REGISTRO DELLE LEZIONI 2004/2005. Tipologia

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1 Presentazione del programma del corso. Logica Matematica e sue connessioni con la Matematica e l'informatica. Cardinalità di un insieme. Paradosso di Galileo, albergo di Hilbert, altri esempi di insiemi infiniti con uguale cardinalità. Addì Addì Teoremi di Cantor sull'esistenza di più cardinali infiniti. Ordine dei cardinali. Teorema di Cantor-Bernstein. Addì Addì Conseguenze del teorema di Cantor-Bernstein. Paradosso di Russell. Assiomi di Zermelo-Fraenkel ZF. Assioma della scelta: breve storia e sua discussione. Addì Addì

2 Ipotesi del continuo. Logica del primo ordine: alfabeto e formule, strutture, verità (breve ricapitolazione). Cenni sui teoremi di completezza e di compattezza. Addì Addì Applicazioni del teorema di compattezza. Impossibilità di tradurre al primo ordine Principio di Induzione e Principio del Minimo. Teorie, teorie coerenti. Classi elementari e non elementari di strutture. Addì Addì Esempi di classi elementari e non elementari. Teorema di Lowenheim-Skolem. Teorie categoriche. Il problema della decisione per una teoria. Addì Addì

3 Commenti sul problema di decisione. Teorie complete. Il teorema di Vaught. Addì Addì La completezza della teoria degli ordini lineari densi senza estremi: il teorema di Cantor. Altri esempi di teorie complete. Insiemi definibili. Addì Addì Esempi di insiemi definibili in varie strutture algebriche. Introduzione alla computabilità. Addì Addì

4 Funzioni ricorsive. La tesi di Church. Esempi di funzioni ed insiemi ricorsivi. Addì Addì Altri esempi di funzioni ricorsive e di insiemi ricorsivi. Esistenza di funzioni ed insiemi non ricorsivi. Insiemi ricorsivamente enumerabili. Addì Addì Insiemi aritmetici. Collegamento tra insiemi e funzioni aritmetiche ed insiemi e funzioni ricorsivi. Teorie decidibili ed indecidibili. Addì Addì

5 Esempi di teorie decidibili: ordini lineari densi senza estremi, campi algebricamente chiusi di caratteristica fissata, campi ordinati reali chiusi. Il teorema di Tarski sulla indecibilità della teoria dei naturali con addizione e moltiplicazione. Introduzione ai teoremi di incompletezza di Goedel. Addì Addì I teoremi di incompletezza di Goedel. Macchine di Turing. Addì Addì Funzioni ed insiemi computabili secondo Turing. Equivalenza tra gli approcci di Church e di Turing alla computabilità. Addì Addì

6 Un esempio di funzione totale 1-aria non computabile secondo Turing (o Church): la funzione Sigma di Rado e il gioco del castoro indaffarato. Ancora sulla Sigma di Rado. Addì Addì Il problema dell'arresto per le macchine di Turing. La soluzione negativa del problema dell'arresto, ed alcune sue conseguenze. Addì Addì Esempi di problemi non risolubili: cenni sul decimo problema di Hilbert e sul problema della parola per i gruppi. Addì