Analisi funzionale. Riccarda Rossi Lezione 2. Spazi normati Definizioni topologiche Continuità Convergenza di successioni Compattezza

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1 Riccarda Rossi Lezione 2

2 Programma 1. Spazi normati; 2. Definizioni topologiche 3. Continuità di funzioni in spazi topologici in spazi metrici in spazi normati 4. Convergenza di successioni in spazi topologici in spazi metrici in spazi normati 5. La nozione di compattezza in spazi topologici in spazi metrici

3 Definizione Sia V uno spazio vettoriale (sul campo R). Chiamiamo norma una funzione : V R verificante: 1. x 0 x V 2. x = 0 x = 0 x V 3. λx = λ x x V, λ R 4. x + y x + y x, y V e chiamiamo spazio normato la coppia (V, ).

4 Spazio normato è metrico Sia (V, ) uno spazio normato: allora induce su V la distanza d(x, y) := x y (x, y) V V. Ogni spazio normato è anche uno spazio vettoriale topologico.

5 La piramide degli spazi

6 Osservazioni Sia V uno spazio vettoriale. In generale su V è possibile assegnare diverse norme.

7 Confronto fra norme Sia V sp. vett. con due norme 1 e 2 tali che C > 0 x V : x 1 C x 2 Allora la topologia indotta da 2 è più fine della topologia indotta da 1. Due norme 1 e 2 su V sono (topologicamente) equivalenti se

8 Le infinite norme che inducono la topologia euclidea su R n Su R n sono definite le norme p, con p R, 1 p x p : = ( n i=1 x i p) 1/p se 1 p <, x : = max n i=1{ x i } se p =.

9 Teorema sull equivalenza di norme (I) Teorema Sia V uno spazio normato di dimensione finita e siano 1 e 2 due norme su V. Allora 1 e 2 sono equivalenti.

10 Teorema sull equivalenza di norme (II)

11 .. quel che succede in dimensione infinita Esempio I: C 0 ([a, b]) = {f : [a, b] R : f è continua su [a, b]} La norma naturale su C 0 ([a, b]) è f := max{ f (x) : x [a, b]} Su C 0 ([a, b]) è anche definita f 1 := b a f (x) dx e in generale ( b 1/p f p := f (x) dx) p per 1 p <. a

12 Confronto delle norme L p su C 0 ([a, b]) 1 p < C p > 0 : f C 0 ([a, b]) f p C p f In generale quindi 1 p q C p > 0 : f C 0 ([a, b]) f p C p f q

13 Esempio II C 1 ([a, b]) = { f : [a, b] R : f è derivabile su [a, b], f : [a, b] R è continua su [a, b] } La norma naturale su C 1 ([a, b]) è f := f + f Su C 1 ([a, b]) sono anche definite

14 Definizioni (I) Sia (X, I) uno spazio topologico e = E X. Sia x X. Diciamo che: x è interno ad E se x è esterno ad E se x è di frontiera per E se x è di aderenza per E se

15 Definizioni (II) Sia (X, I) uno spazio topologico e E X. Chiamiamo interno di E esterno di E frontiera di E chiusura di E

16 Insiemi aperti, chiusi, densi Sia (X, I) uno spazio topologico e E X. Diciamo che E è aperto se E è chiuso se E è denso in X se Sia (X, d) spazio metrico. Allora E X è aperto se e solo se

17 I chiusi sono tutti e soli i complementari degli aperti

18 Proprietà della famiglia degli aperti

19 Definizione equivalente di spazio topologico Confronto fra topologie

20 Discussione euristica a partire da R n Ricordiamo che f : R n R è continua in x 0 R n se

21 Continuità di funzioni fra spazi topologici Siano (X, I X ) e (Y, I Y ) spazi topologici. Sia f : X Y. Diciamo che f è continua in x 0 X se Diciamo che f è continua su X se essa è continua in ogni x 0 X.

22 Estensione della nozione di limite

23 Osservazioni Sia f : X Y. La continuità di f dipende fortemente dalle topologie considerate su X e Y. Esempio I Esempio II Esempio III

24 Continuità e insiemi aperti

25 Continuità in spazi metrici

26 Continuità in spazi normati

27 Esempio Consideriamo C 0 ([a, b]) e le norme 1 e. Allora, se Φ : (C 0 ([a, b]), 1) R è continuo, Non vale il viceversa:

28 Discussione euristica a partire da R Ricordiamo che {a n} R converge ad x R se

29 Definizione Sia (X, I) uno spazio topologico e {a n} X. Diciamo che {a n} converge ad x X se

30 Unicità del limite in R Ricordiamo che se {a n} R converge ad x R e a y R, allora x = y.

31 Proprietà di separazione di Hausdorff Diciamo che uno spazio topologico (X, I) è di Hausdorff se Esempi: x, y X, x y I (x), I (y) con I (x) I (y) = X dotato della topologia discreta: X dotato della topologia banale: (X, d) spazio metrico

32 Teorema di unicità del limite negli spazi di Hausdorff

33 Convergenza di successioni e confronto fra topologie Su X siano assegnate due topologie I 1 e I 2, con I 2 più fine di I 1. Allora Esempio: su C 0 ([a, b]) la topologia indotta da è (strettamente) più fine della top. indotta da 1:

34 Convergenza di successioni in uno spazio metrico Sia (X, d) uno spazio metrico. Il concetto di successione convergente è fondamentale: permette di caratterizzare in termini di successioni moltissimi concetti topologici. Per esempio: Caratterizzazione dell equivalenza di metriche Su X siano assegnate d 1 e d 2. Allora d 1 e d 2 sono topologicamente equivalenti se e solo se

35 Caratterizzazione della chiusura tramite successioni Sia (X, d) uno spazio metrico ed E X Proposizione x E se e solo se esiste {x n} E tale che x n x per n. Corollario (I) C X è chiuso se e solo se Corollario (II) E X è denso in X se e solo se

36 Caratterizzazione della continuità per successioni Siano (X, d) uno spazio metrico, (Y, I) uno spazio topologico, e f : X Y. Proposizione f è continua in x 0 X se e solo se

37 Convergenza in spazi normati Definizione Ovviamente negli spazi normati vale la caratterizzazione della continuità tramite successioni. Consideriamo il funzionale di valutazione Φ : C 0 ([0, 1]) R, Φ(f ) = f (1).

38 Definizione in spazi topologici Sia (X, I) uno spazio topologico. Definizione Sia E X. Diciamo che una famiglia R di sottoinsiemi di X è un ricoprimento aperto di E se R è costiuita da insiemi aperti; l unione degli elementi di R contiene E. Definizione Un insieme K X si dice compatto se

39 Osservazioni Su X siano assegnate due top. I 1 e I 2, I 2 più fine di I 1. Allora Consideriamo su R n la topologia euclidea. Sia E R n illimitato.

40 Proprietà della nozione di compattezza Sia (X, I) uno spazio topologico di Hausdorff. Si ha K X compatto K X chiuso La compattezza viene preservata dalla continuità:

41 Il teorema di Weierstrass in spazi topologici Teorema Sia (X, I) uno sp. top. e f : X R continua. Sia K X un insieme compatto. Allora f ammette in K almeno un punto di minimo assoluto e almeno un punto di massimo assoluto, cioè

42 Compattezza in spazi metrici Sia (X, d) uno spazio metrico: la compattezza si può caratterizzare in termini di successioni convergenti. Caratterizzazione K X è compatto se e solo se ogni {x n} X ammette una sottosuccessione convergente a un x K, cioè

43 Osservazioni (I) Capiamo perché E R n illimitato non è compatto: Rivisitiamo il teorema di Bolzano-Weierstrass

44 Osservazioni (II) Importanza degli insiemi compatti Ricordiamo la compattezza relativa

45 Dimostrazione del Teorema di Weierstrass in spazi metrici