CUTPOINTS BRIDGES BLOCKS BLOCK GRAPHS - CUTPOINT GRAPHS

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1 CUTPOINTS BRIDGES BLOCKS BLOCK GRAPHS - CUTPOINT GRAPHS INTRODUZIONE Per conoscere la struttura di un grafo connesso è importante individuare nel grafo la distribuzione di certi punti detti cutpoints (punti di taglio), la cui rimozione disconnette il grafo, e quella di certi suoi lati detti bridges (ponti) che hanno una analoga proprietà di coesione dei cutpoints relativamente ai lati del grafo. I ponti sono quei lati con la proprietà che se venissero rimossi, il grafo diverrebbe disconnesso. I pezzi di un grafo tenuti insieme dai suoi cutpoints si chiamano blocchi. Dopo aver definito questi tre concetti si potranno introdurre due nuovi grafi associati ad un grafo dato G : il suo block graph ed il suo cutpoint graph. DEF. : Si chiama cutpoint di un grafo G qualsiasi (eventualmente anche non connesso) un punto di G togliendo il quale aumenterebbe il numero delle componenti connesse di G. DEF. : Si chiama bridge di un grafo G qualsiasi (eventualmente anche non connesso) un lato di G togliendo il quale aumenterebbe il numero delle componenti connesse di G. OSS. : Se v è un cutpoint di un grafo connesso G, allora G v è disconnesso. DEF. : Un grafo G si dice non separabile se è connesso, non banale e non ha cutpoints. 46

2 DEF. : Si dice blocco di un grafo un sottografo non separabile che sia massimale. Se G è non separabile, allora si dice che il grafo G è un blocco. ESEMPIO : y w G x v OSS. : G è un grafo connesso ed ha i quattro blocchi seguenti B 1 B 2 B 3 B 4 Nell esempio precedente v è un cutpoint, mentre w non lo è; x è un bridge (ponte) ma y non lo è. Ciascun lato di un grafo si trova esattamente in uno dei suoi blocchi; questo si verifica anche per ciascun punto del grafo che non sia punto isolato e neppure un cutpoint. Si noti inoltre che anche ciascun ciclo di G giace in un singolo blocco di G. 47

3 Ne consegue, in particolare, che i blocchi di un grafo G ripartiscono i lati di G ed i cicli di G, considerati come insiemi di lati. Vediamo ora tre teoremi che caratterizzano i concetti appena introdotti. TEOREMA 1 : Sia v un punto di un grafo connesso G. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1. v è un cutpoint di G ; 2. u, w, u w, u v, w v tali che v è su ogni u-w path ; 3. esiste una partizione dell insieme dei punti di V - {v} in due sottoinsiemi U e W tali che per qualsiasi u U e per qualsiasi w W, il punto v si trova su ogni u w path. OSS. : La seconda proprietà dice che nel grafo ci sono almeno due punti u e w che sono congiungibili solo passando dal punto v ; pertanto, togliendo v non si potrebbe più andare dal punto u al punto w mediante un path. OSS. : Se G non è connesso si può ripetere quanto detto con riferimento a ciascuna delle componenti connesse di G. 48

4 TEOREMA 2 : Sia x un lato di un grafo connesso G. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: 1. x è un bridge di G ; 2. x non è su un ciclo di G ; 3. esistono almeno due punti u, v di G tali che un qualsiasi u-v path contiene il lato x ; 4. esiste una partizione di V in due sottoinsiemi U e W tali che per qualsiasi coppia di punti u U e w W, il lato x si trova su ogni path congiungente u e w. TEOREMA 3 : Sia G un grafo connesso con almeno 3 punti. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1. G è un blocco; 2. due punti qualsiasi di G giacciono in uno stesso ciclo; 3. comunque si considerino un punto e un lato di G, essi si trovano in uno stesso ciclo; 4. ogni coppia di lati di G giace in uno stesso ciclo; 5. comunque si assegnino una coppia di punti e un lato di G, esiste un path congiungente i due punti e contenente quel lato; 6. per ogni terna di punti distinti di G, esiste un path congiungente due qualsiasi di essi che passa per il terzo punto; 7. per ogni terna di punti distinti di G, esiste un path congiungente due punti qualsiasi dei tre che non passa per il terzo punto. 49

5 TEOREMA 4 : Ogni grafo connesso non banale ha almeno due punti che non sono cutpoints. DIM. : Supponiamo che la tesi non sia vera: quindi non esistono coppie di punti che siano entrambi cutpoints; non è restrittivo supporre che u e v siano punti di G a distanza massima e che v sia un cutpoint. Allora esiste un punto w di G che si trova in una componente connessa di G v che sia diversa da quella del punto u. Poiché v è in ogni u-w path, allora si avrebbe che d(u,w)>d(u,v) : ciò è impossibile, stante l ipotesi che d(u,v) sia massima; pertanto tanto v quanto u non sono cutpoint di G. A partire da un grafo G si possono costruire altri grafi: per quale ragione? Il motivo consiste nel fatto di poter studiare in modo più agevole la struttura di G ; questo si ottiene dallo studio di certi grafi delle intersezioni derivati da G. DEF. : Si chiama block graph di G e si denota con B(G) il grafo delle intersezioni Ω(F) di G dove F è costituito dai blocchi di G. Precisamente i blocchi di G sono i punti di B(G) e due punti di B(G) sono adiacenti se i blocchi corrispondenti di G contengono un comune cutpoint di G. 50

6 ESEMPIO 1 B 1 B 3 B 2 B 4 B 1 B 2 G B B 5 B(G) B 6 B 3 B 5 B 4 BLOCK GRAPH C(G) CUTPOINT GRAPH D altra parte per ottenere il grafo dei cutpoints, possiamo prendere gli insiemi S i come l unione di tutti i blocchi che contengono un certo cutpoint v i. DEF. : Si dice cutpoint graph di G e si denota con C(G) il grafo delle intersezioni Ω(F) di G essendo F costituito dagli insiemi S i suddetti. Precisamente: - l unione di tutti i blocchi contenenti il cutpoint v i corrisponde ad un punto di C(G) ; - due punti di C(G) sono adiacenti se i cutpoints di G a cui essi corrispondono giacciono in uno stesso blocco. OSS. : Se un grafo non ha cutpoint, ovviamente non si può costruire il suo cutpoint graph C(G). 51

7 TEOREMA 5 : Un grafo H è il block graph B(G) di un qualche grafo G se e solo se ogni blocco di H è completo. TEOREMA 6 : Un grafo H è il cutpoint graph C(G) di un qualche grafo G se e solo se ogni blocco di H è completo. Qual è la differenza tra le componenti connesse e i blocchi di un grafo? I blocchi sono sottografi connessi di G ma non sono necessariamente disgiunti in quanto possono avere in comune un cutpoint, mentre due componenti connesse sono sottografi connessi di G sempre disgiunti. 52

8 ALBERI DEF. : Un grafo si dice aciclico se non contiene alcun ciclo. Un grafo aciclico si chiama foresta. DEF. : Un grafo si chiama albero se è un grafo aciclico e connesso, cioè se è una componente connessa di una foresta. ESEMPI: 1. FORESTA con 4 componenti (ciascuna è un ALBERO) 2. K 1 K 2 K 1,2 K 1,3 K 1,4 Nella figura 2. sono rappresentati tutti gli alberi aventi al più 5 vertici. 53

9 ESERCIZIO PROPOSTO: Rappresentare tutti gli alberi con otto vertici: sono 23 e sono a due a due non isomorfi. OSSERVAZIONI. 1. Un albero è un grafo semplice, ma non è un grafo competo K p con p punti se p 3. Se p 3 K p è un grafo connesso, contiene cicli e quindi non è un albero. 2. Il nome di albero è scaturito dalla somiglianza tra la rappresentazione grafica di un albero (come grafo) ed alcuni tipi di alberi esistenti in natura (pini, abeti, ecc.). 3. Gli alberi sono molto importanti per le applicazioni della teoria dei grafi. 4. Nella teoria dei grafi spesso si affronta una congettura su un grafo qualsiasi, studiando inizialmente la stessa situazione relativamente agli alberi; il motivo è dovuto al fatto che gli alberi sono più facili da studiare rispetto a un grafo qualsiasi. 5. La Ricerca Operativa e l Informatica sono tra le discipline che maggiormente utilizzano gli alberi. 54

10 Vi sono molti modi di definire gli alberi, cioè vi sono parecchie caratterizzazioni, tra cui quelle del seguente: TEOREMA : Sia G un grafo; le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1. G è un albero; 2. per ogni coppia di punti di G esiste un unico path congiungente i due punti; 3. G è connesso e p = q+1 ; 4. G è aciclico e p = q+1 ; 5. G è aciclico e aggiungendo a G un lato x, si ottiene il grafo G+x che ha esattamente un ciclo; 6. G è connesso e aggiungendo a G un lato x, si ottiene il grafo G+x che ha esattamente un ciclo; 7. G non è K 3 K 1 e neppure K 3 K 2, inoltre p = q+1 e aggiungendo a G un lato x, si ottiene il grafo G+x che ha esattamente un ciclo. COMMENTI : Un albero G verifica sempre le tre proprietà seguenti: 1. G è connesso; 2. G è aciclico; 3. p = q+1. Tuttavia se un grafo G verifica due qualsiasi delle tre proprietà suddette, allora G verifica sempre anche la terza proprietà ed è un albero. 55

11 Se G è un albero, per definizione G è un grafo connesso; questo significa che due suoi punti qualsiasi sono congiungibili almeno mediante un path; in un albero c è un solo path che unisce due punti u e w perché se ce ne fossero due u-w e w-u si otterrebbe un ciclo di G e un albero non deve avere cicli. In un grafo connesso, la proprietà che il grafo abbia come numero di lati il numero dei vertici meno 1 garantisce l aciclicità di G. Infine conviene segnalare esplicitamente che se G è aciclico e p = q+1, allora G è connesso ed è un albero. Per il teorema di Eulero sappiamo che per un grafo non banale G la somma dei gradi dei suoi punti è uguale al doppio del numero dei suoi lati, cioè d i = 2q. Nel caso degli alberi, essendo q = p-1, si ha che d i = 2(p-1) e da ciò segue il : COROLLARIO : Ogni albero non banale ha almeno due punti terminali (endpoints = punti di grado 1). 56

12 OSS. : Se tutti i p punti di G avessero grado 2 si avrebbe che d i = 2p, mentre per il teorema di Eulero deve essere d i = 2(p-1) = 2p-2 ; pertanto in G devono esserci punti di grado 1 (non ci possono essere punti di grado 0, perché un albero è un grafo connesso e in un grafo connesso non ci possono essere punti isolati). Può esserci un solo punto di grado 1? La risposta è negativa; infatti in tal caso si avrebbe che d i = 2(p-1) + 1 = 2p = 2p - 1 2p 2. Se ne deduce che almeno due punti di G hanno grado 1 e cioè sono endpoints; se sono esattamente due allora d i = 2(p-2) = 2(p) 4 +2 = 2p-2 ; invece se in G ci sono più di due endpoints, per esempio tre ecc., questi sarebbero bilanciati dal fatto che in G ci sono altri punti con grado maggiore di due. DEF. : Si dice foglia di un albero T ogni vertice di T di grado 1, cioè ogni end point di T. 57

13 CENTRI E CENTROIDI DEF. : Sia G un grafo connesso; si chiama eccentricità di un punto v di G e si denota con e(v) il valore massimo delle distanze di un punto u di G dal punto v, cioè si pone e(v) = max d(u,v), u V(G). (d(u,v) = la lunghezza del path più corto che unisce u e v) DEF. : Si chiama raggio di G e si denota con r(g) la minima eccentricità dei punti di G. Si chiama diametro di G la massima eccentricità dei suoi punti,cioè la massima distanza tra due qualsiasi punti di G e si indica con diam(g). DEF. : Un punto v di G si dice punto centrale se la sua eccentricità è minima, cioè se e(v) = r(g). DEF. : Si chiama centro di G l insieme di tutti i punti centrali di G. DEF. :Si chiama circonferenza di G la massima lunghezza di un ciclo contenuto in G. DEF. : Si chiama circonferenza minima di G (girth,in inglese)la minima lunghezza di un ciclo contenuto in G. 58

14 ESEMPIO T u v Nella figura è indicata l eccentricità di ciascun punto dell albero T. r (T) = 4, diam (T) =7 ed il centro di T è l insieme {u,v} poiché e(v) = e(u) = 4 = r(t). OSS. : Il fatto che i punti u e v del centro di T siano adiacenti illustra un risultato scoperto da Jordan e, indipendentemente, da Sylvester il cui enunciato è nel seguente TEOREMA: Ogni albero ha un centro costituito da un punto o da due punti; se i punti nel centro sono due, questi sono adiacenti. DEF. : Si dice ramo in un punto u di un albero T un sottoalbero massimale contenente il punto u come foglia (endpoint). 59

15 Da questa definizione segue che il numero dei rami in un punto u coincide con il grado di u. DEF. : Si dice peso di un punto u di T il massimo numero di lati di un ramo in u. OSS. : Se u è una foglia di T, allora T stesso è il sottoalbero massimale di T che contiene u come foglia; pertanto il peso di una foglia è uguale al numero totale dei lati dell albero T. Nella figura seguente sono indicati i pesi nei punti non terminali dell albero DEF. : Un punto v si dice punto centroide di un albero T se v ha peso minimo. L insieme di tutti i punti centroidi di T si chiama il centroide di T. Lo stesso Jordan ha dimostrato il seguente teorema relativo al centroide di un albero che è analogo al suo risultato per i centri. 60

16 TEOREMA (JORDAN)): Ogni albero ha un centroide formato da un punto o da due punti; se i punti sono due questi sono adiacenti. OSS. : Un grafo connesso con molti cutpoint somiglia ad un albero. Per chiarire il significato di questa affermazione si considera un albero associato a ciascun grafo connesso che serve a evidenziare questa somiglianza. DEF. : Sia G un grafo connesso e siano {B i } l insieme dei blocchi e {c j } l insieme dei cutpoints di G. Si chiama block-cutpoint graph di G e si indica con bc(g) il grafo avente come punti tutti i block e tutti i cutpoints di G (cioè V(bc(G) )= {B i } {c j } ) e come coppie di punti adiacenti le coppie {B i,c j } tali che c j B i. OSS. : Due qualsiasi blocchi e due qualsiasi cutpoints non possono essere mai adiacenti. Ne consegue che bc(g) è un grafo bipartito. Esempio G bc(g) 61

17 RIASSUMENDO : Sia G un grafo connesso e sia v un punto di G. Allora e(v) = max { d(u,v) u V(G) } (eccentricità di un punto) r(g) = min { e(v) v V(G)} (raggio di G) diam(g) = max { e(v) v V(G) } = max { d(u,v) u,v V(G) } v punto centrale e(v) = r(g) centro di G = {v e(v) = r(g) } ramo di un albero in un suo punto u = sottoalbero massimale avente u come foglia numero dei rami in nel punto u = deg ( u ) u foglia ramo in u = T. 62

18 ESEMPI T u 4 u 3 u 1 u 2 u 5 V(T) = {u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 }, u 1, u 2, u 5 sono foglie di T; ramo in u 1 = T, ramo in u 2 = T, ramo in u 5 = T; n di rami in u 1 = 1 = deg (u 1 ), peso di u 1 = w(u 1 ) = n lati di T = 4. La situazione è identica per i punti u 2 e u 5 ; invece u 3 non è una foglia, infatti deg(u 3 ) = 3 e il numero dei rami di T nel punto u 3 è 3 ; i rami in u 3 sono i seguenti: r 1 u 3 u 1 Anche u 4 non è una foglia essendo deg(u 4 ) = 2, quindi 2 sono i rami di T in u 4 : r 2 u 3 u 2 r 3 u 4 u 5 u 3 u 4 u 3 u 1 u 2 r 1 r 2 u 5 u 4 63

19 si vede che E(r 1 ) = 1, E(r 2 ) = 3 e che il peso w(u 4 ) di u 4 è 3 ; pertanto il peso dell albero T è w(t) = w(u 1 ) + w(u 2 ) + w(u 3 ) + w(u 4 ) + w(u 5 ) = = 17. DEF. : Si dice albero ricoprente oppure albero generatore (in inglese spanning tree) di un grafo connesso G un sottografo T di G che sia un albero e che contenga tutti i punti di G (cioè un albero ricoprente è un sottografo spanning di G che sia un albero). ESEMPIO G T T OSS. : L albero ricoprente di un grafo G non è unico, come si vede dall esempio. Questa nozione è molto usata nelle applicazioni (linee elettriche, linee telefoniche che collegano città, ecc.) TEOREMA : Ogni grafo G connesso contiene almeno un albero ricoprente. DIM. : Sia G un (p,q) grafo. Proviamo l asserto per induzione sul numero q dei lati di G. 64

20 I. Sia p = q+1 allora, essendo G connesso per ipotesi, si ha che G stesso è un albero e l asserto è provato. II. Sia p < q+1 allora G contiene almeno un ciclo (se così non fosse, essendo G connesso e aciclico sarebbe un albero). Togliendo un lato da questo ciclo si ottiene un grafo G ancora connesso, con q-1 lati. Per l ipotesi induttiva G contiene un albero ricoprente e questo è anche albero ricoprente di G. OSS. : Nelle applicazioni, siamo interessati più che alla costruzione di un albero ricoprente qualsiasi, alla costruzione di un albero ricoprente di peso minimo. Uno dei procedimenti noti per ottenere una tale costruzione è dovuto a KRUSKAL (1956). Questo procedimento consiste nello scegliere successivamente lati che siano di peso minimo e che non chiudano cicli. TEOREMA : Sia G un grafo connesso e pesato. Sia T un albero ricoprente G costruito con l algoritmo di Kruskal. Allora il peso di T è il minimo dei pesi di tutti gli alberi ricoprenti G. Questo teorema assicura che: 1. alla fine del procedimento di Kruskal avremo coperto tutti i punti di G con un albero; 2. non c è un altro albero ricoprente di peso complessivo inferiore. 65

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