L Assioma di Scelta. Stefano Baratella

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1 L Assioma di Scelta Stefano Baratella Questa breve nota vuole ricordare alcuni fatti di base relativi all Assioma di Scelta (nel seguito: AC, per Axiom of Choice), quasi sempre senza dimostrazione, e senza pretesa di completezza. Per approfondimenti si vedano i riferimenti in bibliografia. Per un contributo non tecnico di piacevole lettura, si veda [LT]. Se F è una famiglia di insiemi non vuoti, una funzione di scelta su F è una funzione c : F F tale che, per ogni A F, c(a) A. Nella sua formulazione più ingenua, AC afferma che: Su ogni famiglia di insiemi non vuoti esiste una funzione di scelta. Discuteremo tra breve la rilevanza di AC per la pratica matematica. Anzitutto, è da chiedersi perché AC sia così dibattuto. La ragione sta nel suo contenuto non costruttivo: per ogni famiglia di insiemi non vuoti, AC asserisce l esistenza di una funzione, in generale senza esibirla. Non sempre, quando si fanno scelte si usa AC. Ad esempio, il seguente si dimostra dagli assiomi della teoria degli insieme senza usare AC: Proposizione 1. Su ogni famiglia finita di insiemi non vuoti esiste una funzione di scelta. La dimostrazione è per induzione sulla cardinalità della famiglia. (Esercizio.) Oppure se, ad esempio, F è una famiglia di insiemi bene ordinati e non vuoti, una funzione di scelta su F esiste senza bisogno di fare ricorso a AC: basta associare a ogni insieme bene ordinato il suo minimo. Lo stesso se F è una famiglia di gruppi. (Qual è una naturale funzione di scelta in quest ultimo caso?) Talvolta i filosofi sono più efficaci dei matematici nel farci capire dove sia una discriminante. Ad esempio, B. Russell scrive: Per scegliere un calzino da ognuna di infinite paia di calzini serve AC, mentre l assioma non è necessario se si vuole scegliere una scarpa da ognuna di infinite paia di scarpe. Il senso della citazione è che si usa davvero AC quando si devono fare infinite scelte e non si ha a disposizione un criterio effettivo. 1

2 Quando si parla di equivalenti di AC, ci si riferisce ad asserzioni che sono dimostrabilmente equivalenti a AC rispetto agli altri assiomi della teoria degli insiemi (quelli della cosiddetta teoria ZF di Zermelo-Fraenkel i cui assiomi sono quelli presentati a lezione, con l esclusione dell assioma di scelta, naturalmente). Ecco alcuni equivalenti (banali e meno banali) di AC, che danno già un idea della sua rilevanza nella pratica matematica: 1. Su ogni famiglia di insiemi non vuoti e a due a due disgiunti esiste una funzione di scelta. 2. Ogni funzione suriettiva ha un inversa destra. (Ricordiamo che un inversa destra di una funzione f : A B è una funzione g : B A tale che f g = id B.) 3. (Lemma di Zorn) Ricordiamo che, dato un insieme un insieme parzialmente ordinato (A, <), (a) C A è una catena se C è totalmente ordinato da <; (b) a A è un maggiorante di B A se, per ogni x B, x < a oppure x = a; (c) a A è un elemento massimale di A se non esiste x A tale che a < x; (d) < è induttivo se ogni catena C A ha maggiorante in A. Lemma di Zorn. In ogni insieme parzialmente ordinato (A, <), con le proprietà che (a) A ; (b) < è induttivo esiste almeno un elemento massimale. 4. (Principio del buon ordinamento di Zermelo) Per ogni insieme A esiste R A 2 tale che (A, R) è un insieme bene ordinato. 5. (Tricotomia) Per ogni coppia di insiemi A, B esiste una mappa iniettiva da A in B, oppure esiste una mappa iniettiva da B in A. 6. Ogni spazio vettoriale ha una base. 7. (Teorema di Tychonoff) Il prodotto di ogni famiglia di spazi topologici compatti è compatto (rispetto alla topologia prodotto). 2

3 8. (Teorema dell ideale massimale per anelli con unità) In ogni anello con unità diverso dall anello nullo, ogni ideale proprio si estende a un ideale massimale. (Si veda la Proposizione 4 per una traccia di dimostrazione che ZL implica il teorema dell ideale massimale.) numerose centinaia di altre asserzioni non banali. Per le dimostrazioni di alcune delle equivalenze di cui sopra, si veda, ad esempio, [H]. Domanda. Il campo ordinato dei reali non è bene ordinato rispetto all ordine usuale. C è contraddizione con la possibiltà assicurata da AC (si veda il Principio di buon ordinamento di Zermelo) di definire un buon ordine sull insieme R? Quando si parla di conseguenze di AC, ci si riferisce ad asserzioni che sono dimostrabili nella teoria ZFC=ZF+AC. Ecco alcune conseguenze di AC: 1. L esistenza di sottoinsiemi dei reali che non sono Lebesgue misurabili (un esempio: l insieme di Vitali). 2. Il paradosso di Banach-Tarski: è possibile decomporre la palla unitaria chiusa di R 3 in due palle disgiunte ad essa congruenti. (La decomposizione richiede un minimo di 5 pezzi). 3. Il teorema di Hahn-Banach. 4. etc... etc... Di seguito, alcuni risultati la cui dimostrazione dettagliata viene lasciata per esercizio. Proposizione 2. Le seguenti asserzioni sono equivalenti in ZF: 1. AC. 2. Ogni funzione suriettiva ha una inversa destra. Suggerimento. (2) (1): senza perdita di generalità, supporre che F sia una famiglia di inisiemi non vuoti a due a due disgiunti. Sia g : F F che mappa ciascun z F nell unico A F tale che z A. Osservare che f è suriettiva. Provare infine che ogni inversa destra di g è una funzione di scelta su F. Prima di provare un altra conseguenza di AC, un esercizio preliminare: Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Dare la definizione di insieme (non necessariamente finito) di vettori linearmente indipendenti. 3

4 Per gli scopi della proposizione seguente, una base di uno spazio vettoriale è un insieme massimale (rispetto all inclusione) di vettori linearmente indipendenti. Diremo linearmente indipendente un insieme di vettori linearmente indipendenti. Proposizione 3. (ZF+ZL) Ogni spazio vettoriale ha una base. Suggerimento. Si può provare di più: sia X un insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale V. Sia A = {X Y : Y è linearmente indipendente}. Provare che l insieme parzialmente ordinato (A, ) soddisfa le ipotesi del Lemma di Zorn. Concludere che ogni insieme di vettori linearmente indipendenti si estende a una base. Osservare infine che è un insieme di vettori linearmente indipendenti. Dunque, sapendo che AC e il Lemma di Zorn sono dimostrabilmente equivalenti in ZF, possiamo riformulare l enunciato della proposizione precedente affermando che, in ZFC, si dimostra che ogni spazio vettoriale ha una base. In realtà, in ZF si dimostra anche che se ogni spazio vettoriale ha una base allora vale AC. Prima di enunciare il prossimo risultato, ricordiamo che un anello non nullo è un anello con almeno due elementi e che, un ideale I di un anello R con unità 1 è tale che I = R se e soltanto se 1 I. (Esercizio: verificare l equivalenza precedente.) Ricordiamo anche che un ideale dell anello R si dice proprio se è diverso da R e che un ideale massimale è un ideale proprio che è massimale (rispetto all inclusione) fra gli ideali propri di R. Proposizione 4. (ZF+ZL) Se I è un ideale proprio di un anello non nullo con unità R, allora siste un ideale massimale di R che estende I. Suggerimento. Sia F = {J : J è un ideale proprio di R e I J} Provare che (F, ) soddisfa le ipotesi del Lemma di Zorn. Bibliografia [H] P. Halmos - Naive set theory, Van Nostrand,

5 [HR] P. Howard & J.E. Rubin - Consequences of the Axiom of Choice, Mathematical Surveys and Monograph, vol. 59, Am. Math. Soc., [J] T. Jech - The Axiom of Choice, in Handbook of Mathematical Logic, a cura di J. Barwise, North-Holland, [LT] S. Leonesi & C. Toffalori - Matematica, miracoli e paradossi, [M] G.H. Moore - Zermelo s Axiom of Choice, Springer, [RR] H. Rubin & J.E. Rubin - Equivalents of the Axiom of Choice vol. I, North-Holland, [R] H. Rubin - Equivalents of the Axiom of Choice vol II, Elsevier, 5