Registro delle Lezioni. Anno Accademico

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1 Registro delle Lezioni Anno Accademico Scuola di Scienze e Ingegneria Dipartimento di Informatica Corso di Laurea in Informatica Insegnamento: Logica (sezione matricole pari) Docente: Prof.ssa Maria Paola Bonacina Data inizio lezioni: 1 ottobre 2018 Data fine lezioni: 25 gennaio 2019 LPL sta per Logic Proof and Language il libro di testo di Barker-Plummer, Barwise, ed Etchemendy. I lezione Data: 1 ottobre Durata: 2 ore Organizzazione del corso e illustrazione delle modalità d esame. Introduzione alla logica e al suo ruolo in informatica. La logica del primo ordine. Simboli di costante e loro interpretazione. Simboli di predicato e loro interpretazione: relazioni o proprietà, argomenti, ordine degli argomenti, arità. Lista degli argomenti di un predicato. Formule atomiche o atomi o enunciati atomici. Valori di verità. Totale ore: 2 II lezione Data: 5 ottobre Durata: 2 ore Notazione prefissa e notazione infissa. Il predicato di uguaglianza interpretato come identità. Come il numero di atomi in un linguaggio con n simboli di costante e un simbolo di predicato di arità k sia n k. Come il numero delle liste di lunghezza k su un alfabeto di n elementi sia n k. Come il numero delle funzioni da un insieme di cardinalità k a un insieme di cardinalità n sia n k. Simboli di funzione e loro interpretazione; arità; differenze tra funzioni e predicati. Nozione di termine; unicità dell oggetto rappresentato da un termine. La definizione di termine come esempio di definizione induttiva. Come sia sufficiente un simbolo di funzione per avere infiniti termini. Stile relazionale e stile funzionale. Esercizio in classe: 1.8 pag. 29 di LPL. Totale ore: 4 1

2 III lezione Data: 8 ottobre Durata: 2 ore Il linguaggio della teoria degli insiemi. Il linguaggio dell aritmetica. Formule atomiche o atomi con termini e non solo costanti come argomenti. Definizione induttiva di atomo o formula atomica. Ragionamento, premesse, conclusione. Ragionamento informale e ragionamento formale o dimostrazione (o prova). Un ragionamento è valido se ogniqualvolta le premesse sono vere, la conclusione è vera. Come un ragionamento possa essere valido anche se una o più premesse sono false. Un ragionamento è corretto se è valido e tutte le premesse sono vere. Come la logica si occupi della validità, non della correttezza. La conclusione è conseguenza logica delle premesse se è vera ogniqualvolta le premesse sono vere. Totale ore: 6 IV lezione Data: 12 ottobre Durata: 2 ore Sistema di deduzione formale. Sistema di deduzione F: regole per l uguaglianza. Regola di eliminazione dell uguaglianza, che realizza il principio di sostituzione, e corrisponde alla proprietà di sostitutività dell uguaglianza. Regola di introduzione dell uguaglianza, che corrisponde alla proprietà di riflessività dell uguaglianza. Uso delle regole di eliminazione e introduzione dell uguaglianza per dimostrare simmetria e transitività dell uguaglianza. L uguaglianza come esempio di relazione di equivalenza: relazione riflessiva, simmetrica e transitiva. L uguaglianza come esempio di relazione di congruenza: relazione di equivalenza con la proprietà di sostitutività. Altri esempi di relazioni: relazioni di ordinamento. Ordinamento stretto: relazione transitiva. Nozione di relazione inversa. Dimostrazioni di non conseguenza logica: contro-esempi. Esercizi in classe: 2.4 pag. 46, 2.5 e 2.6 pag. 53 di LPL. Totale ore: 8 V lezione Data: 15 ottobre Durata: 2 ore Connettivi vero-funzionali: negazione, congiunzione, disgiunzione. Letterali. Dalla logica al linguaggio naturale e vice versa: disgiunzione inclusiva ed esclusiva; come al connettivo possa corrispondere non solo la congiunzione e ma anche ma, tuttavia, inoltre. Associatività e commutatività della congiunzione e della disgiunzione. Uso delle parentesi per risolvere le ambiguità nelle formule. Definizione induttiva di formula. Tavole di verità. Connettivi vero-funzionali: dati i valori di verità degli atomi, le tavole di verità permettono di determinare in modo univoco il valore di verità di una qualsiasi formula in logica proposizionale. Leggi di De Morgan. Equivalenza logica. Tautologie. Legge del terzo escluso. Validità e tautologie: tautologia come caso particolare di formula valida; le tautologie sono valide, ma esistono formule valide che non sono tautologie. Esercizio in classe: 3.4 pag. 70 di LPL (esempio di dimostrazione per induzione). Totale ore: 10 2

3 VI lezione Data: 19 ottobre Durata: 2 ore Soddisfacibilità e insoddisfacibilità. Equivalenza logica e equivalenza tautologica: equivalenza tautologica come caso particolare dell equivalenza logica. Conseguenza logica e conseguenza tautologica: conseguenza tautologica come caso particolare della conseguenza logica. Limiti delle tavole di verità. Forma normale negata. Idempotenza della congiunzione e della disgiunzione. Il principio di sostituzione di equivalenze logiche: riduzione di una formula in forma normale negata, e semplificazione di formule mediante associatività, commutatività e idempotenza della congiunzione e della disgiunzione. I compito a casa: esercizi 1.3 pag. 26 e 1.19 pag. 38 (5 punti ciascuno), 2.18 pag. 62 e 2.24 pag. 66 (5 punti ciascuno), 3.3 pag. 70, 3.7 pag. 74, 3.16 pag. 81 e 3.20 pag. 86 (10 punti ciascuno), 4.2 pag. 104, 4.17 pag. 109, 4.24 pag. 113, 4.31 pag. 121, 4.40 pag. 126 (8 punti ciascuno), da consegnarsi entro le 14:30 del 9 novembre 2018; il compito vale 100 punti. Totale ore: 12 VII lezione Data: 22 ottobre Durata: 2 ore Distributività della congiunzione e della disgiunzione. Forma normale disgiunta e forma normale congiunta. Riduzione di una formula in forma normale disgiunta o congiunta. Limiti delle tavole di verità come metodo di deduzione. Regole di inferenza. Clausole o disgiunzioni di letterali. Forma normale congiunta come forma clausale. La risoluzione unitaria in logica proposizionale e sua correttezza. La risoluzione binaria in logica proposizionale e sua correttezza. Sistema di deduzione naturale F: regole di eliminazione e di introduzione per ogni connettivo. Esercizio in classe: 4.3 pag. 104 di LPL. Totale ore: 14 VIII lezione Data: 26 ottobre Durata: 2 ore Sistema di deduzione F: regole di eliminazione e introduzione per la congiunzione e la disgiunzione. Regola di eliminazione della disgiunzione e nozione di prova o dimostrazione per analisi dei casi. Scaricare le premesse. La contraddizione o assurdo. Dimostrazione per assurdo o reductio ad absurdum. Totale ore: 16 IX lezione Data: 5 novembre Durata: 2 ore Sistema di deduzione F: regole di eliminazione e introduzione per la negazione e per l assurdo. Regola di introduzione della negazione: dimostrazione per assurdo. Regola di eliminazione dell assurdo: 3

4 dall assurdo si può derivare qualsiasi formula. Dimostrazioni per assurdo e per analisi dei casi. Reiterazione o riuso di formule nelle dimostrazioni. Dimostrazione in F della validità delle regole di risoluzione unitaria e di risoluzione binaria. Sotto-prove: scaricamento di premesse temporanee assunte in sotto-prove al completamento della sotto-prova. Come non sia corretto usare al di fuori di una sotto-prova una formula dipendente da un assunzione della sotto-prova. L uso delle sotto-prove dimostrato svolgendo la dimostrazione della validità di una delle leggi di De Morgan usando il sistema di deduzione F. Strategie o tattiche di dimostrazione. Prove senza premesse in quanto la conclusione è una formula valida. Esercizi in classe: 5.24 pag. 141, 5.27 pag. 142 e 6.19 pag. 168 di LPL. Totale ore: 18 X lezione Data: 9 novembre Durata: 2 ore Il condizionale o implicazione: P implica Q, scritto P Q, dove P è l antecedente e Q è il conseguente. P Q corrisponde in linguaggio naturale a se P allora Q, Q se P, Q purchè P, P solo se Q. P Q corrisponde in linguaggio naturale a Q a meno che P. L implicazione non è causalità: la congiunzione causale (e.g., perché ) non corrisponde a un connettivo vero-funzionale. L implicazione corrisponde al se in linguaggio naturale, ma non tutte le frasi condizionali in linguaggio naturale corrispondono a implicazioni, perché in linguaggio naturale, una frase condizionale può essere falsa quando la condizione è falsa. Condizioni sufficienti e necessarie: l antecedente è condizione sufficiente per il conseguente e il conseguente è condizione necessaria per l antecedente. Uso dell implicazione nelle formule universali. Teorema di deduzione: Q è conseguenza logica di P (P = Q: Q è vera in tutte le circostanze in cui è vera P ) se e solo se P Q è valida ( = P Q: P Q è vera in tutte le circostanze). Il bi-condizionale o bi-implicazione. Sottintesi conversazionali: interpretare la disgiunzione come disgiunzione esclusiva, interpretare a meno che o solo se come se e solo se. Completezza vero-funzionale di un insieme di connettivi. Per un connettivo n-ario abbiamo 2 n configurazioni di ingresso e quindi 2 (2n) funzioni Booleane o tavole di verità o connettivi. Un qualsiasi connettivo definito da una tavola di verità può essere espresso con congiunzione, disgiunzione e negazione, prendendo la disgiunzione delle congiunzioni corrispondenti agli ingressi per cui l uscita è 1; la formula risultante è in forma normale disgiunta. Insiemi di connettivi completi: congiunzione, disgiunzione e negazione; congiunzione e negazione; disgiunzione e negazione. II compito a casa: esercizi 3.10 pag. 77, 4.29 pag. 118, 6.6 pag. 156, 6.9 e 6.15 pag. 164, 6.20 pag. 168, 6.28 pag. 174, 6.37 pag. 176, 7.4 pag. 185, 7.16 pag. 188, 7.27 pag. 196, da consegnarsi entro le 14:30 del 23 novembre 2018; ogni esercizio vale 10 punti eccetto il 6.9 e il 6.28 che valgono 5 punti ciascuno; il compito vale 100 punti. Totale ore: 20 XI lezione Data: 12 novembre Durata: 2 ore 4

5 Sistema di deduzione F: regole di eliminazione e introduzione per l implicazione e la bi-implicazione. Regola di eliminazione dell implicazione o modus ponens. Equivalenze logiche per l implicazione e la bi-implicazione. Transitività dell implicazione. Formule contrapositive: equivalenza di P Q e Q P. Come dimostrare la contrapositiva della tesi possa semplificare la dimostrazione anche evitando la dimostrazione per assurdo. Come per dimostrare l equivalenza di più di due formule sia sufficiente dimostrare un ciclo di implicazioni tra di esse. Regola di eliminazione della contrapositiva o modus tollens. Esercizi in classe: 5.7 pag. 136, 8.13 e 8.14 pag. 206 di LPL. Totale ore: 22 XII lezione Data: 16 novembre Durata: 2 ore Ancora esercizi con il sistema deduttivo F, incluse le dimostrazioni dell equivalenza di P Q e Q P e dell equivalenza di P Q e P Q. Proprietà di un sistema deduttivo F: correttezza e completezza. Correttezza: le dimostrazioni costruite con F sono ragionamenti validi; in simboli: se P 1,... P n F S allora P 1,... P n = S. Completezza: con F si può costruire una dimostrazione di ogni ragionamento valido; in simboli: se P 1,... P n = S allora P 1,... P n F S. Sia F T il sistema deduttivo con le regole di introduzione ed eliminazione per congiunzione, disgiunzione, negazione, assurdo, implicazione e bi-implicazione. F T è corretto e completo rispetto alla conseguenza tautologica. Dimostrazione della correttezza di F T rispetto alla conseguenza tautologica: dimostrazione per assurdo e poi per casi; dimostrazione di almeno un caso. Esercizi in classe: 8.43 pag. 223 di LPL. Totale ore: 24 XIII lezione Data: 19 novembre Durata: 2 ore Ancora esercizi con il sistema deduttivo F. Introduzione ai quantificatori. La nozione di variabile in logica. Termini ed atomi con occorrenze di variabili. Come il quantificatore leghi le occorrenze della variabile quantificata. Enunciati: formule dove tutte le variabili sono quantificate. Occorrenze libere e legate di variabili. Uso delle parentesi per delimitare il campo di applicazione dei quantificatori. Formule ben formate e insieme delle variabili libere di una formula ben formata. Semantica dei quantificatori: nozione di soddisfazione. Le quattro forme aristoteliche di applicazione dei quantificatori. Formule soddisfatte a vuoto. Quantificazione solo sugli oggetti: logica al primo ordine. Totale ore: 26 XIV lezione Data: 23 novembre Durata: 2 ore Distinzione tra tautologia, validità in logica del primo ordine, e verità logica in generale; con- 5

6 seguenza tautologica, conseguenza logica in logica del primo ordine, e conseguenza logica in generale; equivalenza tautologica, equivalenza logica in logica del primo ordine, ed equivalenza logica in generale. La forma vero-funzionale di un enunciato: astrazione dalla logica del primo ordine alla logica proposizionale che permette di vedere la struttura dell enunciato solo in termini di connettivi. Un enunciato è una tautologia se e solo se lo è la sua forma vero-funzionale. Esercizi in classe: 10.1 e 10.3 pag. 266 di LPL. III compito a casa: esercizi 8.27 pag. 213, 8.45 pag. 224, 8.53 pag. 225, 9.5 e 9.6 pag. 241, 9.12 pag. 244, 9.13 pag. 245, 9.25 pag. 257, pag. 282, pag. 286, di LPL, da consegnarsi entro le 14:30 del 7 dicembre Ogni esercizio vale 10 punti. Il compito vale 100 punti. Totale ore: 28 XV lezione Data: 30 novembre Durata: 2 ore Prova intermedia. Totale ore: 30 XVI lezione Data: 3 dicembre Durata: 2 ore Metodo del rimpiazzamento: rimpiazzare i predicati dell enunciato con predicati senza significato intuitivo per determinare se l enunciato è valido in logica del primo ordine. Come tale metodo non sia una procedura di decisione: indecidibilità del problema della validità in logica del primo ordine. Come la quantificazione universale corrisponda a una congiunzione possibilmente infinita e la quantificazione esistenziale corrisponda a una disgiunzione possibilmente infinita. Leggi di De Morgan per i quantificatori ed altre equivalenze su formule con quantificatori. Quantificazione vacua. Come i nomi delle variabili quantificate siano irrilevanti purchè la ridenominazione non leghi variabili libere. Esercizi in classe: pag. 276, e pag. 277, e pag. 281 di LPL. Totale ore: 32 XVII lezione Data: 7 dicembre Durata: 2 ore Il metodo assiomatico: colmare il divario tra validità in logica del primo ordine e verità logica in generale assiomatizzando i predicati. Le nozioni di assioma, teorema e lemma. Formule con più quantificatori. Ordine dei quantificatori. Formule con quantificatori ed uguaglianza per predicare l esistenza di elementi distinti o l unicità di un elemento con una certa proprietà. Forma normale prenessa. Standardizzazione delle variabili. Trasformazione di una formula in forma normale prenessa. Sistema di deduzione F: estensione con regole di introduzione ed eliminazione per i quantificatori. Regola di eliminazione del quantificatore universale. Regola di introduzione del quantificatore esistenziale. Approccio costruttivo alla dimostrazione di un enunciato esistenziale 6

7 con introduzione del quantificatore esistenziale. Approccio non costruttivo alla dimostrazione di un enunciato esistenziale: dimostrazione per assurdo di un enunciato esistenziale. IV compito a casa: esercizi pag. 285, e pag. 286, pag. 297, 11.5 pag. 301, 11.6 pag. 302, pag. 305, pag. 316, e pag. 324 di LPL, da consegnarsi entro le 14:30 del 21 dicembre Ogni esercizio vale 10 punti. Il compito vale 100 punti. Totale ore: 34 XVIII lezione Data: 10 dicembre Durata: 2 ore Regola di eliminazione del quantificatore esistenziale: come la costante introdotta debba essere nuova. Regola di introduzione del quantificatore universale: come la costante c eliminata debba essere completamente arbitraria. Formule e prove con più quantificatori. Regola di introduzione del quantificatore universale rivista: come la costante c eliminata debba essere completamente arbitraria, e la formula a cui si applica la regola non debba contenere costanti introdotte per eliminazione del quantificatore esistenziale dopo l introduzione di c. Dimostrazione del teorema di Euclide come esempio di introduzione del quantificatore universale. Regola di eliminazione del quantificatore universale con la possibilità di usare termini senza variabili invece di simboli di costante. Regola di introduzione del quantificatore esistenziale con la possibilità di usare termini senza variabili invece di simboli di costante. Totale ore: 36 XIX lezione Data: 14 dicembre Durata: 2 ore Regola di eliminazione del quantificatore esistenziale in una forma che mostra l analogia con la regola di eliminazione della disgiunzione: la costante introdotta c non può apparire al di fuori della sotto-prova in cui si deriva una conseguenza dall istanza dell enunciato esistenziale dove la variabile quantificata esistenzialmente è sostituita da c. Dimostrazione delle leggi di De Morgan per i quantificatori nel sistema di deduzione F, inclusa una dimostrazione per assurdo con un altra dimostrazione per assurdo come sotto-prova. Correttezza e completezza del sistema di deduzione F per la logica del primo ordine con l uguaglianza. Tattiche di dimostrazione. Esercizi di dimostrazione con il sistema di deduzione F applicato a formule con quantificatori. Totale ore: 38 XX lezione Data: 17 dicembre Durata: 2 ore Quantificazione e determinazione in linguaggio naturale ed in logica. Quantificazione numerica: come i quantificatori esistenziale ed universale e l identità permettano di esprimere in logica del primo ordine espressioni del tipo esistono almeno n elementi con la proprietà P, esistono al più n elementi con la proprietà P, ed esistono esattamente n elementi con la proprietà P. Come rendere 7

8 in logica l articolo determinativo e le forme determinative entrambi e né né. Come aggiungere quantificatori che mettono in relazione due predicati o insiemi: quantificatori monotoni crescenti e quantificatori monotoni decrescenti. Limiti della logica del primo ordine, logiche modali, logiche temporali. Esercizi in classe: pag. 380 di LPL. Totale ore: 40 XXI lezione Data: 21 dicembre Durata: 2 ore La teoria degli insiemi presentata come una teoria in logica del primo ordine. Teoria degli insiemi intuitiva: assioma di comprensione e assioma di estensionalità. L assioma di comprensione è uno schema d assioma. Teorema di unicità. L insieme vuoto, gli insiemi singoletti, gli insiemi di due elementi. Sottoinsiemi e loro proprietà. Intersezione e unione e loro proprietà. Come l intersezione e l unione siano i corrispettivi insiemistici di congiunzione e disgiunzione. Esercizi in classe: 15.3 pag. 419, 15.4 pag. 421, e pag. 424 di LPL. V compito a casa: esercizi 13.6 e 13.7 pag. 356, e pag. 360, e pag. 368, 13.49, e pag. 371, pag. 372 di LPL, da consegnarsi entro le 14:30 del 7 gennaio Ogni esercizio vale 10 punti. Il compito vale 100 punti. Totale ore: 42 XXII lezione Data: 7 gennaio Durata: 2 ore Coppie ordinate e prodotto cartesiano di insiemi. Le relazioni in teoria degli insiemi. Relazioni binarie ed n-arie. Tuple. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e loro proprietà. Partizioni: dalla partizione alla relazione di equivalenza e vice versa. Esercizi in classe: pag. 431 e pag. 436 di LPL. VI compito a casa: esercizi 14.3 pag. 380, 14.10, e pag. 386, pag. 409, 15.2 pag. 419, pag. 424, pag. 435, pag. 438, pag. 443 di LPL, da consegnarsi entro le 14:30 del 21 gennaio Ogni esercizio vale 10 punti. Il compito vale 100 punti. Totale ore: 44 XXIII lezione Data: 11 gennaio Durata: 2 ore Le funzioni in teoria degli insiemi: unicità dell immagine, dominio, codominio. Funzioni totali e funzioni parziali. Estensione di funzioni. Funzioni suriettive. Funzioni iniettive. L insieme delle parti di un insieme. Esempi di insieme delle parti. Proprietà dell insieme delle parti. L insieme di Russell di un insieme. Il paradosso di Russell: l insieme universo e l inconsistenza della teoria degli insiemi intuitiva. Il complementare relativo e assoluto di un insieme. Nozione gerarchica e cumulativa di costruzione degli insiemi nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con assioma della scelta (ZFC). I primi tre assiomi di ZFC: assioma di estensionalità, assioma di separazione, 8

9 assioma delle coppie non ordinate. Esercizi in classe: pag. 438, 15.55, e pag. 439 di LPL. Totale ore: 46 XXIV lezione Data: 14 gennaio Durata: 2 ore I restanti assiomi di ZFC: assioma dell unione, assioma dell insieme delle parti, assioma dell infinito, assioma del rimpiazzamento, assioma della scelta, assioma di regolarità. Cardinalità di un insieme. Cardinalità dell insieme delle parti di un insieme. Funzioni biiettive: iniettive e suriettive. Le funzioni biiettive ammettono funzione inversa. Due insiemi hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una funzione biiettiva dall uno all altro. Definizione induttiva di un insieme: una o più clausole o casi di base, una o più clausole o casi induttivi, clausola di chiusura. Esempi di definizioni induttive: la definizione dell insieme dei termini in logica del primo ordine, la definizione dell insieme delle formule ben formate in logica del primo ordine, la definizione dell insieme delle stringhe palindrome su un dato alfabeto, la definizione dell insieme dei numeri naturali. Totale ore: 48 XXV lezione Data: 18 gennaio Durata: 2 ore Dimostrazioni per induzione. Differenza tra induzione e dimostrazione per induzione: deduzione, induzione, abduzione, e come induzione e abduzione non siano ragionamenti validi in generale. Come le dimostrazioni per induzione siano valide perché fondate su definizioni induttive: si può dimostrare per induzione che una proprietà vale per tutti gli elementi di un insieme perchè l insieme è definito per induzione. Dimostrazione per induzione: caso di base, ipotesi di induzione, passo o caso induttivo. Esempi di dimostrazione per induzione su formule e stringhe. Definizione induttiva dove la clausola di chiusura è sostituita dalla clausola che dice che l insieme definito è il più piccolo, nel senso della relazione di sotto-insieme, che soddisfi le altre clausole. Significato della dimostrazione per induzione sotto questa lettura insiemistica della definizione induttiva. Esempi di dimostrazione per induzione sui numeri naturali. Esercizi in classe: 16.4 pag. 461, 16.7 pag. 462, 16.14, e pag. 467 di LPL. Totale ore: 50 XXVI lezione Data: 21 gennaio Durata: 2 ore Esempi di dimostrazione per induzione sui numeri naturali. Nozione di teoria in logica come coppia segnatura ed assiomatizzazione. L aritmetica di Peano: segnatura, assiomi, schema d assioma per l induzione. Simboli primitivi o costruttori e simboli definiti: gli assiomi definiscono i simboli definiti a partire dai costruttori. Uso degli assiomi per la riscrittura di termini. Analogia tra definizione di simboli definiti e definizione di funzioni in programmazione funzionale. Esempio di 9

10 dimostrazione per induzione istanziando lo schema d assioma. Dimostrazioni per induzione con istanziazione degli assiomi e loro applicazione come regole di riscrittura di termini. Dimostrazioni per induzione con scelta della variabile d induzione. Struttura di una dimostrazione per induzione in deduzione naturale, mostrando l uso di eliminazione ed introduzione dell implicazione. Esercizi in classe: pag. 467, pag. 468, 16.24, e pag. 473 di LPL. Totale ore: 52 XXVII lezione Data: 25 gennaio Durata: 2 ore Induzione doppia. L aritmetica di Peano: definizione di un ordinamento totale stretto, con le proprietà: anti-riflessività, transitività e tricotomia. Distinzione tra ordinamenti totali e ordinamenti parziali. Definizione di ordinamento non stretto, con le proprietà: riflessività, transitività e anti-simmetria. L induzione sul corso dei valori. Schema d assioma per l induzione sul corso dei valori. Esempio di induzione sul corso dei valori: il teorema fondamentale dell aritmetica. Esercizi in classe: pag. 473, pag. 475 e pag. 478 di LPL. Totale ore: 54 10