Insiemi numerici. Definizioni

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1 1 Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C ( es.: A = { x x =1/n, n N 0 } = {1, 1/2, 1/3, 1/4,... } ). Ci limitiamo ad esporre alcune definizioni fondamentali, relativamente ad insiemi numerici in R. Definizioni 1. Insiemi limitati illimitati 2. Maggioranti minoranti 3. Estremo superiore - estremo inferiore 4. Massimo - minimo 5. Intervallo 6. Intorno 7. Punto di accumulazione 8. Punto isolato

2 Insiemi limitati illimitati Maggioranti minoranti Un insieme numerico A R si dice limitato superiormente (inferiormente) se k ( h ) R x A si ha x k ( x h ). Il numero k ( h ) viene detto maggiorante ( minorante ) di A. Un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato. Un insieme che non ammette maggiorante (minorante) si dice illimitato superiormente (inferiormente). Un insieme che non ammette né maggiorante, né minorante si dice illimitato. Osserva che: un insieme limitato superiormente (inferiormente) ha infiniti maggioranti (minoranti). un insieme non limitato superiormente (inferiormente) non può avere maggioranti (minoranti). 3. Estremo superiore - estremo inferiore Teorema Se A è un insieme numerico non vuoto e limitato superiormente (inferiormente), allora esiste il minore dei maggioranti (maggiore dei minoranti) e si chiama estremo superiore E sup (estremo inferiore E inf ). L estremo superiore E sup (inferiore E inf ) gode delle seguenti proprietà: a) x A si ha x E sup ( x E inf ); b) ε R 0 ( piccolo a piacere) almeno un elemento x A tale che x E sup ( x Einf ). La proprietà a) esprime che E sup (E inf ) è un maggiorante (minorante) per A, la proprietà b) esprime che nessun numero minore di E sup, come E sup -, (maggiore di E inf, come E inf + ) è un maggiorante (minorante) per A, cioè dice che E sup è il minore dei maggioranti (E inf maggiore dei minoranti).

3 3 Teorema Se l insieme A R è non vuoto e limitato inferiormente (superiormente), allora l estremo inferiore (superiore) è unico. Dimostrazione Supponiamo, per assurdo, che l insieme A ammetta due diversi E sup, per esempio E 1 ed E 2, con E 1 < E 2 ; E 1 ed E 2 devono verificare le proprietà a) e b): a) x A si ha x E 1 < E 2 ; b) scelto E2 - E1, con ε R 0 ( piccolo a piacere), si ha che E 1 < E 2 -, quindi, se è vera la a), E 2 non può verificare la b), cioè non si può verificare x > E 2 - : x E E 1 1 E E 2 2 x E 1 E 2, in contraddizione con x > E 2 -. Osserva che, Nello stesso modo si dimostra l unicità di E inf per definizione, se l insieme A non è limitato superiormente (inferiormente), si indica con + l estremo superiore ( - l estremo inferiore); ogni insieme non vuoto di numeri reali ammette uno e un solo estremo superiore E sup, finito o +, (estremo inferiore E inf, finito o - ) ed è sempre E inf E sup. 4. Massimo e minimo Se l insieme A ha estremo superiore (inferiore) e questo appartiene all'insieme A, esso è il massimo (minimo) dell insieme A, quindi: un elemento M (m) A R si dice massimo (minimo) dell insieme A se x A si ha x M (x m)

4 4 E' evidente che ogni insieme numerico non può avere più di un massimo o più di un minimo. Esempi 1. Considera il seguente insieme A : L elemento 1 è estremo inferiore e minimo. L elemento 5 è estremo superiore e massimo. 2. Considera il seguente insieme A : 3. Z, Q ed R sono insiemi illimitati sia inferiormente che superiormente, quindi non hanno minoranti - maggioranti, minimo - massimo e per definizione E sup = +, E inf = -.

5 5 4. N è limitato inferiormente e illimitato superiormente; 0 è il maggiore dei minoranti, è l estremo inferiore ed è il minimo. 5. L insieme A={x x R e x < 1} è illimitato inferiormente e limitato superiormente; 1 è il minore dei maggioranti, è l estremo superiore, ma non il massimo; A non ha massimo. 6. L insieme A={x x R e 1 < x < 50} è limitato (sia inferiormente che superiormente); 1 è il maggiore dei minoranti, è l estremo inferiore, ma non è il minimo; 50 è il minore dei maggioranti, è l estremo superiore, ma non è il massimo; A non ha né minimo, né massimo. 7. A={ x x =1/n, n N 0 } = {1; 1/2; 1/3; 1/4 }; 2 è uno degli infiniti maggioranti, -1 è uno degli infiniti minoranti; 1 è il minore dei maggioranti, è l estremo superiore ed è il massimo; 0 è il maggiore dei minoranti, è l estremo inferiore, ma non è il minimo. L insieme A è limitato, ha massimo (M=1), ma non ha minimo. 5. Intervallo Un intervallo è un sottoinsieme di R, i cui elementi sono tutti i numeri reali compresi fra E inf ed E sup ( vedi al N 3. osserva che ). Esempi Sono intervalli gli insiemi degli esempi 2, 5, 6. Non sono intervalli gli insiemi degli altri esempi 1, 4, 7. Nell esempio 3, solamente l insieme R è un intervallo. Le tabelle seguenti illustrano i diversi tipi di intervalli. Intervalli limitati Intervallo chiuso [a;b] {x x R e a x b} Intervallo aperto ]a;b[ {x x R e a < x < b} Intervallo aperto a sinistra e chiuso a tutti gli numeri reali compresi tra a e b, estremi inclusi tutti gli numeri reali compresi tra a e b, estremi esclusi ]a;b] {x x R e a < x b} tutti gli numeri reali compresi tra a e b, incluso b ed escluso a

6 6 destra Intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra [a;b[ {x x R e a x < b} tutti gli numeri reali compresi tra a e b, incluso a ed escluso b Intervallo chiuso illimitato superiormente [a;+ [ Intervallo aperto illimitato superiormente ]a;+ [ Intervallo chiuso illimitato inferiormente Intervallo aperto illimitato inferiormente ]- ;a] ]- ;a[ Intervalli illimitati {x x R e x a} tutti gli numeri reali maggiori di a, incluso a stesso {x x R e x > a} tutti gli numeri reali maggiori di a, escluso a stesso {x x R e x a} {x x R e x < a} tutti gli numeri reali minori di a, incluso a stesso tutti gli numeri reali minori di a, escluso a stesso Intervallo illimitato ]- ;+ [ {x x R} l insieme dei numeri reali Un numero reale può essere rappresentato come punto di una retta, di conseguenza un intervallo limitato è rappresentato da un segmento, mentre un intervallo illimitato è rappresentato da una semiretta o dalla retta. 6. Intorno Si definisce intorno completo Ix 0 di un numero x 0 un qualunque intervallo aperto contenente x 0 ( es.: I 2 = ]1;5[ è un intorno completo di 2 ). Se x 0 è il punto medio tra gli estremi dell'intervallo, tale intorno completo si dice circolare ( es.: I 2 = ]1;3[ è un intorno circolare di 2 ). La parte di un intorno completo di x 0 che sta a destra (sinistra) di x 0 si dice intorno I destro x 0 ( sinistro I x 0 ) ( es.: I 2+ = [2;5[, I - 2 = ]1;2] ). L'intorno di più infinito I + è l'intervallo illimitato superiormente ]b,+ [ ( es.: I + = ]5 ; + [ ). L'intorno di meno infinito I è l'intervallo illimitato inferiormente ]-,a[ ( es.: I = ]- ; -5[ ).

7 7 Si definisce intorno completo di infinito I l'insieme unione di un intervallo aperto illimitato inferiormente ed uno aperto illimitato superiormente, cioè ]-,a[ ]b,+ [ ( es.: I = ]- ; 5[ ]10 ; + [ ). Se i numeri a e b sono opposti si parla di intorno circolare di infinito ( es.: I = ]- ; -5[ ]5 ; + [ ). 7. Punto di accumulazione Definizione Un numero x 0 R è punto d accumulazione per l insieme A R, se in ogni intorno completo di x 0 esiste almeno un elemento di A, distinto da x 0. x ) A Φ ( I x 0 0 Dalla definizione seguono le seguenti proprietà: a) Un numero x 0 R è punto d accumulazione per l insieme A R, se e solo se ogni intorno completo di x 0, contiene infiniti punti di A. I x A Insieme infinito 0 b) L insieme A non ha punti di accumulazione, se contiene un numero finito di elementi. N.B. Un punto di accumulazione di un insieme A è un numero reale che può appartenere o non appartenere all'insieme A. Esempi 1. A = { x x = 1/n, n N 0 } = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5;... } = {1; 0,5; 0,(3); 0,25; 0,2; } 0 è un punto di accumulazione di A e non appartiene ad A, inoltre 0 è l unico punto di accumulazione dell insieme A, infatti: R 0 ( piccolo a piacere) posso definire un intorno di 0, I 0 = ]- ; + [, contenente infiniti elementi di A:

8 8 quindi 0 é punto d accumulazione di A; 0 è l unico punto d accumulazione perché, per qualsiasi altro numero reale x 0 0 è sempre possibile determinare un intorno completo che non contenga alcun elemento di A distinto da x 0 : se x 0 = -1, basta scegliere = 1 per avere l intorno I -1 =]-2 ; 0[, con ( I -1 - {-1} ) A = ; se x 0 = 1/4, basta scegliere = 0,01 per avere l intorno I 1/4 =]0,24 ; 0,26[, con ( I 1/4 - {1/4} ) A = ; 2. A = ] 3 ; 5 [ I punti d accumulazione di A sono tutti i punti appartenenti all insieme A {3 ; 5} = [3 ; 5]. 3. A = {x x Q e 0 < x < 1} I punti d accumulazione di A sono tutti i numeri reali dell intervallo [ 0 ; 1] ( se x 0 è un qualsiasi elemento di tale intervallo, in ogni intorno di x 0 cadono infiniti numeri razionali, cioè infiniti elementi di A ). Teorema di Bolzano-Weierstrass Un insieme di numeri reali limitato e infinito, ammette almeno un punto di accumulazione. Senza dimostrare il teorema, è facile intuirne il significato: se A è limitato, allora A [a;b] e se A è infinito, cioè se contiene infiniti elementi, è evidente che essi dovranno accumularsi o addensarsi da qualche parte, cioè ammettere almeno un punto di accumulazione ( Es.: A = { x x = 1/n, n N 0 } {0} = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5;... ;0}, con A [0;1] : A è limitato e infinito; gli elementi di A si accumulano sull elemento 0 ). Diversa è la situazione se l insieme è infinito, ma non limitato : N non ammette punti di accumulazione

9 9 Definizione L insieme dei punti di accumulazione di A prende il nome di derivato di A ( D A ). Esempi Verifica se i seguenti insiemi soddisfano le ipotesi del teorema di Bolzano- Weierstrass e, comunque, determina l insieme derivato DA di ciascuno di essi: 4. A x x R e x 8 ; l insieme A è limitato e infinito, quindi soddisfa le ipotesi del teorema; D A = [- 3 2 ; 8] A x x Q e 3 x ; l insieme A è limitato e infinito, quindi 4 15 soddisfa le ipotesi del teorema; D A = [ 3 ; ] x x n con n N 2; ; ;... n 2 3 A 0 ; l insieme A è infinito, ma illimitato, quindi non soddisfa le ipotesi del teorema; D A =. 7. A x x R e x 1 ; l insieme A è infinito e illimitato, quindi non soddisfa le ipotesi del teorema; D A = [1; + [. 8. A 1; 2; 3; 4; 5 ; l insieme A è finito e limitato, quindi non soddisfa le ipotesi del teorema; D A =. 9. Nell esempio 2. A soddisfa le ipotesi del teorema di B.-W. e D A = [3 ; 5]. Nell esempio 3. A soddisfa le ipotesi del teorema di B.-W. e D A = [ 0 ; 1]. Dagli esempi si comprende che il teorema di B.-W. è una condizione sufficiente per avere DA, ma non necessaria ( A limitato e infinito DA, ma non vale il contrario). 8. Punto isolato

10 10 Un numero reale x 0 appartenente ad un insieme numerico A si dice isolato se esiste un intorno completo di x 0 che non contiene altri elementi di A. In altri termini, se x 0 A e non è punto d accumulazione per A, allora è un punto isolato di A ( Es.: A = { x x = 1/n, n N 0 } {0} = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5;... ;0} Tutti gli elementi dell insieme A sono punti isolati di A, tranne 0, che è punto d accumulazione ).