Elementi di Logica Matematica

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1 Elementi di Logica Matematica Dispense per l anno accademico 2010/11 Nicola Gambino Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli Studi di Palermo 15/3/2011

2 Indice Nota 3 1 Logica proposizionale Formule proposizionali Il calcolo della deduzione naturale Valutazioni e tavole di verità Il teorema di validità Il teorema di completezza Logica del primo ordine Linguaggi del primo ordine Il calcolo della deduzione naturale Strutture e modelli Il teorema di validità Il teorema di completezza Teoria degli Insiemi Gli assiomi di ZF Codifica in ZF e induzione insiemistica Ordinali L assioma della scelta Cardinali Teoria della Calcolabilità Macchine a registri Funzioni ricorsive La tesi di Church Esempio di una funzione non ricorsiva Insiemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili

3 A Appendice 70 A.1 Insiemi, relazioni e funzioni A.2 Ordini parziali e ordini totali

4 Nota Questo documento contiene le dispense dei corsi di Elementi di Logica Matematica per il Corso di Laurea di Matematica e di Logica per il Corso di Laurea in Informatica, offerti dalla Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell Università degli Studi di Palermo per l anno accademico 2010/11. La pagina web del corso è Da questa pagina si potranno scaricare i testi degli esercizi svolti durante le ore di esercitazioni, testi delle prove scritte degli anni scorsi, annunci delle date degli esami e di eventuali variazioni di orario delle lezioni. Nulla di queste dispense è originale, salvo la scelta del materiale ed alcuni aspetti della presentazione. I primi due capitoli sono tratti da [3, 4, 7], il terzo da [2, 4, 6] e il quarto da [1, 4]. Errori e imprecisioni rimangono comunque di mia responsabilità. Ringrazio gli studenti degli anni accademici 2008/09 e 2009/10, che hanno contribuito a ridurne il numero con le loro segnalazioni. Ulteriori segnalazioni, da inviarsi per all indirizzo ngambino@math.unipa.it, sono benvenute. Va sottolineato che queste dispense non sostituiscono i libri di testo o gli appunti delle lezioni, ma sono solamente di supporto allo studio. 3

5 Capitolo 1 Logica proposizionale 1.1 Formule proposizionali Sia P un insieme finito o numerabile. Chiameremo gli elementi di P formule atomiche e li indicheremo con le lettere p, q, r, s,.... L insieme Form(P ) delle formule proposizionali generato da P è definito come il più piccolo insieme X che soddisfa le seguenti proprietà: (i) se p P allora p X, (ii) X e X, (iii) se ϕ, ψ X allora (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) X. In base a questa definizione, Form(P ) soddisfa (i)-(iii) e per ogni insieme X che soddisfa (i)-(iii) si ha Form(P ) X. D ora in poi, parleremo semplicemente di formule anziché di formule proposizionali, visto che non utilizzeremo altri tipi di formule. Per esempio, se p, q, r P allora (p (q r)), ((p q) (p r)), (p (p )) (1.1) sono formule. Le formule e saranno chiamate il vero e il falso, rispettivamente. Date due formule ϕ e ψ, chiameremo (ϕ ψ) la congiunzione di ϕ e ψ, (ϕ ψ) la disgiunzione di ϕ e ψ, e (ϕ ψ) l implicazione da ϕ a ψ. Notazione È conveniente introdurre alcune abbreviazioni e convenzioni. Innanzitutto, definiamo (ϕ ψ) = def ((ϕ ψ) (ψ ϕ)), ( ϕ) = def (ϕ ). 4

6 Chiameremo ( ϕ) la negazione di ϕ. Nel seguito, utilizzeremo le seguenti convenzioni, in maniera da semplificare la scrittura e la lettura delle formule. Le parentesi piú esterne verranno omesse. Per esempio, ϕ ψ abbrevia (ϕ ψ). Il simbolo di negazione va inteso come applicato solo alla formula che lo segue immediatamente. Per esempio, ϕ ψ abbrevia ( ϕ) ψ. Salva rimanendo la convenzione precedente, i simboli di congiunzione e disgiunzione vanno intesi come applicati solo alle formule piú vicine tra cui compaiono. Per esempio, ϕ 1 ψ 1 ϕ 2 ψ 2 abbrevia (ϕ 1 ψ 1 ) ( ϕ 2 ψ 2 ). Quando lo stesso connettivo è utilizzato ripetutamente, sará inteso come applicato da destra a sinistra. Per esempio, ϕ ψ χ abbrevia ϕ (ψ χ), ϕ ψ χ abbrevia ϕ (ψ χ). In base a queste convenzioni, le formule in (1.1) possono essere riscritte come p (q r), (p q) (p r), p p. Nel caso non si sia sicuri di rispettare le convenzioni è sempre possibile non eliminare parentesi. Dalla definizione dell insieme delle formule proposizionali segue che esso soddisfa un principio di induzione analogo al principio di induzione per l insieme dei numeri naturali. In base a questo principio, per dimostrare che una proprietà S(ϕ) vale per ogni formula ϕ, è sufficiente dimostrare che vale S(p), per ogni p P, valgono S( ) e S( ), se valgono S(ϕ) e S(ψ) allora valgono S(ϕ ψ), S(ϕ ψ), S(ϕ ψ). Per esempio, questo principio puó essere utilizzato per dimostrare che ogni formula contiene un numero pari di parentesi. Abbiamo anche un analogo del principio di definizione per ricorsione di funzioni per i numeri naturali, che non enunciamo esplicitamente ma utilizzeremo quando introdurremo il concetto di valutazione. 5

7 1.2 Il calcolo della deduzione naturale Sia Γ un insieme di formule e ϕ una formula. Vogliamo definire che cosa significhi per ϕ essere derivabile da Γ. L idea che vogliamo rendere precisa è che l insieme Γ costituisce un insieme di ipotesi da cui segue la conclusione ϕ. Esistono diversi, ma essenzialmente equivalenti, sistemi per assiomatizzare questa nozione. Noi seguiremo il sistema della deduzione naturale, che cattura in maniera intuitiva e precisa le leggi utilizzate comunemente nel ragionamento matematico. Per esempio, il sistema della deduzione naturale ci permette di dimostrare che dall insieme di ipotesi {ϕ, ϕ ψ, ϕ χ} segue ψ χ tramite la costruzione del seguente albero di deduzione: ϕ ψ ϕ E ϕ χ ϕ E ψ χ I ψ χ Le regole della deduzione naturale sono regole per costruire alberi di deduzione come il precedente. Nel dare le regole della deduzione naturale, distingueremo (quando è appropriato farlo) tra regole di introduzione e regole di eliminazione. Regole per la congiunzione. Per la congiunzione, abbiamo una regola di introduzione e due regole di eliminazione: ϕ ϕ ψ ψ I ϕ ψ E,1 ϕ ϕ ψ E,2 ψ La regola di introduzione ci dice che se possiamo dedurre sia ϕ e ψ, allora possiamo dedurre anche la loro congiunzione ϕ ψ. Le regole di eliminazione ci dicono che se possiamo dedurre ϕ ψ, allora possiamo dedurre sia ϕ che ψ. Esempio (i) Per dimostrare che da ϕ ψ segue ψ ϕ possiamo costruire l albero ϕ ψ E,2 ψ ψ ϕ ϕ ψ E,1 ϕ I 6

8 (ii) Per dimostrare che da (ϕ ψ) χ segue ϕ (ψ χ) costruiamo l albero (ϕ ψ) χ E,1 (ϕ ψ) χ E,1 ϕ ψ E,1 ϕ ϕ (ψ χ) ϕ ψ E,2 ψ ψ χ I (ϕ ψ) χ E,2 χ I Regole per l implicazione. Per l implicazione, abbiamo una regola di introduzione e una regola di eliminazione. La regola di introduzione è La regola di eliminazione è [ϕ] n ψ ϕ ψ I,n ϕ ψ ψ ϕ E La regola di eliminazione, nota anche come modus ponens, ci dice che se sappiamo dedurre ϕ ψ e ϕ, allora possiamo dedurre ψ. La regola di introduzione dice che se dall ipotesi ϕ sappiamo dedurre ψ, allora possiamo dedurre ϕ ψ, senza piú assumere ϕ. Quest ultimo aspetto è indicato mettendo la formula ϕ tra parentesi quadre etichettate con un indice, dato da un numero n N, e ripetendo lo stesso indice nel passaggio in cui l ipotesi ϕ viene scaricata. È importante ricordare che, una volta che un ipotesi viene scaricata, essa non puó piú essere utilizzata, a meno che non venga nuovamente assunta. Esempio (i) Per dimostrare che da ϕ ψ e ϕ χ segue ϕ (ψ χ), costruiamo l albero ϕ ψ ϕ χ ψ [ϕ] 1 E ψ χ ϕ (ψ χ) I,1 χ I [ϕ] 1 E 7

9 (ii) Per dimostrare (ϕ χ) ((ϕ ψ) χ), costruiamo l albero [ϕ χ] 2 [ϕ ψ] 1 E,1 ϕ E χ I,1 (ϕ ψ) χ I,2 (ϕ χ) ((ϕ ψ) χ) (iii) Per dimostrare ϕ ϕ, costruiamo l albero [ ϕ] 1 ϕ ϕ ϕ [ϕ] 2 E I,1 I,2 L applicazione della regola di eliminazione dell implicazione nel primo passaggio è giustificata dalla definizione della negazione. Infatti, questo passaggio è identico al seguente: ϕ ϕ E che è un istanza della regola di eliminazione per l implicazione. Osservazione È possibile applicare la regola di introduzione dell implicazione scaricando una formula che non è stata assunta. In questo caso, il passaggio non richiede alcun indice. Per esempio, la seguente derivazione è da considerarsi corretta: [ϕ] 1 ψ ϕ I ϕ (ψ ϕ) I,1 La giustificazione per questa regola è che data dal fatto che potremmo sempre introdurre passaggi ridondanti che coinvolgono la formula scaricata non assunta. Per esempio, potremmo derivare ϕ (ψ ϕ) nel modo seguente: 8

10 [ϕ] 2 [ψ] 1 ϕ ψ ϕ ψ ϕ I,1 ϕ (ψ ϕ) I,2 Regole per la disgiunzione. Abbiamo due regole di introduzione e una regola di eliminazione. ϕ ϕ ψ I,1 ψ ϕ ψ I,2 ϕ ψ [ϕ] n χ χ [ψ] m χ E,n,m Le regole di introduzione ci dicono che se possiamo dedurre ϕ o ψ, allora possiamo dedurre anche ϕ ψ. La regola di eliminazione ci dice che se sappiamo dedurre ϕ ψ, sappiamo dedurre χ assumendo anche ϕ, sappiamo dedurre χ assumendo anche ψ, allora possiamo dedurre χ, senza piú assumere nè ϕ nè ψ. Come per la regola di eliminazione per l implicazione, utilizziamo parentesi quadre e indici per segnalare ipotesi che vengono eliminate. Esempio Per dimostrare che da ϕ (ψ χ) segue (ϕ ψ) (ϕ χ), costruiamo l albero ϕ (ψ χ) E,2 ψ χ ϕ (ψ χ) E,1 ϕ ϕ ψ (ϕ ψ) (ϕ χ) [ψ] 1 I I,1 (ϕ ψ) (ϕ χ) ϕ (ψ χ) E,1 ϕ ϕ χ [χ] 2 I I,2 (ϕ ψ) (ϕ χ) E,1,2 Regole per le dimostrazioni per assurdo. La regola per le dimostrazioni per assurdo è 9

11 [ ϕ] n RAAn ϕ Questa regola, nota anche come reductio ad absurdum, ci dice che se sappiamo dedurre il falso dall ipotesi ϕ, allora possiamo dedurre ϕ, senza piú bisogno dell ipotesi ϕ. Ancora una volta, utilizziamo parentesi quadre e indici per indicare che l ipotesi ϕ viene scaricata nell applicazione della regola. Esempio Dimostriamo la legge della doppia negazione, ovvero ϕ ϕ. [ ϕ] 2 [ ϕ] 1 E RAA1 ϕ ϕ ϕ I,2 Si noti che l applicazione della regola di eliminazione dell implicazione, nel primo passaggio, è giustificata dalla definizione della negazione. In particolare, quel passaggio puó essere riscritto equivalentemente come ϕ ϕ E che è chiaramente un istanza della regola di eliminazione dell implicazione. Regole per il vero e il falso. Per il vero, abbiamo solo una regola di introduzione, mentre per il falso abbiamo solo una regola di eliminazione. I E ϕ La regola di introduzione per il vero ci dice semplicemente che, senza alcuna premessa, possiamo dedurre il vero. La regola di eliminazione per il falso, nota anche come ex falso quodlibet, ci dice che se le nostre ipotesi ci permettono di dedurre il falso, allora ci permettono di dedurre qualsiasi formula. Infine, abbiamo la regola piú semplice: ϕ ϕ che esprime semplicemente che ogni formula permette di derivare se stessa. 10

12 Definizione Sia Γ un insieme di formule e sia ϕ una formula. Diremo che ϕ è derivabile da Γ se esiste un albero di derivazione con conclusione ϕ e le cui ipotesi non scaricate formano un sottoinsieme di Γ. Scriveremo Γ ϕ per indicare che ϕ è derivabile da Γ. Sia ϕ una formula. Se vale che ϕ, diremo che ϕ è un teorema. Scriveremo semplicemente ϕ per indicare che ϕ è un teorema. Esempi Gli esempi di alberi di derivazione considerati precedentemente dimostrano che: {ϕ ψ} ψ ϕ {(ϕ ψ) χ} ϕ (ψ χ) {ϕ ψ, ϕ χ} ϕ (ψ χ) (ϕ χ) ((ϕ ψ) χ) ϕ ϕ {ϕ (ψ χ)} (ϕ ψ) (ϕ χ) ϕ ϕ Proposizione Le seguenti formule sono teoremi. (i) Leggi di idempotenza: (ii) Leggi associative: (iii) Leggi distributive: ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ ϕ. (ϕ ψ) χ ϕ (ψ χ), (ϕ ψ) χ ϕ (ψ χ). ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ χ), ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ χ). (iv) Legge della doppia negazione: ϕ ϕ. 11

13 (v) Leggi di De Morgan: (vi) Legge del terzo escluso: ϕ ϕ. (ϕ ψ) ϕ ψ, (ϕ ψ) ϕ ψ. (vii) Riduzione dell implicazione: (ϕ ψ) ( ϕ ψ). Dimostrazione. Esercizio. 1.3 Valutazioni e tavole di verità Le regole del calcolo di deduzione naturale ci permettono di stabilire che una formula ϕ segue da un insieme di ipotesi Γ. Cominciamo ora ad affrontare il problema di come sia possibile stabilire che una formula ϕ non sia derivabile da un insieme di ipotesi Γ. Si noti come questo tipo di problema è apparentemente difficile da risolvere, visto che dire che ϕ non è derivabile da Γ significa dire che le regole del calcolo di deduzione naturale non permettono di costruire nessun albero di derivazione con ipotesi non scaricate in Γ e conclusione ϕ. La nozione di valutazione ci permetterá di studiare il problema in maniera efficace. Definizione Una valutazione è una funzione V : Form(P ) {0, 1} con le seguenti proprietà: V ( ) = 0 V ( ) = 1 V (ϕ ψ) = V (ϕ ψ) = V (ϕ ψ) = { 1 se V (ϕ) = 1 e V (ψ) = 1, 0 altrimenti. { 1 se V (ϕ) = 1 o V (ψ) = 1, 0 altrimenti. { 0 se V (ϕ) = 1 e V (ψ) = 0, 1 altrimenti. Diremo che una valutazione V soddisfa una formula ϕ se V (ϕ) = 1. 12

14 Spieghiamo brevemente la condizione che specifica il valore di una valutazione su di un implicazione. Il punto piú delicato riguarda i casi in cui V (ϕ) = 0, ovvero in cui la premessa dell implicazione non è soddisfatta. Si consideri la seguente affermazione: Se 0 = 1 allora 2 = 3. È opportuno dichiarare questa implicazione vera, visto che abbiamo il seguente, perfettamente legittimo, ragionamento: Se 0 = 1 allora = 1 + 2, da cui segue 2 = 3. Fissare che vale V (ϕ ψ) = 1 quando V (ϕ) = 0 intende catturare l idea che da premesse false è possibile, secondo ragionamenti legittimi, ottenere qualsiasi conclusione, anche conclusioni che sono a loro volta false. Osservazione Per definire una valutazione è sufficiente definire i suoi valori sulle formule atomiche. Infatti, una volta specificati questi valori, le condizioni che definiscono la nozione di valutazione determinano il valore su tutte le formule. Per esempio, dati formule atomiche p, q, r, se abbiamo fissato definito V (p), V (q), V (r), allora V (p q r) può essere calcolato utilizzando i valori V (q) e V (r) per calcolare V (q r) e utilizzando poi questo valore e quello di V (p) per calcolare V (p q r). I valori di una valutazione possono essere descritti anche tramite le cosiddette tavole di verità per la logica proposizionale. Uno dei vantaggi delle tavole di veritá è che esse permettono di calcolare i valori di una valutazione in maniera completamente algoritmica, anche se laboriosa. Daremo ora le tavole di verità per ciascun connettivo. Esempio (Tavola di verità della negazione). Possiamo calcolare la tavola di veritá per la negazione, che è completamente determinata dalla tavola di veritá dell implicazione. ϕ ϕ Possiamo riassumere questa tavola come segue. ϕ ϕ Quindi, una valutazione soddisfa ϕ se e solo se non soddisfa ϕ. 13

15 ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ Figura 1.1: Tavole di verità dei connettivi proposizionali Esempio Possiamo combinare le tavole di verità date finora per ottenere le tavole di verità di formule complesse. Per esempio, ricordando che abbiamo definito (ϕ ψ) = def (ϕ ψ) (ψ ϕ), possiamo costruire la seguente tavola di verità: ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ (ϕ ψ) (ψ ϕ) Possiamo riassumere questa tavola con la seguente: ϕ ψ ϕ ψ

16 Quindi, per ogni valutazione V, si ha che V (ϕ ψ) = 1 se e solo se V (ϕ) = V (ψ). Esempio Le tavole di veritá ci permettono di verificare, almeno in casi semplici, quando una formula è una tautologia. Per esempio, verifichiamo che (ϕ ψ) ( ϕ ψ) è una tautologia. In base alle osservazioni fatte precentemente, è sufficiente verificare che V (ϕ ψ) = V ( ϕ ψ) per ogni valutazione V. A tal fine, calcoliamo la tavola di verità di ϕ ψ, che è la seguente: Abbiamo quindi ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ Il che dimostra che, per ogni valutazione V, si ha V ( ϕ ψ) = V (ϕ ψ), come volevasi dimostrare. Osservazione Per concludere questa sezione, ritorniamo a considerare la giustificazione della tavola di verità dell implicazione. Si ricordi che la formula (ϕ ψ) ( ϕ ψ) è un teorema. Se vogliamo, come è naturale richiedere, che ogni teorema sia una tautologia, la tavola di verità per ϕ ψ è completamente determinata dalle tavole di verità per la disgiunzione e per la negazione, entrambe delle quali sono ben motivate. Il fatto che la negazione sia definita in termini dell implicazione crea un apparente circolo vizioso, ma questo puó essere evitato introducendo la negazione come un simbolo primitivo, anziché definito, e aggiungendo regole di deduzione che permettano di dimostrare che ϕ (ϕ ) è un teorema. 15

17 1.4 Il teorema di validità Definizione Sia Γ un insieme di formule e ϕ una formula. Diremo che Γ implica semanticamente ϕ se ogni valutazione che soddisfa tutte le formule in Γ soddisfa anche ϕ. Scriveremo Γ ϕ per indicare che Γ implica semanticamente ϕ. Sia ϕ una formula. Diremo che ϕ è una tautologia se ϕ è soddisfatta da ogni valutazione. Scriveremo ϕ per indicare che ϕ è una tautologia. Teorema (Teorema di Validità). Se Γ ϕ allora Γ ϕ. Dimostrazione. Supponiamo che Γ ϕ. Questo significa che esiste un albero di deduzione naturale con conclusione ϕ e le cui premesse non scaricate sono elementi di Γ. Per dimostrare che Γ ϕ procediamo per induzione sull altezza di quest albero, distinguendo a seconda di quale sia l ultima regola applicata. Per il caso base, abbiamo che gli unici alberi di altezza 1, sono ϕ ϕ Per la prima regola, visto che ϕ è l unica ipotesi dell albero, dobbiamo dimostrare che se ϕ Γ, allora Γ ϕ. Questo è evidente. Per la seconda regola, ogni valutazione è tale che V ( ) = 1 e quindi non c è nulla da dimostrare. Se l ultima regola applicata è l introduzione della congiunzione, l albero di deduzione ha la forma ϕ 1 ϕ 2 I Ipotesi induttive. ϕ 1 ϕ 2 Se Γ 1 contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1 allora Γ 1 ϕ 1. Se Γ 2 contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 2 allora Γ 2 ϕ 2. Tesi. Se Γ contiene le tutte ipotesi dell albero con conclusione ϕ 1 ϕ 2 allora Γ ϕ 1 ϕ 2. 16

18 Dimostrazione della tesi. Sia Γ un insieme che contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ 1 ϕ 2. Definiamo Γ 1 come l insieme delle ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1, Γ 2 come l insieme delle ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 2. Dalle ipotesi induttive, segue che Γ 1 ϕ 1 e Γ 2 ϕ 2. Oltre a questo, abbiamo che Γ 1 Γ 2 Γ. Sia ora V una valutazione che rende valida ogni formula in Γ. In particolare V rende valida ogni formula in Γ 1 e in Γ 2. Visto che Γ 1 ϕ 1 e Γ 2 ϕ 2, ne segue che V (ϕ 1 ) = 1 e V (ϕ 2 ) = 1. Da questo possiamo dedurre V (ϕ 1 ϕ 2 ) = 1, come volevasi dimostrare. Se l ultima regola applicata è un eliminazione della congiunzione, l albero di deduzione ha una delle seguenti due forme: ϕ 1 ϕ 2 E,1 ϕ 1 ϕ 2 E,2 ϕ 1 Le due regole sono analoghe e quindi trattiamo solo l albero a sinistra. Ipotesi induttiva. Se Γ è un insieme che contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1 ϕ 2, allora Γ ϕ 1 ϕ 2. Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ 1, allora Γ ϕ 1. Dimostrazione della tesi. Sia allora Γ un insieme che contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ 1. Chiaramente, Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1 ϕ 2. Dall ipotesi induttiva, possiamo concludere che Γ ϕ 1 ϕ 2. Da questo segue immediatamente che Γ ϕ 1, come volevasi dimostrare. Se l ultima regola applicata è l introduzione dell implicazione, l albero ha la forma: [ϕ] n ψ ϕ ψ I,n Ipotesi induttiva. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero ϕ 2 17

19 allora Γ ψ. ϕ ψ ( ) Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ ψ, allora Γ ϕ ψ. Dimostrazione della tesi. Sia Γ un insieme che contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ ψ. Per assurdo, si supponga che Γ (ϕ ψ). Allora, esiste una valutazione V che soddisfa ogni formula in Γ, ma che non soddisfa ϕ ψ. Questo avviene se e solo se V (ϕ) = 1 e V (ψ) = 0. Si definisca allora Γ = def Γ {ϕ}. Chiaramente, V soddisfa tutte le formule in Γ. Inoltre, Γ contiene tutte le ipotesi dell albero in ( ). Per l ipotesi induttiva, si ha che Γ ψ e quindi che V (ψ) = 1, una contraddizione. Se l ultima regola applicata è l eliminazione dell implicazione, l albero ha la forma: ϕ ψ Ipotesi induttive. ψ ϕ E Se Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ ψ, allora Γ ϕ ψ. Se Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ, allora Γ ϕ. Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ψ, allora Γ ψ. Dimostrazione della tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ψ, allora contiene anche tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ ψ e del sottoalbero con conclusione ϕ. Dall ipotesi induttiva, ne segue che Γ ϕ ψ e Γ ϕ. Per verificare che Γ ψ, si consideri una valutazione V che soddisfa tutte le formule in Γ. Da Γ ϕ ψ, segue che 18

20 V (ϕ ψ) = 1, e da Γ ϕ segue che V (ϕ) = 1. Deve quindi valere che V (ψ) = 1. Se non lo fosse, avremmo V (ϕ ψ) = 0, una contraddizione. Se l ultima regola applicata è l introduzione della disgiunzione, l albero ha la forma ϕ 1 ϕ 2 I,1 I,2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 Come nel caso dell eliminazione della congiunzione, le due regole sono essenzialmente analoghe e quindi trattiamo solo quella di sinistra. Ipotesi induttiva. Se Γ 1 contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1 allora Γ 1 ϕ 1. Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ 1 ϕ 2, allora Γ ϕ 1 ϕ 2. Dimostrazione della tesi. Chiaramente, se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ 1 ϕ 2, allora contiene anche tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1. Dall ipotesi induttiva, possiamo concludere che Γ ϕ 1. Da questo segue immediatamente Γ ϕ 1 ϕ 2, come volevasi dimostrare. Se l ultima regola applicata è l eliminazione della disgiunzione, l albero ha la forma Ipotesi induttive. ϕ 1 ϕ 2 [ϕ 1 ] n χ χ [ϕ 2 ] m χ E,n,m Se Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1 ϕ 2, allora Γ ϕ 1 ϕ 2. Se Γ 1 contiene tutte le ipotesi del sottoalbero allora Γ 1 χ. ϕ 1 χ 19

21 Se Γ 2 contiene tutte le ipotesi del sottoalbero allora Γ 2 χ. Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione χ allora Γ χ. Dimostrazione della tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione χ, allora contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ 1 ϕ 2 e quindi, per ipotesi induttiva, Γ ϕ 1 ϕ 2. Vogliamo dimostrare che Γ χ. Per assurdo, si supponga che esista una valutazione V che soddisfa tutte le formule in Γ, ma tale che V (χ) = 0. Visto che Γ ϕ 1 ϕ 2, deve valere V (ϕ 1 ) = 1 o V (ϕ 2 ) = 1. Nel primo caso, definiamo ϕ 2 χ Γ 1 = def Γ {ϕ 1 } Chiaramente, Γ 1 contiene tutte le ipotesi del sottoalbero ϕ 1 χ Quindi, per ipotesi induttiva Γ 1 χ. Ma sappiamo che V soddisfa ogni formula in Γ 1 e quindi V (χ) = 1, una contraddizione. La dimostrazione nel secondo caso, in cui V (ϕ 2 ) = 1, è analoga. Se l ultima regola applicata è l eliminazione del falso, l albero ha la forma ϕ Ipotesi induttiva. Se Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione, allora Γ. Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ, allora Γ ϕ. 20

22 Dimostrazione della tesi. Si supponga che Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ. Per assurdo, si supponga che Γ ϕ. Allora esiste una valutazione V che soddisfa tutte le formule in Γ, ma tale che V (ϕ) = 0. Visto che Γ contiene anche tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione, per ipotesi induttiva vale che Γ. Ne segue che V ( ) = 1, una contraddizione. Se l ultima regola applicata è quella per dimostrazioni per assurdo, l albero ha la forma [ ϕ] n RAAn ϕ Ipotesi induttiva. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero ϕ allora Γ. ( ) Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ, allora Γ ϕ. Dimostrazione della tesi. Supponiamo che Γ contenga tutte le ipotesi dell albero con conclusione ϕ. Per assurdo, supponiamo che Γ ϕ. Allora, esiste una valutazione V che soddisfa tutte le formule in Γ, ma tale che V (ϕ) = 0. Quindi, V ( ϕ) = 1. Definiamo allora Γ = def Γ { ϕ}. È chiaro che Γ contiene le ipotesi dell albero in ( ) e che V soddisfa le formule in Γ. Per l ipotesi induttiva, abbiamo V ( ) = 1, una contraddizione. La dimostrazione del teorema di validità è completa. Corollario Se ϕ è un teorema, allora ϕ è una tautologia. Dimostrazione. Caso speciale del teorema di validità, con Γ = 21

23 1.5 Il teorema di completezza Le se- Proposizione/Definizione Sia Γ un insieme di formule. guenti condizioni sono equivalenti. (i) Esiste una formula ϕ tale che Γ ϕ e Γ ϕ. (ii) Γ. (iii) Per ogni formula ϕ, si ha che Γ ϕ. Se Γ soddisfa queste condizioni, diremo che Γ è contraddittorio. Se Γ non è contraddittorio, lo chiameremo coerente. Dimostrazione. Esercizio. Lemma Sia Γ un insieme di formule e ϕ una formula. (i) Se Γ { ϕ} è contraddittorio, allora Γ ϕ. (ii) Se Γ {ϕ} è contraddittorio, allora Γ ϕ. Dimostrazione. (i) Se Γ { ϕ} è contraddittorio, allora esiste un albero di derivazione ϕ con ipotesi contenute in Γ { ϕ}. Quindi, possiamo estendere l albero di derivazione con un applicazione della legge per le dimostrazioni per assurdo: [ ϕ] n Quindi Γ ϕ. RAAn ϕ (ii) Se Γ {ϕ} è contraddittorio, allora esiste una derivazione 22 ϕ

24 Possiamo quindi estendere questo albero con un applicazione della legge per l introduzione dell implicazione: [ϕ] n Quindi Γ ϕ. I,n ϕ Definizione Un insieme coerente massimale è un insieme di formule Γ che è coerente e tale che, per ogni insieme coerente Γ, se Γ Γ allora Γ = Γ. Lemma Sia Γ un insieme coerente massimale e ϕ una formula. Se Γ ϕ allora ϕ Γ. Dimostrazione. Si supponga che Γ ϕ. Per assurdo, si supponga che ϕ / Γ. Visto che Γ è coerente massimale, Γ {ϕ} non può essere coerente, ed è quindi contraddittorio. Da questo segue che Γ ϕ. Abbiamo quindi che Γ ϕ e Γ ϕ, ovvero che Γ è contraddittorio, un assurdo. Lemma Sia Γ un insieme coerente massimale e ϕ una formula. (i) ϕ Γ oppure ϕ Γ. (ii) ϕ Γ se e solo se ϕ / Γ. Dimostrazione. (i) Definiamo Γ = def Γ {ϕ}. Se Γ è contraddittorio, allora Γ ϕ. Da questo segue che ϕ Γ. Se invece Γ è coerente, allora deve valere che Γ = Γ, per la massimalitá di Γ, da cui segue che ϕ Γ. (ii) Se ϕ Γ, allora non è possibile che ϕ Γ, visto che in quel caso Γ sarebbe contraddittorio. Se ϕ / Γ, allora deve valere che ϕ Γ. Infatti, se non valesse avremmo una contraddizione con l enunciato in (i). Lemma Sia Γ un insieme coerente massimale. Per ogni ϕ e ψ, le seguenti asserzioni sono equivalenti. (i) (ϕ ψ) Γ. 23

25 (ii) Se ϕ Γ allora ψ Γ. Dimostrazione. (i) (ii). Supponiamo (ϕ ψ) Γ e ϕ Γ. Ma allora Γ ϕ ψ e Γ ϕ, da cui segue Γ ψ. Visto che Γ è un insieme coerente massimale, possiamo dedurre che ψ Γ, come volevasi dimostrare. (ii) (i). Supponiamo che se ϕ Γ allora ψ Γ. Distinguiamo due casi: se ϕ Γ, allora per l ipotesi vale che ψ Γ, da cui segue (ϕ ψ) Γ. Se invece ϕ / Γ, allora ϕ Γ. Da questo segue Γ ϕ. Ma allora vale che Γ ϕ ψ e quindi vale che (ϕ ψ) Γ. Lemma Per ogni insieme coerente Γ esiste un insieme coerente massimale Γ che contiene Γ. Dimostrazione. Visto che l insieme delle formule atomiche è al più numerabile, anche l insieme di tutte le formule lo è. Fissiamo quindi un enumerazione delle formule ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ n, ϕ n+1,... Definiamo una famiglia di insiemi di formule (Γ n n N) nel modo seguente: Γ 0 = def Γ { Γn {ϕ Γ n+1 = n+1 }, se Γ n {ϕ n+1 } è coerente. def Γ n, altrimenti. Si noti che Γ n è coerente per ogni n N. Ora definiamo Γ = def n N Γ n. Chiaramente, Γ Γ. Per dimostrare che Γ è coerente, procediamo per assurdo. Supponiamo che Γ. Allora, esiste un albero di derivazione con ipotesi non scaricate ψ 1,..., ψ m Γ e conclusione. Per 1 i m, esiste n i N tale che ψ i Γ mi. Definiamo n = def max(n i 1 i m). Da questo segue che ψ 1,..., ψ m Γ n e quindi che Γ n, una contraddizione. Infine, dimostriamo che Γ è un insieme coerente massimale. Sia un insieme coerente e tale che Γ. Dimostriamo che Γ. Sia ϕ. Dall esistenza di una enumerazione di tutte le formule, segue che esiste n N tale che ϕ = ϕ n. Visto che Γ n Γ e che è coerente, abbiamo che Γ n {ϕ n } è coerente. Quindi Γ n+1 = Γ n {ϕ n }, da cui segue che ϕ n Γ. Lemma (Lemma di Esistenza di Valutazioni). Sia Γ un insieme di formule. Se Γ è coerente allora esiste una valutazione che soddisfa ogni formula in Γ. 24

26 Dimostrazione. Supponiamo che Γ sia coerente. Sappiamo che esiste un insieme massimamente consistente Γ tale che Γ Γ. La dimostrazione si conclude in tre passi. Per il primo passo, definiamo una valutazione v fissando { 1 se p Γ V (p) =, def 0 altrimenti. Per il secondo passo, dimostriamo per induzione che, per ogni formula ϕ, vale V (ϕ) = 1 se e solo se ϕ Γ. Caso base. Per le formula atomiche p P, vale che V (p) = 1 se e solo se p Γ per definizione di V. Primo caso induttivo. Date formule ϕ e ψ, dobbiamo dimostrare che V (ϕ ψ) = 1 se e solo se V (ϕ) = 1 e V (ψ) = 1. Per ipotesi induttiva, questo vale se e solo se ϕ Γ e ψ Γ. Ma questo vale se e solo se ϕ ψ Γ. Secondo caso induttivo. Date formule ϕ e ψ, dobbiamo dimostrare che V (ϕ ψ) = 1 se e solo se ϕ ψ Γ. Abbiamo che V (ϕ ψ) = 1 se e solo se V (ϕ) = 1 ov (ψ) = 1, il che vale se e solo se ϕ Γ o ψ Γ, per ipotesi induttiva. Rimane quindi da dimostrare che ϕ ψ Γ se e solo se ϕ Γ o ψ Γ. Ma questo segue dal primo caso induttivo, utilizzando il fatto che ϕ ψ ( ϕ ψ) è un teorema. Terzo caso induttivo. Date formule ϕ e ψ, dobbiamo dimostrare che V (ϕ ψ) = 0 se e solo se (ϕ ψ) / Γ. Si ha che V (ϕ ψ) = 0 se e solo se V (ϕ) = 1 e V (ψ) = 0. Per ipotesi induttiva, questo vale se e solo se ϕ Γ e ψ / Γ. Ma questo vale se e solo se (ϕ ψ) / Γ. Per il terzo e ultimo passo, dimostriamo che V soddisfa tutte le formule in Γ. Avendo dimostrato che V (ϕ) = 1 se e solo se ϕ Γ, dal fatto che Γ Γ segue che V (ϕ) = 1 per ogni ϕ Γ, come volevasi dimostrare. Teorema (Teorema di Completezza). Se Γ ϕ allora Γ ϕ. Dimostrazione. Dimostriamo che se Γ ϕ allora Γ ϕ. Supponiamo che Γ ϕ. Da questo segue che Γ { ϕ} è coerente. Per il Lemma di Esistenza di Valutazioni, esiste una valutazione v che soddisfa tutte le formule in Γ ma che non soddisfa ϕ. Questo implica che Γ ϕ. 25

27 Capitolo 2 Logica del primo ordine 2.1 Linguaggi del primo ordine Definizione Un linguaggio del primo ordine L consiste dei seguenti dati: un insieme di variabili (x, y, z,...), Var L un insieme di costanti (a, b, c...) per ogni n N, un insieme di simboli di predicato n-ario (P, Q, R,... ) per ogni n N, un insieme di simboli di funzione n-aria (f, g, h,...). D ora in poi considereremo un linguaggio del primo ordine L fissato e faremo l assunzione che L sia numerabile, ovvero che ciascuno degli insiemi di variabili, costanti, simboli di funzioni e simboli di predicato sia numerabile. L insieme dei termini di L è definito come il piú piccolo insieme X che soddisfa le proprietà seguenti. Se x è una variabile di L, allora x X, Se a è una costante di L, allora a X, Se t 1,..., t n X e f è un simbolo di funzione n-aria, allora f(t 1,..., t n ) X. L insieme delle formule di L è il piú piccolo insieme X che soddisfa le proprietà seguenti., X, 26

28 Se P è un simbolo per predicato n-ario e t 1,..., t n allora P (t 1,..., t n ) X, sono termini, Se t 1 e t 2 sono termini, allora (t 1 = t 2 ) X Se ϕ, ψ X, allora (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) X, se ϕ X e x è una variabile, allora ( x)ϕ X e ( x)ϕ X. Non enunceremo i principi di induzione e di ricorsione associate all insieme dei termini e dell insieme delle formule, ma li utilizzeremo in modo analogo a quanto fatto nel caso della logica proposizionale. Sia t un termine di L. L insieme FV(t) delle variabili libere di t è definito ricorsivamente tramite le clausole seguenti. FV(x) = {x}, se x è una variabile. FV(a) =, se a è una costante. FV(f(t 1,..., t n )) = FV(t 1 )... FV(t n ), se f è un simbolo per funzione n-aria e t 1,..., t n sono termini. Sia ϕ una formula di L. L insieme FV(ϕ) delle variabili libere di ϕ è definito ricorsivamente tramite le clausole seguenti. FV( ) = FV( ) =. FV(P (t 1,..., t n )) = FV(t 1 )... FV(t n ). FV(t 1 = t 2 ) = FV(t 1 ) FV(t 2 ). FV(ϕ ψ) = FV(ϕ) FV(ψ), ove {,, }. FV ( ( x)ϕ ) = FV(ϕ) \ {x} e FV ( ( x)ϕ ) = FV(ϕ) \ {x}. Diremo che una formula ϕ è chiusa se FV(ϕ) =. Definizione Sia L un linguaggio del primo ordine. Una teoria del primo ordine in L è un insieme di formule chiuse di L, dette gli assiomi della teoria. Esempio Il linguaggio dell aritmetica di Peano contiene, oltre a variabili, una costante 0 (zero), due simboli per funzioni binarie + e (addizione e moltiplicazione), e un simbolo di funzione unaria S (successore). Per esempio, abbiamo termini 0 + S(0), S(S(0)), S(0) S(S(0)), x + y, 27

29 e formule x = S(0), S(S(0)) + 0 = 0, ( x)(x + 0 = y). Gli assiomi di PA sono i seguenti: ( x)(sx 0), ( x)( y) ( Sx = Sy x = y ), ( x) ( x + 0 = x ), ( x)( y) ( x + Sy = S(x + y) ), ( x) ( x 0 = 0 ), ( x)( y) ( x Sy = x y + x ), ϕ(0) ( x) ( ϕ(x) ϕ(sx) ) ( x)ϕ(x). L ultimo assioma è in realtà uno schema, ovvero una famiglia infinita di assiomi, uno per ogni formula ϕ(x) del linguaggio di PA. Esempio Il linguaggio della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel contiene solo variabili e un simbolo per un predicato binario (appartenza). Le espressioni ( x)( y)(y x ), x y x z x u sono formule. Gli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel saranno presentati nel Capitolo 3. Diamo solo un esempio, l assioma della coppia: ( x 1 )( x 2 )( u)( x) ( ) x u x = x 1 x = x 2. Esempio Il linguaggio della teoria dei gruppi contiene, oltre a variabili, una costante 1 (elemento neutro), un simbolo per funzione binaria (moltiplicazione) e un simbolo di funzione unaria ( ) 1 (inverso). Le espressioni 1 (x y), x 1 x, (x y) x 1. sono termini, mentre le espressioni x 1 = y, ( x)( y)(x y = y x) sono formule. Gli assiomi della teoria dei gruppi sono i seguenti: ( x)( y)( z) ( x (y z) = (x y) z ), ( x) ( (x 1 = x) (1 x = x) ), ( x) ( (x x 1 = 1) (x 1 x = 1) ). 28

30 Esempio Il linguaggio degli ordini parziali contiene oltre a variabili, solo un simbolo di predicato binario,. La teoria degli ordini parziali è data dai seguenti assiomi: ( x)(x x) ( x)( y)( z)(x y y z x z), ( x)( y)(x y y x x = y). Si noti che nel linguaggio degli ordini parziali possiamo definire le seguenti formule: x < y = def x y x y, x > y = def y < x, x y = def y x, x y z = def x y y z. 2.2 Il calcolo della deduzione naturale Introduciamo adesso il calcolo di deduzione naturale per la logica del primo ordine. Avremo regole per l uguaglianza, regole per i connettivi proposizionali, e regole per i quantificatori. Le regole per i connettivi proposizionali sono le stesse della regole introdotte per la logica proposizionale e quindi non le ripeteremo. Per le regole per i quantificatori, come nel caso della logica proposizionale daremo, per ciascun quantificatore, regole di introduzione e regole di eliminazione. Come vedremo, le regole di deduzione naturale per i quantificatori coinvolgono anche condizioni che ne restringono l applicazione. Regole per l uguaglianza. Ci sono cinque regole. Le prime tre regole esprimono che l uguaglianza è una relazione simmetrica, riflessiva e transitiva: x = y x = y y = z x = x y = x x = z Le ultime due regole determinano il comportamento dell uguaglianza rispetto alla sostituzione: x 1 = y 1 x n = y n t(x 1,..., x n ) = t(y 1,..., y n ) x 1 = y 1 x n = y n ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(y 1,..., y n ) 29

31 Regole per il quantificatore universale. La regola di introduzione è ϕ(x) xϕ(x) Questa regola è soggetta alla condizione che la variabile x non sia una delle variabili libere delle ipotesi non scaricate nel sottoalbero con conclusione ϕ(x). La regola di eliminazione per il quantificatore universale è I xϕ(x) E ϕ(t) Questa regola è soggetta alla condizione che il termine t sia sostituibile per x in ϕ(x). Definiremo precisamente che cosa vuol dire che un termine t è sosituibile per una variabile x in una formula ϕ(x) piú avanti. Informalmente, questa condizione garantisce che nessuna delle variabili libere che compaiono in t venga legata (ovvero resa non libera) da uno dei quantificatori che compaiono in ϕ(x). Per il momento, ci basterà sapere che x è sempre sostituibile per x in ϕ(x), cosicchè la seguente istanza della regola E è sempre corretta: xϕ(x) E ( ) ϕ(x) Esempio Diamo due esempi di applicazioni corrette delle regole. (i) Costruiamo un albero di derivazione la cui unica ipotesi non scaricata è x yϕ(x, y) e la cui conclusione è y xϕ(x, y). L albero è costruito come segue: x yϕ(x, y) E yϕ(x, y) E ϕ(x, y) I xϕ(x, y) I y xϕ(x, y) Si noti come le applicazioni della regola I soddisfano la condizione necessaria per la loro applicazione, visto che le variabili x e y non compaiono come variabili libere nell ipotesi non scaricata dell albero. La regola E è stata poi applicata solo nel caso speciale indicato in ( ). (ii) Costruiamo un albero con conclusione la formula xϕ(x) xψ(x) e la cui unica ipotesi non scaricata è la formula x(ϕ(x) ψ(x)). L albero è costruito come segue: 30

32 x(ϕ(x) ψ(x)) E x(ϕ(x) ψ(x)) E ϕ(x) ψ(x) E ϕ(x) I xϕ(x) xϕ(x) xψ(x) ϕ(x) ψ(x) E ψ(x) I xψ(x) I Esempio Diamo due esempi di applicazioni scorrette delle regole. (i) Nel linguaggio dell aritmetica di Peano, l applicazione x = 0 x(x = 0) della regola I non è corretta, in quanto la variabile x compare come variabile libera nella formula x = 0, che non è scaricata. (ii) L applicazione x y(x = y) y(y = y) della regola E non è corretta. Abbiamo applicato la regola E con la formula y(x = y) al posto della formula ϕ(x) e y al posto del termine t. Secondo la definzione che daremo piú avanti, tuttavia, y non è sostituibile per x in y(x = y). Informalmente, questo avviene perchè la variabile y appare tra le variabili quantificate di y(x = y) e quindi se sostituiamo y per x in questa formula otteniamo che y viene legata dal quantificatore y. Anche se non abbiamo introdotto ancora la nozione di validità di una formula, anticipiamo che l ipotesi non scaricata dell albero è valida in ogni struttura con almeno due elementi distinti, mentre la conclusione non è valida in una tale struttura. Regole per il quantificatore esistenziale. La regola di introduzione è ϕ(t) xϕ(x) Questa regola è soggetta alla condizione che il termine t sia sostituibile per x in ϕ(x). La regola di eliminazione è I xϕ(x) ψ [ϕ(x)] ψ E, 31

33 Questa regola è soggetta alla condizione che la variabile x non sia una delle variabili libere nè di ψ nè delle ipotesi non scaricate nel sottoalbero con conclusione ψ tranne ϕ(x). Esempio Costruiamo un albero con conclusione xϕ(x) xψ(x) e con unica ipotesi non scaricata x(ϕ(x) ψ(x)). L albero è il seguente: [ϕ(x)] 1 xϕ(x) [ψ(x)] 2 xψ(x) x(ϕ(x) ψ(x)) [ϕ(x) ψ(x)] 3 xϕ(x) xψ(x) xϕ(x) xψ(x) xϕ(x) xψ(x) E,1,2 xϕ(x) xψ(x) E,3 Si noti che l applicazione della regola E è corretta in quanto le ipotesi ϕ(x) e ψ(x) che potrebbero contenere la x tra le loro variabili libere sono state scaricate nell applicazione della regola E, e quindi non sono piú tra le ipotesi non scaricate del sottoalbero con conclusione xϕ(x) xψ(x). Le nozioni di albero di derivazione, di derivabilità di una formula ϕ da un insieme di formule Γ e di teorema sono definite come per la logica proposizionale. Useremo notazione identica a quella introdotta precedentemente. In particolare, scriveremo Γ ϕ per indicare che esiste un albero di derivazione con conclusione ϕ e le cui ipotesi non scaricate sono contenute in Γ. Come promesso, definiamo che cosa vuol dire che un termine t è sostituibile per una variabile x in una formula ϕ. Per ricorsione su ϕ, definiamo: t è sempre sostituibile per x in P (t 1,..., t n ). t è sostituibile per x in ϕ ψ, ove {,, }, se t è sostituibile per x in ϕ e ψ. t è sostituibile per x in yϕ e yϕ se vale almeno una delle seguenti due possibilità: x non compare come variabile libera in ( y)ϕ e yϕ. y non compare come variabile libera in t e t è sostuibile per x in ϕ. 32

34 2.3 Strutture e modelli Definizione Sia L un linguaggio del primo ordine. Una struttura per L consiste dei seguenti dati. Un insieme non vuoto M, detto il dominio della struttura. Una funzione che assegna ad ogni costante a di L un elemento a M. Una funzione che assegna ad ogni simbolo di funzione n-ario f di L una funzione f : M }. {{.. M } M n volte Una funzione che assegna ad ogni simbolo di predicato n-ario P di L un sottoinsieme P } M. {{.. M }. n volte Definizione Sia L un linguaggio del primo ordine e M una struttura per L. Un assegnazione per le variabili di L in M è una funzione σ : Var L M. Notazione È utile introdurre la seguente notazione per modificare il valore di una assegnazione su di una variabile. Sia σ : Var L M una assegnazione. Dati x Var L e m M, definiamo la valutazione σ[x m] : Var L M nel modo seguente. Il valore di questa valutazione su x è m, ovvero: σ[x m](x) = def m, mentre il valore su di ogni altra variabile y è lo stesso di σ, ovvero: σ[x m](y) = def σ(y). Fissiamo ora una struttura M per L ed un assegnazione σ : Var L M. Dato un termine t di L, definiamo l elemento t σ M, detto l interpretazione di t in M relativa ad σ, tramite la seguente definizione ricorsiva: x σ = def σ(x) a σ = def a f(t 1,..., t n ) σ = def f ( t 1 σ,..., t n σ ) 33

35 Usando questa definizione, definiamo il valore di verità di una formula ϕ di L in M relativo ad σ tramite la seguente definizione ricorsiva: P (t 1,..., t n ) σ = def { 1 se ( t1 σ,..., t n σ ) P 0 altrimenti t 1 = t 2 = def { 1 se t1 σ = t 2 σ 0 altrimenti ϕ ψ σ = def { 1 se ϕ σ = 1 e ψ σ = 1 0 altrimenti ϕ ψ σ = def { 1 se ϕ σ = 1 o ψ σ = 1 0 altrimenti ϕ ψ σ = def { 0 se ϕ σ = 1 e ψ σ = 0 1 altrimenti xϕ(x) σ = def { 1 se per ogni d M vale che ϕ(x) σ[x d] = 1, 0 altrimenti. xϕ(x) σ = def { 1 se esiste d M tale che ϕ(x) σ[x d] = 1, 0 altrimenti. Diremo che (M, σ) soddisfa una formula ϕ se vale che ϕ σ = 1. Si noti che se ϕ è una formula chiusa il suo valore di verità non dipende dall assegnazione σ. In questo caso, scriveremo semplicemente ϕ anziché ϕ σ. Se T una teoria del primo ordine in L, un modello di T è una struttura M per L che soddisfa tutti gli assiomi di T. Definizione Sia Γ un insieme di formule e sia ϕ una formula. Diremo che Γ implica semanticamente ϕ se ogni coppia (M, σ) che soddisfa tutte le formule in Γ soddisfa anche ϕ. Scriveremo Γ ϕ per indicare che Γ implica semanticamente ϕ. Sia ϕ una formula. Diremo che ϕ è una tautologia se ogni coppia (M, σ) soddisfa ϕ. Scriveremo ϕ per indicare che ϕ è una tautologia. 34

36 2.4 Il teorema di validità Lemma (Lemma di Sostituzione). Sia L un linguaggio del primo ordine. Siano ϕ(x) una formula e t un termine di L. Per ogni coppia (M, σ), vale che ϕ(x) σ[x t σ] = ϕ(t) σ. Traccia della dimostrazione. Consideriamo solo un caso particolare. esempio, si ha x = y σ[x t σ] = t = y σ. Infatti il valore di verità sulla sinistra è 1 se e solo se vale che Per x σ[x t σ] = y σ[x t σ]. Questo vale se e solo se t σ = y σ, e quest ultima asserzione vale se e solo se t = y σ = 1. Nella dimostrazione del teorema di validità, assumeremo che se Γ xϕ(x) allora la variabile x non compare tra le variabili libere di Γ. Infatti, anche quando questa assunzione non è verificata è sempre possibile cambiare nome alle variabili senza modificare il senso dell asserzione. Per esempio, si consideri { x(p (x) Q(x)), xp (x), R(x)} xq(x). ( ) In questo caso, x FV(Γ) in quanto x FV(R(x)). Tuttavia, l asserzione in ( ) è chiaramente equivalente a { y(p (y) Q(y)), yp (y), R(x)} yq(y). E adesso abbiamo che y / FV(Γ), come volevasi. Teorema (Teorema di Validità). Se Γ ϕ allora Γ = ϕ. Dimostrazione. Si ricordi che Γ ϕ significa che esiste un albero di derivazione il cui insieme di ipotesi non scaricate è contenuto in Γ e con conclusione ϕ. Per dimostrare il teorema di validità procederemo per induzione sull altezza di quest albero, distinguendo diversi casi a seconda di quale sia l ultima regola applicata. Tutti i casi riguardanti i connettivi della logica proposizionale sono trattati in maniera completamente analoga a quanto fatto nella dimostrazione del teorema di validità per la logica proposizionale. Si tratta quindi di considerare solo i casi in cui l ultima regola applicata sia 35

37 una delle regole per l uguaglianza oppure una delle regole per i quantificatori. Il caso delle regole per l uguaglianza è omesso, in quanto la verifica è immmediata. Caso dell introduzione del. Se l ultima regola applicata è l introduzione di un quantificatore universale, la derivazione ha la forma: ϕ(x) xϕ(x) Ipotesi induttiva. Se Γ contiene le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ(x), allora Γ = ϕ(x). Tesi. Se Γ contiene le ipotesi dell albero con conclusione xϕ(x), allora Γ = xϕ(x). Dimostrazione della tesi. Sia Γ come nella tesi. Salvo cambiare variabili, possiamo supporre che x non compaia tra le variabili libere di Γ. Dall ipotesi induttiva (che possiamo applicare visto che l albero e il sottoalbero hanno lo stesso insieme di ipotesi non scaricate), segue che Γ = ϕ(x). Dobbiamo dimostrare che Γ = xϕ(x). Sia quindi (M, σ) una coppia che soddisfa tutte le formule in Γ. Dobbiamo dimostrare che xϕ(x) σ = 1. Questo vale se e solo se per ogni d M si ha che ϕ(x) σ[x d] = 1 Visto che x non compare in Γ, si ha che la coppia (M, σ[x d]) soddisfa tutte le formule in Γ. Dal fatto che Γ = ϕ(x), segue che come volevasi dimostrare. ϕ(x) σ[x d] = 1 Caso dell eliminazione del. Se l ultima regola applicata è un eliminazione del quantificatore universale, la derivazione ha la forma: xϕ(x) ϕ(t) 36

38 Ipotesi induttiva. Se Γ contiene le ipotesi non scaricate del sottoalbero con conclusione xϕ(x), allora Γ = xϕ(x). Tesi. Se Γ contiene le ipotesi dell albero con conclusione ϕ(t) allora Γ = ϕ(t). Dimostrazione della tesi. Sia Γ come nella tesi. Applicando l ipotesi induttiva, si ha che Γ = xϕ(x). Dobbiamo dimostrare che Γ = ϕ(t). Sia quindi (M, σ) una coppia che soddisfa tutte le formule in Γ. Dobbiamo dimostrare che ϕ(t) σ = 1 Da Γ = xϕ(x) segue che per ogni d M si ha ϕ(x) σ[x d] = 1 In particolare, considerando d = t σ, si ha che ϕ(x) σ[x t σ] = 1 Applicando il Lemma di Sostituzione, abbiamo che come volevasi dimostrare. ϕ(t) σ = ϕ(x) σ[x t σ] = 1 Caso dell introduzione del. Se l ultima regola applicata è l introduzione del quantificatore esistenziale, la derivazione ha la forma: ϕ(t) xϕ(x) Ipotesi induttiva. Se Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione ϕ(t), allora Γ = ϕ(t). Tesi. Se Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione xϕ(x), allora Γ = xϕ(x). Dimostrazione della tesi. Sia Γ come nella tesi. Applicando l ipotesi induttiva, si ha che Γ = ϕ(t). Dobbiamo dimostrare che Γ = xϕ(x). Sia (M, σ) una coppia che soddisfa tutte le formule in Γ. Quindi vale che ϕ(t) σ = 1. 37

39 Dobbiamo dimostrare che xϕ(x) σ = 1 Questo vale se e solo se esiste d M tale che ϕ(x) σ[x d] = 1 Consideriamo d = t σ. Applicando il Lemma di Sostituzione, abbiamo che come volevasi dimostrare. ϕ(x) σ[x t σ] = ϕ(t) σ = 1 Caso dell eliminazione del. Se l ultima regola applicata è l eliminazione del quantificatore esistenziale, la derivazione ha la forma: xϕ(x) χ [ϕ(x)] χ E, Ipotesi induttive. Abbiamo due ipotesi induttive, corrispondenti ai due sottoalberi nelle premesse della regola. Se Γ contiene tutte le ipotesi del sottoalbero con conclusione xϕ(x), allora Γ = xϕ(x). Se Γ contiene le ipotesi del sottoalbero allora Γ = χ. ϕ(x) χ Tesi. Se Γ contiene le ipotesi del sottoalbero con conclusione χ, allora Γ = χ. Dimostrazione della tesi. Sia Γ come nella tesi. Salvo cambiare variabili, possiamo supporre che x non compaia in Γ. Dobbiamo dimostrare che Γ = χ. Sia (M, σ) una coppia che soddisfa tutte le formule in Γ. Per la prima ipotesi induttiva, vale che Γ = xϕ(x). Quindi, si ha che xϕ(x) σ = 1 38

40 Questo vuol dire che esiste d M tale che ϕ(x) σ[x d] = 1 Sia Γ = def Γ {ϕ(x)}. Chiaramente, vale che (M, σ[x d]) soddisfa tutte le formule in Γ, visto che x non compare in Γ e ϕ(x) σ[x d] = 1, come abbiamo appena visto. Da questo e dal fatto che Γ = χ, che vale per la seconda ipotesi induttiva, segue che χ σ[x d] = 1 Ma x non compare tra le variabili libere di χ e quindi come volevasi dimostrare. χ σ = χ σ[x d] = 1 La dimostrazione del teorema di validitá è completa. 2.5 Il teorema di completezza Teorema (Teorema di Completezza). Sia Γ un insieme di formule, ϕ una formula. Se Γ = ϕ allora Γ ϕ. La dimostrazione del teorema di completezza per la logica del primo ordine non è in programma, ma ne discutiamo qualche aspetto. Il passaggio fondamentale consiste nel dimostrare il Lemma di Esistenza dei Modelli, che è l analogo per la logica del primo ordine del Lemma di Esistenza di Valutazioni per la logica proposizionale. Lemma (Lemma di Esistenza dei Modelli). Sia Γ un insieme di formule. Se Γ è coerente, allora Γ ha un modello, ovvero esiste una coppia (M, σ) che soddisfa tutte le formule in Γ. L idea alla base della dimostrazione del Lemma di Esistenza dei Modelli è di costruire il modello richiesto a partire dal linguaggio L. A tal fine, si potrebbe fissare M = def {t t termine di L} e definire σ : Var L M ponendo σ(x) = def x. Ci sono due problemi da risolvere. Come primo problema, dobbiamo decidere come assegnare valori di verità alle formule di L, in modo da rendere valida ogni formula di Γ. Come secondo problema, dobbiamo essere sicuri che se Γ xϕ(x) allora la struttura M contiene un elemento d M, ovvero un termine del linguaggio, 39

41 tale che ϕ(x) σ[x d] = 1. Per risolvere il primo problema, è sufficiente considerare, come nel caso della logica proposizionale, insiemi massimamente consistenti che contengano Γ. Per risolvere il secondo problema, invece, è necessario estendere il linguaggio con nuove costanti, in modo da garantire l esistenza di termini che siano dei testimoni per le asserzioni esistenziali derivabili da Γ. Questo secondo problema viene risolto tramite il metodo delle cosiddette teorie di Henkin, che non tratteremo. Per questo argomento, si veda [3, 4, 7]. Discutiamo invece qualche applicazione del Teorema di Completezza. Teorema (Teorema di Compattezza). Sia T una teoria del primo ordine. Allora T ha un modello se e solo se ogni sottoinsieme finito T T ha un modello. Dimostrazione. Sia T come nell enunciato. Dimostreremo il seguente enunciato, equivalente a quello desiderato: T non ha nessun modello se e solo se esiste un sottoinsieme finito T T che non ha nessun modello. Supponiamo che T non abbia nessun modello. Allora, T non può essere coerente. Infatti, se lo fosse, avrebbe un modello per il Lemma di Esistenza di Modelli. Quindi T. Ma allora esiste un insieme finito T T tale che T. Questo perchè ogni derivazione ha un numero finito di premesse non scaricate. Dal fatto che T segue che T non ha nessun modello, come volevasi dimostrare. Supponiamo adesso che esista un sottoinsieme T T che non ha nessun modello. Allora è impossibile che esista un modello di T. Infatti, se esistesse, questo sarebbe anche un modello di T, essendo T T. Teorema (Teorema di Löwenhein-Skolem Downward). Sia T una teoria del primo ordine. Se T ha un modello infinito, allora T ha un modello di cardinalitá numerabile. Traccia della dimostrazione. Il modello di T è costruito a partire dall insieme dei termini del linguaggio L, che abbiamo assunto essere numerabile, tramite operazioni che preservano la numerabilità dell insieme. Per esempio, se aggiungiamo al linguaggio costanti c ϕ per ogni formula chiusa della forma xϕ(x), il linguaggio rimane numerabile, in quanto le formule della forma xϕ(x) sono anch esse numerabili. Teorema (Teorema di Löwenheim-Skolem Upward). Sia T un teoria del primo ordine. Se T ha un modello infinito, allora T ha modelli di cardinalità arbitrariamente grande. 40