Teoria degli insiemi Capitolo 2 del libro di K. Kunen

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1 Teoria degli insiemi Capitolo 2 del libro di K. Kunen A. Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

2 Insiemi quasi disgiunti 1 Assumiamo sempre AC. Definizione 1.1 x, y κ cardinale infinito sono quasi disgiunti (ad almost disjoint) se x y < κ. Una famiglia ad su κ è una A P(κ) tale che x A x = κ e x, y A (x y x y < κ). Una famiglia ad massimale (mad family) è una famiglia ad su κ A che è massimale per inclusione, cioè A B P(κ) B non è ad. Teorema 1.2 Sia κ ω regolare. (a) Se A P(κ) è ad e A = κ, allora A non è massimale. (b) C è una mad B P(κ) di cardinalità κ +. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

3 Insiemi quasi disgiunti 1 Dimostrazione. (a) Sia A = {A ξ ξ < κ} e sia B ξ = A ξ \ η<ξ A η = A ξ \ η<ξ (A η A ξ ). Poiché A η A ξ < κ e κ è regolare, B ξ = κ. Sia β ξ B ξ. I B ξ sono disgiunti, quindi i β ξ sono distinti e D = {β ξ ξ < κ} ha taglia κ. B η A ξ = 0 se ξ < η, quindi se β η A ξ, allora η ξ, da cui D A ξ {β α α ξ} ha taglia < κ. Allora A {D} è ad. (b) Poiché κ κ κ possiamo trovare una famiglia disgiunta A di cardinalità κ, quindi da (a) e Zorn segue (b). Problema Se non assumiamo GCH, esiste una famiglia a.d. di taglia 2 κ in P(κ)? Sì, se κ = ω. Sì, se κ = ω 1 e vale CH (ma 2 ω 1 arbitrario). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

4 Insiemi quasi disgiunti 1 Teorema 1.3 Se κ ω e 2 <κ = κ, c è una famiglia a.d. A P(κ) tale che A = 2 κ. Dimostrazione. I = {x κ sup(x) < κ}. I = 2 <κ = κ e sia A X = {X α α < κ} per X κ. Se X = κ allora A X = κ e β X Y A X A Y {X α α β} quindi X Y A X A Y < κ. A = {A X X κ X = κ} P(I ) è una famiglia a.d. di taglia 2 κ. Poiché I κ il teorema è dimostrato. L ipotesi 2 <κ = κ è necessaria l esistenza di una famiglia a.d. in P(ω 1 ) di taglia 2 ω1 è indipendente da 2 ω = 2 ω 1 = ω 3. Problema C è una famiglia m.a.d. di taglia κ + se κ + < 2 κ? Indipendente da ZFC. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

5 Insiemi quasi disgiunti 1 Definizione 1.4 A è un -sistema (quasi-disjoint family) se c è un insieme fissato r tale che a, b A (a b a b = r). Teorema 1.5 Se A è una famiglia più che numerabile di insiemi finiti, allora c è un -sistema più che numerabile B A. Segue dal risultato seguente quando κ = ω e θ = ω 1, oppure dall Esercizio 1. Teorema 1.6 Supponiamo θ regolare, θ > κ ω e α < θ ( α <κ < θ), A θ e x A ( x < κ). Allore c è un -sistema B A, B = θ. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

6 Insiemi quasi disgiunti 1 Definizione 1.7 Uno spazio topologico X è c.c.c. se ogni famiglia di aperti a due a due disgiunti è numerabile. Lemma 1.8 Se X è separabile è c.c.c. Dimostrazione. Se D X è denso e numerabile e gli U α sono aperti disgiunti non vuoti (α < ω 1 ), sia d α U α D: allora α β d α d β, assurdo. Se D è denso in X ed E è denso in Y, allora D E è denso in X Y, quindi il prodotto di due spazi separabili è separabile. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

7 Richiami sulla topologia prodotto Se X i (i I ) sono spazi topologici, la topologia prodotto su i I X i è la topologia meno fine che rende continua le funzioni valutazione V j : i I X i X j V j (f ) = f (j). Equivalentemente ha per aperti di base gli insiemi della forma ( i F U i ) ( i I \F X i ) dove U i è aperto in X i e F I è finito. Lo spazio prodotto è indicato con i I X i. Se X i = X per ogni i I, il prodotto è indicato con X I. Teorema di Tychonoff Il prodotto di spazi compatti è compatto. Il prodotto di 2 ω spazi separabili è separabile, ma X (2ω ) + separabile se X ha almeno due punti (Esercizi 3 e 4). non è A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

8 Insiemi quasi disgiunti 1 Problema Il prodotto di due spazi c.c.c. è c.c.c.? È indipendente da ZFC: CH implica che la risposta è negativa. Teorema 1.9 Se gli X i sono c.c.c. (i I ) e per ogni r I finito i r X i è c.c.c., allora i I X i è c.c.c. Corollario X separabile X κ c.c.c. Dimostrazione. X separabile X n separabile X n c.c.c. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

9 Insiemi quasi disgiunti 1 Dimostrazione del Teorema 1.9. Siano 0 A α (α < ω 1 ) aperti disgiunti in i I X i. Possiamo supporre che siano aperti della base, cioè A α = ( i aα U (α) i ) ( ) i I \aα X i dove aα I è finito e U (α) i è aperto in X i. Per il Teorema 1.5 del -sistema c è un B ω 1 più che numerabile tale che {a α α B} è -sistema di radice r. Se r = 0 allora a α a β = 0 per α, β B e quindi A α A β = ( i aα aβ U i ) ( i I \(aα aβ )X i ) 0, assurdo. Quindi r 0. Per J I sia π J : i I X i i J X i la proiezione canonica, cioè π(f ) = f J. Le π J sono mappe aperte. In particolare {π r (A α ) α B} è una famiglia di aperti non vuoti di i r X i. Basta dimostrare che sono a due a due disgiunti. Se s π r (A α ) π r (A β ) i r X i, siano t s e u s tali che t π aα (A α ) e u π aβ (A β ). Poiché a α a β = r, u t è una funzione e ogni f i I X i che la estende è in A α A β : contraddizione. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

10 Insiemi quasi disgiunti 1 Dimostrazione del Teorema 1.6 Possiamo supporre che A = θ, quindi A θ. Gli elementi di A sono irrilevanti, quindi posso supporre che A θ. Ogni x A ha tipo d ordine < κ < θ quindi per regolarità c è un ρ < κ e una A 1 A tale che A 1 = θ e x A 1 (ot(x) = ρ). Poiché α <κ < θ per α < θ, {x A 1 x α} ha taglia < θ. Quindi A1 è illimitato in θ. Se ξ < ρ e x A 1, lo ξ-esimo elemento di x è indicato con x(ξ). Per ξ < ρ, sia τ ξ = sup {x(ξ) x A 1 } θ. Se τ ξ < θ per ogni ξ < ρ, allora per regolarità τ = sup ξ<ρ τ ξ < θ, e quindi A 1 τ: contraddizione. Sia ξ 0 il minimo ξ < ρ tale che {x(ξ) x A 1 } è illimitato in θ e sia α 0 = sup {x(η) + 1 x A 1 η < ξ 0 } < θ. (continua) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

11 Insiemi quasi disgiunti 1 Dimostrazione del Teorema 1.6 (continua). Per ricorsione transfinita su µ < θ scelgo x µ A 1 così che x µ (ξ 0 ) > max(α 0, sup {x ν (η) η < ρ ν < µ}). Quindi se x µ = {x µ (ξ) ξ 0 < ξ} = x µ \ α 0 α 0 x0 x 1 x 2 x 3 θ A 2 = {x µ µ < θ} ha taglia θ e x y α 0 per x, y A 2 distinti. Considero la mappa A 2 {y α 0 y < κ}, x µ x µ α 0. Dato che α 0 <κ < θ c è un r α 0 ed un B A 2 con B = θ e x B (x α 0 = r). B è un -sistema di radice r. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

12 Algebre di Boole Un insieme ordinato L, in cui esistono sempre sup{x, y} = x y e inf{x, y} = x y si dice reticolo. Un reticolo è distributivo se x (y z) = (x y) (x z) e x (y z) = (x y) (x z) complementato se esistono 1 = max L e 0 = min L e se x y (x y = 0 x y = 1) completo se sup X e inf X esistono per ogni X L. È facile verificare che le operazioni e sono commutative e associative in un reticolo distributivo il complemento x di un elemento x se esiste è unico se X L è finito esistono sempre sup X e inf X. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

13 Algebre di Boole Definizione Un algebra di Boole è un reticolo distributivo complementato. Un algebra di Boole definisce una struttura (B;,,, 0, 1) in cui le due operazioni e sono commutative, associative e distributive l una rispetto all altra e x x = 1 e x x = 0. Viceversa ogni (B;,,, 0, 1) come sopra definisce un ordinamento x y x y = x x y = y che lo rende algebra di Boole. Un omomorfismo di algebre di Boole è una mappa che preserva i sup e gli inf e manda il massimo/minimo nel massimo/minimo. Equivalentemente è un morfismo di strutture algebriche. Se poniamo x + y def = (x y ) (y x ) e se poniamo x y def = x y otteniamo un anello Booleano, cioè un anello commutativo unitario in cui vale x ( x 2 = x ). Viceversa, dato un anello Booleano (B, +,, 0, 1) è possibile ottenere un algebra di Boole. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

14 Algebre di Boole Lemma Sia B un algebra di Boole e X B un insieme tale che sup X esiste. Allora, per ogni b B, sup{b x x X } esiste e b sup X = sup{b x x X }. Analogamente, se inf X esiste, allora anche inf{b x x X } esiste ed è b inf X. Dimostrazione. b x b sup X per ogni x X, allora b sup X è un maggiorante di {b x x X }. Se c è un altro maggiorante di questo insieme, allora per ogni x X : b x c, quindi x = x (b b ) = (x b) (x b ) c b, cioè x c b. Quindi sup X b c. Argomentando come sopra b sup X c. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

15 Algebre di Boole Definizione Un atomo di un algebra di Boole B è un elemento minimale di B \ {0}. At(B) è l insieme degli atomi di B. B è atomica se b B \ {0} a b (a atomo). Proposizione Sono equivalenti: 1 a At(B), 2 a 0 b, c B (a b c a b a c); 3 b B (a b aut a b ). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

16 Algebre di Boole Teorema di Stone per le algebre atomiche 1 Se At(B) allora F : B P(At(B)), b {a At(B) a b} è un omomorfismo. 2 B è atomica se e solo se F è iniettivo. 3 Se sup X esiste per ogni X At(B), allora F è suriettivo. Dimostrazione. (1) segue dalla Proposizione precedente. (2) segue dal fatto che F è iniettivo sse ker(f ) = {0}. (3): se b = sup X allora X F (b). Se per assurdo esistesse a F (b) \ X, allora x X (a x = 0), quindi a = a b = a sup X = sup{a x x X } = 0, contraddizione. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

17 Algebre di Boole Ci sono algebre atomiche, algebre prive di atomi (atomless), e algebre non atomiche ma tali che At(B) 0. Teorema di Stone Ogni algebra di Boole è isomorfa ad una subalgebra di P(X ), per qualche X. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

18 L assioma di Martin 2 Se non assumiamo CH sorgono spontanee alcune domande. Problemi 1 Se κ < 2 ω, è vero che 2 κ = 2 ω? 2 Se κ < 2 ω, è vero che ogni famiglia a.d. A P(κ) di taglia κ no è massimale? 3 Se κ < 2 ω, è vero che l unione di κ sottoinsiemi di R di misura di Lebesgue 0 ha misura 0? 4 Se κ < 2 ω, è vero che l unione di κ sottoinsiemi di R magri è un insieme magro? Definizione A X, spazio topologico è magro sse esistono chiusi privi di interno C n tali che A n C n. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

19 L assioma di Martin 2 Definizione 2.1 (a) Una nozione di forcing P, è un preordine, cioè è transitiva e riflessiva. p q si legge p estende q. (b) P, è un ordine parziale se è un preordine antisimmetrico. Definizioni 2.2 e 2.3 P, nozione di forcing. C P è una catena se p, q C (p q q p). p e q sono compatibili in A P se r A (r p r q). p e q sono compatibili se sono sono compatibili in P. Se p e q non sono compatibili si dicono incompatibili p q. A P è un anticatena se p, q A (p q p q). P, è c.c.c. se ogni anticatena è numerabile. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

20 L assioma di Martin 2 Esempi 1 P = ω 1 con l ordine solito è c.c.c. 2 Se X 0, P = P(X ) \ {0} e p q p q, allora p q p q = 0. A è un anticatena sse è una famiglia di insiemi disgiunti, quindi P è c.c.c. sse X ω. 3 X spazio topologico, P = {p X 0 p aperto} e p q p q. p q p q = 0 quindi P è c.c.c. sse X è c.c.c. 4 Se B;,,, 0, 1 è un algebra di Boole, P = B \ {0} e è l ordine su B, allora p q p q = 0. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

21 L assioma di Martin 2 Definizione 2.4 Sia P, un forcing. D P è denso in A P se p A q D (q p). D è denso se è denso in P. G P è un filtro in P sse (a) p, q G r G (r p r q) e (b) p G q P (p q q G). Se D è una famiglia di insiemi densi in P, G è D-generico se è un filtro in P tale che D D (G D 0). Definizione 2.5 MA(κ) è l enunciato: se (P, ) è non vuoto e ccc e D è una famiglia di κ insiemi densi di P, allora c è un filtro D-generico. MA è κ < 2 ω MA(κ). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

22 L assioma di Martin 2 Esempio P = {p ω 2 p < ω p è una funzione} e p q p q. p e q sono compatibili sse p q è una funzione sse p dom(p) dom(q) = q dom(p) dom(q). P è numerabile, quindi è ccc. Se G è un filtro, allora le p G sono compatibili, quindi f G = G ω ω è una funzione. D n = {p n dom(p)} è denso, quindi se G D n 0 allora n dom(f G ). E f = {p p f }, dove f ω 2, è denso, quindi se G E f 0 allora f G f. Quindi non c è nessun filtro {D n n ω} {E f f ω 2}-generico. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

23 L assioma di Martin 2 Lemma 2.6 (a) κ < κ MA(κ) MA(κ ). (b) MA(2 ω ) è falso. (c) MA(ω) è vero. Dimostrazione. (a) è ovvio e (b) segue dall esempio. (c) Sia D = {D n n 1}. Dimostriamo che per ogni p P c è un filtro D-generico G tale che p G. Sia p 0 = p e per densità sia p n D n tale che p n p n 1. Allora G = {q P p n q} è un filtro D-generico che contiene p. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

24 L assioma di Martin 2 La dimostrazione di (c) del Lemma 2.6 non usa ccc, tuttavia la generalizzazione di MA(ω 1 ) a nozioni di forcing che non sono ccc porta ad una contraddizione. Esempio P = {p ω ω 1 p è una funzione e p < ω} e p q sse p q. Se G è un filtro, allora f G = G ω ω 1 è una funzione. D n = {p n dom(p)} e E α = {p α ran(p)} sono densi, quindi se G li interseca tutti, allora f G : ω ω 1 sarebbe suriettiva, assurdo. P non è ccc: {{(0, α)} α ω 1 } è un anticatena di taglia ω 1. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

25 L assioma di Martin 2 Definizione 2.7 Sia A P(ω). Il forcing a.d. relativo alla famigliaa è P A = {(s, F ) s [ω] <ω F [A] <ω } (s, F ) (s, F ) sse s s F F x F (x s s) sse s s F F x F (x s = x s) sse s s F F x F n ω (n x \ s n / s ). Lemma 2.8 In P A, (s 1, F 1 ) e (s 2, F 2 ) sono compatibili sse x F 1 (x s 2 s 1 ) x F 2 (x s 1 s 2 ) sse x F 1 n x \ s 1 (n / s 2 ) x F 2 n x \ s 2 (n / s 1 ). Se (s 1, F 1 ) e (s 2, F 2 ) sono compatibili, allora (s 1 s 2, F 1 F 2 ) è una loro estensione. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

26 L assioma di Martin 2 Definizione 2.9 Se G è un filtro in P A, allora d G = {s F ((s, F ) G)} ω. Lemma 2.10 Se G è un filtro in P A e (s, F ) G, allora x F (x d G s). Dimostrazione. Se (s, F ) G allora è compatibile con (s, F ), quindi per il Lemma 2.8, x s s per x F. Definizione 2.11 D x = {(s, F ) x F }, per x A. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

27 L assioma di Martin 2 Lemma 2.12 Se G è un filtro e G D x 0 allora x d G < ω. Dimostrazione. Per il Lemma Lemma 2.13 Se x A, allora D x è denso in P A. Dimostrazione. Se (s, F ) P A, allora (s, F {x}) D x è una sua estensione. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

28 L assioma di Martin 2 (s ξ, F ξ ) (s η, F η ) s ξ s η quindi Lemma 2.14 P A è ccc. Teorema 2.15 Assumiamo MA(κ) e che A, C P(ω) sono di taglia κ. Se y C F [A] <ω ( y \ F = ω), allora d ω tale che x A d x < ω e y C d y = ω. Corollario 2.16 Assumiamo MA(κ) con ω κ < 2 ω e A P(ω) ad di taglia κ. Allora A non è massimale. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

29 L assioma di Martin 2 Dimostrazione. ω \ F = ω per ogni F A finito, quindi C = {ω} e A soddisfano le ipotesi del Teorema 2.15: d / A e A {d} è ad. Applicando il Teorema 2.15 con C = B \ A otteniamo Lemma 2.17 Assumiamo MA(κ) con ω κ < 2 ω e A B P(ω) ad di taglia κ. Allora d ω ( x B \ A ( d x = ω) x A ( d x < ω) ). Teorema 2.18 MA(κ) 2 κ = 2 ω. Dimostrazione. Per 1.3 c è una B P(ω) ad di taglia κ. Sia Φ: P(ω) P(B), Φ(d) = {x B d x < ω}. Per il Lemma 2.17 Φ è suriettiva, quindi 2 κ = P(B) P(ω) = 2 ω. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

30 L assioma di Martin 2 Corollario 2.19 MA 2 ω è regolare. Dimostrazione. Se κ = cof(2 ω ) < 2 ω, allora 2 ω = 2 κ = (2 κ ) κ = (2 ω ) κ > 2 ω : assurdo. Dimostrazione del Teorema Per y C, n ω sia E y n = {(s, F ) P A s y n}: dato (s, F ), y \ F = ω per ipotesi, quindi se m > n e m y \ F, allora (s {m}, F ) E y n. Ricordiamo che D x = {(s, F ) P A x F }. Per MA(κ) c è un filtro G in P A che è {D x x A} { E y n n ω y C } -generico, quindi d G ω è tale che d G x è finito (Lemma 2.11), per ogni x A, e per ogni y C, d G y n, cioè d G y è infinito. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

31 Richiami di Analisi Teorema di Categoria di Baire Se 0 U X è aperto e X è localmente compatto, oppure è metrico completo, allora U non è magro. Dimostrazione. Supponiamo X l.c. e C n chiusi privi di interno: sia U n 0 un aperto tale che Cl(U n ) U n 1 \ C n e Cl(U n ) compatto. Allora U = U 1 Cl(U 0 ) U 0 Cl(U 1 ) U 1... e per compattezza 0 n Cl(U n) = n U n U. Cioè U n C n. Se X è metrico completo, prendiamo U n una palla aperta di centro x n e raggio r n di modo che U n+1 U n \ C n e r n 0. Allora (x n ) n è di Cauchy, quindi x n x X, quindi x / n C n. Corollario In uno spazio localmente compatto o metrico completo l intersezione di ω aperti densi è densa e l unione di ω magri è un magro. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

32 L assioma di Martin 2 Teorema 2.20 Se M α R è magro (α < κ) e vale MA(κ), allora α<κ M α è magro. Dimostrazione M α n K n,α con K n,α chiuso privo di interno. Poiché ω κ κ è sufficiente dimostrare che: se i K α R sono chiusi privi di interno (α < κ), allora ci sono degli H n chiusi privi di interno (n < ω) tali che α<κ K α n H n. Equivalentemente: se U α sono aperti densi, allora esistono aperti densi V n tali che n V n α<κ U α. Fissiamo una base numerabile {B i i ω} per R per esempio gli intervalli aperti di estremi razionali. Cerchiamo un d ω tale che V n = {B i i d i > n}. Sia c j = {i ω B i B j }: se d c j = ω allora n i d (i > n) quindi B i B j V n. Poiché j ( d c j = ω) V n denso per ogni n ω, richiederemo che j ω ( d c j = ω). (continua) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

33 L assioma di Martin 2 Dimostrazion (continua). Sia a α = {i ω B i U α }. Se d a α < ω allora d a α n per qualche n ω quindi i > n i d B i U α, cioè V n U α. Quindi se d a α < ω per ogni α, allora n V n α<κ U α. Richiederemo che α < κ ( d a α < ω). Se α 1,..., α m κ, allora c j \ (a α1 a αm ) = {i ω B i B j U α1 U αm } è infinito dato che B j U α1 U αm è un aperto ed è non vuoto, poiché B j 0 e U α1 U αm è un aperto denso. Quindi per il Teorema 2.15 applicato A = {a α α < κ} e C = {c j j ω} otteniamo un d ω per cui j ω ( d c j = ω) e α < κ ( d a α ) < ω. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

34 L assioma di Martin 2 Teorema 2.22 Assumiamo MA(κ). Sia X compatto, Hausdorff, ccc. Se U α X è aperto e denso (α < κ), allora α<κ U α 0. Dimostrazione. P = {p X 0 p aperto}, p q sse p q. Allora P è ccc dato che X è ccc. Se G P è un filtro, allora G ha la proprietà dell intersezione finita, fip, cioè se p 1,..., p n G, allora p 1 p n 0, quindi per compattezza 0 {Cl(p) p G}. D α = {p P Cl(p) U α } è denso in P dato che U α è un aperto denso e X è regolare. Quindi se G è un filtro che interseca i D α, allora 0 {Cl(p) p G} α<κ U α. Se κ = ω questo è il teorema di categoria di Baire, che vale anche per gli spazi non ccc. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

35 L assioma di Martin 2 Lemma 2.23 Assumiamo MA(κ). Sia X ccc e {U α α < κ} una famiglia di aperti non vuoti di X. Allora A [ω 1 ] ω 1 tale che {U α α A} ha la fip. Dimostrazione. def α < β V α V β, dove V α = γ>α U γ. Dico che ᾱ < ω 1 β > α (Cl(Vᾱ) = Cl(V β )). Altrimenti potremmo costruire una successione crescente i α α < ω 1 tale che α < β Cl(V iα ) Cl(V iβ ), def quindi posto W α = V iα \ Cl(V iα+1 ), avremmo una famiglia {W α α < ω 1 } di aperti a due a due disgiunti. P def = {p Vᾱ 0 p aperto} è ccc e se G è un filtro ha la fip, quindi se A def = {γ < ω 1 p G (p U γ )}, allora {U γ γ A} ha la fip. (continua) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

36 L assioma di Martin 2 Dimostrazione (continua). def Quindi basta assicurarci che A = ω 1. D β = {p γ > β (p U γ )} è denso. Infatti poiché Cl(Vᾱ) Cl(V β ), p V β 0 per ogni p, quindi q def = p U γ 0 per γ > β. Quindi q D β. Se G D β 0, allora A contiene un γ > β. Per MA(ω 1 ) c è un generico che interseca tutti i D β e quindi A = ω 1. Teorema 2.24 MA(ω 1 ) implica che il prodotto di spazi ccc è ancora ccc. Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che se X e Y sono ccc, allora X Y è ccc. Sia {W α α < ω 1 } una famiglia di aperti disgiunti di X Y. Siano U α X e V α Y aperti tali che U α V α W α. Per il Lemma 2.23 sia A ω 1 più che numerabile tale che {U α α A} ha la fip: se α, β A sono distinti U α U β 0, quindi V α V β = 0, contraddicendo ccc per Y. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

37 Equivalenti di MA 3 Lemma 3.1 MA(κ) è equivalente ad MA(κ) ristretto ad ordini parziali di taglia κ. Dimostrazione. Assumo MA(κ) ristretto ad ordini parziali di taglia κ. Sia (Q, ) una nozione di forcing ccc e D una famiglia di insiemi densi con D κ. Sia g : Q Q Q tale che p, q Q (p, q compatibili g(p, q) p, q), e per D D, sia f D : Q Q tale che p Q (f D (p) D f D (p) p). Sia 0 P Q un sottoinsieme chiuso per g e per le f D : poiché ci sono al più κ funzioni, possiamo supporre che P κ. Per la chiusura sotto g, se p 1, p 2 P sono incompatibili in P, allora sono incompatibili in Q, quindi P è ccc. D P è denso in P per ogni D D: se p P allora f D (p) D P. Per ipotesi c è un filtro G P che è {D P D D}-generico, e sia H = {q Q p G p q}. Chiaramente H è chiuso all insù e interseca ogni D D. Se q 1, q 2 H, siano p i G tali che p i q i (i = 1, 2). Allora esiste r G H con r p i, quindi r q 1, q 2. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

38 Equivalenti di MA 3 Teorema 3.2 MA(κ) è equivalente ad MA(κ) ristretto alle algebre di Boole complete e ccc. Lemma 3.3 Per ogni P c è un algebra di Boole completa B ed una i : P B \ {0} tale che: (1) i P è denso in B \ {0}, (2) p, q P (p q i(p) i(q)), (3) p, q P (p q i(p) i(q) = 0). B si dice completamento di P è unico a meno di isomorfismi. In generale la mappa i non è iniettiva, anche se in molti casi lo è. Per esempio, se tutti gli elementi di P sono compatibili, allora B = {0, 1} e i(p) = 1. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

39 Equivalenti di MA 3 Un aperto U di uno spazio topologico X si dice regolare se U = Int(Cl(U)). Ogni clopen (=insieme chiuso e aperto) è regolare. Esercizio RO(X ) = {U X U aperto regolare} con l inclusione è un algebra di Boole completa: 0 =, 1 = X, U = Int(X \ U), U V = U V, U V = Int(Cl(U V )) e se S RO(X ), allora S = Int(Cl( S)) e S = Int( S). CL(X ) = {C X C è clopen} è una subalgebra (non necessariamente completa) di RO(X ). A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

40 Equivalenti di MA 3 Dimostrazione del Lemma 3.3. La topologia di P è generata dagli aperti di base N p = {q P q p}: se q N p allora N q N p. N p è il più piccolo aperto contenente p la topologia non è nemmeno T 1. Sia B = RO(P) e i(p) = Int(Cl(N p )). Dato b B \ { }, sia p b: allora N p b, quindi Cl(N p ) Cl(b), quindi i(p) = Int Cl(N p ) Int Cl(b) = b. Questo prova (1). (2) è ovvio. Se p q allora N p N q = 0, quindi Cl(N p ) N q = 0, quindi Int Cl(N p ) N q = 0, e analogamente Int Cl(N p ) Int Cl(N q ) = 0. Vice versa, se r p, q, allora i(r) i(p), i(q). Quindi (3) vale. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

41 Equivalenti di MA 3 Dimostrazione del Teorema 3.2 Assumo MA(κ) per algebre di Boole complete. Sia P un forcing ccc e D una famiglia di densi di taglia κ. Per il Lemma 3.1 possiamo supporre che P κ. Siano B ed i : P B \ { } come in 3.3. B è ccc. Se A B \ { } è un anticatena, per ogni a A scegliamo p a P tale che i(p a ) a, allora {p a a A} è un anticatena in P, quindi B è ccc dato che P lo è. i D è denso in B. Se b B, sia p P tale che i(p) b e sia q D tale che q p: allora i(q) b. Sia G B un filtro che interseca ogni i D e sia H = i 1 (G) = {p P i(p) G}. Chiaramente H è chiuso all insù e interseca ogni D, ma non è detto che sia un filtro: se p, q H non è detto che ci sia un r H tale che r p e r q! (continua) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

42 Equivalenti di MA 3 Dimostrazione. Per ogni p, q P, D p,q = {r P (r p r q) r p r q} è denso: fissato r 0 P, r 0 ha un estensione r 1 incompatibile con p oppure con q, allora r 1 D p,q, altrimenti r 0 è compatibile con p, quindi c è r 1 r 0, p e r 1 è compatibile con q, quindi c è r 2 p, q. Se G interseca anche tutti gli insiemi i D p,q (ce ne sono P P κ) allora dati p, q H, i(p), i(q) G sono compatibili, e sia r P tale che i(r) G i D p,q : allora r H D p,q e poiché i(r) è compatibile con i(p) e i(q), allora rè compatibile con p e q e quindi r p, q. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

43 Equivalenti di MA 3 Teorema 3.4 Sono equivalenti: (a) MA(κ), (b) MA(κ) ristretto ai forcing di taglia κ, (c) MA(κ) ristretto alle algebre di Boole complete e ccc, (d) Se X è compatto ccc Hausdorff e gli U α sono aperti densi, (α < κ) allora α<κ U α 0. Definizione Un ultrafiltro di un algebra di Boole B è un filtro su B \ {0} massimale. Se a B \ {0}, allora {b a b} è il filtro principale generato da a. Se a è un atomo, allora è un ultrafiltro. Per Zorn, ogni filtro può essere esteso ad un ultrafiltro. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

44 Equivalenti di MA 3 Dimostrazione (d) (c). B algebra di Boole ccc e D famiglia di densi D κ. Sia X = {G G è un ultrafiltro} con la topologia generata dagli insiemi N b = {G b G}. Se G / N b, cioè b / G, allora b G e quindi G N b, cioè X \ N b = N b. Quindi i N b sono clopen. Se G, H X sono distinti, fissiamo b G \ H: G N b e H / N b cioè H N b, quindi la topologia è T 2. Supponiamo che {U i i I } sia un ricoprimento aperto di X : ogni U i è della forma b A i N b con A i B \ {0}, quindi se A = i I A i allora {N b b A} è un ricoprimento aperto X e basta dimostrare che questo ammette sotto-ricoprimento finito. Allora {x B n 1 b 1,..., b n A (b 1 b n x)} è un filtro che può essere esteso ad un ultrafiltro G. Allora G / N b per ogni b A: assurdo Quindi X è compatto. N b N c = 0 b c = 0 quindi X è ccc. (continua) A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45

45 Equivalenti di MA 3 Dimostrazione (continua). Per D D l insieme W D = b D N b è un aperto. Se N b W D = 0 per b B \ {0}, allora fissiamo c D con c b: se G N c allora G W D e G N b : contraddizione. Quindi W D è denso. Per (d) c è un G D D W D, cioè D D b D b G, cioè G è D-generico. A. Andretta (Torino) Teoria degli insiemi AA / 45