OFA. Prof. Matteo Franca

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1 OFA Prof. Matteo Franca

2 Teoria degli insiemi Un insieme è costituito dai suoi elementi. Può essere descritto: elencando i suoi elementi tra due parentesi graffe, mediante proprietà che caratterizzano i suoi elementi. Esempio A = {Roma, Frosinone, Viterbo, Latina, Rieti} A = {x : x è un capoluogo del Lazio} Nota: : e sono abbreviazioni per tali che B = {2, 3, 5, 7} B = {x N x è primo e x < 10} Nota: N = {0, 1, 2, 3,...} = insieme dei numeri naturali significa appartiene, appartengono / significa non appartiene, non appartengono Esempio 5 B significa: 5 appartiene all insieme B, 5 è un elemento di B 6, 11 / B significa: sia 6 che 11 non appartengono all insieme B

3 Siano X e Y due insiemi. Si dice che X è un sottoinsieme di Y oppure X è contenuto in Y oppure Y contiene X se ogni elemento di X è un elemento anche di Y. In simboli: X Y ma anche Y X. X = Y se X e Y hanno gli stessi elementi, ovvero se valgono contemporaneamente X Y e Y X Nota: X X per ogni insieme X. X è un sottoinsieme proprio di Y se X Y e X Y (in simboli X Y ). indica l insieme vuoto: non ha elementi. Nota: è sottoinsieme di qualsiasi insieme X.

4 Sia Y un insieme. La cardinalità di Y è il numero di elementi di Y (potrebbe essere ). L insieme dei sottoinsiemi di Y si chiama insieme delle parti di Y e si indica con P(Y ). Esempio Y = {a, b, c} P(Y ) = { {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, } 1 sottoinsieme di cardinalità 3, 3 di cardinalità 2, 3 di cardinalità 1, 1 di cardinalità 0. Ogni insieme Y ha almeno due sottoinsiemi, Y e, detti sottoinsiemi banali. Domande {x N : x 2 < 0} = {x N : 2x = 6} = {x N : x 2 0} = {0} Sia Z = {0, 1, 1, 2, 2,...} = insieme dei numeri interi {x Z : 2x = 6} = { 3}

5 Un diagramma di Venn è una rappresentazione grafica di un insieme che consiste nel racchiudere gli elementi dell insieme all interno di una linea chiusa. Esempio A = {2, 3, 5, 13} A B = {x : x A oppure x B} unione di A e B A B = {x : x A e x B} intersezione di A e B A \ B = {x : x A e x / B} differenza (insiemistica) di A e B (in questo ordine)

6 Esempio A = {2, 3, 5, 13} B = {3, 7, 9, 13, 14} A B = {2, 3, 5, 13, 7, 9, 14} A B = {3, 13} A \ B = {2, 5} B \ A = {7, 9, 14} Domanda: dati due insiemi X e Y, è vero che X \ Y = Y \ X? No, guardare l esempio.

7 Due insiemi A e B si dicono disgiunti se A B =. Esercizio Siano A = {x Z : x 0} e B = {x Z : x 0}. Determinare A B, A B, A \ B, B \ A. A B = Z A B = {0} A \ B = {x Z : x > 0} B \ A = {x Z : x < 0} Esercizio Siano A = {x N : x è divisibile per 2} = {0, 2, 4, 6,...} = {2k : k N} B = {x N : x è divisibile per 3} = {0, 3, 6, 9,...} = {3k : k N} C = {7, 15, 227, 3219, 3333} A e B sono disgiunti? A e C sono disgiunti? B e C sono disgiunti? 1. No, perché 6 A B. 2. Sì, perché nessun elemento di B è divisibile per No, perché 15 B C.

8 Proprietà 1. A B = B A proprietà commutativa dell unione 2. A B = B A proprietà commutativa dell intersezione 3. In generale, A \ B B \ A 4. (A B) C = A (B C) proprietà associativa dell unione 5. (A B) C = A (B C) propr. assoc. dell intersezione Esercizio Dimostrare che 1. A A = A 2. A B A, B 3. A A = A 4. A B A, B

9 Se B A, l insieme A \ B si chiama complementare di B in A e si indica con C A (B) (oppure con B). Proposizione Sia B A. Dimostrare che C A (C A (B)) = B, ovvero B = B. Dimostrazione Bisogna dimostrare che B B e che B B. B B. Sia a B: ciò significa che a A \ B, dunque a / B. Quindi a B. B B. Sia a B: dunque a / B. Quindi a B.

10 Leggi di De Morgan Dati due sottoinsiemi A e B di un insieme X, si ha A B = A B A B = A B

11 Esercizio Siano A, B, C degli insiemi. Dimostrare che 1. A (B C) = (A B) (A C) 2. A (B C) = (A B) (A C) Svolgimento di 1. Bisogna dimostrare che A (B C) (A B) (A C) e A (B C) (A B) (A C). Dimostriamo prima che A (B C) (A B) (A C).

12 Dimostriamo ora che A (B C) (A B) (A C). Svolgimento di 2. Fare a casa.

13 Siano A e B due insiemi. Il prodotto cartesiano di A e B è l insieme delle coppie ordinate (a, b) con il primo elemento a A e il secondo b B. Si indica con A B. A B = {(a, b) : a A, b B} Esempio A = {1, 2, 3} B = {π, e} A B = {(1, π), (2, π), (3, π), (1, e), (2, e), (3, e)} B A = {(π, 1), (π, 2), (π, 3), (e, 1), (e, 2), (e, 3)} Nota: La coppia ordinata (a, b) è ben altra cosa dall insieme {a, b}. A A = A 2, A A A = A 3,... A } A {{ A } = A n n volte R n = l insieme delle n-uple di numeri reali Esempio R 2 = l insieme delle coppie di numeri reali (113, 3/5) R 2

14 Cenni di logica elementare In logica, una proposizione P è un affermazione per la quale è possibile stabilire se è vera o falsa. I connettivi logici legano tra loro proposizioni formando nuove proposizioni: congiunzione: e, in simboli disgiunzione: o, oppure, in simboli implicazione: implica, in simboli = doppia implicazione: equivale, in simboli negazione: non, in simboli Nota: usiamo i simboli quando ci conviene.

15 P e Q è vera quando entrambe sono vere, ed è falsa quando almeno una delle due è falsa. P o Q è vera quando almeno una delle due è vera, ed è falsa quando entrambe sono false. P = Q significa se P è vera allora è vera anche Q. P Q significa P = Q e P = Q, ovvero se P è vera allora è vera anche Q e se Q è vera allora è vera anche P: si dice anche P è vera se e solo se Q è vera. non P è vera quando P è falsa, ed è falsa quando P è vera. Table: Tabella della verità P Q P e Q P o Q P = Q P Q non P V V V V V V F V F F V F F F F V F V V F V F F F F V V V

16 P = Q si può leggere in tanti modi equivalenti: 1. P implica Q, 2. se P è vera allora Q è vera, 3. condizione sufficiente affinché Q sia vera è che sia vera P, 4. condizione necessaria affinché P sia vera è che sia vera Q, ed è equivalente (ovvero ha la stessa tabella della verità) a non Q = non P Esercizio Dimostare questa equivalenza. P Q non P non Q P = Q non Q = non P V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V P Q si può leggere in tanti modi equivalenti: 1. P se e solo se Q, 2. P è equivalente a Q, 3. condizione necessaria e sufficiente affinché P sia vera è che sia vera Q.

17 Esercizio Il sole è una stella. Vero La terra è piatta. Falso Il sole è una stella e la terra è piatta. Falso Il sole è una stella o la terra è piatta. Vero Se n è un numero divisibile per 4 allora n è pari. n è un numero divisibile per 4 = n è pari. Vero Se n è un numero pari allora è divisibile per 4. n è pari = n è un numero divisibile per 4. Falso n è pari n è un numero divisibile per 4. Falso Esercizio Negare la proposizione P ogni persona in questa aula ha la maglietta bianca non P: esiste una persona in questa aula che non ha la maglietta bianca Quale delle due è vera? Dimostrare

18 Esercizio Dimostrare che la negazione della negazione di una qualsiasi proposizione P è equivalente a P: non (non P) = P P non P non (non P) V F V F V F Esempio Sia P la seguente proposizione: Il triangolo T è isoscele. Qual è la negazione di P (ovvero non P)? ovvero Non è vero che il triangolo T è isoscele, Il triangolo T non è isoscele Qual è la negazione della negazione di P (ovvero non non P)? ovvero Non è vero che il triangolo T non è isoscele, Il triangolo T è isoscele

19 Esercizi 1. Negare l affermazione Oggi Marta ha mangiato primo e secondo Non è vero che Marta ha mangiato primo e secondo, ovvero Marta non ha mangiato il primo oppure Marta non ha mangiato il secondo 2. P: c è uno studente che seguirà questo corso tutti i giorni Q: ogni giorno, ci sarà almeno uno studente a seguire questo corso P = Q? Q = P? Sí No 3. La proposizione non è vero che a tutti gli studenti in questa aula piace la matematica è equivalente a c è almeno uno studente in questa aula a cui non piace la matematica

20 Simboli: : e significano entrambi tale che, tali che significa esiste (almeno uno), esistono! significa esiste un unico significa non esiste significa per ogni, tutti Congettura di Goldbach (1742) Ogni numero naturale pari > 2 è somma di due numeri primi. n N, n > 2, p 1, p 2 numeri primi : n = p 1 + p 2 Non si sa se è vero (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,...) o falso ( un numero naturale pari > 2 che non è somma di due numeri primi).

21 Esercizi 1. È vera l affermazione x N, x 2 x? Sì Cosa dovremmo fare se volessimo dimostrarlo? 0 2 0, 1 2 1, 2 2 2, 3 2 3,... bisogna dimostrare l affermazione per tutti gli infiniti valori possibili per x. 2. È vera l affermazione x N, 3x è pari? No Cosa dovremmo fare se volessimo dimostrarlo? La sua negazione è x N : 3x non è pari. Basta trovare un valore di x per cui 3x non è pari! Ad esempio x = È vera l affermazione x N, y N : y 2 = x? No Cosa dovremmo fare se volessimo dimostrarlo? La sua negazione è x N : y N : y 2 = x non è pari. Basta trovare un valore di x: ad esempio x = 2.

22 i Dire e dimostrare se è vera o no l affermazione Per ogni scelta degli insiemi A, B, C N, A B = A C = B = C Falsa. Per dimostrarlo bisogna trovare un controesempio: A = B = {0}, C = Esercizio Dire e dimostrare se è vera o no l affermazione Per ogni scelta degli insiemi A, B, C N, (A B) C = A (B C) Falsa. Per dimostrarlo bisogna trovare un controesempio: A = B = {0}, C =

23 Dimostrazione per metodo inverso o indiretto (per assurdo) Un Teorema è un affermazione del tipo H = T H = ipotesi T = tesi Un affermazione equivalente a H = T è non T = non H. Quindi il teorema si può dimostrare anche in questo modo: supponiamo che la tesi non sia vera e dimostriamo che l ipotesi non è vera. Tale dimostrazione comunemente viene chiamata dimostrazione per assurdo. Teorema Sia x N tale che x 2 è pari. Allora x è pari. Dimostrazione Per assurdo: supponiamo che x sia dispari e dimostriamo che x 2 è dispari. x 2 = x x è prodotto di due numeri dispari, quindi è dispari.

24 Dimostrare che, dati due insiemi qualsiasi A e B, si ha A B = A B A e A B = A B A Dimostriamo la prima. A B = A B A equivale a due affermazioni: 1. A B = A = B A e 2. A B = A = B A. Dimostriamo A B = A = B A: ipotesi: A B = A tesi: B A Per assurdo, sia b B \ A. Allora b / A e b A B. Quindi A B A. Adesso dimostriamo A B = A = B A: ipotesi: B A tesi: A B = A Dobbiamo dimostrare A B = A, che significa A B A (che vale sempre) e A B A. Per assurdo, sia A B A: quindi esiste b A B A \ A. Allora b B \ A e dunque B A. Dimostrate la seconda a casa.

25 Insiemi numerici I numeri Reali si indicano con R e sono tutti i numeri decimali (limitati e non, non necessariamente periodici). Su R sono definite due operazioni, la somma e il prodotto: + : R R R : R R R che soddisfano le seguenti proprietà. Proprietà della somma: Associativa (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c R Commutativa a + b = b + a a, b R Elemento neutro esiste un numero, indicato con 0, tale che a + 0 = 0 + a = a a R Opposto a R esiste un unico b R (chiamato opposto di a e indicato con a) tale che a + b = b + a = 0

26 Proprietà del prodotto: Associativa (a b) c = a (b c) a, b, c R Commutativa a b = b a a, b R Elemento neutro esiste un numero, indicato con 1, tale che a 1 = 1 a = a, a R, Reciproco a R\ {0} esiste un unico b R\ {0} (chiamato reciproco di a e indicato con 1 a ) tale che a b = b a = 1 Proprietà distributiva a (b + c) = (a b) + (a c), a, b, c R Notate che la definizione di somma, grazie all opposto, include quella di differenza; analogamente quella di prodotto include quella di quoziente. Stiamo richiedendo che facendo somme, differenze, prodotti e divisioni non usciamo dall insieme.

27 I numeri Naturali si indicano con N e sono: N = {0, 1, 2, 3, } I numeri Interi si indicano con Z e sono: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} I numeri Razionali si indicano con Q e sono: { m } Q = n m Z, n Z \ {0} N Z Q R Esempi 2 N, 3 Z, 2 3 Q, π R.

28 Numeri razionali Q = { m n m Z, n Z \ {0}} numeri La scrittura non è unica: Esempio 3 4 = a b = c d perché 3 8 = 6 4, perché razionali a d = b c In generale, a b = a n n Z \ {0} b n La scrittura è unica se a e b sono primi tra di loro, cioè senza divisori comuni.

29 Come si fa la somma? Esempio = o più semplicemente = = = Esercizio = = Come si fa il prodotto? Esempio = = 5 24 Esercizio = = = 3 14 o più semplicemente = = 3 14 = 19 12

30 Rappresentazione decimale I numeri decimali limitati sono razionali. Sono uguali a una frazione con al numeratore il numero senza la virgola e al denominatore 10 elevato al numero di cifre dopo la virgola. Esempi 1, 75 = 175 = , 121 = = Anche i numeri decimali periodici sono razionali. periodo= numero che si ripete antiperiodo=numero dopo la virgola e prima del periodo n = numero senza la virgola m = numero senza la virgola e senza il periodo Il numero razionale ha come numeratore n m e come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono quelle dell antiperiodo. Esempio 12, 5491 = 12, periodo= 491 antiperiodo=5 n = m = , 5491 = =

31 Esercizio , 02 = = = La formula ci può dare frazioni non semplificate Dato che si ha, ad esempio 0, 1 = 1 9 0, 01 = , 001 = , 4 = 4 9 0, 13 = , 729 = Altro modo 12, 5491 = 12, 5 + 0, 0491 = 12, 5 + (0, 491 : 10) = Esercizio = 12, 5 + ( : 10) = 12, = , 02 = 1 + (0, 2 : 10) = 1 + ( 2 9 : 10) = = Attenzione: 0, 9 = 9 9 = 1 Esercizio 1, 09 = 1 + (0, 9 : 10) = = = 1, 1

32 Assurdo: k ed m non possono essere entrambi pari perché non hanno divisori comuni. Teorema Un numero è razionale se e solo se la sua rappresentazione decimale è finita o periodica. Quale parte del teorema abbiamo appena dimostrato? Esistono infiniti numeri reali che non sono razionali. Teorema 2 non è razionale (ovvero q Q tale che q 2 = 2). Dimostrazione Per assurdo: sia q = k m tale che q2 = 2, con k Z e m N \ {0} senza divisori comuni. Allora q 2 = 2 = k2 m 2 = 2m2 = k 2 = k 2 pari = k pari Quindi esiste n N tale che k = 2n. Quindi 2m 2 = k 2 = 2 2 n 2 = m 2 = 2n 2 = m 2 pari = m pari

33 Teorema Dati n, m N, m 0, esiste un unica coppia di naturali s, r tale che n = s m + r 0 r < m Osservazione: n è divisibile per m r = 0 p N si dice primo se p è divisibile solo per 1 e per p. Esempi 1, 2, 3, 5, 7, 11 sono primi 4, 9, 15 no. Teorema (Teorema fondamentale dell aritmetica di Euclide) Ogni numero n N si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi Esempio 120 = =

34 Piú precisamente Dato n N,! p 1, p 2,..., p k numeri primi e m 1, m 2..., m k naturali 1 tali che n = p m 1 1 p m 2 2 p m k k, p 1 < p 2 <... < p k La fattorizzazione in numeri primi è un problema difficile: il computer impiega molto tempo a risolverlo. Su questo fatto si basa tutta la crittografia. Teorema (Euclide) I numeri primi sono infiniti Dimostrazione Per assurdo. Supponiamo siano in numero finito, diciamo k: p 1, p 2,..., p k Il numero naturale n = p 1 p 2 p k + 1 non è divisibile per nessun numero primo. Ciò è assurdo per il Teorema fondamentale dell aritmetica.

35 Sugli insiemi numerici che abbiamo definito (N, Z, Q, R) c è un ordinamento. Questa relazione gode di queste proprietà: 1) a a, a R 2) dati a, b R, se a b e b a allora a = b 3) se a b e b c allora a c 4) a, b R si ha a b o b a 5) dati a, b, c R, se a b allora a + c b + c 6) dati a, b, c R, con 0 c se a b allora a c b c

36 Numeri reali Abbiamo già visto che se un numero non ha una rappresentazione decimale finita o periodica non è razionale e che prendendo tutte le possibili rappresentazioni decimali otteniamo dei numeri che appartengono all insieme dei reali. I numeri reali si possono mettere in corrispondenza biunivoca con gli elementi di una retta. Notazioni [1, 3] = {x R 1 x 3} (1, 3] = {x R 1 < x 3} [1, 3) = {x R 1 x < 3} (1, 3) = {x R 1 < x < 3}

37 Assioma di completezza L insieme dei numeri reali ha la seguente importante proprietà, che si chiama Assioma di completezza: per ogni coppia di insiemi non vuoti A, B R tali che a b per ogni a A e b B, esiste c R tale che a c b per ogni a A e b B. L elemento di separazione c puo non essere unico. E importante notare che Q, a differenza di R, non gode di questa proprietà.

38 Esempio Siano A = {a Q a > 0, a 2 < 2}, B = {b Q b > 0, b 2 > 2} non esiste un elemento di separazione c Q. Se invece prendiamo i corrispondenti insiemi reali A = {a R a > 0, a 2 < 2} = (0, 2) B = {b R b > 0, b 2 > 2} = ( 2, + ) esiste un (in questo caso unico) elemento di separazione: c = 2. Esercizi Dati i seguenti insiemi indicare un elemento di separazione e dire se è unico. A = [1, 3], B = (4, 8] A = [1, 3], B = (3, 8] A = [ 1, 1] {3}, B = {4, 8}

39 Principio di induzione Sia P n un affermazione dipendente da n N. P n è vera, per ogni n N, se valgono entrambe le seguenti: 1. P 0 è vera, passo base 2. P k vera = P k+1 vera, k N. passo induttivo Esercizio Dimostrare che la somma S n dei primi n numeri naturali è S n = n i = i=0 n(n + 1) 2 Passo base: S 0 = 0 = 0(0 + 1) 2 vera Passo induttivo: supponiamo che S k = k(k+1) 2, dobbiamo dimostrare che S k+1 = (k+1)(k+2) 2. S k+1 = S k +(k+1) = ( ) k(k + 1) k +(k+1) = (k+1) (k + 1)(k + 2) = 2

40 La formula appena dimostrata permette calcoli rapidi. Ad esempio Altro modo: 200 S 200 = i = = i= = Abbiamo la somma di = 100 addendi tutti uguali a =

41 Altra dimostrazione Se n è pari, abbiamo: ( n 2 1) + n 2 n + (n 1) + (n 2) + + ( n 2 + 2) + ( n 2 + 1) (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) ovvero n 2 (n + 1). Se n è dispari, abbiamo: ( n+1 2 2) + ( n+1 2 1) n + (n 1) + (n 2) + + ( n ) + ( n ) (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) più il termine n+1 2, ovvero n 1 n+1 2 (n + 1) + 2 = n+1 n+1 2 (n 1 + 1) = 2 n.

42 Esercizio Sia q R, q 1. Dimostrare per induzione che n i=0 Ad esempio 10 q i = q 0 + q q n 1 + q n = qn+1 1 q 1. k=0 10k = k=0 ( = ) k = (1/2) 16 1 (1/2) 1 9 = = Notate che n ( 1 k k=0 2) 2 se n. Passo base: 0 k=0 q = q0 = 1 = q 1 q 1 vera Per capire il meccanismo verifichiamo anche per n = 1, 2 (nonostante non serva!) n = 1 n = 2 1 k=0 q = q0 + q 1 = 1 + q = q2 1 q 1 2 k=0 q = q0 + q 1 + q 2 = 1 + q + q 2 = q3 1 q 1

43 Passo induttivo: supponiamo che n provare che n+1 k=0 qk = qn+2 1 q 1. k=0 qk = qn+1 1 q 1, dobbiamo n+1 q k = 1 + q + q q n 1 + q n + q n+1 = k=0 = qn+1 1 q 1 Esercizi per casa + q n+1 = qn q n+2 q n+1 q 1 n q k + q n+1 k=0 = qn+2 1 q 1 1. Sia x R, x > 1. Dimostrare per induzione che, per ogni n N, (1 + x) n 1 + nx. 2. Dimostrare per induzione che ogni insieme con n elementi ha 2 n sottoinsiemi.

44 Variante del Principio di induzione (partendo da un qualsiasi numero naturale n 0 ) Sia P n un affermazione dipendente da n N. P n è vera, per ogni n N, n n 0, se valgono entrambe le seguenti: 1. P n0 è vera, passo base 2. P k vera = P k+1 vera, k N, k n 0. passo induttivo Esercizio Dimostrare che Passo base per n = 3: n 2 > 2n + 1 n > vera Passo induttivo: supponiamo che k 2 > 2k + 1, per un certo k 3, dobbiamo dimostrare che (k + 1) 2 > 2(k + 1) + 1 = 2k + 3. Abbiamo (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 > 2k k + 1 > 2k + 3

45 Esercizio Dimostrare che Passo base per n = 5: 2 n > n 2 n > > 25 vera Passo induttivo: supponiamo che 2 k > k 2, per un certo k 5, dobbiamo dimostrare che 2 (k+1) > (k + 1) 2. Abbiamo 2 (k+1) = 2 2 k > 2 k 2 = k 2 + k 2 > k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 dove l ultima uguaglianza viene dall esercizio precedente.

46 Polinomi Chiamiamo monomio nell incognita x il prodotto di una potenza in x e di un coefficiente numerico. Chiamiamo grado del monomio la potenza di x. Ad esempio 3x 2, 7x 8, πx 7, hanno rispettivamente grado 2, 8, 1. Un polinomio è una somma di monomi. Quindi un polinomio a coefficienti in R (N, Z, Q) di grado n è un espressione del tipo f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 dove a n, a n 1,..., a 0 e a n 0. Indichiamo con R[x] (N[x], Z[x], Q[x]) l insieme dei polinomi a coefficienti in R (N, Z, Q). f (x) = 0 ha grado indeterminato. f (x) = c ha grado 0 se c 0

47 Esempi f (x) = 6x 3 + 3x 2 10x + 1 è un polinomio in Z[x] (quindi anche in Q[x] e R[x]) di grado 3, f (x) = 2x 7 10 R[x] ha grado 7, f (x) = 27 è un polinomio di grado 0, f (x) = 0 è un polinomio di grado indeterminato. Somma di polinomi La somma p(x) + q(x) si ottiene sommando i coefficienti delle potenze omonime. Esempi p(x) = 2x 3 5x q(x) = x 3 + 3x 2 2x p(x) + q(x) = x 3 2x 2 2x + 1 a(x) = x 4 x b(x) = x 4 + 3x 3 + x a(x) + b(x) = 3x 3 + 2

48 Prodotto di polinomi Il prodotto p(x) q(x) si ottiene con la moltiplicazione termine a termine e raccogliendo i termini dello stesso grado. Esempi (5x + 1) (x 2 + x) = 5x 3 + 5x 2 + x 2 + x = 5x 3 + 6x 2 + x (x 3 + x 2 + x + 1) (x 1) = x 4 + x 3 + x 2 + x x 3 x 2 x 1 Osservazioni: = x 4 1. La somma di p(x) con il polinomio nullo q(x) = 0 è p(x): p(x) + 0 = p(x) Il prodotto di p(x) con q(x) = 1 è p(x), con q (x) = 0 è 0 R[x]: p(x) 1 = p(x) p(x) 0 = 0 Se p, q 0, allora grado (p q) = grado p + grado q grado (p + q) max( grado p, grado q).

49 Se p(x) R[x] e a R, con p(a) indichiamo il valore numerico ottenuto sostituendo a ad x: Esempio Se p(x) = x 3 + x 10 allora p( 1) = 12 p(1) = 8 p(2) = 0 Una radice (o zero) di p(x) R[x] è un numero a R tale che p(a) = 0 R. Teorema Dati i polinomi p(x) e s(x), con s(x) 0, esistono e sono unici i due polinomi q(x) e r(x) tali che p(x) = s(x) q(x) + r(x) dove r(x) ha grado < di s(x) oppure è nullo. Esempio p(x) = 6x 3 + 7x 2 + x + 1 s(x) = 2x 2 x + 1 p(x) = s(x) (3x + 5) + (3x 4)

50 L espressione p(x) = s(x) q(x) + r(x) si riscrive p(x) s(x) = q(x) + r(x) s(x) s(x) 0 Se r(x) = 0, diciamo che s(x) divide p(x). Teorema (Teorema del resto) Dato p(x) R[x] e a R, la divisione ha resto r(x) = p(a). p(x) = (x a) q(x) + r(x) Dimostrazione Sappiamo che grado r(x) < grado (x a) = 1, quindi r(x) = k è una costante. Da p(x) = (x a) q(x) + r(x), segue ovvero p(a) = r(a) = k. p(a) = (a a) q(a) + r(a)

51 Corollario a è una radice di p(x) R[x] (x a) divide p(x) Un polinomio si dice monico se il coefficiente del monomio di grado più alto è 1. Esempio x 2 5x + 7 è monico. Un polinomio p(x) R[x] non costante si dice irriducibile se i suoi unici divisori sono lui stesso e le costanti. Teorema I polinomi irriducibili sono quelli di grado 1 oppure di grado 2 con < 0. Esempio x 2 5x + 7 è irriducibile.

52 I polinomi irriducibili sono gli analoghi dei numeri primi Teorema (Analogo del Teorema fondamentale dell aritmetica di Euclide) Ogni polinomio non nullo f (x) R[x] si fattorizza in modo unico come prodotto di polinomi irriducibili monici e di una costante: f (x) = c p 1 (x) p 2 (x) p k (x) Piú precisamente Dato n N,! p 1, p 2,..., p k numeri primi e m 1, m 2..., m k naturali 1 tali che n = p m 1 1 p m 2 2 p m k k, p 1 < p 2 <... < p k Teorema Un polinomio di grado n ha al più n radici (reali).

53 Trovare radici di un polinomio polinomio di 1 0 grado: ax + b con a 0. Esiste un unica radice x = b a Teorema (Formula risolutiva per polinomi di 2 0 grado) Un polinomio di 2 0 grado p(x) = ax 2 + bx + c, a 0, ha radici reali x 1 e x 2 se e solo se = b 2 4ac 0 ed esse valgono x 1 = b + 2a In tal caso p(x) si fattorizza come, x 2 = b 2a p(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) Si noti che x 1 = x 2 se e solo se = 0.

54 Esercizio Fattorizzare p(x) = 2x 2 + 5x 12. Ricordo la formula x = b± b 2 4ac 2a. Troviamo le radici: x = 5 ± ( 12) 4 = 5 ± = 5 ± 11 4 Quindi x 1 = 4, x 2 = 3 2 e p(x) si fattorizza ( p(x) = 4 (x + 4) x 3 ) 2 Da fare a casa: Fattorizzare i polinomi x 2 + 5x + 6, 4x 2 + 4x + 1, x 2 + 2x + 5, 3x 2 + 2x 4.

55 Perchè vale la formula risolutiva? Devo risolvere l equazione ( ax 2 + bx + c = 0 a x 2 + b a x + c ) = 0 a Semplifico per a 0. Noto x 2 + b ( a x = x + b ) 2 b 2 2a 4a 2 e quindi riscrivo l equazione come ( x + b ) 2 b 2 2a ( x + b 2a 4a 2 + c a = 0 ( 2a ) 2 = b 2 4ac 4a 2 = ) 2 x + b 2a = ± 2a = x ± = b 2a ± 2a

56 Per fattorizzare i polinomi di grado 4 in cui ci sono solo potenze pari, si può usare la formula risolutiva. Esempio Trovare le radici e fattorizzare x 4 10x Poniamo t = x 2 e risolviamo t 2 10t + 24 = 0 da cui segue t = 5 ± Trovo quindi t 1 = 4, t 2 = 6. Tornando all equazione in x trovo Quindi x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = 6 x 4 = 6 x 4 10x = (x 2)(x + 2)(x 6)(x + 6)

57 Osservazioni Quando non c è il termine noto, si può raccogliere una potenza di x e quindi ho una radice pari a 0. Esempio x 7 + 3x 3 + 5x 2 = x 2 (x 5 + 3x + 5) x 2 a 2 = (x a) (x + a) (x 3 a 3 ) = (x a) (x 2 + ax + a 2 ) (x 3 + a 3 ) = (x + a) (x 2 ax + a 2 ) (x n a n ) = (x a) (x n 1 +ax n 2 +a 2 x n 3 + +a n 2 x +a n 1 ) Esercizio Calcolare 99 3 nel modo più veloce 99 3 = (100 1) 3 = (100) = = = Esercizio Dire se p(x) = 2x 3 + 3x 2 3x 2 è divisibile per q(x) = x 2 + x 2 (senza fare la divisione). q(x) = x 2 + x 2 = (x + 2)(x 1) divide p(x) 2 e 1 sono radici di p(x).

58 Un polinomio di secondo grado con < 0 è irriducibile. Non si può scrivere come prodotto di due polinomi R[x] di grado 1. Si può scrivere come prodotto di due polinomi di grado 1 a coefficienti complessi. Esempio x 2 + 6x + 10 Quindi x = 6 ± = 3 ± i x 2 + 6x + 10 = [x + (3 i)] [x + (3 + i)] Teorema Ogni polinomio di grado n 1 ha sempre almeno una radice nel campo dei complessi. Ogni polinomio reale di grado dispari ha sempre almeno una radice reale.

59 Introduciamo il concetto di molteplicità algebrica di una radice, tramite un esempio. Il polinomio ha p(x) = (x 2) 3 (x 1) 4 (x + 1) (x 3) radice 2 con molteplicità algebrica 3, radice 1 di molteplicità algebrica 4 radici 1 e 3 di molteplicità algebrica 1. In totale quindi ha = 9 radici contate con molteplicità. Idea: le sue radici sono 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3 Teorema (Fondamentale dell algebra) Ogni polinomio di grado n 1 ha n radici complesse contate con molteplicità.

60 La formula per trovare le radici di un polinomio di 2 0 grado è stata scoperta in India nel VII secolo d.c. Le formula per trovare le radici di un polinomio di 3 0 e 4 0 grado sono state scoperte nel 1550 circa e sono complicate da ricordare. Galois all inizio del 1800 ha scoperto che non esiste una formula risolutiva di questo tipo per le equazioni di grado 5.

61 Divisioni tra polinomi Supponiamo di sapere che s(x) divide p(x): come facciamo a trovare il quoziente q(x)? p(x) = s(x) q(x) Esempio Sappiamo che s(x) = x + 2 divide p(x) = 2x 3 + 3x 2 3x 2. Come troviamo q(x) = p(x) s(x)? q(x) ha grado 3 1 = 2, quindi q(x) = ax 2 + bx + c. Troviamo a, b e c. 2x 3 +3x 2 3x 2 = (x+2)(ax 2 +bx+c) = ax 3 +bx 2 +cx+2ax 2 +2bx+2c a = 2 b + 2a = 3 da cui c + 2b = 3 2c = 2 ovvero a = 2 b = 1 c = 1 q(x) = 2x 2 x 1.

62 Se p(x) è monico, le sue radici intere dividono il termine noto. Esercizio Fattorizzare p(x) = x 4 2x 2 3x 2. Possibili radici intere: i divisori di 2, cioè +1, 1, +2, 2. p(1) = = 6 0, quindi 1 non è una radice, p( 1) = = 0, quindi 1 è una radice e x + 1 divide p(x). p(x) = (x + 1) (ax 3 + bx 2 + cx 2 + d) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + +dx+ax 3 +bx 2 +cx+d = ax 4 +(b + a)x 3 +(c + b)x 2 +(d + c)x+d a = 1 a = 1 b + a = 0 b = 1 da cui c + b = 2 ovvero c = 1 d + c = 3 d = 2 d = 2 q(x) = x 3 x 2 x 2. p(x) = (x + 1) (x 3 x 2 x 2)

63 Fattorizziamo q(x) = x 3 x 2 x 2. I possibili divisori interi sono +1, 1, +2, 2 (ma sappiamo che 1 non è una radice). q( 1) = 3 0, quindi 1 non è una radice, q(2) = = 0, quindi 2 è una radice di q (e quindi anche di p) e x 2 divide q(x) (e quindi anche p). q(x) = x 3 x 2 x 2 = (x 2)(ax 2 + bx + c) Facendo la divisione si trova ax 2 + bx + c = x 2 x + 1, che ha = 1 2 < 0, quindi è irriducibile. p(x) = (x + 1) (x 3 x 2 x 2) = (x + 1) (x 2) (x 2 x + 1) Esercizio Trovare le radici di p(x) = (x + 19) (x 2 3x + 2) Attenzione: non moltiplicare! Una radice è 19. Le altre 3± 9 8 2, ovvero 2 e 1. Esercizio Trovare le radici di p(x) = (x 3) (x 2 + 6x + 2) (x + 2) (x 3) Attenzione: non calcoli ma raccogliere il fattore comune! p(x) = (x 3) (x 2 + 6x + 2 x 2) = (x 3) (x 2 + 5x) = (x 3)x(x + 5). Le radici sono 3, 0, 5.