Esercizi sul Calcolo Proposizionale

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1 Esercizi sul Calcolo Proposizionale Francesco Sborgia Matricola: December 7,

2 Esercizio 1 Per ogni formula A dimostrare che ρ(a) = min{n A F n } Definizione 1. Ricordiamo che, dato un linguaggio L si definisce per ricorsione la successione F n come: { F 0 = L F n+1 = F n { A A Fn } {A B, A B, A B, A B A, B F n } Inoltre, data una formula A, si definisce il rango di A come: 0 se A è una variabile ρ(a) = ρ(b) + 1 se A = B max{ρ(b), ρ(c)} + 1 se A {B C, B C, B C, B C} Soluzione. Data la natura ricorsiva delle definizioni ragioniamo per induzione sulle due disuguaglianze. n = 0) Nel caso base dimostriamo l uguaglianza, infatti: ρ(a) = 0 A è una variabile A L A F 0 quindi ρ(a) = 0 se e solo se 0 è il minimo n per cui A F n ) Supponiamo di aver mostrato che per ogni formula B con n ρ(b), ρ(b) min{m A F m }, in particolare quindi B F n. Consideriamo A tale che ρ(a) = n + 1, abbiamo due possibilità: A = B ρ(b) = n B F n A F n+1 n + 1 min{m A F m } A {B C, B C, B C, B C} max{ρ(b), ρ(c)} = n B, C F n per induzione A {B C, B C, B C, B C B, C F n } F n+1 ) Supponiamo per ipotesi induttiva che per ogni formula B F n /F n 1 si abbia ρ(b) n, in particolare ρ(b) n per ogni B F n e consideriamo una formula A F n+1 \F n, come sopra si hanno due possibilità: A = B B F n ρ(b) n ρ(a) = ρ(b) + 1 n + 1 A {B C, B C, B C, B C B, C F n } ρ(b) n e ρ(c) n max{ρ(b), ρ(c)} n ρ(a) = max{ρ(b), ρ(c)} + 1 n + 1 2

3 Esercizio 2 Sia A una formula di rango n. Dimostrare che, se k è il numero di connettivi che vi compaiono, allora n k 2 n 1 Soluzione. Ragioniamo di nuovo per induzione: n = 0) Se A è una variabile, in A non compaiono connettivi, quindi k = 0 e vale 0 = n k 2 n 1 = 0 n n + 1) Supponiamo la tesi vera per formule di rango n e consideriamo A di rango n + 1. Si hanno due casi: A = B, sia k il nuero di connettivi che compaiono in B allora in A compaiono k + 1 connettivi e per ipotesi induttiva: n k 2 n 1 n + 1 k + 1 2k (2 n 1) + 1 = 2 n+1 1 A {B C, B C, B C, B C} e possiamo supporre senza perdita di generalità che ρ(c) ρ(b) = n, allora, detti k e h il numero di connettivi presenti rispettivamente in B e C, il numero di connettivi in A è k + h + 1 e per ipotesi induttiva: mentre h soddisfa: di conseguenza: n k 2 n 1 0 h 2 n 1 n = n + 1 k + h (2 n 1) + 1 = 2 n+1 1 3

4 Esercizio 3 Dimostrare che per ogni funzione f: f : F un({1,..., n}, {F, V}) {F, V} esiste una formula A nelle variabili X 1,..., X n tale che f coincide con la sua tavola di verità τ A Dimostrazione. Definiamo T n = F un (F un ({1,..., n}, {F, V}), {F, V}). Dimsotriamo la tesi per induzione sul numero di variabili: n = 1) T 1 è composto di 4 elementi distinti corrispondenti alle tavole di verità delle seguenti formule: X 1 X 1 corrisponde alla funzione costantemente vera; X 1 X 1 corrisponde all identità; X 1 ; X 1 X 1 che è la costante F. n n + 1) Supponiamo di aver individuato per ciascun elemento di T n la rispettiva formula nelle variabili X 1,..., X n e fissiamo una f T n+1. Consideriamo: g := f {Xn+1 =V} T n h := f {Xn+1 =F} T n Per ipotesi induttiva esistono B(X 1,..., X n ) e C(X 1,..., X n ) tali che τ B τ C = h, possiamo quindi costruire la formula: = g e A(X 1,..., X n+1 ) = (B(X 1,..., X n ) X n+1 ) (C(X 1,..., X n ) X n+1 ) Per provare la tesi basta dimostrare che f = τ A, per questo ci può aiutare il seguente: Lemma 1. Siano D = D 1 D 2 un dominio con D 1 D 2 = e g : D 1 Y, h : D 2 Y due funzioni, allora esiste una unica funzione f : D Y tale che f D1 g e f D2 h infatti A(X 1,... X n, V/X n+1 ) = B(X 1,... X n ) e A(X 1,... X n, F/X n+1 ) = C(X 1,... X n ), di conseguenza: e quindi per unicità τ A f τ A {Xn+1 =V} = τ B = g τ A {Xn+1 =F} = τ C = g 4

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7 Proof. Compariamo velocemente le tavole di verità: 1. Proprietà associative Le due formule sono vere se e solo se A, B e C sono vere; Le due formule sono false se e solo se A, B e C sono false; 2. Proprietà distributive A B C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) V V V V V V V V V F V V V V V F V V V V V V F F F F V V F V V F F V V F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F 3. Leggi di De Morgan A B (A B) A B (A B) A B V V F F F F V F V V F F F V V V F F F F V V V V 4. Contronominale Abbiamo già visto la proprietà 5, possiamo usarla per vedere che 5. Vista; A B A B B A B A 6. A B (A B) (B A) (A B) A B A B A B (A B) (B A) (A B) (A B) V V V V F V F F F V F V F F V F F V V F quindi la terza formula è, in realtà, equivalente alla negazione delle prime due. 7. A B A B A B 8. A B ( A B) ( A B) 7

8 Definizione 2. Se A è una formula e A 1,... A n sono sue sottoformule, si denota con: A(B 1 /A 1,..., B n /A n ) la formula ottenuta rimpiazzando in A tutte le occorrenze di A 1 con B 1, poi rimpiazzando nella formula così ottenuta tutte le occorrenze di A 2 con B 2 e così via. Teorema 1 (di Sostituzione). Siano A 1,... A n sottoformule della formula A. Se A i B i per ogni i, allora A(B 1 /A 1,..., B n /A n ) A Dimsotrazione. Per induzione sulla costruzione di A: Base) A = X F 0 allora, data B X si ha naturalmente A(B/X) = B X = A A = C) Supponiamo che per ogni sottoformula di A vale la tesi. Siano {A i } n i=1 sottoformule di A, se per ogni indice i, A i C, allora A i è sottoformula di C, quindi A(B 1 /A 1,..., B n /A n ) = C(B 1 /A 1,..., B n /A n ) C = A Se invece per un indice j vale A j = C si ha A(B j /A j ) = B j C = A A = C D) Supponiamo nuovamente che per ogni sottoformula di A valga la tesi. Siano {A i } n i=1 sottoformule di A, per ciascun indice i abbiamo due possibilità: A i {C, D}, allora A i è una sottoformula di C o D (o entrambe) e quindi A(B i /A i ) C(B i /A i ) D(B i /A i ) C D A A i = C = D allora A(B i /A i ) C D A A i = C e A i sottoformula di D allora A(B i /A i ) C D(B i /A i ) C D A Per gli altri connettivi binari si ripete il ragionamento fatto per. 8

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10 Esercizio 9 a) Dimostrare che per ogni formula A esiste una formula B A nella quale compaiono i soli connettivi e. b) Dimostrare che la proprietà enunciata al punto a vale anche considerando i connettivi: e e c) Dimostrare che la proprietà non vale considerando i connettivi: e e e e d) Definiamo l operatore binario con la tavola di verità: A B A B V V F V F F F V F F F V Dimostrare che per ogni formula A esiste una formula B A nella quale compare il solo connettivo. Proof. a) Definiamo B l insieme delle formule in cui compaiono solo i connettivi e e definiamo C (B) = {A Form(L) B B t.c. A B}. Per vedere che C (B) = Form(L) mi basta verificare che, per ogni scelta delle formule A, B C (B) le seguenti formule stanno in C (B): A B ( A B) C (B); A B B ( A) C (B); A B (A B) (B A) C (B) perchè e ci stanno. Per induzione sulla costruzione della formula quindi C (B) = Form(L); b) Sia come sopra C l insieme delle formule in cui compaiono solo i connettivi e e definiamo C (C) = {A Form(L) C C t.c. A C}. Per ogni scelta delle formule A, B C (C) vediamo che A B ( A B) C (C), ne ricaviamo quindi che C (C) C (B) Form(L); 10

11 Se D è l insieme delle formule in cui compaiono solo i connettivi e e C (D) = {A Form(L) D D t.c. A D}, come sopra ci basta verificare che per ogni scelta delle formule A, B C (D) A B C (D): e quindi C (D) C (B) Form(L); A B A B) c) Consideriamo una variabile X e un assegnamento I tale che I(X) = V, definiamo F (X) come l insieme delle formule che contengono la sola variabile X e i soli connettivi e, allora per ogni A F (X) I(A) = V mentre I( X) = F, quindi la proprietà non vale; Ragionando in maniera identica si dimostra che il controesempio vale ache per i connettivi e e per e ; L ultimo caso, al contrario, merita una trattazione a parte. Sia H(X, Y ) l insieme delle formule in cui compaiono i soli connettivi e e le sole variabili X e Y, per ogni elemento di H(X, Y ) esistono 4 distinte interpretazioni al variare degli assegnamenti sulle due variabili. Vediamo il seguente: Lemma 2. Fissata H H(X, Y ): #{α : {X, Y } {F, V} ˆα(H) = V} 0 (mod 2) Dimostrazione Lemma. Consideriamo la successione: { H 0 (X, Y ) = {X, Y } H n+1 (X, Y ) = H n (X, Y ) {A B A, B H n (X, Y )} { A A H n (X, Y )} allora H(X, Y ) = H n (X, Y ) e possiamo dimostrare il lemma per induzione: n = 0) H = X è indipendente da Y quindi ho due assegnamenti delle variabili X e Y per cui H è vero, analogamente nel caso H = Y ; n n + 1) H H n+1 H n, allora H = A oppure H = A B con A e B in H n, quindi per ipotesi induttiva: #{α : {X, Y } {F, V} ˆα(A) = V} = a 0 (mod 2) quindi #{α : {X, Y } {F, V} ˆα(B) = V} = b 0 (mod 2) mentre nel secondo caso: #{α ˆα( A) = V} = 4 a 0 (mod 2) 11

12 {α ˆα(A B) = V} = {α ˆα(A) = ˆα(B)} se il numero di interpretazioni in cui A e B assumono lo stesso valore fosse dispari, per parità sarebbe dispari anche il suo complementare, quindi a e b non potrebbero avere la stessa parità contro le ipotesi. In conseguenza del lemma, la formula X Y assume il valore V solo in un caso e quindi non può essere logicamente equivalente a una formula in H(X, Y ). d) Definiamo F l insieme delle formule in cui compare il solo connettivo e C (F) = {A Form(L) F F t.c. A F} Mostriamo che C (F) C (C) Form(L). Per come abbiamo definito C per ottenere la tesi basterà dimostrare che le seguenti formule stanno in F: A A A A B A B = (A A) (B B) 12

13 Esercizio 10 Dimostrare che ogni formula è logicamente equivalente ad una formula DNF e ad una formula CNF. Definizione 3. Si dice letterale una variabile proposizionale X o la sua negazione X. Una formula si dice in forma normale disgiuntiva (DNF) se è una disgiunzione di congiunzioni di letterali; si dice in forma normale congiuntiva (CNF) se è una congiunzione di disgiunzioni di letterali. Dimostrazione. Mostreremo dapprima che ogni formula DNF è logicamente equivalente a una formula CNF e viceversa, per concludere basterà dimostrare che ogni formula è logicamente equivalente a una formula DNF o CNF e sfruttare l uguaglianza mostrata all inizio. DNF = CNF) Vogliamo mostrare che per ogni A DNF, A CNF e A DNF e che per ogni B CNF, B DNF. Dalle definizioni A = A 1... A n e A i = k i j=1 L(i) j B = B 1... B n e B i = k i j=1 L(i) j. dove L (i) j è un letterale e n = 1, k = 1) A è un letterale allora A e la sua negazione sono sia CNF che DNF; n = 1, k > 1) A = k L j=1 j allora A = k L j=1 j che è in forma CNF con n = 1, se inoltre consideriamo ciascun L j come una disgiunzione banale di letterali A è anche in forma DNF. Viceversa se B = k L j=1 j allora B = k L j=1 j è in forma DNF; n > 1) Nel caso generale possiamo limitarci a considerare n = 2: Sia A = A 1 A 2 e per ciascun i, A i = k i j=1 L(i) j, allora A i = k i j=1 ( L(i) j, per k1 ) ( k2 ) cui A = A 1 A 2 = j=1 L(1) j h=1 L(2) h che è in forma CNF, inoltre, applicando la proprietà distributiva otteniamo: A = j,h ( ) L (1) j L (2) h DNF Viceversa se B = B 1 B 2 e per ciascun i, A i = k i j=1 L(i) j, allora B = B 1 B 2 e per il punto precedente sappiamo che B 1 e B 2 sono congiunzioni di letterali, quindi B è DNF. Form(L) = DNF = CNF ) Dimostriamo per induzione che ciascun F n è contenuto in DNF o CNF: n = 0) F 0 è costituito dalle variabili, che sono letterali e stanno quindi in DNF e in CNF; 13

14 n n + 1) Supponiamo che F n è contenuto in DNF o CNF e sia A F n+1 \F n. Se A = B, B F n per ipotesi induttiva B DNF ma allora abbiamo già visto che A = B CNF e in DNF; Se A = B C con B, C F n sappiamo che esistono B, C CNF tali che B B e C C allora per il teorema di sostituzione: A A(C /C, D /D) = C D CNF Possiamo concludere osservando che ogni formula è logicamente equivalente a una formula in cui compaiono i connettivi e, cioè DNF = C (C) come era stato definito nel precedente esercizio e quindi DNF = C (C) = Form(L). 14

15 Esercizio 11 Verificare le seguenti implicazioni logiche, dove A e B sono formule qualunque: (1) (A B) = A; (2) A = (A B); (3) Se A = B e B = C, allora A = C; (4) A = B se e solo se B = A Soluzione. (1) In ogni interpretazione I in cui I(A B) è vera, I(A) deve essere necessariamente vera; (2) In ogni interpretazione in cui A è vera A B risulta vera; (3) Se nella interpretazione I risulta I(A) = V dalla prima implicazione logica segue che I(B) = V e dalla seconda implicazione abbiamo I(C) = V; (4) Per la proprietà contronominale dimostrata nell esercizio 7 le formule A B e B A sono logicamente equivalenti, quindi A B è una tautologia se e solo se B A è una tautologia. 15

16 Esercizio 12 Stabilire se ciascuna delle seguenti proprietà è vera per ogni scelta delle formule A, B e C. 1. Se A = B e A = C, allora A = (B C); 2. Se A = (B C) allora A = B e A = C; 3. Se A = C o B = C, allora (A B) = C; 4. Se (A B) = C allora A = C o B = C; 5. Se A = B e A = C, allora B = C; 6. Se A = B e A = (B C), allora A = C. Soluzione. 1. Se A è vera nell interpretazione I allora per ipotesi B e C sono vere nell interpretazione I, quindi I(B C) = V ; 2. Se A è vera nell interpretazione I allora per ipotesi B C sono vere nell interpretazione I, ma osservando la tavola di verità, questo succede solo quando I(B) = V e I(C) = V ; 3. Se A B è vera nell interpretazione I allora almeno una tra A e B è vera nell interpretazione I, per ipotesi quindi C è vera nell interpretazione I; 4. Se I è una interpretazione che rende vera A allora in I è vera A B per ogni formula B, allora C è vera in I, analogamente se I rende vera B allora rende vera A B e quindi rende vera anche C; 5. Sia A = C = X e B una tautologia: chiaramente A = B e A = C. Se per assurdo B = C, poichè ogni interpretazione rende vera B avremmo che C sarebbe una tautologia. Assurdo. 6. Se A è vera nell interpretazione I, allora sono vere B e B C, allora per Modus Ponens I(C) = V. 16