PRINCIPIO DI INDUZIONE E APPLICAZIONI

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1 PRINCIPIO DI INDUZIONE E APPLICAZIONI Il principio di induzione è un potente metodo dimostrativo indiretto per stabilire la validità di proposizioni che riguardano una successione infinita di casi. GIZ 005

2 Alcuni problemi che danno luogo ad una successione infinita di casi Problema. Consideriamo la successione dei numeri dispari:,, 5, 7, 9,,..., n-, Osserviamo che: = da cui: = = + // = 4 = + +5 // = 9 I risultati della a colonna suggeriscono, in maniera abbastanza evidente, che possa valere, per ogni nn, la relazione: n n Osservazione critica: chi ci assicura, però, che la formula precedente risulterà valida per ogni n? Problema. Consideriamo la successione dei numeri naturali:,,, 4, 5,,..., n Osserviamo che: = da cui: = = + // = = ++ // = 4 = +++4 // 4 = 0 I risultati della a colonna suggeriscono, anche se in maniera meno evidente rispetto al problema, che possa valere, per ogni nn la relazione: nn ( ) n Osservazione critica: chi ci assicura, però, che la formula precedente risulterà valida per ogni n?

3 Problema. Consideriamo la successione dei numeri primi:,,, 5, 7,..., 4, 47, 5,, 7, 8, 97,...? sembra che tutti i numeri primi da 4 in poi possano essere ottenuti dalla formula: n + n + 4 per n =,,, 4, 5,, 7, n n + n = = = = Osservazione critica: chi ci assicura, però, che la formula precedente risulterà valida per ogni n e che tutti i numeri primi maggiori di 4 saranno ricavabili da essa?

4 Nei problemi precedenti e in tutti quelli che danno luogo ad una successione infinita di casi, la verifica della validità generale di una relazione P(n) dipende da due premesse essenziali: a) La proposizione P() è vera: b) upposta vera la proposizione P() è possibile dimostrare che risulta vera anche la proposizione P(+). La prima premessa è detta base dell induzione, la seconda premessa è detta passo dell induzione e l ipotesi del passo è detta ipotesi induttiva. Dal punto di vista intuitivo: - la base assicura che la proprietà in questione è vera per la proposizione P() (ma come si può facilmente verificare l importante è che la proprietà sia valida per un fissato numero naturale ); - il passo assicura che la proprietà si trasmette da ogni proposizione P() alla successiva. Che queste due condizioni siano sufficienti per stabilire con assoluta certezza la validità della proposizione P(n) per ogni n è un principio fondamentale della logica che va sotto il nome di principio di induzione o di ricorrenza il cui enunciato può esser posto in una delle seguente forme equivalenti: 4

5 ) Principio di induzione o di ricorrenza in forma classica e a) P () vera (base induttiva) b) P () vera per ogni P (+) vera (passo induttivo) allora P(n) è vera per qualunque n N ) Principio di induzione o di ricorrenza in forma estesa e a) P () vera (base induttiva) b) P (), P (),, P () vere per ogni P (+) vera (passo induttivo) allora P(n) è vera per qualunque n N ) Principio del minimo intero e A è un sottoinsieme non vuoto di N allora A ammette minimo, ossia ( A N) (m N tale a N si ha m a ) 4) Principio della discesa infinita e a n è una successione di numeri naturali decrescente in senso largo allora a n è costante da un certo indice in poi ossia a n a n + per ogni n N n 0 N tale che a n = costante per ogni n n 0 5

6 upponendo la validità del principio del minimo intero dimostriamo il principio di induzione in forma classica e a) P () vera (base induttiva) b) P () vera per ogni P (+) vera (passo induttivo) allora P(n) è vera per qualunque n N Dimostreremo il principio di induzione verificando che non esiste alcun n che rende falsa P(n) e di conseguenza P(n) risulterà sempre vera per il principio del terzo escluso. Indichiamo con T l insieme degli interi positivi r per i quali P (r) è falsa ossia: T = r N / P (r) è falsa La proposizione (tesi del teorema) P(n) è vera per qualunque n equivale logicamente a non esiste alcun r tale che P(r) è falsa ossia l insieme T deve essere vuoto Il teorema risulterà allora dimostrato se faremo vedere che T = r N / P (r) è falsa = Procediamo per assurdo ia T, allora T, essendo un insieme di numeri interi, dovrà essere dotato per il principio del minimo intero di minimo m (con m T) Dall ipotesi iniziale a) P () è vera segue che m ed essendo m > 0 risulterà m > ossia m->0 iccome m è il minimo di T e ovviamente m-<m si ha che m-t quindi P(m-) è vera Per l ipotesi induttiva b) essendo P(m-) vera risulterà vera anche P(m- +) ossia P(m) e quindi m T, ciò è assurdo perché il minimo di un insieme appartiene ad esso. Non potendo essere T si avrà T= c.v.d principio del terzo escluso. Una proposizione logica o è vera o è falsa, non esiste quindi un terzo valore di verità; perciò se una proposizione logica non è falsa è necessariamente vera

7 Riprendiamo i problemi precedenti. Alcuni problemi dimostrati con il principio di induzione Problema. Calcolo della somma dei primi n numeri dispari,, 5, 7, 9,,..., n- Avevamo presunto che, per la somma n, potesse valere la formula: n n per ogni nn Per poter applicare il principio di induzione dobbiamo verificare la verità della base e del passo, che nel caso in esame assumono la forma: a) = () (base) b) = vera + = (+) vera (passo) Osserviamo che la base a) = () = è ovviamente vera Verifichiamo la verità del passo b); upponiamo vera = e calcoliamo + + = + (+) - = + (+) - = + + = (+) Da = abbiamo ricavato + = (+), dunque è vero anche il passo induttivo; per il principio di induzione sarà valida allora la formula: n n per ogni nn c.v.d 7

8 Problema. Calcolo della somma dei primi n numeri naturali,,, 4, 5,,..., n Avevamo presunto che, per la somma n, potesse valere la formula: n nn ( ) Per poter applicare il principio di induzione dobbiamo verificare la verità della base e del passo,che nel caso in esame assumono la forma: ( ) a) (base) b) ( ) vera vera (passo) ( ) Osserviamo che la base a) è ovviamente vera, verifichiamo la verità del passo b): supponiamo vera ( ) e calcoliamo ( ) ( ) a dunque è vero anche il passo per il principio di induzione sarà valida allora la formula: n nn ( ) Problema. Calcolo dei numeri primi maggiori di 4,,, 5, 7,..., 4, 47, 5,, 7, 8, 97,...? Avevamo presunto che tutti i numeri primi da 4 in poi potessero essere ottenuti dalla formula: n + n + 4 per ogni nn La formula precedente però è manifestamente falsa per n = 4 e più in generale è sicuramente falsa per n multiplo di 4. Infatti per n = 4 si ha: = = 4 (4 + ) = 4 4 e 4 4 ovviamente non è un numero primo. 8

9 Problema 4. Formula per il calcolo del termine n-esimo di una progressione aritmetica Una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra due numeri consecutivi (tranne il primo) è costante, detta costante è indicata con d ed è chiamata ragione della progressione. Una progressione aritmetica si indica simbolicamente con: a, a, a,, a n, e per definizione i suoi termini sono tali che a n+ - a n = d n. La relazione precedente è equivalente a: a n+ = a n + d n : da cui a = a + d a = a + d = a + d + d = a + d a 4 = a + d = a + d + d = a + d I primi e gli ultimi membri delle uguaglianze precedenti suggeriscono, in maniera abbastanza evidente, che possa valere, per ogni nn, la relazione: a n = a +(n-) d Per poter applicare il principio di induzione dobbiamo verificare la verità della base e del passo,che nel caso in esame assumono la forma: a) a a ( ) d (base) b) a a ( ) d vera a a d vera (passo) Osserviamo che la base a) a a ( ) d a è ovviamente vera, verifichiamo la verità del passo b): supponiamo vera a a ( ) d e calcoliamo a + a a d a d d a d d d a d dunque è vero anche il passo induttivo, per il principio di induzione sarà valida allora la formula: an a ( n ) d n 9

10 Problema 5. Formula per il calcolo della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica di primo termine noto a e di ragione nota d n( a an ) n Per poter applicare il principio di induzione dobbiamo verificare la verità n della base e del passo,che nel caso in esame assumono la forma: a) b) ( a a ) (base) ( a a ) vera a a vera (passo) Osserviamo che la base a) la verità del passo b): supponiamo vera ( a a ) ( a a ) a è ovviamente vera, verifichiamo e calcoliamo ( a a ) a a a a a a a a a a a a a d a d a a a d a d a a a a a a a a a dunque è vero anche il passo induttivo, per il principio di induzione sarà valida allora la formula: n( a a ) n n n 0

11 Problema. I numeri del tipo n + n, per ogni numero naturale n, sono divisibili per. Pn n n è divisibile per n Per poter applicare il principio di induzione dobbiamo verificare la verità della base e del passo,che nel caso in esame assumono la forma: a) b) P è divisibile per (base) P è divisibile per vera P è divisibile per vera (passo) Osserviamo che la base a) P è divisibile per P è divisibile per equivalente a è ovviamente vera, verifichiamo la verità del passo b): supponiamo vera P è divisibile per e sviluppiamo 4 Essendo per l ipotesi induttiva P divisibile per, per dimostrare P+ è sufficiente dimostrare che 4 è divisibile per Osserviamo che 4 = 4 e che è sicuramente pari e 4 è ovviamente pari, quindi 4 è pari ossia è divisibile per. dunque è vero anche il passo induttivo, per il principio di induzione sarà valida allora la proposizione: Pn n n è divisibile per n e è pari allora è pari; se è dispari il successivo + è pari e quindi il prodotto è pari

12 Problema 7. Disuguaglianza di Bernoulli. P x nx n n n e x R tale che x Per poter applicare il principio di induzione dobbiamo verificare la verità della base e del passo,che nel caso in esame x R tale che x assumono la forma: a) P x x (base) b) P x x P x x (passo) La base è ovviamente vera. Dimostriamo il passo): upponiamo vera la proposizione x x e moltiplichiamo ambo i membri per la quantità positiva x ottenendo x x x x x x x x x e il passo induttivo è dimostrato. Da x si ha x 0

13 Problema 8. Calcolo della somma dei quadrati dei primi n numeri naturali. n n( n )(n ) 4... n a) b) ( )( ) (base) ( )( ) ( )( )( ) (passo) La base è ovviamente vera. Dimostriamo il passo): upponiamo vera la proposizione ( )( )( ) i ha: ( )( ) e dimostriamo ( )( ) 4... = () = ( ) = ( ) = ( ) 7 = = ( ) 7 = ( )( )( ) e il passo induttivo è dimostrato.

14 Note: 4

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