b) t} Esercizio 2 Dimostrare le seguenti proprieta di somma e prodotto definite sui naturali: 1. La somma e commutativa: x, y N x + y = y + x; 2. La somma e associativa: x, y, z N (x + y) + z = x + (y + z); 3. Il prodotto e commutativo: x, y N xy = yx; 4. Il prodotto e associativo: x, y, z N (xy)z = x(yz); 5. Vale la proprieta distributiva: x, y, z N z(x + y) = zx + zy. 1. Procediamo per induzione su y: y = 0 : x + 0 = 0 + x = x e vero per come abbiamo definito la somma sui naturali; y S(y) : x + S(y) = S(x + y) = per Hp induttiva = S(y + x) = y + S(x), dove abbiamo usato che per definizione di somma x + S(y) = S(x + y). 2. Procediamo per induzione su z: z = 0 : (x + y) + 0 = x + y + 0 = x + (y + 0) e banalmente vera; z S(z) : (x+y)+s(z) = S((x+y)+z) = per Hp induttiva = S(x+(y+z)) = x+s(y+z) = x + (y + S(z)). 3. Procediamo per induzione su y: y = 0 : x 0 = 0 x = 0 e vera per come e stato definito il prodotti sui naturali; y S(y) : x S(y) = xy + x = per Hp induttiva = yx + x = S(y) x. 4. Procediamo per induzione su z: z = 0 : (xy) 0 = x(y 0) = 0 e vera per definizione di prodotto sui naturali; z S(z) : (xy)s(z) = (xy)z + xy = per Hp induttiva = x(yz) + xy = x(yz + y) = x(y S(z)).

2 5. Procediamo per induzione su y: y = 0 : z(x + 0) = zx = zx + z 0; y S(y) : z(x + S(y)) = z(s(x + y)) = z(x + y) + z = per Hp induttiva = zx + zy + z = zx + z S(y). Esercizio 3 Dimostrare che la relazione: x, y N x < y se z N, z 0 t.c. x + z = y e un ordine totale. Dobbiamo dimostare che valgono le seguenti proprieta : Irriflessiva: n N n n Procediamo per induzione su n: n = 0 : 0 0 e vera in quanto non esiste m N, m 0 tale che 0 + m = 0 altrimenti ci implicherebbe m = 0, assurdo; n S(n) : Se per assurdo S(n) < S(n) m N, m 0 t.c. S(n) = m + S(n) = S(m + n) n = m + n essendo la funzione successore iniettiva, il che e assurdo. Transitiva: x, y, z N (x < y y < z) x < z x < y h 0 N : x + h = y; inoltre y < z k 0 N : y + k = z x + h + k = z. Dimostriamo che h, k 0 h + k 0: essendo k 0 allora k e il successore di un certo a N k = S(a), per cui si ha che h + k = h + S(a) = S(h + a) 0 in quanto la funzione successore e definita come: S : N 0 N 0 / Im(S). Allora h + k 0 h + k = l N x + l = z x < z. Asimmetrica: n, m N n < m m n Procediamo per assurdo: se si avesse n < m m < n allora per transitivita : n < n, impossibile per l irriflessivita della relazione. Tricotomia: x, y N, x y vale una ed una sola delle seguenti possibilita : x < y ; y < x Procediamo per induzione su y: y = 0 : allora necessariamente x < 0 essendo x y x, y N; y S(y) : per Hp induttiva ho due possibilita : 1) Se x < y, essendo y < S(y) ho per transitivita x < S(y) 2) Se y < x ho invece i tre casi: S(y) = x; S(y) < x; x < S(y) tuttavia l ultimo caso implicherebbe necessariamente x y per come abbiamo definito la funzione successore, mentre abbiamo supposto y x e y < x, per cui per l irriflessiva ho che x S(y) S(y) x. Esercizio 4 Dimostrare le seguenti proprieta : 1. x, y ω x y ˆx ŷ 2. x, y x y y ω x ω 3. x, y, z ω x y y z x z 4. (ω, ) e un ordine totale.

3 1. Procediamo per induzione su y: y = 0 : in questo caso la proprieta e vera a vuoto; y ŷ : supponiamo x ŷ e dimostriamo che ˆx ŷ. Essendo per definizione ŷ = y {y} ho due casi: 1) x y allora per Hp induttiva ˆx ŷ ˆx ŷ 2)x {y} x = y ˆx = ŷ ŷ. 2. Procediamo per induzione su y: y = 0 : la proprieta e vera a vuoto; y ŷ : essendo per definizione ŷ = y {y} distinguo due casi: 1) x y x ω per Hp induttiva 2) x {y} x = y ma y ω dunque x = y ω. 3. Procediamo per induzione su z: z = 0 : allora la tesi e vera a vuoto poiche non e mai verificata l ipotesi y 0; z ẑ : per ipotesi abbiamo che y ẑ y z oppure y = z, distinguiamo i due casi: 1) se y = z, essendo per ipotesi x y si ha che x y = z x z 2) se y z, allora la tesi e vera per ipotesi induttiva. 4. Dobbiamo verificare che su (ω, ) valgono le proprieta : irriflessiva, antisimmetrica, transitiva e tricotomica: Transitiva: verificata nel punto precedente Irriflessiva: x ω x / x Procediamo per induzione su x: x = 0 : banalmente 0 / 0; x ˆx : proviamo la contronominale: ˆx ˆx x x. Essendo ˆx = x {x}, distinguo due casi: 1)ˆx x x ˆx x per la transitiva x x. 2)ˆx = x x ˆx = x. Tricotomia: x, y ω vale una ed una sola delle seguetni proprieta : x y; x = y; y x. Notiamo innanzitutto che per transitivita e irriflessivita puo verificarsi al piu uno dei tre casi. Dimostriamo ora che almeno uno dei tre casi si verifica sempre. Procediamo per induzione su y dimostrando la proprieta : P (y) : x ω x y x = y y x P (0) risulta vera a vuoto; Dimostriamo che se y e confrontabile anche ŷ lo e : per Hp induttiva sappiamo che x y x = y y x Nel primo e secondo caso abbiamo che x ŷ; mentre nel terzo caso, usando la (1) abbiamo che ŷ ˆx, da cui ŷ x ŷ = x ŷ e confrontabile.

4 Antisimmetrica: x, y ω x y y / x Se per assurdo si avesse x y y x allora per la transitiva avrei x x, assurdo per l irriflessiva. Esercizio 5 Dimostrare che (ω, ) e bene ordinato. Dimostriamo che su (ω, ) il principio di buon ordinamento e il principio di induzione forte sono equivalenti: (I) Buon ordinamento: Ogni sottoinsieme non vuoto X ω ha un elemento minimo (II) Induzione forte: Sia P(x) una proprieta e supponiamo valgano: (a) P(0) (b) Se x ω, x 0 vale y < x P (y) P (x) allora x ω P (x). (I) (II): Per assurdo supponiamo P (x) tale che soddisfi (a) e (b) ma che non valga x ω. Consideriamo allora l insieme X = {x ω P (x)}; tale insieme e non vuoto e per (I) m = minx. Si ha che m 0 in quanto P(0) vale e per definizione di elemento minimo y < m y / X y < m vale P (y). Ma allora per (b) si avrebbe che anche P(m) e soddisfatta, mentre avevamo supposto m X. (II) (I): Per assurdo supponiamo X ω, X e senza minimo. Consideriamo la proprieta P (x) : x / X. P(0) vale altrimenti si avrebbe 0 = minx; supponiamo y < x P (y), necessariamente anche x / X altrimenti si avrebbe x = minx, ma allora per (II) P(x) sarebbe vera x X X =, assurdo. Esercizio 6 Dimostrare le seguenti proprieta : (a) n, m ω n m n m (b) k, n ω k = n k = n (a) Notiamo innanzitutto che non puo essere n = m poiche altrimenti si avrebbe m m contro l irriflessiva. ) Procediamo per induzione su m: m = 0 : la tesi e vera a vuoto; m ˆm : abbiamo che n ˆm n m n = m, distinguiamo i due casi: (I) se n m allora per Hp induttiva n m ˆm (II) se n = m allora si ha n = m ˆm ) Procediamo anche qui per induzione su m: m = 0 : la tesi e vera a vuoto; m ˆm : si ha n ˆm n m m n, distiguiamo i casi:

5 (I) Se n m allora per Hp induttiva n m (II) se m n allora ho che m n ˆm ma cio e assurdo perche tra un numero e il successivo non ve ne possono essere altri per come e stata definita la funzione successore. (b) Se per assurdo n k allora si avrebbe che uno e minore dell altro, ad esempio k < n, d altronde sappiamo che k = n f : k n bigettiva, e l esistenza di tale bigezione andrebbe contro il principio dei cassetti. Esercizio 7 Dimostrare che se A e B sono insiemi finiti allora anche A B, A B, A\B, P(A), A B, f(a) sono finiti. A B B ed e finito perche dalla teoria sappiamo che sottoinsiemi di insiemi finiti sono finiti. A \ B A e finito perche sottoisieme di un insieme finito A B. Sia n = B, procediamo per induzione su n: n = 0 B = A = A n ˆn : sia b B e scriviamo B = (B \ {b}) {b} abbiamo allora A B = A ((B \ {b}) {b}) = (A (B \ {b})) {b} Ma A (B \ {b}) e finita per Hp induttiva e {b} = 1 A B e finito. P(A). Sia n = A, procediamo per induzione su n. n = 0 : A = P(A) = { } P(A) = 1 n ˆn : sappiamo ora che A = ˆn. Sia a A, scriviamo A = (A \ {a}) {a}. Concludiamo utilizzando il fatto che l unione di due insiemi finiti e finita e che P(A) e costituito dai sottoinsiemi di A \ {a} che sono finiti per Hp induttiva e da quelli di {a}, anch essi finiti. A B P(P(A B)) e per i punti precedenti sappiamo che P(P(A B)) e finito. Ma allora A B e sottoinsieme di un insieme finito e dunque e finito. Sappiamo che f(a) = {f(a) a A} dove A Dom(f). f(a) A. Ma allora necessariamente Esercizio 8 Dimostrare che se F e una famiglia finita di insiemi finiti allora anche F F F e finita. Poniamo n = F e procediamo per induzione su n: n = 0 la tesi e vera essendo F = n ˆn : scriviamo F F F = F 1 F 2... Fˆn = n i=1 F i Fˆn. Il primo pezzo dell unione e finito per Hp induttiva e anche il secondo lo e essendo gli insiemi della famiglia finiti per ipotesi. Concludiamo grazie all esercizio precedente che ci assicura la finitezza dell unione di due insiemi finiti.

6 Esercizio 9 Dimostrare che le definzioni di somma e prodotto tra naturali sono ben poste: Somma: n + m = A B dove A = n, B = m, A B = Prodotto: n m = A B dove A = n, B = m. Osserviamo preliminarmente che nell esercizio precedente abbiamo dimostrato che unione e prodotto cartesiano di insiemi finiti sono ancora finiti. Inoltre n, m ω A, B tali che A = n, B = m, A B =, ad esempio prendendo A = n e B = m {0}. D altra parte abbiamo visto negli esercizi della prima parte del corso che se A = A, B = B A B = A B e A B = A B Esercizio 10 Dimostrare che n ω, n + 1 = ˆn e che non esistono m ω tali che n < m < n + 1 Essendo per definizione ˆn = n {n}, per come e stata definita la somma si ha che n + 1 = n {n}, che e un unione disgiunta. Dimostriamo la seconda affermazione: m < n + 1 m ˆn m = n m n, ma in entrambi i casi ottengo allora m n. Esercizio 11 Verificare che l insieme (ω,, +,, 0) soddisfa gli Assiomi di Peano: (P A1) x ω (x 0) ( y ω S(y) = x) (P A2) x, y ω (x y) (S(x) S(y)) (P A3.1) x ω x + 0 = x; (P A3.2) x, y ω (x + S(y) = S(x + y)) (P A4.1) x ω x 0 = 0; (P A4.2) x, y ω (x(y) = (x y) + x) (P A5)Induzione al secondo ordine: siaa ω; se x (x A) (S(x) A) A = ω. (PA1) e (PA2) dicono che S e una bigezione tra ω e ω \ 0} e questo e gi stato dimostrato a lezione. Per dimostrare (PA3.1) notiamo che = 0 e che se A = x A = A = x. Per (PA3.2) procediamo in questo modo: siano A = x, B = y con A e B disgiunti, allora per definizione di somma x + y = A B. Consideriamo ora z / A B si ha che: x + S(y) = x + y + 1 = A (B {z}) = (A B) {z} = (x + y) + 1 = S(x + y) (PA4.1) segue dal fatto che A A =. Per dimostrare (PA4.2) notiamo che se A = x, B = y, z / B A B e A {z} sono due insiemi disgiunti dove A {z} = x. Allora si ha che per definizione di somma e

7 prodotto: x S(y) = x (y + 1) = A (B \ {z}) = (A B) (A {z}) = (x y) + x