6 Funzioni continue. (6.1) Sia f una funzione f : X Y tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti sono equivalenti: (i) f è continua

Transcript

1 6 Funzioni continue Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamente come in (4.9) e in (3.10), che vale la seguente proposizione. (6.1) Sia f una funzione f : X Y tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti sono equivalenti: (i) f è continua (ii) A X, f(a) f(a). (iii) per ogni C Y chiuso, la sua controimmagine f 1 (C) X è chiuso in X. (iv) Se B è una base per Y, allora per ogni elemento della base B B la controimmagine f 1 B è aperto in X. (6.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua. Dimostrazione. Sia f : X Y una funzione continua e g : Y Z una funzione continua. La composizione gf : X Z è continua se e solo se (gf) 1 (A) è aperto in X ogni volta che A è aperto in Z. Ora, (gf) 1 (A) = {x X : g(f(x)) A} = {x X : f(x) g 1 (A)} = f 1 (g 1 (A)) e dunque se A è aperto anche g 1 (A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f è continua f 1 (g 1 (A)) è aperto in X. (6.3) Teorema. Sia f : X Y una funzione continua. Se A X ha la topologia indotta, allora la restrizione f A è continua. Dimostrazione. Sia B Y un aperto. La controimmagine f 1 (B) è aperta in X, dato che f è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f A è data dall insieme {x A : f(x) B}, e quindi da A f 1 (B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A. (6.4) Definizione. Una funzione f : X Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è biunivoca e sia f che la funzione inversa f 1 sono continue. Si dice allora che X e Y sono omeomorfi (e si indica con X Y ). (6.5) Definizione. Una funzione f : X Y è (i) aperta se l immagine f(a) di ogni aperto A di X è aperta in Y. (ii) chiusa se l immagine f(c) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y. (6.6) Una funzione f : X Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà è vera:

2 Geometria e Topologia I 2006-mar (i) f è biunivoca, continua e aperta. (ii) f è biunivoca, continua e chiusa. La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro che un cambiamento di coordinate in uno spazio, e l essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti viene conservata. (6.7) Esempio. Sia X l insieme delle matrici 2 2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munito della metrica d((a i,j ), (b i,j )) = max ( a i,j b i,j ). X è omeomorfo a R 4 con la metrica euclidea d((x i ), (y i )) = 4 i,j i=1 (x i y i ) 2 tramite l omeomorfismo ( ) a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 (6.8) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione stereografica). (6.9) Esempio. La retta è omeomorfa ad un segmento aperto: R (a, b) per ogni a < b. 7 Topologia prodotto (7.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X Y ammette una topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2 base = {U V X Y : U è aperto in X e V è aperto in Y }. Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l insieme di aperti sopra descritto costituisca una base per X Y : esercizio (3.1). Le funzione p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y definite da p 1 (x, y) = x e p 2 (x, y) = y si dicono le proiezioni. (7.2) Se X Y ha la topologia prodotto, allora X Y Y X (sono omeomorfi), e le proiezioni p 1 : X Y X, p 2 : X Y Y sono continue e aperte. Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi topologici X 1,X 2,..., X n, che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U 1 U 2 U n X 1 X 2 X n. (7.3) Proposizione. Una funzione f : X Y 1 Y 2 (che si può scrivere quindi come f(x) = (f 1 (x), f 2 (x))) è continua se e solo se le sue due componenti (f 1 = p 1 f e f 2 = p 2 f) sono continue. Dimostrazione. Se f è continua, allora f 1 e f 2 sono continue perché composizioni di f con le funzioni continue p 1 e p 2. Viceversa, se f 1 e f 2 sono continue, allora se V 1 V 2 Y 1 Y 2 è un aperto della base per la topologia (prodotto) di Y 1 Y 2, si ha f 1 (V 1 V 2 ) = {x X : (f 1 (x), f 2 (x)) V 1 V 2 } = {x X : f 1 (x) V 1 e f 2 (x) V 2 } = f 1 1 (V 1 ) f 1 2 (V 2 ), che è aperto perché intersezione di due aperti. D.L. Ferrario 2006-mar-19 21

3 mar-19 Geometria e Topologia I (7.4) Esempio. La topologia di R n indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale alla topologia prodotto. (7.5) Esempio. I I è il quadrato (pieno) di R 2. Analogamente, I n è il cubo di dimensione n. (7.6) Esempio. Le proiezioni p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y sono aperte ma possono non essere chiuse. Per esempio, se X = Y = R, C = {(x, y) R 2 : xy = 1} è chiuso, ma non è chiuso. p 1 (C) = {x R : x 0} = R {0} (7.7) Nota. Nell esercizio precedente C è chiuso perché, se si pone f : R 2 R definita da f(x, y) = xy, si ha che f è continua e C = f 1 ({1}), che è chiuso in R 2, dato che {1} è chiuso in R (con la topologia metrica) mar-19 D.L. Ferrario

4 Geometria e Topologia I 2006-mar Spazi di identificazione e topologie quoziente Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati. Problema: sia una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X X/ la proiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza). (8.1) Esempio. (i) I 0 1. (ii) R con x y x y Z. (iii) R 2 con x = (x 1, x 2 ) y = (y 1, y 2 ) x y Z 2. (iv) Striscia di Möbius. In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X Y, Y si può vedere come insieme delle classi di equivalenza date dalla relazione x, y X, x y f(x) = f(y). (8.2) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X Y una funzione suriettiva, allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi A Y per cui la controimmagine f 1 (A) X è aperto. Lo spazio Y si dice spazio quoziente di X rispetto alla proiezione f. (8.3) Se f : X Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologia quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X). Dimostrazione. Per definizione di continuità, se f : X Y è continua e A Y è aperto nella topologia di Y, allora f 1 (A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente. (8.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e A X un sottospazio, si scrive X/A (quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che è lo spazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di X A e A. (8.5) Esempio. Il toro: [0, 1] [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza... ) (i) (0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1). (ii) (x, 0) (x, 1) per 0 < x < 1. (iii) (0, y) (1, y) per 0 < y < 1. È omeomorfo a S 1 S 1? (8.6) Esempio. Il disco: D 1 (0, R 2 ) = D 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza: { x D 2 y D 2 (x e y stanno sul bordo) x y x = y altrimenti D.L. Ferrario 2006-mar-20 23

5 mar-20 Geometria e Topologia I (8.7) Esempio. Il piano proiettivo: D 2 quozientato rispetto alla relazione: { x = y se x D 2 y D 2 x y x = y altrimenti Analogo: S 2 / dove x y x = ±y (antipodale). (8.8) Esempio. Nastro di Möbius: mar-20 D.L. Ferrario