Tommaso Cortopassi- Settimana 6-8 (da 4 Aprile a 21 Aprile) Esercizio 1 Mostrare che A (B C) = (A B) (A C) come insiemi ordinati.

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1 Tommaso Cortopassi- Settimana 6-8 (da 4 Aprile a 2 Aprile) Esercizio Mostrare che A (B C) = (A B) (A C) come insiemi ordinati. Intanto fissiamo i termini. Definiamo somma e prodotto nel seguente modo: A B = {(d, x) (d A x = 0) (d B x = )} La nuova relazione d ordine che introdurremo sarà che (d, x ) < (d 2, x 2 ) se e solo se (d A d 2 B) oppure se d e d 2 appartengono allo stesso insieme, e lì si ha d < d 2. Similmente definiamo il prodotto: A B = A B La relazione d ordine introdotta è detta anti-lessicografica, per cui (a, b) < (a, b ) se e solo se b < B b (b = b a < A a ). A questo punto, vediamo che gli elementi dei due insiemi che vogliamo dimostrare essere isomorfi sono rispettivamente del tipo (a, (d, x)) e ((a, d), x), dove si mantengono le lettere usate nella definizione, per evitare confusione. La funzione che manda una scrittura nell altra è chiaramente biunivoca, basta mostrare che preserva l ordine. Sia (a, (d, x)) < (a, (d, x )). Allora, per come abbiamo definito il prodotto, dovrà essere (d, x) < (d, x ) oppure (d, x) = (d, x ) a < a. Verifichiamo che, in tutti i casi possibili, l ordine si mantiene nell immagine. Caso : (d, x) < (d, x ) Abbiamo due sottocasi: d, d B oppure d, d C, e d < d Allora nell immagine avrò ((a, d), x) < ((a, d ), x ), infatti (a, d) e (a, d ) appartengono allo stesso insieme, e posso concludere in base alla relazione anti-lessicografica (poichè per ipotesi d < d ). d B d C. In questo caso vale ancora la disuguaglianza, perchè (a, d) A B e (a, d ) A C, e concludo per la relazione d ordine introdotta con. Caso 2:(d, x) = (d, x ) a < a Ripetendo il ragionamento fatto nel primo sottocaso del punto, considero la relazione anti-lessicografica fra (a, d) e (a, d ) (visto che entrambi appartengono a A B o a A C) e ottengo la disuguaglianza osservando che d = d e a < a. Allora la funzione preserva l ordine e ho la tesi. P.S. Nella dimostrazione si è usato sempre (o quasi) il simbolo <, senza specificare a quale relazione ci si riferisse in particolare, ma dovrebbe essere chiaro dal contesto.

2 Esercizio 2 Se n, m ω, allora n m = n + m e n m = n m. La prima è banale, infatti n m = {(a, t) (a n t = 0) (a m t = )} e un isomorfismo potrebbe essere ad esempio quello che manda (a, t) in a se t = 0, in a + n se t =. Il secondo caso è più o meno analogo, solo che dato l ordine anti-lessicografico, l isomorfismo dovrà mandare (x, y) n m in n y + x per avere la biunivocità e preservare l ordine. Esercizio 3 Exp(B, A) ben ordinato A, B ben ordinati. Intanto notiamo che Exp(B, A) = (F un 0 (A, B), <), dove l insieme è quello delle funzioni da A a B a supporto finito e la relazione d ordine è quella della massima differenza. Fisso ã A e considero il sottoinsieme X = {f Exp(B, A) f(ã) 0 (f(a) = 0 a ã)} Sia ora Y un sottoinsieme di B. Sicuramente posso considerare il sottoinsieme di X dato da X = {f Exp(B, A) f(ã) 0 (f(ã) Y ) (f(a) = 0 a ã)}. Per ipotesi esiste il minimo di X, diciamo g, per cui si ha che g(ã) < f(ã) per ogni f X. Allora g(ã) è il minimo di Y. Un ragionamento simile lo faccio per A. Se A non fosse ben ordinato avrei una catena discendente infinita, del tipo {a > a 2 > a 3... }. Allora basterebbe prendere le funzioni caratteristiche degli a j per avere un assurdo, in quanto sarebbe {χ a > χ a2 > χ a3 >... } catena discendente infinita, assurdo poichè per ipotesi Exp(B, A) è ben ordinato. Esercizio 4 Trova sottoinsiemi di Q isomorfi a: )ω ω 2)ω ω 3)Exp(ω, ω) (in realtà qui troverò un sottoinsieme di ω) ) Considero il sottoinsieme di Q dato da A = { /n n ω {0}} { /n n ω {0}}. Basta mandare gli elementi /n del primo in elementi del tipo (n, 0) e analogamente mandare quelli del secondo insieme in elementi del tipo (n, ) per avere l isomorfismo cercato. 2)Considero il sottoinsieme di Q dato da B = m ω {0} {m /n n ω {0}}. Per avere l isomorfismo voluto, basta mandare gli elementi del tipo (m /n) in (n, m). 3)Sappiamo che exp(ω, ω) = ω, dove gli elementi di ω sono del tipo (0, 0,..., f(b ),..., f(b 2 ),..., f(b k ), 0, 0,... ), con gli f(b j ) al posto j-esimo. f Exp(ω, ω) e Supp(f) = {b < b 2 < b 3 < < b k }, mentre la relazione d ordine è come di consueto quella anti-lessicografica. Allora vediamo che la funzione θ che manda f Exp(ω, ω) in ω nel modo descritto è un isomorfismo. Cerchiamo di trovare un isomorfismo fra ω e un sottoinsieme di Q per concludere. Considero allora, per ogni f, il numero x f = p +f(b) p +f(b2) 2... p +f(b k), dove p j è il j-esimo numero primo, e k 2

3 gli f(b i ) sono i valori presenti nella componente i-esima del vettore corrispondente a f tramite l isomorfismo θ visto all inizio fra Exp(ω, ω) e. Considero Im(φ) ω e la relazione d ordine anti-lessicografica sugli esponenti dei numeri primi nella fattorizzazione di x Im(φ). Chiaramente ho una bigezione, e l ordine è mantenuto, perciò l isomorfismo cercato è dato dalla composizione di θ e φ. P.S. Nel secondo punto ho considerato ω senza lo 0, ma l ho fatto solo per comodità, tanto non cambia nulla (dove nelle formule è scritto n basterebbe mettere + n). Esercizio 5 Se A R è ben ordinato, allora A ω. Supponiamo che sia A > ℵ 0 e che sia A ben ordinato. Allora l insieme stesso avrà un minimo a. Allora avremo A [a, + ), e in particolare avrò che A = n ω (A [a + n, a + n + )). Visto che la cardinalità di A è più che numerabile, almeno uno di tali insiemi dovrà contenere un numero più che numerabile di elementi di A. Sia X = [a + k, a + k + ) tale insieme. Quindi, in particolare, A X > ℵ 0. Considero il segmento iniziale A 0 = A [a, a + k + ]. Vi sono ora due possibilità: A 0 si lascia scrivere come A a0 per qualche a 0 A 0 non si lascia scrivere come A a0 per qualche a 0 Ma la seconda ipotesi porterebbe ad un assurdo, in quanto un insieme A è ben ordinato se e solo se i suoi segmenti iniziali si scrivono come A a0 per qualche a 0. Considero allora A = A [a, a 0 ]. A questo punto basta ripetere il ragionamento, infatti anche A è segmento iniziale e si deve lasciar scrivere come A a per qualche a. Allora in ogni caso cado in un assurdo: o perchè a un certo punto non trovo un a j siffatto, o perchè alla fine avrò una catena discendente infinita data da {a 0 > a > a 2 >... }. Esercizio 6 A, B R ben ordinati, allora A + B = {a + b a A b B} è ben ordinato Voglio mostrare che non esiste una catena infinitamente lunga in A + B. Sia ā + b un elemento di A + B, voglio mostrare che a partire da tale elemento ogni catena ā + b > a + b > a 2 + b 2 >... termina dopo un numero finito di passi. Notiamo che essendo a k + b k > a k+ + b k+, allora dovrà essere a k > a k+ b k > b k+. Allora se esistesse una catena discendente infinita, potrei considerare gli elementi della catena del tipo a + b > a + b 2 > a + b 3 >... con a fissato. Visto che A è ben ordinato per ipotesi, considerando gli elementi {a a+b k appartenente alla catena considerata} avrò una certa catena discendente di lunghezza finita in A. Allora ci deve essere almeno un elemento a nella catena per cui gli elementi del tipo a + b j sono infiniti, altrimenti la catena che parte da ā+ b che ho supposto essere infinita sarebbe finita, in quanto unione 3

4 finita di insiemi con un numero finito di elementi. Ma la catena a+b > a+b 2 > a + b 3 >... mi dà naturalmente la catena infinita b > b 2 > b 3..., assurdo perchè B è ben ordinato per ipotesi. Esercizio 7 Un insieme transitivo di ordinali è un ordinale L unica cosa da vedere è che, detto A l insieme transitivo di ordinali considerato, esso è bene ordinato dalla relazione di appartenenza. Sicuramente l ordine è totale, per tricotomia degli ordinali. In generale, dato un sottoinsieme B di A, scelgo β B ordinale. Se β risulta essere il minimo di B ho finito, altrimenti significa che esiste α B tale che α β. Perciò = B β β. Ma essendo β ben ordinato, avrò che esiste il minimo γ di B β, che risulta essere proprio il minimo di B. Infatti per ogni elemento α di B ho tre possibilità (grazie alla tricotomia): α β Allora α (β B) e abbiamo detto che essendo γ il minimo di tale insieme, sarà γ α. α = β Ovvio, γ β = α β α Allora γ β α e per transitività degli ordinali γ α. Esercizio 8 ) La collezione di tutti gli ordinali non è un insieme; 2) [A] = {B B = A }, con A non vuoto, non è un insieme.(non userò ZFC, ma la teoria delle classi, in particolare l assioma di rimpiazzamento sarà cruciale) )Sia U la collezione di tutti gli ordinali. Visto che un elemento di un ordinale è un ordinale, abbiamo che α, β U α β U α U. Ma allora U se fosse un insieme sarebbe un insieme transitivo di ordinali e quindi un ordinale, da cui U U, assurdo. 2)Se [A] fosse un insieme, potrei considerare una funzione classe che va da [A] all insieme universale U. Fissiamo B insieme di cardinalità A. Allora y U abbiamo che B {y} [A]. Mandiamo tutti gli elementi di questa forma in y U, e il resto lo mandiamo in, ad esempio. Per rimpiazzamento l immagine di tale funzione deve essere un insieme, ma essendo essa surgettiva, dovrebbe essere U insieme, assurdo perchè è la classe universale che sappiamo essere una classe propria. Dunque [A] non è un insieme. Esercizio 9 Se α è un ordinale e β è il suo massimo, allora α = β {β} = β +. E banale vedere che α β {β}, perchè per ogni γ α si ha che γ β oppure γ = β. Invece per dimostrare che β {β} α si sfrutta il fatto che β α β α. 4

5 Esercizio 0 )ω è il più piccolo ordinale infinito; 2)ω è il più piccolo ordinale infinito più che numerabile. )Supponiamo di avere α ordinale infinito con α < ω. Allora dovrebbe essere α = ω n segmento iniziale di ω. Ma tale segmento iniziale sarebbe finito, assurdo. Allora per tricotomia concludo che ω α. 2)Supponiamo di avere α ordinale infinito più che numerabile, e supponiamo che sia α < ω. Allora α dovrebbe essere isomorfo a un segmento iniziale di ω, ma ogni segmento iniziale di ω appartiene ad ω, essendo esso un ordinale. Per come è definito ω, α sarebbe isomorfo a un ordinale al più numerabile, assurdo. Dunque per tricotomia dovrà essere ω α. Esercizio Zorn Zermelo L idea è, dato un generico insieme A, creare un apposita struttura che soddisfi le ipotesi del lemma di Zorn e trovare un elemento massimale in tale struttura che risulti essere l insieme di partenza dotato di un buon ordine. Considero allora B = {(C, <) C A e < è un buon ordine}. Posso dotare B di un ordine parziale, per cui (C, < ) < B (C 2, < 2 ) se e solo se C è un segmento iniziale di C 2, oppure i 2 sono uguali (come insiemi ben ordinati). L insieme B sarà non vuoto, in quanto ad esempio tutti i singoletti {a} con a A vi appartengono (essendo evidentemente bene ordinati). Adesso considero X B tale che la relazione d ordine < B introdotta precedentemente sia una relazione d ordine totale (X sarà la nostra catena). Abbiamo visto a lezione che possiamo considerare: Y = C e < Y = (C,< C ) X (C,< C ) X ed ottenere che (Y, < Y ) è ancora un ordine totale. In particolare (Y, < Y ) sarà un buon ordine in quanto unione di buoni ordini che sono uno segmento iniziale dell altro. Allora affermo che (Y, < Y ) è un maggiorante per X, e così soddisfo l ipotesi di Zorn. Infatti per ogni elemento (C, < C ) X, abbiamo (C, < C ) < B (Y, < Y ). Questo perchè, per costruzione, ogni C X è un segmento iniziale di Y o è uguale a Y stesso. Allora l ipotesi del lemma di Zorn è soddisfatta, essendo X una generica catena di B, dunque ho un elemento massimale X B. Voglio mostrare che tale elemento è (A, < A ), con < A che fornisce quindi un buon ordine. Se tale elemento massimale non fosse tutto l insieme, potrei infatti considerare X = X {x} e < X =< X {( x, x) x X}, con x A \ X. Se ( X, < X) era ben ordinato, allora lo sarà pure ( X, < X ), e è facile vedere che x sarà il suo elemento massimo. In particolare avrei allora X, X B in quanto ben ordinati, inoltre X < X B in quanto X = X x, e tuttavia X X, e questo contraddice il fatto che X deve essere massimale. Perciò dovrà essere X = A, e ho la tesi. < C 5