FUNZIONI CONTINUE E SEMICONTINUE

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1 Capitolo 5 FUNZIONI CONTINUE E SEMICONTINUE 5. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIET Siano E ed F due spazi metrici con metriche d e δ; sia f una applicazione di E in F. Definizione 5... Si dice che f è continua nel punto x E se ε > 0 esiste un η > 0 tale che x e dx, x ) η = δfx), fx )) ε. 5.) Ciò è equivalente a dire che f è continua in x se per ogni sfera Ifx ), ε) in F esiste una sfera Ix, η) in E tale che x Ix, ε) = fx) Ifx ), ε) 5.2) oppure: per ogni intorno U di fx ) in F, esiste un intorno V di x in E tale che x V = fx) U. 5.3) La prima definizione di continuità fa intervenire essenzialmente la metrica, la terza definizione invece fa intervenire soltanto la nozione di intorno e mostra come la continuità sia una proprietà topologica. Se l applicazione f non è continua in x si dice che f è discontinua in x. Se f è continua in ogni punto di E dice che f è continua in E. Si dimostrano facilmente le seguenti proposizioni: I) f è continua nel punto x E se e solo se ogni intorno U di fx ) ha come immagine inversa f U) un intorno di x. II) f è continua in E se e solo se ogni aperto F ha come immagine inversa f ) un aperto di E. Dimostrazione di I) Supponiamo f continua in x allora per ogni intorno U di fx ) esiste un intorno V di x tale che fv ) U. Quindi f U) V e pertanto f U) è intorno di x. Il viceversa è ovvio. Dimostrazione di II) Sia un aperto di F e sia f continua in. Consideriamo f ); dire che questo insieme è aperto equivale a dire che se fx) esiste una sfera Ix, ε) tale che fix, ε)). Poiché è aperto e quindi intorno di fx), per definizione di continuità in x, esiste una sfera Ix, ε) tale che fix, ε). Viceversa, supponiamo che aperto di F = f ) aperto di E. 99

2 00 CPITOLO 5. CONTINUITÀ Fissiamo un punto x in E e una sfera Ifx ), ε) aperta. La immagine inversa f Ifx ), ε)) sarà un aperto che contiene x e quindi un intorno di x. Quindi f è continua in x. Potrà succedere che f non sia definita su tutto E ma soltanto su un sottoinsieme E. Poiché un sottoinsieme di E è uno spazio metrico con la distanza indotta da E, le definizioni precedenti restano valide pur di sostituire gli intorni di x in E con gli intorni di x in. In concreto: una funzione f : F è continua in x se per ogni intorno U di fx ) in F esiste un intorno V di x in E tale che x V = fx) U. 5.4) Un punto x può essere un punto isolato di oppure un punto di accumulazione per. Nel primo caso ogni funzione f : F è continua in x perché è possibile scegliere un intorno V di x tale che V = {x } e quindi fv ) = {fx )} U per ogni intorno U di fx ). Se invece x è un punto di accumulazione per, confrontando la definizione di continuità in x con la definizione di ite per x x, si constata facilmente che i) f è continua in x se e solo se x x fx) = fx ). ii) f converge per x che tende a x e ha per ite L se e solo se la funzione f fx) per x {x } fx) = L per x = x è continua nel punto x. Siano E, F, G tre spazi metrici, sia f una applicazione di E in F e g una applicazione di F in G. Teorema Se f è continua nel punto x E e g è continua nel punto y = fx ) F allora h = g f è continua nel punto x. Dimostrazione Sia U un intorno di gy ) in G; poiché g è continua in y, esiste un intorno W di y in F tale che y W = gy) U. 5.5) D altra parte f è continua in x e quindi esiste un intorno V di x in E tale che Da 5.5) e 5.6) segue che Quindi h = g f è continua in x. x V = fx) W. 5.6) x V = gfx)) U. Corollario Se f è continua in E e g è continua in F allora l applicazione composta h = g f è continua in E. * * * Consideriamo il caso particolare in cui E = F = R, cioè il caso in cui f è una funzione reale di una variabile reale. Supponiamo che f sia definita su un insieme R e che x. In accordo con la definizione data precedentemente, f è continua nel punto x se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che x e x x < δ = fx) fx ) < ε. 5.7) Se x è un punto di accumulazione per, f è continua in x se e solo se fx) = x x fx ). Questa osservazione è importante perché permette di dedurre molte proprietà delle funzioni reali continue dai teoremi relativi alle funzioni reali convergenti che abbiamo dimostrato a suo tempo. Per esemplificare elenchiamone alcune:

3 5.. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIET 0 Teorema Se la funzione f : R è continua nel punto x e se fx ) 0, esiste un intorno V di x tale che segno di fx) = segno di fx ) x V. 5.8) Teorema Se f e g sono funzioni reali definite in e continue nel punto x allora f + g, f g, λ f con λ R sono funzioni continue in x. Se è g 0 in anche f g è continua in x. Teorema Se f : R è continua in x anche f è continua in x. Teorema Se f e g sono funzioni reali definite in e continue in x anche sono continue in x. f g e f g Teorema Se f : R è continua in x e se B è sottoinsieme di il quale contiene x allora f B è continua in x. Teorema Se f : R è continua in x, f è itata in un intorno di x. I teoremi 5..5 e 5..7 assicurano che il sottoinsieme di R costituito dalle funzioni continue nel punto x è una sottoalgebra di R e un reticolo. Esempi: I) La funzione f : R R, fx) = x è continua in ogni punto di R. Infatti x R = x x x. II) Una funzione costante è continua, quindi è continua anche la funzione f : R R, fx) = 3 x Infatti x x è continua quindi x x 2 = x x è continua, quindi x 3 x 2 è continua, quindi x 3 x è continua. Più in generale sono funzioni continue su R i polinomi in x. III) Le funzioni f, g, h definite in [, ] nel seguente modo se x 0 se x 0 fx) = gx) = 0 se x = 0 se x < 0 sono tutte e tre discontinue nel punto x = 0. hx) = x se x 0 0 se x = 0 h f g 0 0 0

4 02 CPITOLO 5. CONTINUITÀ IV) Le funzioni x sen x e x cos x, definite su R, sono continue in ogni punto di R Infatti si ha la maggiorazione Quindi, se x è un punto fissato di R, risulta sen x sen x = 2 x + x cos 2 cos x cos x = 2 x + x sen 2 Ne segue che 0 sen x x sen x x 2 sen x x 2 x x sen x sen x ) = 0 x x cos x cos x ) = 0 2 x x 2 = x x 2 x x 2 = x x Definizione Una funzione reale f definita su un insieme R si dice semicontinua superiormente inferiormente) nel punto x se ε > 0 esiste un intorno V di x tale che x V fx) < fx ) + ε [fx) > fx ) ε]. 5.9) Si dice che f è semicontinua superiormente inferiormente) in se è semicontinua superiormente inferiormente) in ogni punto di. Riferendoci all esempio III, la funzione f è semicontinua inferiormente nel punto 0, la funzione g è semicontinua superiormente nel punto 0, la funzione h non è né semicontinua superiormente né semicontinua inferiormente nel punto 0. ppare quindi chiaro che una funzione discontinua in un punto x non è necessariamente semicontinua. E altresì evidente che f : R è continua nel punto x se e solo se f è semicontinua tanto superiormente che inferiormente in x. Si dimostrano facilmente le seguenti proposizioni nelle quali si suppone che x sia di accumulazione per : I) f è semicontinua superiormente in x se e solo se x x fx) fx ) II) f è semicontinua inferiormente in x se e solo se x x fx) fx ). 5.2 TEOREMI SULLE FUNZIONI RELI CONTINUE E SEMICONTINUE Un insieme della retta reale si chiama connesso se a, b = [a, b]. 5.0) In altri termini, se contiene i punti a e b allora contiene tutto l intervallo chiuso [a, b]. Gli insiemi connessi della retta reale sono oltre a R) gli intervalli e le semirette. Indichiamo con C ) l insieme delle funzioni reali definite in e continue in. C ) è uno spazio vettoriale reale, un algebra e un reticolo. Teorema Se è un sottoinsieme connesso di R e f C ) l immagine f) è connessa.

5 5.2. TEOREMI SULLE FUNZIONI RELI CONTINUE E SEMICONTINUE 03 Dimostrazione Siano h e k due elementi di f), per fissare le idee h < k; dobbiamo dimostrare che h < λ < k = λ f). 5.) Esistono due elementi a e b appartenenti ad tali che h = fa) e k = fb). Supponiamo a < b. Poiché è connesso, l intervallo chiuso [a, b] è contenuto in. Poniamo L insieme E non è vuoto perché a E. Sia E = {x : x [a, b], fx) < λ}. x = sup E. 5.2) Evidentemente x [a, b] quindi f è definita e continua in x. ffermiamo che fx ) = λ. 5.3) Se fosse fx ) < λ allora sarebbe x < b e, per la continuità di f in x, esisterebbe un intervallo [x, x + δ] [a, b], con δ > 0, tale che fx) < λ x [x, x + δ]. Ciò è assurdo perché contraddice la 5.2). nalogamente, se fosse fx) > λ, sarebbe x > a e, per la continuità di f in x, esisterebbe un intervallo [x δ, x ] [a, b], con δ > 0, tale che fx) > λ x [x δ, x ]. nche questo è assurdo perché contraddice la 5.2). Quindi 5.3) è vera. Dal teorema ora dimostrato si deducono alcuni semplici corollari: Corollario Sia f una funzione reale definita e continua sull intervallo [a, b]. Se fa) fb) < 0 5.4) esiste almeno un x a, b) tale che 2 fx) = 0. Infatti l ipotesi 5.4) equivale a dire che f assume valori di segno opposto in a e b. Supponiamo ad esempio fa) < 0 < fb). Per il teorema 5.2. è [fa), fb)] f[a, b]) e quindi 0 f[a, b]). Corollario Sia connesso, f C ), inf f < 0 e sup f > 0. 3 x in cui fx) = 0. Esiste almeno un punto Infatti, per definizione di estremo superiore e inferiore, esistono due punti x e x 2 tali che fx ) < 0 < fx 2 ). Poiché è connesso, l intervallo di estremi x e x 2 appartiene ad e siamo ricondotti alla situazione del corollario Corollario Sia connesso e f C ). llora Perché x è aderente ad [a, b] e questo intervallo è chiuso. 2 fa) fb) < 0 = 0 f[a, b]). 3 In particolare potrebbe essere inf inf f < λ < sup f = λ f). 5.5) f = e sup f = +.

6 04 CPITOLO 5. CONTINUITÀ In altri termini f assume tutti i valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore in. Infatti devono esistere almeno due punti x e x 2 di tali che Poiché è connesso, f) è connesso e quindi In particolare λ f). inf f fx ) < λ < fx 2 ) sup f. [fx ), fx 2 )] f). Teorema Se è un sottoinsieme compatto di R e f C ) allora f) è compatto. Dimostrazione Sia n y n una successione reale a valori in f). Dobbiamo dimostrare che da questa successione se ne può estrarre una convergente a un elemento di f) cfr. paragrafo 2, cap. IV). Esiste una successione {x n } in tale che fx n ) = y n n N è compatto, quindi da {x n } si può estrarre una successione {x n} convergente a un elemento x di x n = x. questo punto interviene l ipotesi che f sia continua in in particolare in x ) per cui fx n) = fx ) f). Il teorema è dimostrato in quanto {fx n)} è una successione estratta da {y n }. Teorema di Weierstrass) Se è un sottoinsieme compatto di R e f C ) allora f assume in un valore massimo e un valore minimo. 4 Dimostrazione Dal teorema sappiamo che f) è compatto e quindi è itato e chiuso. llora < inf f sup f < +. D altra parte inf f e inf f sono punti aderenti a f) e quindi appartengono a f) in quanto f) è chiuso. Il teorema di Weierstrass costituisce una proprietà molto importante delle funzioni continue. E facile vedere con esempi che se si toglie l ipotesi che sia compatto il teorema può non essere vero. 5 Si considerino ad esempio queste due funzioni ) f : x tang x definita e continua sull intervallo itato ma aperto π 2, π ). 2 2) g : x x definita e continua sull insieme chiuso, ma non itato, [0, + ). 0 f g 0 4 Ciò significa che esistono almeno due punti x, y tali che fx ) = sup f, fy ) = inf f 5 Ciò significa che si possono trovare funzioni continue per le quali il teorema è ancora vero e funzioni continue per le quali il teorema non è vero.

7 5.2. TEOREMI SULLE FUNZIONI RELI CONTINUE E SEMICONTINUE 05 La prima funzione non ha né massimo né minimo, la seconda ha minimo ma non ha massimo. Per le funzioni semicontinue si può dimostrare un teorema di Weierstrass in una forma più debole. Teorema Se è un sottoinsieme compatto di R e f è una funzione reale semicontinua superiormente in allora sup f f) ) Dimostrazione Sia L = sup f. L R e L è un punto aderente a f) nella topologia di R). Quindi esiste una successione n y n a valori in f) tale che y n = L. 5.7) Sia {x n } una successione in scelta in modo che fx n ) = y n per ogni n N. è compatto quindi da {x n } si può estrarre una sucessione {x n} la quale converge a un elemento x x n = x {fx n)} è una successione estratta da {y n } e quindi per 5.7) fx n) = L. 5.8) La funzione f è semicontinua superiormente in x quindi, fissato ε > 0, esiste un intorno U di x tale che fx) < fx ) + ε x U. Poiché gli x n appartengono, definitivamente, ad U risulta definitivamente fx n) < fx ) + ε. 5.9) Da 5.8) e 5.9) segue che Per l arbitrarietà di ε fx ) L fx ) + ε. L = fx ). Ragionando in modo del tutto analogo si dimostra che Teorema Se è compatto e f : R è semicontinua inferiormente in allora inf f. 5.20) E facile provare con esempi che una funzione semicontinua superiormente inferiormente) su un compatto può non avere minimo massimo) in. Si considerino ad esempio queste due funzioni: 0 f : [0, ] R, fx) = x se x 0 0 se x = 0 f 6 In altre parole, f è itata superiormente ed ha un valore massimo in.

8 06 CPITOLO 5. CONTINUITÀ g : [0, ] R, gx) = x se x 0 0 se x = 0 g L intervallo [0, ] è un compatto; f è semicontinua superiormente e ha massimo 0 ma non ha minimo; g è semicontinua inferiormente e ha minimo 0 ma non ha massimo FUNZIONI INVERTIBILI CON INVERS CONTI- NU Siano e B due sottoinsiemi di R e sia f una funzione biunivoca di su B. In questa ipotesi f è invertibile. La funzione f è biunivoca e applica B su. Il problema che ci poniamo è questo: f continua su = f continua su B? 5.2) Dimostreremo che la risposta è affermativa in questi due casi: connesso compatto. E facile costruire esempi di funzioni, definite su un insieme non connesso e non compatto, le quali sono continue su e invertibili ma l inversa non è continua su B = f). Consideriamo l insieme = [0, ] 2, 3] che non è connesso e non è compatto e consideriamo la funzione f : [0, 2] definita in questo modo fx) = x se x [0, ] x se x 2, 3] f è continua su, è invertibile, ma la funzione inversa f : [0, 2] non è continua nel punto. Nel seguito,, B,..., sono sempre sottoinsiemi di R. Lemma Sia f : B una funzione continua e bigettiva. Se è connesso f è monotona in senso stretto. Dimostrazione Se f non è monotona in senso stretto esistono tre punti x, x 2, x 3, x < x 2 < x 3, tali che fx ) fx 2 ), fx 2 ) fx 3 ) 5.22) oppure fx ) fx 2 ), fx 2 ) fx 3 ). 5.23) Supponiamo che valga 5.22). Non può essere fx ) = fx 2 ) né fx 2 ) = fx 3 ) in quanto f è iniettiva, quindi la situazione è questa fx ) < fx 2 ), fx 3 ) < fx 2 ).

9 5.3. FUNZIONI INVERTIBILI CON INVERS CONTINU 07 Poiché è connesso, [x, x 2 ] e [x 2, x 3 ] ; inoltre f assume in [x, x 2 ] tutti i valori compresi tra fx ) e fx 2 ) ed f assume in [x 2, x 3 ] tutti i valori compresi tra fx 2 ) e fx 3 ). Poniamo M = max{fx ), fx 3 )}. Se λ è un numero reale che verifica la relazione M < λ < fx 2 ) deve esistere un elemento ξ x, x 2 ) tale che fξ) = λ e deve esistere un elemento η x 2, x 3 ) tale che fη) = λ. Ma ciò è assurdo perché f non sarebbe invertibile. In modo analogo si dimostra che è assurda la situazione 5.23). Lemma Se f : B è invertibile e crescente decrescente) anche f crescente decrescente). : B è La dimostrazione è evidente e si lascia al lettore. E ormai facile dimostrare il seguente Teorema Se è connesso e f : B è continua e invertibile anche f continua. : B è Dimostrazione f è monotona in senso stretto. Supponiamo che sia crescente. Sia y = fx ) un punto di B; poiché B è connesso teor. 5.2.) si ha una di queste possibilità y è interno a B 5.24) y y y B 5.25) y y y B. 5.26) Supponiamo che y sia interno a B. Dai teoremi relativi al ite di funzioni monotone, si deduce che y y f y) f y ) y y+ f y). ffermiamo che in questa relazione, anziché, vale il segno =. Con ciò la tesi è dimostrata. Supponiamo, per assurdo, che sia f y) = λ < f y ) = x. y y llora l intervallo λ, x ) non appartiene ad. 7 D altra parte, scelto un y < y, si ha x = f y ) < λ < x e quindi, poiché è connesso, [x, x ] deve appartenere ad. Similmente se, per assurdo, x = f y ) < λ = y y f y) l intervallo x, λ) non appartiene ad 8 ; d altra parte, scelto y > y si ha x = f y ) > λ > x e quindi, poiché è connesso, [x, x ] deve appartenere ad. In modo analogo anzi più semplice) si ragiona se valgono le 5.25) e 5.26) e in modo analogo si ragiona se f è decrescente anziché crescente. 7 y y = x = f y) λ y y = x = f y) λ. 8 y y = x = f y) f y ) = x y y = x = f y) λ.

10 08 CPITOLO 5. CONTINUITÀ Esempio In virtù del teorema precedente sono continue le funzioni cfr. cap.iv, paragrafo, es. 4): [ x arcsen x, [, ] π 2, π ] 2 x arccos x, [, ] [0, π] x arctang x, R π 2, π ) 2 Teorema Se è compatto e f : B è continua e invertibile anche f continua. : B è Dimostrazione Sia y un punto di B. Se y è un punto isolato di B non c è nulla da dimostrare, se invece y è un punto di accumulazione per B proviamo che f y) = f y ). y y Per far questo utilizziamo il teorema del cap. IV. Sia {y n } una successione reale a valori in B {y } la quale converge a y y n = y. 5.27) Poniamo Si deve dimostrare che x n = f y n ), x = f y ), x n = x. 5.28) Ragioniamo per assurdo; supponiamo che 5.28) non sia vera, allora esiste un intorno V di x tale che, ν N, esiste almeno un n > ν per cui x n V. Quindi da {x n } si può estrarre una successione {x n} tale che x n V n N. 5.29) Poiché è compatto possiamo supporre che {x n} converga a un punto x. 9 Per 5.29) risulta x x. Tenuto conto che f è continua in x si ha fx n) = fx ) = y 5.30) D altra parte {y n} = {fx n)} è una successione estratta da {y n } e quindi per l ipotesi 5.27) Da 5.30) e 5.3) segue che Ma ciò è assurdo perché x x e f è iniettiva. fx n) = y. 5.3) y = y. 5.4 FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE Sia un sottoinsieme di R e f : R una funzione continue in. Per ogni ε > 0 e per ogni x esiste un numero δx, ε) > 0 tale che y e y x < δx, ε) = fy) fx) < ε. 5.32) Fissato ε > 0, la funzione δx, ε) non è univocamente determinata in quanto se δ rende vera la proposizione 5.32) per ogni δ che verifichi la relazione 0 < δ < δ la proposizione 5.32) è ancora vera. 9 Se {x n} non converge si può estrarre una sottosuccessione {x n } la quale converge e allora si ragiona su quest ultima successione.

11 5.4. FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE 09 Il quesito che ci poniamo è questo: ε > 0 è possibile scegliere la funzione positiva x δx, ε) in modo che essa sia costante su? In altre parole: ε > 0 esiste almeno una funzione positiva x δx, ε) che rende vera la proposizione 5.32) ed è tale che inf δx, ε) > 0? 5.33) Si vede facilmente con esempi che per certe funzioni la cosa è possibile e per altre non è possibile. Si consideri la funzione f : R R, fx) = x; f è continua su R inoltre ε > 0 e x R y x < ε = fx) fy) = x y < ε. Quindi, per ogni ε > 0, si può scegliere la funzione x δx, ε) = ε costante. Si consideri invece la funzione g : R R, gx) = x 2. nche questa funzione è continua su R; fissato ε > 0 supponiamo che esista un δε) > 0 tale che x R Posto x y = h, si avrebbe Ciò è assurdo perché x y < δε) = x y x + y < ε. h < 0δε) = h h + 2 x < ε x R. h h + 2 x = +. x + Definizione Una funzione reale f : R si dice uniformemente continua in se ε > 0 esiste un δε) > 0 tale che per ogni coppia di punti x, y che verificano la relazione x y < δε) risulta fx) fy) < ε. In simboli x, y e x y < δε) = fx) fy) < ε. 5.34) Una funzione uniformemente continua su è anche continua su mentre il viceversa non è vero come si può dedurre dall esempio dato pocanzi. Si possono dare delle condizioni sufficienti a garantire la uniforme continuità. Una funzione f : R si dice hölderiana di ordine α > 0 in se esiste una costante positiva M tale che fx) fy) M x y α x, y. 5.35) Se f è hölderiana in allora f è uniformemente continua in. La dimostrazione è immediata: ε > 0 scegliamo ε ) α δε) =, M ne viene che x, y e x y < δε) = fx) fy) M x y α M δ α ε) = ε. ssai importante è il seguente teorema di Heine: Teorema Se è un insieme compatto, ogni funzione f : R continua in è anche uniformemente continua. Dimostrazione Ragioniamo per assurdo. Supponiamo che f non sia uniformemente continua in ; allora esiste un ε > 0 tale che, comunque si scelga δ > 0, si può trovare una coppia di punti x, y per cui x y < δ e fx) fy) > ε. In particolare, scelto δ = n, esiste per ogni n N una coppia di punti x n, y n tali che x n y n < n e fx n ) fy n ) > ε. 5.36)

12 0 CPITOLO 5. CONTINUITÀ Poiché è compatto dalla successione {x n } si può estrarre una successione {x nk } la quale converge a un elemento x La condizione k x n k = x. 5.37) x nk y nk < n k k N assicura che anche {y nk } converge a x quando k + 0 Da 5.37) e 5.38) e dalla continuità di f in x segue che e questo è incompatibile con il fatto che Esempi. k y n k = x. 5.38) fx n k ) fy nk ) = 0 k fx nk ) fy nk ) > ε I) La funzione x fx) = definita per x 0, ] è continua ma non uniformemente continua. x 0 II) La funzione x sen 2 x, x [ π, π], è uniformemente continua perché è continua e [ π, π] è un insieme compatto. π π 0 Si osservi che n k + per k +.

13 5.4. FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE III) La funzione x fx) = x 2 definita per x, ) è uniformemente continua nonostante che, ) non sia compatto. Le funzioni uniformemente continue hanno questa interessante proprietà di prolungabilità. Teorema Sia f : R una funzione uniformemente continua in. Esiste una e una sola funzione f, definita su, la quale è uniformemente continua ed è un prolungamento di f. Dimostrazione Sia x un punto di ; esiste una successione {x n } a valori in tale che x n = x. ffermiamo che la successione {fx n )} è una successione di Cauchy. Infatti, fissato ε > 0 esiste un δε) > 0 tale che x, y e x y < δε) = fx) fy) < ε. 5.39) D altra parte, in corrispondenza di δε), esiste un ν N tale che x n x m < δε) n, m > ν. Conclusione: per ogni ε > 0 esiste ν N tale che fx n ) fx m ) < ε n, m > ν. Ne segue che la successione reale {fx n )} è una successione di Cauchy e quindi è convergente. Poniamo f x ) = fx n). 5.40) Osserviamo che se {y n } è un altra successione a valori in la quale converge a x allora fy n) = fx n) = f x ). Infatti {x n y n } è infinitesima e quindi esiste un N tale che Da 5.40) e 5.4) segue che x n y n < δε) n > ν 5.4) fx n ) fy n ) < ε n > ν quindi {fx n ) fy n )} è una successione infinitesima. Il numero f x ), definito come in 5.40), non dipende quindi dalla scelta della particolare successione {x n } convergente a x. Se x tra tutte le successioni {x n } che convergono a x c è in particolare la successione costante n x, n N, e quindi x = f x ) = fx ). Ciò significa che f = f.

14 2 CPITOLO 5. CONTINUITÀ bbiamo così definito in una funzione f la quale prolunga f. Si tratta di far vedere che f è uniformemente continua in. Per ogni ε > 0 esiste un δε) > 0 tale che x, y e x y < δε) = f x) f y) = fx) fy) < ε 5.42) Se, più in generale, x, y è una coppia di elementi di che verifica la condizione x y < δε) consideriamo due successioni {x n } e {y n }, a valori in, convergenti rispettivamente a x e a y; {x n y n } converge a x y e poiché x y < δε) esiste un ν N tale che x n y n < n > ν. Quindi, per 5.42), Ne segue che x, y e x y < δε) = fx n ) fy n ) < ε nν. x, y e x y < δε) = fx n) fy n ) = f x) f y) ε. Quindi f è uniformemente continua in. f è l unico prolungamento continuo di f: supponiamo che f sia un altro prolungamento continuo di f. Sia x un punto di e {x n } una successione a valori in la quale converge a x. llora f x n ) = f x n ) = fx n ), n N e quindi f x ) = f x n ) = f x n ) = f x ). Corollario Se è itato e f : R è uniformemente continua allora f) è itato. 2 Dimostrazione Indichiamo con f il prolungamento continuo di f ad che è compatto; quindi f ) è itato. Ne segue che anche f) è itato perché fa) f ). Si osservi che il corollario non è più vero se f è solo continua cfr. es. I). 5.5 FUNZIONI ESPONENZILI E FUNZIONI LOGRIT- MICHE Indichiamo con R + l insieme dei numeri reali positivi R + = {x ; x R, x > 0}. Teorema Per ogni numero reale a > 0 e diverso da, esiste una e una sola funzione f : R R + continua e strettamente monotona tale che fx + y) = fx) fy) x, y R 5.43) f) = a. 5.44) La funzione f, la cui esistenza è provata dal teorema 5.5. si chiama funzione esponenziale di base a e si indica con il simbolo x a x. Noi proveremo che x a x è crescente se a > e decrescente se 0 < a <. 2 Cioè f è itata in.

15 5.5. FUNZIONI ESPONENZILI E FUNZIONI LOGRITMICHE 3 y = a x y = a x a > < a < Quindi la funzione x a x è invertibile e la sua inversa è continua per il teorema Questa funzione inversa si chiama logaritmo di base a e si indica con il simbolo 3 x log a x. nche il logaritmo è crescente se a > ed è decrescente se 0 < a <. Inoltre da 5.43) e 5.44) segue che log a x y = log a x + log a y x, y R ) log a a =. 5.46) y = log a x y = log a x 0 0 a > 0 < a < Ricordiamo che la potenza a n, n Z, viene definita questo modo Inoltre p Z e q intero positivo si pone dove q a 0 = a n = a a n se n > 0 a n = a n se n < 0. è la radice aritmetica q-esima. a p q = q a p Lemma Una funzione f : R R la quale verifica le condizioni 5.43) e 5.44) è necessariamente positiva. Infatti, per 5.43), se f si annulla in un punto x R, f si annulla identicamente su R. Poiché questo non può essere a causa di 5.44), concludiamo che è D altra parte Quindi fx) 0 x R. x fx) = f 2 + x ) = 2 [ x )] 2 f. 2 fx) > 0, x R. 3 Scriveremo più semplicemente log x in luogo di log e x.

16 4 CPITOLO 5. CONTINUITÀ Lemma Se f : R R verifica le condizioni 5.43) e 5.44) allora Infatti, fissato x R, si ha f0) = e f x) = fx), x R. 5.47) fx) = f0 + x) = f0)fx). 5.48) Poiché fx) 0, da 5.48) segue che f0) =. Di conseguenza, x R e quindi f x) = fx). Lemma Se a è un numero reale positivo fx) f x) = fx x) = f0) = Supponiamo a. Si ha, definitivamente, la doppia maggiorazione e quindi Poiché dalla 5.50) segue la 5.49). a n =. 5.49) a n a n n n. 5.50) n n = Se invece 0 < a < ci si riconduce al caso precedente osservando che a > e a n = a) n per cui a n = a ) n =. L insieme dei numeri razionali Q si può identificare con il sottoinsieme di R costituito dai numeri x che hanno questa proprietà: esiste un intero p e un intero positivo q tali che x = p : q = p q. 5.5) Ovviamente la coppia di interi p, q) per cui vale la 5.5) non è unica. Se x Q e p, q) è una coppia di interi q > 0) tale che x = p, si pone q Poiché a x = a p q. p q = p q p q = q p = a p q p = a q, la potenza a x è ben definita. La funzione x a x, x Q, verifica le condizioni 5.43) e 5.44); inoltre è crescente se a > ed è decrescente se 0 < a <. Questa funzione è anche continua su Q. Per dimostrare ciò basta far vedere che, x Q, x x + a x = x x a x = a x.

17 5.5. FUNZIONI ESPONENZILI E FUNZIONI LOGRITMICHE 5 Questi iti destro e sinistro esistono perché x a x è monotona; per calcolare il valore di questi iti basta calcolare i iti Tenuto conto del lemma 5.5.4, si ha che + ax n e ax n ax + n = a x a n ax n = a x a n = a x = a x. Viceversa, se f : R R è una funzione continua la quale verifica le condizioni 5.43) e 5.44) necessariamente la restrizione f Q coincide con la funzione x ax, x Q. Incominciamo col far vedere che se x è reale e p Z allora Infatti, se p > 0, da 5.43) segue che fp x) = [fx)] p. 5.52) fp x) = fx + x x) = [fx)] p. Se p = 0, per il lemma 5.5.3, Se p < 0, per il lemma 5.5.3, f0) = = [fx)] 0. fp x) = Inoltre se q è un intero positivo si ha [ f e quindi f p) x = fx) = p) fx)p. )] q = f q Da 5.52) e 5.53) segue che p Z e q intero positivo f f ) [ p = f q ) q = a q ) = a q. 5.53) q )] p [ ] p = a p q = a q q Da questa osservazione e dal fatto che Q è denso in R segue che se esiste una funzione continua f : R R la quale verifica le condizioni 5.43) e 5.44) allora f è necessariamente unica. Per dimostrare che f esiste, dopo quanto si è detto sopra, basta far vedere che la funzione x a x, x Q, ha un prolungamento continuo f : R R. Incominciamo col dimostrare che, n N,la funzione x a x, x Q, è uniformemente continua sull intervallo [ n, n] Q. Supponiamo a >. Per la continuità di x a x, x Q, risulta Quindi, fissato ε > 0, esiste un δε) > 0 tale che x 0 ax = a 0 =. x Q [ n, n], x < δε) = a x < εa n.e che c entra a n? Ne segue che, per ogni coppia di numeri razionali x, x 2 x > x 2 ) appartenenti all intervallo [ n, n], x x 2 < δε) = a x a x2 = a x2 a x x 2 ε < an a n = ε.

18 6 CPITOLO 5. CONTINUITÀ Se 0 < a < si ragiona in modo del tutto analogo: per ogni ε > 0 si sceglie δε) in modo che x Q [ n, n], x < δε) = a x < εa n. Provato questo fatto non resta che utilizzare il teorema 5.4.3: n N, la funzione x a x, x [ n, n] Q, si prolunga in uno e in un sol modo mediante una funzione f n uniformemente continua su [ n, n] Q = [ n, n]. 4 Dall unicità del prolungamento segue che se m, n N e m > n allora f m x) = f n x), x [ n, n]. Poiché n [ n, n] = R, mediante il procedimento di prolungamento ora descritto, resta definita una funzione continua f : R R tale che fx) = a x, x Q cioè resta definito un prolungamento continuo a tutto R della funzione x a x, x Q. Questa funzione f è monotona come x a x, x Q, e verifica le condizioni 5.43) e 5.44). Ne segue, per il lemma 5.5.2, che f applica R in R +. Osservazione Se a = l unica funzione f : R R +, continua, la quale verifica le condizioni 5.43) e 5.44) è la funzione che vale costantemente fx) =, x R. Infatti, ripetendo i ragionamenti precedenti, la funzione f deve valere x = per ogni x razionale e quindi ha valore su tutto R. Questa funzione non è invertibie, pertanto non esiste la funzione logaritmica di base. Osservazione 2 Se a è positivo, per ogni x, y R risulta [a x ] y = a x y. 5.54) Questa relazione è banale se a = oppure se x = 0. Supponiamo a e x 0. In tal caso è a x > 0 e diverso da. Fissato x consideriamo le funzioni di y y fy) = [a x ] y, y a x y f e g sono funzioni R R + continue e strettamente monotone inoltre y, y 2 R quindi, per il teorema 5.5., f = g. fy + y 2 ) = fy ) fy 2 ) f) = a x Esercizio Se a >, allora x + ax = + e e x ax = +. x ax = 0. Se 0 < a < allora x + ax = 0 I iti sopra scritti esistono per la monotonia della funzione x a x ; per calcolarli basta calcolare il ite delle successioni {a n } e {a n } in quanto {n} è una successione reale che tende a + e { n} è una successione reale che tende a. Supponiamo a >. llora a n = + a )) n > + n a ), n N 5.55) questa maggiorazione si prova facilmente. per induzione. Poiché { + n a )} = + dalla 5.55) segue che an = +. Di conseguenza a n = an = 0. Se 0 < a < allora a e ci si riconduce banalmente ai casi precedenti. 4 Si ricordi che Q è denso in R.

19 5.5. FUNZIONI ESPONENZILI E FUNZIONI LOGRITMICHE 7 Esercizio 2 Per ogni x R, a > 0, b > 0 e risulta a x = b x log b a 5.56) Infatti e quindi, per 5.54), a = b log b a a x = [ b log b a] x = b x log b a. Esercizio 3 Per ogni x R + e per ogni a, b > 0 e diversi da risulta Infatti da 5.56) segue che e quindi Esercizio 4 La funzione x log a x = log b x log a b. 5.57) log a b x = x log a b 5.58) log a x = log a b log b x = log b x log a b. + x = + x + x) x = e. x x) + x) x è definita in {x : x > } e questo insieme ha come punti di accumulazione in R) + e. Indichiamo con g e h due funzioni reali definite in R + modo gx) = + ) [x] [x] + hx) = + ) [x]+ [x] in questo dove [x] è la parte intera di x, cioè il massimo intero n tale che n x. Per ogni x R + risulta [x] x < [x] + e quindi gx) < + ) x < hx), x R ) x Ricordiamo inoltre che e quindi + n = e n) gx) = + ) n = + ) n+ + ) = e x + n + n + n + hx) = + n+ = + x + n) ) n + ) = e. n n 5.60) Dalle 5.59) e 5.60) segue che + x = e x + x) In modo analogo si ragiona per calcolare il ite per x. Esercizio 5 La funzione x + x) x è definita per x, ) {0}. Risulta + x) x = e. 5.6) x 0

20 8 CPITOLO 5. CONTINUITÀ Consideriamo le funzioni x gx) =, x x, ) {0} y F y) = + ) y, y y >. Possiamo considerare la funzione composta F g: si verifica banalmente che F gx)) = + x) x, x, ) {0} inoltre Quindi x 0 + gx) = +, x 0 gx) = x x) x = F gx)) = F y) = e x 0 + y + + x) x = F gx)) = F y) = e x 0 x 0 y Esercizio 6 Sia a > 0; consideriamo la funzione ax x definita per x R {0}. Risulta a x = log a. 5.62) x 0 x Se a = la 5.62) è ovvia; supponiamo allora a > 0 e diverso da. Consideriamo queste due funzioni x gx) = a x, x R {0} y y F y) = log a + y), y, + ) {0} = R. g applica R 0 su R e quindi possiamo considerare la funzione composta F g. Si verifica banalmente che F gx)) = ax x R {0} x Si hanno inoltre questi fatti: i ) x 0 gx) = 0; i 2 ) gx) è diversa da 0 in un intorno di x = 0. i 3 ) y 0 F y) = log a. Ne segue che F g converge per x 0 e che a x x 0 x = x 0 F gx)) = y 0 F y) = log a Rimane solo da verificare la i 3 ): F y) = y 0 y 0 log a [ + y) y ] = ] = log a [ + y) y y 0 log a e = log a. * * *