Esercizi. Esercizio 2.5:Dimostrare che se A A e B B allora: Dim: Per ipotesi esistono f : A A e g : B B iniettive. 1. Sia h : A B A B t.c.

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1 Esercizi Esercizio 2.5:Dimostrare che se A A e B B allora: 1. A B A B se A B = A B = 2. A B A B 3. P(A) P(A ) 4. F un(a, B) F un(a, B ) Dim: Per ipotesi esistono f : A A e g : B B iniettive. 1. Sia h : A B A B t.c. Allora h e iniettiva: c A B h(c) = f(c) se c A, h(c) = g(c) se c B siano c, d A B t.c. h(c) = h(d). Distinguiamo i casi: c A, d A c A, d B c B, d A c B, d B Nel primo caso: f(c) = h(c) = h(d) = f(d) f(c) = f(d) (f e iniettiva) c = d. Il quarto caso e analogo solo che sfrutto l iniettivita di g. Il secondo e il quarto caso sono assurdi: se accadesse che c A d B e contemporaneamente h(c) = h(d), allora f(c) = g(d) e quindi,ad esempio, f(c) A B = assurdo (analogamente il terzo caso). Essendo h iniettiva allora A B A B. 2. Sia h : A B A B t.c. h(a, b) = (f(a), g(b)) ; allora h e iniettiva: siano (a, b), (c, d) A B t.c. h(a, b) = h(c, d). Allora (f(a), g(b)) = (f(c), g(d)) f(a) = f(c) e g(b) = g(d). Dunque per iniettivita di f e g segue che a = c b = d e cioe (a, b) = (c, d). Essendo h iniettiva allora A B A B 3. Sia h : P(A) P(A ) t.c. h(i) = f(i) I P(A). allora h e iniettiva: siano I, J P(A) t.c. h(i) = h(j) ; allora f(i) = f(j) (per iniettivita di f) I = J. 1

2 Essendo h iniettiva allora P(A) P(A ). 4. Sia h : F un(a, B) F un(a, B ) t.c. φ F un(a, B) h(φ) = φ, dove: φ : A B t.c. x A φ (x) = (g φ f 1 )(x) se x Im(f) mentre φ (x) = b se x A \ Im(f) dove b B e fissato. (In particolare se f e una bigezione allora φ (x) = (g φ f 1 )(x) x A. h e ben definita e dimostriamo che e iniettiva: siano φ, ψ F un(a, B) t.c. h(φ) = h(ψ). Allora φ = ψ x A φ (x) = ψ (x). Sia ora x A ; allora f( x) Im(f) (g φ f 1 )(f( x)) = φ (f( x)) = ψ (f( x)) = (g ψ f 1 )(f( x)) g(φ( x)) = g(ψ( x)). Ma g e iniettiva, quindi φ( x) = ψ( x) e questo accade per ogni x A e dunque φ = ψ. Essendo h iniettiva allora F un(a, B) F un(a, B ). Esercizio: se R N N dom(r) R e Im(R) R (senza usare AC) Dim: sia a dom(r) e considero b a = min{b (a, b) R} N. L insieme {b (a, b) R} e ben definito per definizione di dominio di una relazione, ed essendo un sottoinsieme dei naturali ammette minimo. Sia dunque la funzione φ : dom(r) R t.c. a dom(r) φ(a) = (a, b a ). Essa e iniettiva (se φ(a) = φ(a ) (a, b a ) = (a, b a ) a = a ), per cui dom(r) R. Ora preso b Im(R) e ben definito l insieme {a (a, b) R} e dunque definisco a b = min{a (a, b) R}. Per cui risulta ben definita e iniettiva (stesso argomento di prima) la funzione: ψ : Im(R) R t.c. ψ(b) = (a b, b). Per cui Im(R) R. 2

3 Esercizio: Dimostrare che se A e un insieme infinito, allora N A (con AC). Dim: A e infinito, quindi a 1 A e siano A 0 = A, A 1 = A {a 1 }. A e infinito, quindi A 1 a 2 A 1, e definisco A 2 = A {a 1, a 2 }. Piu in generale, n N definisco A n = A {a 1,..., a n } dove a i A i 1. Osserviamo che A i A j = se i j. Dunque siccome accettiamo AC, usiamo una sua formulazione equivalente che assicura l esistenza di un insieme di scelta X t.c. X A i = {α i } i N. Dunque definisco la seguente funzione: ψ : N A t.c. ψ(i) = α i. Essa e ben definita poiche i Nα i A i A ; inoltre essa e iniettiva: se ψ(i) = ψ(j) A i α i = α j A j A i A j e cio e possibile se e solo se i = j. Essendo ψ iniettiva segue che N A. Esercizio: Dimostrare, senza usare AC, che se X = ℵ 0 e se X Y e finita, allora X = Y. Dim: Per definizione X Y = (X Y ) (Y X), che e finita,quindi X Y e Y X sono finiti. Ora, X = (X Y ) (X Y ), ed essendo X Y finito segue che X Y e infinito (se fosse finito allora anche X lo sarebbe e cio e assurdo). Inoltre, X = ℵ 0 f : X N bigettiva. Ma allora g = f i : X Y N (dove i e l inclusione X Y X) e iniettiva; percio : g(x Y ) N con g(x Y ) = X Y g(x Y ) e un sottoinsieme infinito dei naturali, quindi X Y = g(x Y ) = ℵ 0. Osserviamo che Y = (Y X) (X Y ),dunque Y = ℵ 0 :infatti essendo Y X finito si ha che Y X = m, per qualche m. Ma allora Y = (Y X) (X Y ) = {1,..., m} N = N (questo poiche {1,..., m} N = N), e dunque X = Y. Esercizio: dimostrare che se X = Y, allora F in(x) = F in(y ) e F S(X) = F S(Y ). Dim: X = Y f : X Y biettiva. 3

4 Sia A F in(x) : allora A X e A e finito. Essendo f biezione si ha che f(a) = A ; dunque f(a) e un sottoinsieme di Y finito, cioe f(a) F in(y ). Questo dimostra che e ben definita l applicazione: ψ : F in(x) F in(y ) t.c. ψ(a) = f(a) A F in(x) Abbiamo che ψ e biettiva: iniettivita : siano A, B F in(x) t.c. ψ(a) = ψ(b). Allora f(a) = f(b) (f e biezione) A = B. suriettivita : sia B F in(y ).Allora ψ(f 1 (B)) = B. Essendo iniettiva e suriettiva, e biettiva e quindi F in(x) = F in(y ). Definiamo l applicazione : φ : F S(X) F S(Y ) t.c. φ(σ) = f σ σ F S(X) Essa e ben definita poiche se σ F S(X) n N t.c. σ : [1, n] X Dunque: f σ : [1, n] Y, cioe f σ F S(Y ). Inoltre: φ e iniettiva (se σ, τ F S(X) t.c. φ(σ) = φ(τ) f σ = f τ e dunque σ = τ) e suriettiva (sia τ F S(Y ); posso scrivere τ = f (f 1 τ) e f 1 τ F S(X) e dunque φ(f 1 τ) = τ). Essendo iniettiva e suriettiva, e biettiva e dunque F S(X) = F S(Y ). Esercizio: (AC) Sia A i i I una sequenza di insiemi t.c. I c, A i c i I. Dimostrare allora che i I A i c. Dim: per ogni i I definisco F i = {ψ ψ : R A i suriettiva}. Ora, A i c = R i I ψ : R A i suriettiva. Dunque F i i I. Per AC dunque: Π i I esiste una I-sequenza ψ i i I Π i I F i (dove le ψ i F i i). Dunque sia:. Allora ψ e suriettiva: φ : I R i I A i t.c. φ(i, r) = ψ i (r) i I r R sia α i I A i j I t.c. α A j. Considero ψ j (che e suriettiva), quindi β R t.c. ψ j (β) = α φ(j, β) = ψ j (β) = α. Ma allora per AC: i I A i I R R R = c. 4

5 Esercizio: Sia A R t.c. A ℵ 0, allora R A e denso. Dim: siano a, b R, con a < b. Abbiamo che: (a, b) (R A) = (R [(, a) (b, + )]) (R A) = = R [[(, a) (b, + )] A] = = R [[(, a) A] [(b, + ) A]]. Sia X = X 1 X 2, dove X 1 = (, a) A e X 2 = (b, + ) A. Dunque abbiamo che X 1 A e X 2 A ; percio :. X 1 A ℵ 0 e X 2 A ℵ 0 Quindi, ad esempio, e : X 1 N e X 2 Z N. Dunque abbiamo la seguente situazione: Dunque per l Esercizio 2.5: X 1 X 2 = N (Z N) = X 1 N e X 2 Z N. X = X 1 X 2 N (Z N) = Z = ℵ 0, cioe X ℵ 0. Ora, siccome: X R, X ℵ 0, R = c, si ha che R X = c.(risultato dimostrato a lezione). Dunque: (a, b) (R A) = R X = c dunque in particolare e (a, b) (R A), ovvero R A interseca tutti gli intervalli di R ed e quindi denso. 5