1 Richiami di logica matematica

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1 Geometria I 2009-mar Richiami di logica matematica Cfr: M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal calcolo all analisi, Apogeo, Cap. ℵ. Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini di una proprietà dell enunciato: l essere vero o falso (logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità scelto tra i due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri (indeterminato, per esempio). Variabili: Lettere dell alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apici o pedici): A, x, B 1, j,... Assegnamento di valore alle variabili. Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuove proposizioni a partire da proposizioni date. negazione: p. congiunzione (AND): p q. disgiunzione (OR, p vel q): p q. disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) :p q. implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q): p = q. doppia implicazione (se e solo se): p q. Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q,... assumo valori di verità 0/1, è possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità. p p p q p = q p q p q p q p q p q p q p q p XOR q D.L. Ferrario 2009-mar-10 1

2 Geometria I 2009-mar-10 2 Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r,... si costruiscono espressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni), utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sono sempre vere (cioè assumono valore di verità 1 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioè assumono valore di verità 0 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni. Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e B sono equivalenti se e solo se A B è una tautologia. Le seguenti sono tautologie: (i) A A (terzo escluso); (ii) (A A) (non contraddizione); (iii) ( A) A (doppia negazione); (iv) A A A, A A A; (v) A B B A, A B B A (commutatività); (vi) associatività: (A B) C A (B C); (A B) C A (B C); (vii) Leggi distributive: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C); (viii) Leggi di de Morgan: (A B) A B; (A B) B A; Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi di sillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni. (i) (A B) = A; (ii) (A = B) ( B = A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo); D.L. Ferrario 2009-mar-10 2

3 Geometria I 2009-mar-10 3 (iii) (A = B) A = B (modus ponens); (iv) (A = B) B = A (modus tollens); (v) (A = B) (B = C) = (A = C) (modus barbara, sillogismo ipotetico); (vi) ((A B) A) = B (sillogismo disgiuntivo). Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate (variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciato aperto. Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valore assegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate. Quantificatore universale: (per ogni, per tutti). Uso: x, p(x). Significato: Per ogni x (nell universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U,p(x). Quantificatore esistenziale: (esiste, esiste almeno un x). Uso: x : p(x). Significato: Esiste almeno un x (nell universo U) per cui la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U : p(x). ( x, p(x)) x : p(x) (principio di negazione). ( x : p(x)) x, p(x) (principio di negazione). x, y, p(x, y) y,, xp(x, y) (principio di scambio). x : y : p(x, y) y : : xp(x, y) (principio di scambio). x : y, p(x, y) = y, x : p(x, y) (principio di scambio). D.L. Ferrario 2009-mar-10 3

4 Geometria I 2009-mar Richiami di teoria degli insiemi Cfr: Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961). Concetti primitivi (non definiti): Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia). Relazione di appartenenza: x X, x X. In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 1 si definisce un insieme come collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire se x = y oppure x y). Si assumono anche i seguenti principi: (i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. (ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzione che gli elementi di A sono esattamente gli oggetti x per cui P (x) è vera: A = {x : p(x)}. (iii) Assioma della... Estensioni di questa notazione: Insieme vuoto:. 2 Relazioni tra insiemi: {x A : p(x)} Esempio: {x R : x 4} {f(x) :p(x)} Esempio: {x 2 : x Z} {1, 2, 3}, {1, 2} (Inclusione) A B (anche A B): se x A implica x B. A è un sottoinsieme di B. 1 G. Cantor ( ). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere il criterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi (contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x x); se X appartiene a se stesso, X X, allora per definizione X X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa... 2 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S intende che questo viene scelto e sottinteso in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali,... D.L. Ferrario 2009-mar-10 4

5 Geometria I 2009-mar-10 5 A B: se B A. A = B se e solo se (A B) e (B A). Operazioni con gli insiemi: Unione A B = {x : x A x B}. Intersezione A B = {x : x A x B} (due insiemi sono disgiunti quando A B = ). Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A B = {(a, b) : a A, b B} = {(a, b) :a A b B}. Complemento di A in B A (differenza tra insiemi): A (= A c = B A) ={x B : x A}. Insieme delle parti: P(X) = 2 X = l insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l insieme delle funzioni f : X {0, 1}). Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria può essere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezione possono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J 2 U una funzione. Per ogni i J, il sottoinsieme f(i) 2 U può anche essere denotato con X i, per esempio (cf. successioni x i vs. funzioni x = f(i)). i J X i := {x U :( i I : x X i )}, o equivalentemente 3 i J X i := {x U : x X i per qualche i I}. i J X i := {x U :( i J, x X i )}, o equivalentemente i J X i := {x U : x X i per tutti gli i J}. In ultimo, si ricordi che una funzione f : X Y si dice iniettiva se x X, y Y,(x y = f(x) f(q)), suriettiva se y Y, x X : f(x) = y, bijettiva (biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. (2.1) Definizione. Sia f : X Y una funzione. Se B Y è un sottoinsieme di Y, la controimmagine di B è f 1 (B) ={x X : f(x) B}. 3 Si noti l uso del simbolo := usato per le definizioni o gli assegnamenti. D.L. Ferrario 2009-mar-10 5

6 Geometria I 2009-mar Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici Cfr: Cap I, 1; Sernesi Vol II [1]. Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici. (3.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione d: X X R tale che per ogni x 1, x 2,x 3 X: (i) x 1, x 2,d(x 1,x 2 ) 0ed(x 1,x 2 ) = 0 se e solo se x 1 = x 2. (ii) Simmetria: d(x 1,x 2 )=d(x 2,x 1 ). (iii) Disuguaglianza triangolare: d(x 1,x 3 ) d(x 1,x 2 )+d(x 2,x 3 ). La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti. (3.2) Esempio. Metrica su R: d: R R R, d(x, y) = x y, ha le proprietà che per ogni x, y R (i) x y 0e x y =0 x = y. (ii) x y = y x. (iii) x z x y + y z. Importante concetto associato al concetto di metrica/distanza: (3.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x 0 X (X spazio metrico): (Anche più esplicitamente B r (x 0,X)) B r (x 0 )={x X : d(x, x 0 ) <r}. (3.4) Nota. Una funzione f : A R R è continua nel punto x A se per ogni ɛ> 0 esiste un δ> 0 tale che x y <δ = f(x) f(y) <ɛ. Cioè, equivalentemente, f è continua in x R se per ogni ɛ> 0 esiste δ> 0 tale che y B δ (x) = f(y) B ɛ (f(x)), cioè f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). In generale, f : A R è continua in A R se è continua per ogni x A, cioè se per ogni ɛ> 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). D.L. Ferrario 2009-mar-12 6

7 Geometria I 2009-mar-12 7 Dal momento che f(a) B A f 1 B (esercizio (1.7) a pagina 13), la funzione f è continua in A se e solo se per ogni ɛ> 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))). (3.5) Definizione. 4 Un sottoinsieme U di uno spazio metrico X si dice intorno di un punto x U se contiene un intorno circolare di x, cioè se esiste δ> 0 tale che B δ (x) U Se U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U. (3.6) Nota. Se U è un intorno di x e U V, allora V è un intorno di V. Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f 1 (B ɛ (f(x))) di ogni intorno circolare di f(x) è un intorno di x. Notiamo che una palla è intorno di ogni suo punto (esercizio (1.10) a pagina 13). (3.7) Se f : A X Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla B r (y) in Y (intervallo!) è intorno di ogni suo punto. Dimostrazione. Se x f 1 B ɛ (y), cioè f(x) B ɛ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cui B r (f(x)) B ɛ (y). Dal momento che f è continua in x, f 1 (B r (f(x))) è intorno di x. Ma B r (f(x)) B ɛ (y) = f 1 (B r (f(x))) f 1 (B ɛ (y)) e quindi f 1 (B ɛ (y)) è un intorno di x. q.e.d. (3.8) Definizione. Un sottoinsieme A X di uno spazio metrico si dice aperto se è intorno di ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenuto in A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A). (3.9) Una palla aperta B r (x) è un aperto. Dimostrazione. (Esercizio (1.10) di pagina 13) q.e.d. (3.10) Una funzione f : X Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X di ogni palla B r (y) di Y è un aperto. 4 U può non essere aperto... D.L. Ferrario 2009-mar-12 7

8 Geometria I 2009-mar-12 8 Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmagine di ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni palla B r (y) è un aperto. Allora, per ogni x X e per ogni ɛ> 0 f 1 (B ɛ (f(x))) è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni x e ɛ esiste δ> 0 tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))), cioè f è continua. q.e.d. 3.1 Proprietà dei sottoinsiemi aperti Se A X è aperto, allora per ogni x A esiste r = r(x) > 0 tale che B r(x) A, e quindi A è unione di (anche infinite) palle aperte A = x A B r(x) (x). Viceversa, si può mostrare che l unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindi vale: (3.11) Un sottoinsieme A X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle). (3.12) Corollario. L unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto. (3.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzano null altro che proprietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono in generale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici. Si possono riassumere tutti i fatti visti nel seguente teorema. (3.14) Teorema. Una funzione f : X Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di Y è un aperto di X. Dimostrazione. Sia V un aperto di Y. Allora è unione di intorni circolari B j := B rj (y j ) e dunque la sua controimmagine f 1 V = f 1 ( j J V = j J B j B j ) = j J f 1 B j D.L. Ferrario 2009-mar-12 8

9 Geometria I 2009-mar-12 9 è unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Y è un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y è un aperto di X, e quindi f è continua. q.e.d. La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famiglie di aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica. (3.15) Sia X uno spazio metrico. Allora l insieme vuoto e X sono aperti. (3.16) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l intersezione A B è un aperto. Dimostrazione. Sia x A B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali che B ra (x) A e B rb (x) B. Sia r il minimo tra r A e r B : B r B ra, B r B rb, e quindi B r A B r B( B r A B). Quindi A B è intorno di x e la tesi segue dall arbitrarietà di x. q.e.d. Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell insieme delle parti A 2 X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X. (3.17) L insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (3.8 ) di pagina 7) di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà: (i) A, X A, (ii) B A = B B B A, (iii) B A, B è finito, allora B B B A. (3.18) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X: (i) Ogni elemento x X ha almeno un intorno (aperto) B x. (ii) L intersezione di due intorni circolari B 1 B 2 è un aperto, e quindi per ogni x B 1 B 2 esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x B B 1 B 2. (3.19) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A di tutti i sottoinsiemi aperti definita poco sopra. Si dice anche che è A è la topologia di X generata dagli intorni circolari (definiti a partire dalla metrica). (X, d) (X, d, A) D.L. Ferrario 2009-mar-12 9

10 Geometria I 2009-mar Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere le famiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che due metriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia. (3.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti se inducono la stessa topologia su X. (3.21) Due metriche d e d su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: per ogni x X e per ogni palla Br d (x) (nella metrica d) esiste r > 0 tale che Br d (x) Bd r (x) (dove Br d (x) è la palla nella metrica d ) e, viceversa, per ogni r e x esiste r tale che Br d (x) Br d (x). Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d siano equivalenti e siano x e r>0dati. Per (3.9) la palla Br d (x) è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologia indotta da d : pertanto esiste r tale che Br d (x) Bd r (x). Analogamente se si scambia il ruolo di d e d. Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x A esiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale che ed un corrispondente r > 0 tale che B d r (x) A, B d r (x) Bd r (x). Cioè, per ogni x esiste r = r (x) > 0 tale che Br d (x) A, e quindi A è aperto nella topologia indotta da d. Analogamente, ogni aperto nella topologia indotta da d è anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono. q.e.d. (3.22) Esempio. Esempi di metriche su R 2 : (i) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 (x 2 y 2 ) 2 = x y (metrica euclidea). { 0 se x = y (ii) d(x, y) = (metrica discreta). 1 altrimenti (iii) d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. (iv) d(x, y) = max i=1,2 x i y i. D.L. Ferrario 2009-mar-12 10

11 Geometria I 2009-mar (v) d(x, y) = min i=1,2 x i y i (?). (vi) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2 (?). (3.23) Esempio. Sia p N un primo 2. Sappiamo che ogni intero n Z ha una decomposizione in fattori primi, per cui esiste unico l esponente α per cui n = p α k, dove l intero k non contiene il fattore primo p. Si consideri in Z la funzione p definita da p α k p = p α ogni volta che k è primo con p, e n p = 0 quando n = 0. Sia quindi d: Z Z Q R la funzione definita da d(x, y) = x y p. Si può vedere che è una metrica su Z (perché?). (3.24) Esempio. Su Z sia A la famiglia di tutte le unioni di progressioni aritmetiche (U a,b = {a + kb : k Z} Z). Allora la famiglia A è una topologia di Z, e in questa topologia, le progressioni U a,n sono sia aperti che chiusi. Perché? D.L. Ferrario 2009-mar-12 11