COMPATTEZZA. i) X è compatto, cioè ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.

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1 1 COMPATTEZZA Sia X un sottoinsieme di R. Una famiglia A di sottoinsiemi aperti di R si dice ricoprimento aperto di X se X A, cioè se X è contenuto nell unione degli elementi di A. Una sottofamiglia di un ricoprimento aperto di X che sia essa stessa un ricoprimento si chiama sottoricoprimento aperto di X. Il sottoinsieme X si dice compatto se da ogni suo ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito. Si dice che una famiglia F di chiusi di R ha la proprietà dell intersezione finita in X se, comunque preso un numero finito F 1,..., F n di elementi di F, esiste un punto b X tale che b F 1... F n, ovvero F 1... F n X. Si dice che F ha intersezione non vuota in X se ( F) X. Proposizione 1 Sia X un sottoinsieme di R. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) X è compatto, cioè ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito. ii) se una famiglia di chiusi ha intersezione vuota in X, allora essa non può avere la proprietà dell intersezione finita in X. iii) ogni famiglia di chiusi con la proprietà dell intersezione finita in X ha intersezione non vuota in X. Dimostrazione. i) ii) Sia F una famiglia di chiusi non vuoti di R che ha intersezione vuota in X, cioè tale che ( F) X =. Allora {F : F F} R \ X. Passando ai complementari si ottiene {R \ F : F F} X. Dunque la famiglia di aperti A = {R \ F : F F} è un ricoprimento aperto di X. Per la compattezza, A ammette un sottoricoprimento aperto finito, diciamo: Dunque: {R \ F 1, R \ F 2,..., R \ F n : F i F per i = 1,..., n} Passando ai complementari otteniamo: (R \ F 1 ) (R \ F 2 )... (R \ F n ) X F 1 F 2... F n R \ X Perciò la famiglia di chiusi F, che aveva intersezione vuota in X, non può avere la proprietà dell intersezione finita in X. ii) i) Sia A un ricoprimento aperto di X. Allora la famiglia di chiusi F = {R \ A : A A} è una famiglia di chiusi che ha intersezione vuota in X. Infatti: ( F) X = {R \ A : A A} X = (R \ A) X = perché A X. Per la ii), la famiglia F non può avere la proprietà dell intersezione finita in X, e quindi esistono R \ A 1,..., R \ A n con A i A i, tale che: (R \ A 1 ) (R \ A 2 )... (R \ A n ) X =

2 2 Dunque (R \ A 1 ) (R \ A 2 )... (R \ A n ) R \ X. Passando ai complementari si ottiene: A 1 A 2... A n X Dunque {A 1,..., A n } è il sottoricoprimento finito cercato. ii) iii) Ovvio. Nota 2 La prop. 1 sussiste pari pari per un sottoinsieme X di uno spazio topologico Y. Teorema 3 Sia X R. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) X è chiuso e limitato. ii) X è compatto. Dimostrazione. i) ii) Per la iii) della prop. 1 basta dimostrare che ogni famiglia di chiusi con la proprietà dell intersezione finita in X ha intersezione non vuota in X. Sia F una famiglia di chiusi con la proprietà dell intersezione finita in X; vogliamo dimostrare che esiste b tale che b F X per ogni F F. Consideriamo la famiglia di chiusi: G = {F 1 F 2... F n X : F i F, 1 i n, n N} La famiglia G è costituita dalle intersezioni finite degli elementi di F con X. Si osservi che G è una famiglia di chiusi limitati e non vuoti e inoltre G è chiusa per l intersezione finita, cioè se G 1, G 2 G allora G 1 G 2 G. Per ogni F G si ponga b F = max F. Si osservi che se F 1, F 2 G ed F 2 F 1 allora max F 2 max F 1, cioè b F2 b F1. Poiché gli elementi di G sono sottoinsiemi di X, che è limitato, il sottoinsieme {b F : F G} è inferiormente limitato. Sia b = inf{b F : F G}. Vogliamo dimostrare che b G per ogni G G, da cui si ottiene in particolare che b F X F F. Se per assurdo esistesse G 0 G tale che b G 0, poiché G 0 è chiuso (ovvero R \ G 0 è aperto), esisterebbe un intervallo [b δ, b + δ] di centro b e disgiunto da G 0, cioè con: [b δ, b + δ] G 0 = Preso F G si ha b F G0 b F. Ma b F G0 F G 0 G 0. Poiché b b F G0 e [b, b + δ] G 0 = si ottiene b + δ b F G0 b F. Ma allora b + δ b F F G, in contraddizione con la seconda proprietà dell estremo inferiore. ii) i) Consideriamo il ricoprimento aperto di R costituito dalla famiglia di tutti gli intervalli aperti limitati: I = {I : I è un intervallo aperto limitato di R} Poiché X R = I abbiamo che I è un ricoprimento aperto di X. Poiché X è compatto, da I si può estrarre un sottoricoprimento aperto finito, diciamo {I 1,..., I n }. Pertanto X I 1... I n. Poiché una unione finita di insiemi limitati è un insieme limitato, si ottiene che X è limitato. Per vedere che X è chiuso, dimostriamo che R \ X è aperto. Sia c R \ X. Siccome R è di Hausdorff, per ogni x X esistono un intorno aperto V x di c e un intorno aperto U x di x tali che U x V x =. La famiglia U = {U x : x X} è un ricoprimento aperto di X e quindi essa ammette un

3 3 sottoricoprimento finito {U x1,..., U xn : x 1,..., x n X}. Per definizione di sottoricoprimento si ha X U x1... U xn. Posto W = V x1... V xn, l insieme W è intorno aperto di c perché intersezione finita di intorni aperti. Dalle precedenti considerazioni si ottiene: W X W (U x1... U xn ) = (W U x1 )... (W U xn ) (V x1 U x1 )... (V xn U xn ) = Pertanto per ogni c R \ X esiste un intorno aperto W c di c disgiunto da X. Ciò significa che R \ X è unione di aperti, e quindi è aperto. Nel teor. 3, quando in ii) i) abbiamo dimostrato che se X è compatto in R allora X è chiuso, abbiamo usato solo il fatto che R è di Hausdorff. Scriviamo questo fatto in generale nella seguente proposizione. Proposizione 4 Se Y è uno spazio di Hausdorff e X è un sottoinsieme compatto di Y allora X è chiuso. Vale anche una specie di viceversa. Proposizione 5 Se Y è uno spazio compatto e X è un sottoinsieme chiuso allora anche X è compatto. Dimostrazione. Sia A un ricoprimento aperto di X, formato da sottoinsiemi aperti di Y. Siccome Y \ X è aperto, la famiglia di aperti B = A {Y \ X} è un ricoprimento aperto di Y. Poiché Y è compatto, il ricoprimento B ammette un sottoricoprimento finito di Y, diciamo: {A 1,..., A n : A 1,..., A n A} {Y \ X} dove se Y \ X non ci stava lo abbiamo aggiunto. Poiché Y \ X è disgiunto da X, si ottiene che {A 1,..., A n } è la sottofamiglia finita di A che serve per coprire X. Esercizio. Dimostrare che R è compatto, cioè che ogni ricoprimento aperto di R ammette un sottoricoprimento finito. Il seguente corollario si chiama principio di Cantor. Corollario 6 Sia F 1 F 2... F n F n+1... una successione decrescente di chiusi non vuoti di R. Se F 1 è limitato, allora: F n n=1 Dimostrazione. F 1 è compatto e la famiglia F = {F n : n N 1 } ha la proprietà dell intersezione finita in F 1, perché ogni intersezione finita è l elemento di indice massimo. Esercizio. sia limitato. Dimostrare che nel principio di Cantor è essenziale che almeno uno dei chiusi Esercizio. Nelle ipotesi del principio di Cantor si ponga α n = min F n e β n = max F n. Dimostrare che se inf n (β n α n ) = 0, allora F n si riduce a un singoletto. n=1 Esercizio. Dare un esempio di una successione decrescente di aperti non vuoti limitati la cui intersezione sia vuota.

4 4 Teorema 7 (Teorema di Bolzano) Sia X un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff Y e sia E un sottoinsieme infinito di X. Allora esiste un punto p X tale che p è di accumulazione per E. Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo, supponendo che E non abbia punti di accumulazione in X. Allora per ogni x X esiste un intorno aperto U x di x tale che U x E è finito. La famiglia di aperti {U x : x X} è un ricoprimento aperto di X; per la compattezza essa ammette un sottoricoprimento finito di X, diciamo {U x1,..., U xn }.. Allora X U x1... U xn. Poiché E X si ha: E = E X E (U x1... U xn ) = (E U x1 )... (E U xn ) = finito... finito, contraddizione perché E è infinito. Corollario 8 Se E è un sottoinsieme infinito e limitato di R, allora E ammette un punto di accumulazione in R. Dimostrazione. Essendo E limitato, esiste un intervallo compatto [a, b] per cui E [a, b]. Per il teorema (7) E ammette un punto di accumulazione in [a, b]. Esercizio. Dimostrare che ogni sottoinsieme infinito di R ammette un punto di accumulazione in R. Teorema 9 Sia X R. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) X è chiuso e limitato. ii) X è compatto. iii) X è numerabilmente compatto, cioè ogni sottoinsieme infinito di X ammette un punto di accumulazione in X. iv) X è sequenzialmente compatto, cioè ogni successione a valori in X ammette una sottosuccessione convergente a un punto di X. Dimostrazione. i) ii) V. teorema (3). ii) iii) V. teorema (7). iii) iv) Sia (p j ) j 1 una successione di punti di X. Consideriamo l insieme dei valori: E = {p 1, p 2,..., p j,... : j N 1 } Se E è finito, detto m il numero di elementi, si avrà E = {q 1,..., q m }. Poniamo: N 1 = {j 1 : p j = q 1 } N 2 = {j 1 : p j = q 2 }... =... N m = {j 1 : p j = q m } Uno dei sottoinsiemi N 1, N 2,..., N m deve essere infinito, per esempio N 1. Gli indici di N 1 possono essere scritti in successione crescente N 1 = {n 1 < n 2 <... < n j < n j+1 <...}. Poiché p nj = q 1 j, si ottiene che la sottosuccessione costante (p nj ) j 1 converge al punto q 1 X. Se E è infinito, per la iii) esiste un punto c X tale che c è di accumulazione per E.

5 5 Allora la palla chiusa B(c, 1] contiene un punto di E, diciamo p n1. Poiché la palla chiusa di centro c e raggio 1 2 contiene infiniti punti di E, esiste un punto appartenente a (E \ {p j : j n 1 }) B(c, 1 2 ] Chiamiamo p n2 questo punto; per la scelta fatta, deve essere n 2 > n 1. Procedendo per induzione, se siamo arrivati fino all indice k, possiamo scegliere un punto appartenente a: (E \ {p j : j n k }) B(c, 1 k + 1 ] Chiamiamo p nk+1 questo punto; per la scelta fatta deve essere n k+1 > n k. Poiché la successione di indici n k è crescente, la successione (p nk ) k 1 è una sottosuccessione della successione (p j ) j 1. Poiché p nk c 1 k passando al limite si ottiene che la sottosuccessione (p nk ) k 1 converge al punto c X. iv) i) V. [GDM, , necessità] o anche iv) i) nella prossima dimostrazione. Corollario 10 Ogni successione limitata di numeri reali ammette una sottosuccessione convergente. Dimostrazione. Sia E l insieme dei valori della successione. Poiché E è limitato esso è contenuto in un intervallo compatto [a, b]... Il teorema (9) si estende anche agli spazi euclidei R n. Enunciamolo e dimostriamolo per R 2. Teorema 11 (Fondamentale) Sia X R 2. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) X è chiuso e limitato. ii) X è compatto. iii) X è numerabilmente compatto, cioè ogni sottoinsieme infinito di X ammette un punto di accumulazione in X. iv) X è sequenzialmente compatto, cioè ogni successione a valori in X ammette una sottosuccessione convergente a un punto di X. Dimostrazione. i) ii) Siccome X è limitato, esso è contenuto in una palla quadrata chiusa Y = [a, b] [a, b]. Poiché l invervallo chiuso e limitato [a, b] è compatto, per il teorema di Tychonoff si ha che Y è compatto perché prodotto di compatti. Poiché X è chiuso in R 2, si ha che X è chiuso in Y. Essendo Y compatto, per la prop. (5) si ottiene che X è compatto perché sottoinsieme chiuso di un compatto. ii) iii) V. teorema (7). iii) iv) È una carbon copy di iii) iv) nel teor. (9); l unica differenza è che in R le palle sono intervalli e in R 2 le palle sono dischi. iv) i) Sia p X. Esiste allora una successione di punti di X convergente a p. Per la compattezza sequenziale questa successione ammette una sottosuccessione convergente a un punto q X. Poiché ogni sottosuccessione di una successione convergente ha lo stesso limite, si ottiene p = q X e dunque X = X. Se X non fosse limitato, per ogni j N esisterebbe p j X tale che p j > j. Ma allora la successione (p j ) j N non potrebbe avere sottosuccessioni limitate, e quindi nemmeno sottosuccessioni convergenti, contraddizione. Corollario 12 Ogni successione limitata di punti del piano R 2 ammette una sottosuccessione convergente. Ogni sottoinsieme infinito e limitato di punti di R 2 ammette un punto di accumulazione.

6 6 Dimostrazione. Sia E l insieme dei valori della successione, oppure il sottoinsieme infinito e limitato. Poiché E è limitato, esso è contenuto in una palla quadrata chiusa Y = [a, b] [a, b]. Essendo Y compatto, esso è anche sequenzialmente compatto e numerabilmente compatto... Teorema 13 Sia X uno spazio metrico. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) X è compatto. ii) X è numerabilmente compatto. iii) X è sequenzialmente compatto. Dimostrazione. i) ii) È il teorema di Bolzano (7). ii) iii) È una carbon copy di iii) iv) del teorema (9), con l unica differenza che qui abbiamo palle di un generico spazio metrico. iii) i) Difficile, omesso. Il seguente teorema si chiama teorema di ricoprimento di Lebesgue. Teorema 14 Ogni ricoprimento aperto A di uno spazio metrico compatto (X, d) ammette un numero di Lebesgue, cioè un numero δ > 0 tale che ogni sottoinsieme di diametro minore di δ è contenuto in qualche elemento di A. Dimostrazione. Per ogni x X esiste un numero δ x > 0 tale che la palla B(x, δ x [ è contenuta in qualche elemento di A. Siccome X è compatto, il ricoprimento aperto {B(x, 1 2 δ x[: x X} ammette un sottoricoprimento finito, cioè esiste un insieme finito {x 1,..., x k } X tale che: X = B(x 1, 1 2 δ x 1 [... B(x k, 1 2 δ x k [ Allora δ = min{ 1 2 δ x 1,..., 1 2 δ x k } è il numero di Lebesgue cercato. Infatti supponiamo diam E < δ. Fissato p E, esiste x j tale che p B(x j, 1 2 δ x j [, cioè d(p, x j ) < 1 2 δ x j. Allora per ogni y E si ha: d(y, x j ) d(y, p) + d(p, x j ) < δ δ x j δ x j Pertanto E è contenuto nella palla B(x j, δ xj [, che è contenuta in qualche elemento di A. Definizione 15 Siano (X, d), (Y, ρ) spazi metrici. Una funzione f : X Y si dice uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che ogni qualvolta d(x 1, x 2 ) < δ si ha ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) < ε. Corollario 16 Siano (X, d), (Y, ρ) spazi metrici. Se X è compatto, allora ogni funzione continua f : X Y è uniformemente continua. Dimostrazione. Fissiamo ε > 0. Per ogni x X esiste un intorno aperto U x di x tale che per ogni z U x si ha ρ(f(z), f(x)) < 1 2 ε. Di conseguenza per ogni x 1, x 2 U x si ha ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) < ε. Sia δ > 0 un numero di Lebesgue per il ricoprimento aperto {U x : x X}. Consegue che se d(x 1, x 2 ) < δ, allora {x 1, x 2 } è contenuto in qualche elemento U x e quindi ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) < ε. Esercizio. Dimostrare che ogni funzione lipschitziana è uniformemente continua. Dare un esempio di una funzione uniformemente continua che non sia Lipschitziana.