Quozienti. Note per gli studenti del corso di Geometria IV, Milano M.Dedò

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Quozienti. Note per gli studenti del corso di Geometria IV, Milano 2009-2010 M.Dedò"

Transcript

1 Quozienti Note per gli studenti del corso di Geometria IV, Milano M.Dedò N.B. 1 Quanto segue NON va inteso come sostitutivo dei testi consigliati; piuttosto, si propone di fornire un filo conduttore per quelle parti del programma in cui il taglio delle lezioni si discosta maggiormente da quello di tali testi. N.B. 2 Un osservazione sulle figure: nel seguito, l indicazione di un numero in grassetto, come ad esempio 11391, indica l immagine reperibile in rete, all interno del sito Immagini per la matematica del Centro matematita, all indirizzo ottenuto sostituendo il numero indicato alle XXX finali in Ad esempio alla pagina si trova l immagine riprodotta qui sotto. 1

2 1 Definizioni Se X è un insieme e una relazione di equivalenza su X, l'insieme quoziente X/ è l'insieme delle classi di equivalenza, cioè dei sottoinsiemi di X [x] = {x X : x x}; la proiezione canonica di X sul quoziente è l'applicazione (surgettiva) : X X/ definita da (x)=[x]. Se X è uno spazio topologico, possiamo "trasportare" la topologia da X a X/ definendo: A aperto in X/ -1 (A) è un aperto in X. La famiglia di sottoinsiemi di X/ così definita verifica gli assiomi per una famiglia di aperti e quindi induce su X/ una topologia (che si dice topologia quoziente). Infatti: (A1) -1 ( ) = è un aperto di X e così anche -1 (X/ ) = X. (A2) Se A e B sono due aperti di X/, allora -1 (A) -1 (B) = -1 (A B) è un aperto di X e quindi A B è un aperto di X/. (A3) Se A i è un aperto di X/, i I, allora -1 (A i ) è un aperto di X, i I, e quindi anche -1 (A i ) = -1 ( A i ) è un aperto di X, sicché A i è un aperto di X/. Si osserva subito che l'applicazione è continua; anzi, di più, la topologia su X/ è "fatta apposta" affinché sia continua, ovvero è la topologia più fine (quella con la più grande possibile famiglia di aperti) per cui è continua. Se Y X, il saturato di Y rispetto a è il sottoinsieme -1 ( (Y)) = {x X : y Y x y}; Y si dice saturo se -1 ( (Y)) = Y. Un esempio di insieme saturo è una classe di equivalenza. 2

3 2 Proprietà (1) Un sottoinsieme F di X/ è un chiuso di X/ se e solo se -1 (F) è un chiuso di X. (2) f: X/ Y è continua se e solo se f : X Y è continua. (3) Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, e sono due relazioni di equivalenza su X e Y rispettivamente, e f è un omeomorfismo tra X e Y che manda in (cioè x x se e solo se f(x) f(x )), allora i quozienti X/ e Y/ sono omeomorfi. (4) Ogni quoziente di uno spazio topologico connesso è connesso. (5) Ogni quoziente di uno spazio topologico compatto è compatto. (6) Non è detto che il quoziente di uno spazio topologico di Hausdorff sia di Hausdorff. (7) Se X è uno spazio topologico compatto e di Hausdorff e se l'applicazione è chiusa, allora il quoziente X/ è di Hausdorff. (8) La proiezione induce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme degli aperti saturi di X e l'insieme degli aperti del quoziente X/. Alcune verifiche: (1) F è un chiuso di X/ (X/ )\ F è un aperto di X/ -1 ((X/ )\ F) è un aperto di X X \ -1 (F) è un aperto di X -1 (F) è un chiuso di X. (2) Se f è continua, lo è anche f per composizione; viceversa se f è continua e se A è un aperto di Y, allora -1 (f -1 (A)) è un aperto di X e questo garantisce che f -1 (A) è un aperto di X/. (3) Definiamo g: X/ Y/ nel modo naturale, ovvero g[x] = [f(x)]. Il fatto che x x f(x) f(x ) garantisce che g è ben definita e iniettiva; g è surgettiva 3

4 perché lo è f; g è continua perché (dalla proprietà (2)) g X = Y f è continua; e, analogamente, g -1 è continua perché g -1 X = Y f -1 è continua. (4) e (5) sono conseguenza del fatto che è un'applicazione continua. (6) Ad esempio, sia X l'intervallo [-1,1] e la relazione di equivalenza definita da: x x' se e solo se x= x per x <1 e x x' se e solo se x=x per x =1. X è uno spazio topologico di Hausdorff, ma X/ non lo è: è facile infatti verificare che i punti 1 e -1 non hanno due intorni disgiunti. Val la pena osservare che in questo esempio la proiezione sul quoziente NON è un'applicazione chiusa; ad esempio, F = [1/2,1] è un chiuso di X tale che la sua immagine (F) non è chiusa nel quoziente X/ : infatti -1 (F) = ]-1,1/2] [1/2,1] non è un chiuso di X. (7) Vedi [K], teorema 8.11, pag. 60. (8) Sia A un aperto saturo di X. (A) è allora un aperto del quoziente X/ perché -1 ( (A)) = A è un aperto di X. Quindi induce una corrispondenza tra aperti saturi di X e aperti di X/. Questa corrispondenza è surgettiva perché, per ogni aperto B di X/, -1 (B) è un aperto saturo di X (infatti (B) = -1 (B)); è anche iniettiva perché se per due aperti saturi A e A' vale (A) = (A'), allora si ha anche A = -1 ( (A)) = -1 ( (A')) = A'. Nel seguito, illustreremo alcune costruzioni che portano a una relazione di equivalenza e quindi alla costruzione di spazi quoziente; ciascuna di queste costruzioni genererà quindi famiglie di esempi. Le costruzioni a cui accenneremo sono: quozientare rispetto a una applicazione; quozientare rispetto a un sottospazio; quozientare rispetto all'azione di un gruppo; quozientare rispetto a una identificazione. 4

5 3 Quozientare rispetto a una applicazione Sia X uno spazio topologico e f: X Y un'applicazione; f induce una relazione di equivalenza f definita da: x f x se e solo se f(x)=f(x ). f identifica quindi punti di X che hanno la stessa immagine. C'è una corrispondenza biunivoca F tra il quoziente X/ f e Imf (e quindi tra X/ f e Y se f è surgettiva), definita nel modo ovvio: F([x]) = f(x). Possiamo allora usare la costruzione del quoziente per trasportare la topologia da X a Imf (ovvero a Y se f è surgettiva). Un esempio Sia X =S n, Y = n e f l'applicazione che a ogni x in S n associa la retta per x e x in n+1. f è surgettiva e si può quindi considerare su n la topologia quoziente di S n rispetto a f. Con questa topologia, n è uno spazio topologico compatto, connesso, e di Hausdorff: le prime due affermazioni sono ovvie (perché le sfere sono compatte e connesse); per quel che riguarda la terza, basta osservare che x S n, -1 ( (x)) = {x,-x}. Quindi, se A è un chiuso di S n, -1 ( (A)) = A -A è unione di due chiusi e quindi è ancora un chiuso di S n, il che garantisce che (A) è un chiuso di n. N.B. Abbiamo qui indicato con -A l'immagine di A mediante l'applicazione antipodale a(x)=-x. 5

6 4 Quozientare rispetto a un sottospazio Sia X uno spazio topologico e sia A un sottospazio di X. A induce su X una relazione di equivalenza A definita da: x A x se e solo se x,x A oppure x =x. 1 Il quoziente X/A = X/ A è lo spazio che si può immaginare ottenuto da X schiacciando a un punto il sottospazio A. Un esempio Sia X = D 2 e A = S 1. Il quoziente D 2 /S 1 è omeomorfo alla sfera S 2. Infatti, consideriamo l'applicazione f: D 2 S 2 definita da: f (rcos, rsin ) = (cos sin r, sin sin r, cos r); è facile verificare che f è una applicazione continua, che manda tutta la circonferenza S 1 (r=1) nel polo Sud S = (0,0,-1) della sfera S 2 e che la sua restrizione al disco aperto (r<1) è un omeomorfismo tra questo e il complementare nella sfera del polo Sud. Quindi l applicazione g: D 2 /S 1 S 2 definita da g([x]) = f(x) è ben posta, è continua (perché lo è f: proprietà (2) della lista nel paragrafo 2) e biunivoca. Per concludere che si tratta di un omeomorfismo basta osservare che D 2 /S 1 è compatto e che S 2 è di Hausdorff. Esercizio Verificare che il quoziente D n /S n-1 è omeomorfo alla sfera S n. Osservazione Se A è un chiuso di X, la proiezione : X X/A è un'applicazione chiusa. Infatti, se F è un chiuso di X, -1 ( (F)) è un chiuso di X (che potrà essere F oppure F A, a seconda che sia F A = oppure F A ); quindi (F) è un chiuso nel quoziente X/A. Questa osservazione può risultare utile per la proprietà (7): ne segue infatti che, se X è compatto e di Hausdorff, e A è un sottoinsieme chiuso di X, allora il quoziente X/A è di Hausdorff. 1 D'ora in poi, in presenza di una situazione analoga, scriveremo soltanto x A x se e solo se x,x A sottintendendo quindi il fatto che x x, x (che sappiamo comunque essere necessario se vogliamo definire una relazione di equivalenza). 6

7 5 Quozientare rispetto all'azione di un gruppo Sia G un gruppo e X un insieme. Diciamo che G agisce su X se esiste una applicazione G X X (che indichiamo con (g,x) gx) tale che: 1) Id G x=x, x X. 2) (gh)x=g(hx), x X, g,h G. Il fatto che G sia un gruppo garantisce che le applicazioni g : X X definite da g (x) = gx sono applicazioni biunivoche, g G. Se X è uno spazio topologico e G agisce su X, diciamo che X è un G-spazio se inoltre: 3) l'applicazione g : X X è un omeomorfismo, g G. Un'azione di G su X induce una relazione di equivalenza G definita da: x G x se e solo se g G tale che gx = x. (Esercizio: verificare che si tratta di una relazione di equivalenza). Quindi, se X è un G-spazio, possiamo mettere una topologia sul quoziente; indichiamo con X/G lo spazio topologico X/ G. Il quoziente viene detto anche spazio delle orbite, dove un'orbita per l'azione di G su X è una classe di equivalenza rispetto a G : O x = [x] = {y X: g G tale che gx = y} Un esempio Sia X = 2 e G = ; G agisce su X mediante le traslazioni: (n,m)(x,y)=(x+n,y+m) e il quoziente X/G è omeomorfo a un toro T =S 1 S 1 (vedi 2345 o 11404). Per giustificarlo definiamo f: X T come: f(x,y) = ((cos 2 x, sin2 x), (cos 2 y, sin2 y)) f é un'applicazione continua e passa al quoziente perché punti che differiscono per una traslazione in G hanno la stessa immagine tramite f. 7

8 Quindi è ben posta l applicazione g: X/G T definita da: g([(x,y)]) = f (x,y). Anche g è continua (perché lo è f = g ), g è biunivoca (esercizio: verificarlo) e quindi, per dimostrare che g è un omeomorfismo, basta osservare che T è uno spazio di Hausdorff (perché prodotto di spazi di Hausdorff) e controllare che il quoziente X/G è compatto. Quest'ultima affermazione non è automatica, perché X non è compatto. Possiamo giustificarla nel modo seguente. In generale, se X è un G-spazio e D X, si dice che D è un dominio fondamentale per l azione di G su X se: 1) z X, g G tale che gz D; 2) se z e w sono due punti della parte interna di D, allora gz w, g G. Cioè, ogni punto di X si può "riportare" in D tramite un elemento di G, e D è un insieme minimale con questa proprietà: due qualsiasi punti della parte interna di D appartengono a orbite distinte. Questo garantisce che la restrizione a D della proiezione : X X /G è ancora un'applicazione surgettiva. Tornando all esempio che stavamo discutendo, il quadrato Q = [0,1] [0,1] è un dominio fondamentale per l'azione di G su X ed è un compatto, sicché lo è anche X/G, perché immagine di Q tramite la restrizione a Q della proiezione sul quoziente. Esercizi 1. Sia X = e G = ; assegniamo l azione di G su X mediante: nx=x+n Studiare il quoziente X/G. 2. Sia X = 2 e G = ; assegniamo l azione di G su X mediante: n(x,y)=(x+n,y) Studiare il quoziente X/G. 3. Sia X = 2 e G = ; assegniamo l azione di G su X mediante: n(x,y)=(x+n,-y) Studiare il quoziente X/G. 4. Sia X = S 2 e G = 2 ; assegniamo l azione di G su X definendo g = id, se g=0 e g = a, se g=1 (dove a(x) = -x è l applicazione antipodale su S 2 ). 8

9 Studiare il quoziente X/G. 5. Sia X = S 1 e G = n ; assegniamo l azione di G su X interpretando X come l'insieme dei numeri complessi di modulo 1 e gli elementi di G come rotazioni di centro l'origine e angolo 2k /n. Studiare il quoziente X/G. 6. Sia X = 2 e G il gruppo generato dalle rotazioni di di centro i punti a coordinate intere. Studiare il quoziente X/G. Osservazione Se X è un G-spazio e : X X/G è la proiezione sul quoziente, allora, per ogni sottoinsieme A di X, si ha: -1 ( (A)) = {x X: (x) (A)}= = {x X: g G, gx A} = = g G g(a) Questo garantisce che la proiezione è sempre un applicazione aperta (infatti, se A è un aperto, allora -1 ( (A)) è unione di aperti, dato che g(a) è omeomorfo ad A) e dice ad esempio che una condizione sufficiente (non necessaria!) a garantire che sia un applicazione chiusa è che il gruppo G sia un gruppo finito (in tal caso, infatti, se A è un chiuso, -1 ( (A)) è unione di un numero finito di chiusi e quindi è chiuso). 9

10 6 Quozientare rispetto a una identificazione L'esempio del toro nel paragrafo precedente ci porta a considerare situazioni di questo genere. Siano assegnati uno spazio topologico X, due suoi sottospazi A e B, tra loro omeomorfi, e un omeomorfismo f tra A e B: si può allora usare f per attaccare A e B. Formalmente, si considera il quoziente X/ f, dove f è la relazione di equivalenza definita da: x f y se e solo se x A, y B e f(x)=y, oppure viceversa. Il quoziente si dice ottenuto da X per identificazione di A con B (o incollando A con B). Esempio 1 Sia Q = [0,1] [0,1] come nell'esempio del paragrafo precedente, A = ({0} [0,1]) ([0,1] {0}) e B = ({1} [0,1]) ([0,1] {1}). La relazione di equivalenza su 2 relativa all'azione del gruppo G considerato nel paragrafo precedente si riduce, in Q, alla identificazione di A con B mediante l omeomorfismo f : A B definito da: f(0,t)=(1,t) e f(t,0)=(t,1). Verificare che il quoziente Q/ f è omeomorfo a un toro T =S 1 S 1. Esempio 2 Sia Q= [0,1] [0,1] come nell'esempio precedente. Incolliamo questa volta solo due dei lati di Q e proviamo a farlo in tre maniere diverse. Sia allora: A = ({0} [0,1]) B = ({1} [0,1]) f : A B l omeomorfismo definito da f(0,t)=(1,t) g : A B l omeomorfismo definito da g(0,t)=(1,t 2 ) h : A B l omeomorfismo definito da h(0,t)=(1,1-t) Sia X =Q/ f, Y =Q/ g, Z =Q/ h : ci domandiamo se si tratta di tre spazi topologici fra loro omeomorfi; in effetti X e Y lo sono, mentre X e Z non lo sono. Per quanto riguarda la prima affermazione, si può verificare che F : Q Q definita da 10

11 F(s,t)=(s,(1-s)t+st 2 ) è ben definita (occorre controllare che 0 (1-s)t+st 2 1), induce un'applicazione tra X e Y (occorre controllare che punti equivalenti tramite f hanno per immagine punti equivalenti tramite g) e che tale applicazione è un omeomorfismo (Esercizio: verificarlo). In alternativa, si potrebbero costruire direttamente due omeomorfismi tra X (rispettivamente, Y) e il cilindro S 1 [0,1]. Invece X e Z non sono fra loro omeomorfi; per giustificarlo, distinguiamo i punti di X in due tipi differenti: i punti [s,t] con 0<t<1 hanno la caratteristica di avere un intorno omeomorfo a D 2 (la cosa è ovvia per i punti con 0<s<1; se s=0 oppure s=1 un intorno di [0,t]=[1,t] si ottiene incollando due semidischi che rappresentano due intorni rispettivamente di (0,t) e di (1,t) in Q. i punti [s,t] con t=0 oppure t=1 non ammettono un intorno omeomorfo a D 2 (ma hanno un intorno omeomorfo a un semidisco). Torneremo in seguito su questa distinzione e chiameremo bordo di X (indicandolo con X) l insieme dei punti di X del secondo tipo; possiamo operare la stessa distinzione sui punti di Z e otteniamo che anche il bordo Z di Z è l'immagine nel quoziente dei due segmenti [0,1] {0,1}. Quello che qui ci interessa osservare è che, dato che un disco e un semidisco non sono fra loro omeomorfi (esercizio: perché?), un eventuale omeomorfismo tra X e Z dovrebbe restringersi a un omeomorfismo tra X e Z. Ma questo è assurdo perché X non è connesso (è l unione disgiunta di due circonferenze S 1 {0,1}), mentre Z lo è. Z è infatti l immagine nel quoziente dei due lati [0,1] {0} [0,1] {1}; ma il punto (0,0) si identifica nel quoziente a (1,1), mentre (0,1) si identifica a (1,0), quindi l immagine è connessa; di più, è omeomorfa a S 1 (esercizio: verificarlo). Z si dice nastro di Moebius (vedi 15). Nel seguito ci riferiremo alla curva = ([0,1] {1/2}) come a una circonferenza centrale del nastro di Moebius. 11

12 Questo esempio lascia intendere che in una situazione di questo genere (in cui cioè si identifichino due intervalli) non è importante specificare esplicitamente quale omeomorfismo si utilizzi per questa identificazione, ma serve soltanto sapere l'immagine dei due estremi tramite tale omeomorfismo, il che dà in un certo senso il verso secondo cui i due intervalli vengono identificati. Questo in effetti è vero (anche se qua non lo dimostreremo). Spesso si usa tenere traccia di questa situazione con una figura schematica del tipo: X rappresenta quindi il quoziente del quadrato Q di vertici A, B, C, D rispetto alla relazione f, dove f è un (QUALUNQUE) omeomorfismo tra i due lati AB e CD tale che f(a)=c e f(b)=d. Z è il quoziente del quadrato Q rispetto alla relazione g, dove g è un (QUALUNQUE) omeomorfismo tra i due lati AB e CD tale che g(a)=d e g(b)=c. Possiamo in maniera analoga "incollare" due spazi topologici mediante un omeomorfismo: sono dati in questo caso due spazi topologici X e Y, un sottospazio A X, un sottospazio B Y e un omeomorfismo f : A B. Incollare X e Y tramite f significa allora considerare lo spazio topologico (che indicheremo con X f Y ) ottenuto come quoziente dell'unione disgiunta di X e Y rispetto alla relazione di equivalenza f definita da: x f y se e solo se x A, y B e f(x)=y, o viceversa. Esempio 3 Sia X un disco D 2, A la sua circonferenza di bordo, Y un nastro di Moebius, B la sua circonferenza di bordo, e f un omeomorfismo tra A e B. Stiamo qui usando la parola bordo in maniera analoga a come l abbiamo usata nell esempio 12

13 precedente (e a come verrà precisata nel seguito). L'incollamento X f Y è omeomorfo a un piano proiettivo 2. Una maniera per vederlo è quella di pensare al piano proiettivo 2 come il quoziente della sfera rispetto all'applicazione antipodale: dividiamo allora la sfera in tre regioni, due calotte intorno ai poli (omeomorfe entrambe a un disco, e una corrispondente dell'altra mediante l'applicazione antipodale) e una fascia equatoriale omeomorfa a un cilindro. Quozientando, le due calotte danno un unico disco mentre la fascia equatoriale dà un nastro di Moebius. Osservazione Abbiamo qui distinto il caso in cui si identificano due sottospazi A e B di uno spazio topologico X dal caso in cui si incollano due spazi topologici X e Y identificando un sottospazio A di X con un sottospazio B di Y. Questa distinzione però non è necessaria: possiamo far rientrare questa seconda situazione nella prima considerando lo spazio topologico Z dato dall unione disgiunta di X e Y. Esempio 4 Siano X e Y due copie di una sfera S 2, A X e B Y due sottospazi, di X e Y rispettivamente, omeomorfi entrambi a un disco D 2, e sia f un omeomorfismo tra A e B. Verificare che X f Y è omeomorfo a Z = {(x,y,z) 3 : x 2 +y 2 +z 2 =1 oppure x 2 +y 2 =1 e z=0} Riferimenti bibliografici [J] Janich, Topologia, Zanichelli 1994 [K] Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, 1988 [S] Dedò, Superfici, Note per il corso di Geometria IV, Milano,

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j. LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Prodotto libero di gruppi

Prodotto libero di gruppi Prodotto libero di gruppi 24 aprile 2014 Siano (A 1, +) e (A 2, +) gruppi abeliani. Sul prodotto cartesiano A 1 A 2 definiamo l operazione (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Provvisto

Dettagli

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alberto Pinto Corso di Matematica - NUCT 1 Insiemi 1.1 Generalità Diamo la definizione di insieme secondo Georg Cantor, matematico

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare

Dettagli

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:... Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le

Dettagli

TOPOLOGIE. Capitolo 2. 2.1 Spazi topologici

TOPOLOGIE. Capitolo 2. 2.1 Spazi topologici Capitolo 2 TOPOLOGIE Ogni spazio che si considera in gran parte della matematica e delle sue applicazioni è uno spazio topologico di qualche tipo: qui introduciamo in generale le nozioni di base della

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Capitolo Sedicesimo CENNO SULLE SUPERFICI

Capitolo Sedicesimo CENNO SULLE SUPERFICI Capitolo Sedicesimo CENNO SULLE SUPERFICI 1. L A N O Z I O N E D I S U P E R F I C I E In tutto il Capitolo, chiameremo dominio un sottoinsieme di  2 che sia la chiusura di un aperto connesso. Sono tali,

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Andrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli

Andrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli 3.5 Il toro 3.5.1 Modelli di toro Modelli di carta Esempio 3.5.1 Toro 1 Il modello di toro finito che ciascuno può costruire è ottenuto incollando a due a due i lati opposti di un foglio rettangolare.

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite

0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite Questo breve file è dedicato alle questioni di derivabilità di funzioni reali di variabile reale. Particolare attenzione viene posta alla classificazione dei punti di non derivabilità delle funzioni definite

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Francesco Biccari 18 marzo 2013 Una trasformazione geometrica del piano è una legge (corrispondenza biunivoca) che consente di associare a un determinato

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Soluzione di equazioni quadratiche

Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5 ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA PER IL CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Ana Millán Gasca Luigi Regoliosi La lettura e lo studio del libro Pensare in matematica da parte degli

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

Definizione DEFINIZIONE

Definizione DEFINIZIONE Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

LIVELLO STUDENT S1. S2. S3. S4. S5. S6.

LIVELLO STUDENT S1. S2. S3. S4. S5.  S6. LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) La figura mostra due quadrati uguali che hanno in comune esattamente un vertice. È possibile precisare la misura dell'angolo ABC? S2. (7 punti ) Negli usuali fogli (rettangolari)

Dettagli

Ancora sugli insiemi. Simbologia

Ancora sugli insiemi. Simbologia ncora sugli insiemi Un insieme può essere specificato in vari modi; il più semplice è fare un elenco dei suoi elementi. d esempio l insieme delle nostre lauree triennali è { EOOM, EON, EOMM, EOMK EOTU}

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da 1 Integrali su una curva regolare Sia C R N una curva regolare, ossia: (1) C é l immagine di una funzione P (t) definita in un intervallo [a, b] (qui preso chiuso e limitato), tipicamente chiuso e limitato,

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio?

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio? Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Algebra e Logica Matematica. Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine

Algebra e Logica Matematica. Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine Università di Bergamo Anno accademico 2006 2007 Ingegneria Informatica Foglio Algebra e Logica Matematica Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine Esercizio.. Costruire le tavole di verità per

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Anno 3. Classificazione delle funzioni

Anno 3. Classificazione delle funzioni nno 3 Classificazione delle funzioni 1 Introduzione In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su esse.

Dettagli

I Insiemi e funzioni

I Insiemi e funzioni I Insiemi e funzioni 1. INSIEMI ED OPERAZIONI SU DI ESSI 1.1. Insiemi Dal punto di vista intuitivo, il concetto di insieme può essere fatto corrispondere all atto mentale mediante il quale associamo alcuni

Dettagli

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

RELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4

RELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4 RELAZIONI E FUNZIONI 3 Per ricordare H Dati due insiemi A e B e una proposizione aperta px,y, con x 2 A e y 2 B, si dice che x eá in relazione con y, e si scrive x R y, sepx,y eá vera; si parla allora

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

TOPOLOGIA ALBERTO SARACCO

TOPOLOGIA ALBERTO SARACCO TOPOLOGIA ALBERTO SARACCO Abstract. Le presenti note saranno il più fedeli possibile a quanto detto a lezione. I testi consigliati sono Jänich [1], Kosniowski [2] e Singer- Thorpe [3]. Un ottimo libro

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Lo Spettro primo di un anello. Carmelo Antonio Finocchiaro

Lo Spettro primo di un anello. Carmelo Antonio Finocchiaro Lo Spettro primo di un anello Carmelo Antonio Finocchiaro 2 Indice 1 Lo spettro primo di un anello: introduzione 5 1.1 Le regole del gioco................................ 5 1.2 Prime definizioni e risultati

Dettagli

Trigonometria: breve riepilogo.

Trigonometria: breve riepilogo. Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica - Dott.ssa Sandra Lucente Trigonometria: breve riepilogo. Definizioni iniziali Saper misurare un angolo in gradi sessagesimali, saper svolgere

Dettagli

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Analisi Matematica II, Anno Accademico 2014-2015. Ingegneria Edile, Civile, Ambientale Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi, Vincenzo M.

Analisi Matematica II, Anno Accademico 2014-2015. Ingegneria Edile, Civile, Ambientale Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi, Vincenzo M. Analisi Matematica II, Anno Accademico 2014-2015. Ingegneria Edile, Civile, Ambientale Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi, Vincenzo M. Tortorelli APPUNTI Lezione del 20 Novembre 2014. ORIENTABILITA Definzione

Dettagli

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1

SPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1 SPAZI METRICI Nel piano R 2 o nello spazio R 3 la distanza fra due punti è la lunghezza, o norma euclidea, del vettore differenza di questi due punti. Se p = (x, y, z) è un vettore in coordinate ortonormali,

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Lezione 6. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive.

Lezione 6. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive. Lezione 6 Prerequisiti: L'insieme dei numeri interi. Lezione 5. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive. Questa è la prima lezione dedicata all'anello

Dettagli

1.1. Spazi metrici completi

1.1. Spazi metrici completi SPAZI METRICI: COMPLETEZZA E COMPATTEZZA Note informali dalle lezioni 1.1. Spazi metrici completi La nozione di convergenza di successioni è centrale nello studio degli spazi metrici. In particolare è

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA. Margherita Roggero

APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA. Margherita Roggero APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA Margherita Roggero A.A. 2005/2006 M. Roggero - Appunti ed Esercizi di Matematica Discreta Introduzione Queste note contengono gli appunti del corso di Matematica

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli