Insiemi numerici. Definizioni

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Insiemi numerici. Definizioni"

Transcript

1 1 Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C ( es.: A = { x x =1/n, n N 0 } = {1, 1/2, 1/3, 1/4,... } ). Ci limitiamo ad esporre alcune definizioni fondamentali, relativamente ad insiemi numerici in R. Definizioni 1. Insiemi limitati illimitati 2. Maggioranti minoranti 3. Estremo superiore - estremo inferiore 4. Massimo - minimo 5. Intervallo 6. Intorno 7. Punto di accumulazione 8. Punto isolato

2 Insiemi limitati illimitati Maggioranti minoranti Un insieme numerico A R si dice limitato superiormente (inferiormente) se k ( h ) R x A si ha x k ( x h ). Il numero k ( h ) viene detto maggiorante ( minorante ) di A. Un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato. Un insieme che non ammette maggiorante (minorante) si dice illimitato superiormente (inferiormente). Un insieme che non ammette né maggiorante, né minorante si dice illimitato. Osserva che: un insieme limitato superiormente (inferiormente) ha infiniti maggioranti (minoranti). un insieme non limitato superiormente (inferiormente) non può avere maggioranti (minoranti). 3. Estremo superiore - estremo inferiore Teorema Se A è un insieme numerico non vuoto e limitato superiormente (inferiormente), allora esiste il minore dei maggioranti (maggiore dei minoranti) e si chiama estremo superiore E sup (estremo inferiore E inf ). L estremo superiore E sup (inferiore E inf ) gode delle seguenti proprietà: a) x A si ha x E sup ( x E inf ); b) ε R 0 ( piccolo a piacere) almeno un elemento x A tale che x E sup ( x Einf ). La proprietà a) esprime che E sup (E inf ) è un maggiorante (minorante) per A, la proprietà b) esprime che nessun numero minore di E sup, come E sup -, (maggiore di E inf, come E inf + ) è un maggiorante (minorante) per A, cioè dice che E sup è il minore dei maggioranti (E inf maggiore dei minoranti).

3 3 Teorema Se l insieme A R è non vuoto e limitato inferiormente (superiormente), allora l estremo inferiore (superiore) è unico. Dimostrazione Supponiamo, per assurdo, che l insieme A ammetta due diversi E sup, per esempio E 1 ed E 2, con E 1 < E 2 ; E 1 ed E 2 devono verificare le proprietà a) e b): a) x A si ha x E 1 < E 2 ; b) scelto E2 - E1, con ε R 0 ( piccolo a piacere), si ha che E 1 < E 2 -, quindi, se è vera la a), E 2 non può verificare la b), cioè non si può verificare x > E 2 - : x E E 1 1 E E 2 2 x E 1 E 2, in contraddizione con x > E 2 -. Osserva che, Nello stesso modo si dimostra l unicità di E inf per definizione, se l insieme A non è limitato superiormente (inferiormente), si indica con + l estremo superiore ( - l estremo inferiore); ogni insieme non vuoto di numeri reali ammette uno e un solo estremo superiore E sup, finito o +, (estremo inferiore E inf, finito o - ) ed è sempre E inf E sup. 4. Massimo e minimo Se l insieme A ha estremo superiore (inferiore) e questo appartiene all'insieme A, esso è il massimo (minimo) dell insieme A, quindi: un elemento M (m) A R si dice massimo (minimo) dell insieme A se x A si ha x M (x m)

4 4 E' evidente che ogni insieme numerico non può avere più di un massimo o più di un minimo. Esempi 1. Considera il seguente insieme A : L elemento 1 è estremo inferiore e minimo. L elemento 5 è estremo superiore e massimo. 2. Considera il seguente insieme A : 3. Z, Q ed R sono insiemi illimitati sia inferiormente che superiormente, quindi non hanno minoranti - maggioranti, minimo - massimo e per definizione E sup = +, E inf = -.

5 5 4. N è limitato inferiormente e illimitato superiormente; 0 è il maggiore dei minoranti, è l estremo inferiore ed è il minimo. 5. L insieme A={x x R e x < 1} è illimitato inferiormente e limitato superiormente; 1 è il minore dei maggioranti, è l estremo superiore, ma non il massimo; A non ha massimo. 6. L insieme A={x x R e 1 < x < 50} è limitato (sia inferiormente che superiormente); 1 è il maggiore dei minoranti, è l estremo inferiore, ma non è il minimo; 50 è il minore dei maggioranti, è l estremo superiore, ma non è il massimo; A non ha né minimo, né massimo. 7. A={ x x =1/n, n N 0 } = {1; 1/2; 1/3; 1/4 }; 2 è uno degli infiniti maggioranti, -1 è uno degli infiniti minoranti; 1 è il minore dei maggioranti, è l estremo superiore ed è il massimo; 0 è il maggiore dei minoranti, è l estremo inferiore, ma non è il minimo. L insieme A è limitato, ha massimo (M=1), ma non ha minimo. 5. Intervallo Un intervallo è un sottoinsieme di R, i cui elementi sono tutti i numeri reali compresi fra E inf ed E sup ( vedi al N 3. osserva che ). Esempi Sono intervalli gli insiemi degli esempi 2, 5, 6. Non sono intervalli gli insiemi degli altri esempi 1, 4, 7. Nell esempio 3, solamente l insieme R è un intervallo. Le tabelle seguenti illustrano i diversi tipi di intervalli. Intervalli limitati Intervallo chiuso [a;b] {x x R e a x b} Intervallo aperto ]a;b[ {x x R e a < x < b} Intervallo aperto a sinistra e chiuso a tutti gli numeri reali compresi tra a e b, estremi inclusi tutti gli numeri reali compresi tra a e b, estremi esclusi ]a;b] {x x R e a < x b} tutti gli numeri reali compresi tra a e b, incluso b ed escluso a

6 6 destra Intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra [a;b[ {x x R e a x < b} tutti gli numeri reali compresi tra a e b, incluso a ed escluso b Intervallo chiuso illimitato superiormente [a;+ [ Intervallo aperto illimitato superiormente ]a;+ [ Intervallo chiuso illimitato inferiormente Intervallo aperto illimitato inferiormente ]- ;a] ]- ;a[ Intervalli illimitati {x x R e x a} tutti gli numeri reali maggiori di a, incluso a stesso {x x R e x > a} tutti gli numeri reali maggiori di a, escluso a stesso {x x R e x a} {x x R e x < a} tutti gli numeri reali minori di a, incluso a stesso tutti gli numeri reali minori di a, escluso a stesso Intervallo illimitato ]- ;+ [ {x x R} l insieme dei numeri reali Un numero reale può essere rappresentato come punto di una retta, di conseguenza un intervallo limitato è rappresentato da un segmento, mentre un intervallo illimitato è rappresentato da una semiretta o dalla retta. 6. Intorno Si definisce intorno completo Ix 0 di un numero x 0 un qualunque intervallo aperto contenente x 0 ( es.: I 2 = ]1;5[ è un intorno completo di 2 ). Se x 0 è il punto medio tra gli estremi dell'intervallo, tale intorno completo si dice circolare ( es.: I 2 = ]1;3[ è un intorno circolare di 2 ). La parte di un intorno completo di x 0 che sta a destra (sinistra) di x 0 si dice intorno I destro x 0 ( sinistro I x 0 ) ( es.: I 2+ = [2;5[, I - 2 = ]1;2] ). L'intorno di più infinito I + è l'intervallo illimitato superiormente ]b,+ [ ( es.: I + = ]5 ; + [ ). L'intorno di meno infinito I è l'intervallo illimitato inferiormente ]-,a[ ( es.: I = ]- ; -5[ ).

7 7 Si definisce intorno completo di infinito I l'insieme unione di un intervallo aperto illimitato inferiormente ed uno aperto illimitato superiormente, cioè ]-,a[ ]b,+ [ ( es.: I = ]- ; 5[ ]10 ; + [ ). Se i numeri a e b sono opposti si parla di intorno circolare di infinito ( es.: I = ]- ; -5[ ]5 ; + [ ). 7. Punto di accumulazione Definizione Un numero x 0 R è punto d accumulazione per l insieme A R, se in ogni intorno completo di x 0 esiste almeno un elemento di A, distinto da x 0. x ) A Φ ( I x 0 0 Dalla definizione seguono le seguenti proprietà: a) Un numero x 0 R è punto d accumulazione per l insieme A R, se e solo se ogni intorno completo di x 0, contiene infiniti punti di A. I x A Insieme infinito 0 b) L insieme A non ha punti di accumulazione, se contiene un numero finito di elementi. N.B. Un punto di accumulazione di un insieme A è un numero reale che può appartenere o non appartenere all'insieme A. Esempi 1. A = { x x = 1/n, n N 0 } = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5;... } = {1; 0,5; 0,(3); 0,25; 0,2; } 0 è un punto di accumulazione di A e non appartiene ad A, inoltre 0 è l unico punto di accumulazione dell insieme A, infatti: R 0 ( piccolo a piacere) posso definire un intorno di 0, I 0 = ]- ; + [, contenente infiniti elementi di A:

8 8 quindi 0 é punto d accumulazione di A; 0 è l unico punto d accumulazione perché, per qualsiasi altro numero reale x 0 0 è sempre possibile determinare un intorno completo che non contenga alcun elemento di A distinto da x 0 : se x 0 = -1, basta scegliere = 1 per avere l intorno I -1 =]-2 ; 0[, con ( I -1 - {-1} ) A = ; se x 0 = 1/4, basta scegliere = 0,01 per avere l intorno I 1/4 =]0,24 ; 0,26[, con ( I 1/4 - {1/4} ) A = ; 2. A = ] 3 ; 5 [ I punti d accumulazione di A sono tutti i punti appartenenti all insieme A {3 ; 5} = [3 ; 5]. 3. A = {x x Q e 0 < x < 1} I punti d accumulazione di A sono tutti i numeri reali dell intervallo [ 0 ; 1] ( se x 0 è un qualsiasi elemento di tale intervallo, in ogni intorno di x 0 cadono infiniti numeri razionali, cioè infiniti elementi di A ). Teorema di Bolzano-Weierstrass Un insieme di numeri reali limitato e infinito, ammette almeno un punto di accumulazione. Senza dimostrare il teorema, è facile intuirne il significato: se A è limitato, allora A [a;b] e se A è infinito, cioè se contiene infiniti elementi, è evidente che essi dovranno accumularsi o addensarsi da qualche parte, cioè ammettere almeno un punto di accumulazione ( Es.: A = { x x = 1/n, n N 0 } {0} = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5;... ;0}, con A [0;1] : A è limitato e infinito; gli elementi di A si accumulano sull elemento 0 ). Diversa è la situazione se l insieme è infinito, ma non limitato : N non ammette punti di accumulazione

9 9 Definizione L insieme dei punti di accumulazione di A prende il nome di derivato di A ( D A ). Esempi Verifica se i seguenti insiemi soddisfano le ipotesi del teorema di Bolzano- Weierstrass e, comunque, determina l insieme derivato DA di ciascuno di essi: 4. A x x R e x 8 ; l insieme A è limitato e infinito, quindi soddisfa le ipotesi del teorema; D A = [- 3 2 ; 8] A x x Q e 3 x ; l insieme A è limitato e infinito, quindi 4 15 soddisfa le ipotesi del teorema; D A = [ 3 ; ] x x n con n N 2; ; ;... n 2 3 A 0 ; l insieme A è infinito, ma illimitato, quindi non soddisfa le ipotesi del teorema; D A =. 7. A x x R e x 1 ; l insieme A è infinito e illimitato, quindi non soddisfa le ipotesi del teorema; D A = [1; + [. 8. A 1; 2; 3; 4; 5 ; l insieme A è finito e limitato, quindi non soddisfa le ipotesi del teorema; D A =. 9. Nell esempio 2. A soddisfa le ipotesi del teorema di B.-W. e D A = [3 ; 5]. Nell esempio 3. A soddisfa le ipotesi del teorema di B.-W. e D A = [ 0 ; 1]. Dagli esempi si comprende che il teorema di B.-W. è una condizione sufficiente per avere DA, ma non necessaria ( A limitato e infinito DA, ma non vale il contrario). 8. Punto isolato

10 10 Un numero reale x 0 appartenente ad un insieme numerico A si dice isolato se esiste un intorno completo di x 0 che non contiene altri elementi di A. In altri termini, se x 0 A e non è punto d accumulazione per A, allora è un punto isolato di A ( Es.: A = { x x = 1/n, n N 0 } {0} = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5;... ;0} Tutti gli elementi dell insieme A sono punti isolati di A, tranne 0, che è punto d accumulazione ).

L INSIEME DEI NUMERI REALI. DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali.

L INSIEME DEI NUMERI REALI. DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali. PROF GIOVANNI IANNE L INSIEME DEI NUMERI REALI DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali DEFINIZIONE DI INTERVALLO L intervallo è un particolare insieme

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 17 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 17/10/2008 1 / 9 Definizione. Dati due numeri reali a e b,

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 02 - I Numeri Reali Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M.

Dettagli

I NUMERI. Si dice "radice quadrata" di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a.

I NUMERI. Si dice radice quadrata di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a. Questa dispensa rappresenta una breve introduzione ai numeri reali e alla loro Topologia, minimo necessario per affrontare serenamente lo studio dell ANALISI MATEMATICA. Inoltre non si ha la pretesa che

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R.

COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R. COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R. FABIO CIPRIANI 1. Completezza dell insieme dei numeri reali R. Nell insieme dei numeri reali R la condizione di Cauchy e necessaria e sufficiente per la convergenza

Dettagli

Insiemi di numeri reali

Insiemi di numeri reali Capitolo 1 1.1 Elementi di teoria degli insiemi Se S è una totalità di oggetti x, si dice che S è uno spazio avente gli elementi x. Se si considerano alcuni elementi di S si dice che essi costituiscono

Dettagli

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3)

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Nicola Durante 2011-12 Abstract 1 Insiemi numerici (Lezione del 5.10.11) 1.1 Cenni di teoria degli insiemi Richiamiamo brevemente alcuni simboli usati in

Dettagli

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione

Dettagli

3. Massimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori.

3. Massimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori. 3. assimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori. Definizione: assimo Sia un insieme di numeri reali. Def. Si dice massimo di, se esiste, quel numero che appartiene

Dettagli

Principali insiemi di numeri

Principali insiemi di numeri Principali insiemi di numeri N = {0,1,2,...} insieme dei numeri naturali o anche interi non negativi Z = N { 1, 2, 3,...} insieme dei numeri interi Q = { n m } : n,m Z, m 0 insieme dei numeri razionali

Dettagli

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio A. Figà Talamanca 14 ottobre 2010 2 0.1 Ancora limiti di funzioni di variabile reale Esercizio 1 Sia f(x) = [sin x] definita nell insieme [0,

Dettagli

CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI

CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI Consideriamo l insieme R = R {, + } ottenuto aggiungendo all insieme dei numeri reali i simboli e +. Introduciamo in

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione

Dettagli

Massimo e minimo limite di successioni

Massimo e minimo limite di successioni Massimo e minimo limite di successioni 1 Premesse Definizione 1.1. Definiamo R esteso l insieme R = R { } {+ }. In R si estende l ordinamento tra numeri reali ponendo < a < +, a R. In base a tale definizione,

Dettagli

Matematica 1 per Ottici e Orafi. I Numeri Reali

Matematica 1 per Ottici e Orafi. I Numeri Reali Matematica 1 per Ottici e Orafi I Numeri Reali Indichiamo con N l insieme dei numeri naturali 1, 2, 3,.... Su N sono definite due operazioni : e + che soddisfano le seguenti proprietá formali : a, b, c

Dettagli

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo

Dettagli

IL LINGUAGGIO MATEMATICO

IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 Lezioni 1-2 Connettivi logici IL LINGUAGGIO MATEMATICO (non); (e); (oppure); = (se...allora/...implica...); (...se e solo se...) Quantificatori (per ogni);... :... (esiste...tale che...) Proposizioni

Dettagli

INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA

INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA Intervalli e intorni Funzioni in R e classificazione Proprietà delle funzioni: pari e dispari monotone periodiche Intervallo Un intervallo di estremi a e b è un insieme

Dettagli

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti

Dettagli

Corso di Analisi Matematica I numeri reali

Corso di Analisi Matematica I numeri reali Corso di Analisi Matematica I numeri reali Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 57 1 Insiemi e logica 2 Campi ordinati 3 Estremo

Dettagli

LIMITI. 1. Definizione di limite.

LIMITI. 1. Definizione di limite. LIMITI 1. Definizione di limite. Sia A un sottoinsieme di IR; se il numero reale x 0 è di accumulazione per A in ogni intorno di x 0 si trovano elementi di A distinti da x 0. Allora ha senso chiedersi

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

Osservazione 1.1 Si verifica facilmente che esiste un unica relazione d ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato.

Osservazione 1.1 Si verifica facilmente che esiste un unica relazione d ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato. 1 Numeri reali Definizione 1.1 Un campo ordinato è un campo K munito di una relazione d ordine totale, compatibile con le operazioni di somma e prodotto nel senso seguente: 1. a, b, c K, a b = a + c b

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

NUMERI REALI. x(y + z) = xy + xz. Nel seguito faremo uso delle seguenti notazioni. IR+ 0 = {x IR : 0 x} IR 0 = {x IR : 0 x}

NUMERI REALI. x(y + z) = xy + xz. Nel seguito faremo uso delle seguenti notazioni. IR+ 0 = {x IR : 0 x} IR 0 = {x IR : 0 x} NUMERI REALI In quanto segue non diremo che cosa è un numero reale ma definiremo per via assiomatica l insieme dei numeri reali. Insieme che denotiamo con IR. L insieme dei numeri reali è un campo totalmente

Dettagli

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti

Dettagli

Richiami sugli insiemi numerici

Richiami sugli insiemi numerici Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri

Dettagli

Insiemi. Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un insieme.

Insiemi. Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un insieme. Insiemi Definizione: Definizione: Un Un insieme insieme è è una una collezione collezione di di oggetti oggetti individuati individuati da da una una Determinata Determinata specificazione. specificazione.

Dettagli

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie per i Media Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Massimo A. Picardello BOZZA 10.11.2011 21:24 i CAPITOLO 1 Successioni

Dettagli

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}

Dettagli

1 Numeri reali. Esercizi.

1 Numeri reali. Esercizi. Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 1 (Docente: Federico Lastaria) Settembre 2012 1 Numeri reali. Esercizi. Esercizio 1.1 (Un numero moltiplicato per zero

Dettagli

COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI

COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI Si vuole arrivare alla descrizione completa dell insieme dei numeri reali R per via assiomatica partendo dall insieme dei numeri naturali N e passando attraverso

Dettagli

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri

Dettagli

A = n : n N, n > 0 } 2, 1 3, 1

A = n : n N, n > 0 } 2, 1 3, 1 5 ALCUNI ESEMPI. Troviamo, se esistono, sup/inf, max/min dell insieme A è composto dai numeri A = { n : n N, n > 0 }., 2,, 4,.... Vediamo subito che A e n per ogni n N, n > 0. Questa è la definizione che

Dettagli

La radice quadrata di 2

La radice quadrata di 2 G.Gorni 8/9 La radice quadrata di. Preliminari: completezza dei numeri reali Sia dato un sottinsieme A non vuoto di R. Definizione. Un numero reale M si dice massimo di A se () M A e () ogni altro elemento

Dettagli

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non

Dettagli

Una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all'asse x. Calcola il dominio e l'immagine della funzione rappresentata nella seguente figura:

Una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all'asse x. Calcola il dominio e l'immagine della funzione rappresentata nella seguente figura: Vero o falso: [0,1] ha minimo 1 e massimo 0 (0,100 ] non ha minimo ma ha massimo 100 (0,5) è un intorno di 2 y=x 2 è invertibile y=x 2 è pari y=x 3 è pari Posto g( x)= x 2 e f (x )=x+1 allora g( f ( x))=(

Dettagli

PARTE 1: Elementi di base. Simboli e operazioni sugli insiemi. Simboli logici. Prodotto cartesiano.

PARTE 1: Elementi di base. Simboli e operazioni sugli insiemi. Simboli logici. Prodotto cartesiano. PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A. 2008-2009, canale 1, prof.: Francesca Albertini, Claudio Marchi Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 1 a.a Soluzioni

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 1 a.a Soluzioni Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 1 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.1, 3.2,

Dettagli

LIMITI DI FUNZIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1

LIMITI DI FUNZIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1 LIMITI DI FUNZIONI c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1 Intorni Def. Siano 0 R e r R +. Chiamiamo intorno di centro 0 e raggio r l intervallo aperto e limitato

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1 Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo a) Si ha perciò si distinguono due casi: I) se x < 7,siha x 7 se x 7 x 7 7 x se x < 7, x 7 7 x x x 5 x 5, e poiché 5 > 7 la disequazione

Dettagli

Introduzione storica

Introduzione storica Introduzione storica Uno dei periodi più importanti della storia della matematica è stata quello che comprende i secoli durante i quali si sono gettate le basi del calcolo infinitesimale: dalla fine del

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte

ANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte ANALISI MATEMATICA 1 (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte Rispondere ai quesiti a risposta multipla Qi, risolvere gli esercizi Ei, enunciare le definizioni Di e svolgere le dimostrazioni

Dettagli

Programmazione Lineare

Programmazione Lineare Programmazione Lineare Andrea Scozzari a.a. 2012-2013 March 14, 2013 Andrea Scozzari (a.a. 2012-2013) Programmazione Lineare March 14, 2013 1 / 18 Metodo del Simplesso Dato un problema di PL in forma standard

Dettagli

Esercizi relativi al capitolo 1

Esercizi relativi al capitolo 1 1 Esercizi relativi al capitolo 1 1.1 Elementi di logica matematica 1. Siano date le proposizioni P = Il numero n è divisibile per 3 e Q = Il numero n è divisibile per 6. A cosa corrispondono P Q, P Q,

Dettagli

7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI

7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI 7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI Sia E un insieme numerico, sia cioè. Esempi Si dice che E è un insieme APERTO se tutti i suoi punti sono interni. Ogni intervallo aperto (dove

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione

Dettagli

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata

Dettagli

06 - Continuitá e discontinuitá

06 - Continuitá e discontinuitá Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 06 - Continuitá e discontinuitá Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano

Dettagli

3 LA RETTA REALE ESTESA

3 LA RETTA REALE ESTESA 3 LA RETTA REALE ESTESA Abbiamo visto che i concetti di sup e inf sono utili per descrivere proprietà di insiemi superiormente/inferiormente limitati. Per coprire con questi concetti tutti gli insiemi

Dettagli

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Gli argomenti denotati con un asterisco tra parentesi sono stati

Dettagli

Gli intervalli di R. (a, b R, a b)

Gli intervalli di R. (a, b R, a b) Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione:

Dettagli

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo

Dettagli

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Funzioni: definizioni e tipi Definizione di funzione Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione o applicazione da A a B una relazione che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo

Dettagli

La cardinalità di Q e R

La cardinalità di Q e R La cardinalità di Q e R Ha senso chiedersi se ci sono più elementi in N o in Q? Sono entrambi due insiemi infiniti. I numeri naturali sono numerosi quanto i quadrati perfetti, infatti ad ogni numero naturale

Dettagli

Dispense di Analisi Matematica 1 - prima parte

Dispense di Analisi Matematica 1 - prima parte Dispense di Analisi Matematica 1 - prima parte Andrea Braides Queste dispense seguono approssimativamente le lezioni di Analisi Matematica 1 da me tenute. Non sono pensate come un sostituto per un libro

Dettagli

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile

Dettagli

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO LA DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1 LA Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a f(x 0 ) o a un altro valore reale l? Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x 0 )

Dettagli

1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi

1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi Prima di affrontare gli esercizi su estremo superiore ed inferiore, ricordiamo alcune definizioni ed alcuni teoremi che ci verranno utili. Definizione.

Dettagli

Esempi 1. Troviamo, se esistono, sup/inf, max/min dell insieme A = n : n N,n>0 } A è composto dai numeri. 4,... Vediamo subito che 1 A e 1 n 2, 1 3, 1

Esempi 1. Troviamo, se esistono, sup/inf, max/min dell insieme A = n : n N,n>0 } A è composto dai numeri. 4,... Vediamo subito che 1 A e 1 n 2, 1 3, 1 Lezioni -4 8 Esempi 1. Troviamo, se esistono, sup/inf, max/min dell insieme A = A è composto dai numeri { 1 n : n N,n>0 }. 1, 1 2, 1, 1 4,... Vediamo subito che 1 A e 1 n 1 per ogni n N, n > 0. Questa

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali

Corso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica L insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

Diario del Corso Analisi Matematica I

Diario del Corso Analisi Matematica I Diario del Corso Analisi Matematica I 1. Martedì 1 ottobre 2013 Presentazione del corso. Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, rappresentazione geometrica, sommatoria, principio

Dettagli

Appunti del corso Fondamenti di Analisi e Didattica

Appunti del corso Fondamenti di Analisi e Didattica Appunti del corso Fondamenti di Analisi e Didattica (PAS 2013-2014, Classe A049, docente prof. L. Chierchia) redatti da: A. Damiani, V. Pantanetti, R. Caruso, M. L. Conciatore, C. De Maggi, E. Becce e

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

[A-E] IST. DI MATEMATICA I. 3. Lezione. giovedì 6 ottobre Massimo e minimo.

[A-E] IST. DI MATEMATICA I. 3. Lezione. giovedì 6 ottobre Massimo e minimo. IST. DI MATEMATICA I [A-E] giovedì 6 ottobre 2016 3. Lezione 3.1. Massimo e minimo. Definizioni di minimo e/o massimo per un insieme E di numeri reali: il numero min si dice minimo dell insieme E se min

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/ LIMITI (I parte): Definizione, proprietà e calcolo. Limiti di funzioni, continuità e asintoti.

MATEMATICA. a.a. 2014/ LIMITI (I parte): Definizione, proprietà e calcolo. Limiti di funzioni, continuità e asintoti. MATEMATICA a.a. 2014/15 2. LIMITI (I parte): Definizione, proprietà e calcolo. Limiti di funzioni, continuità e asintoti. Definizione Il campo di esistenza è l insieme di tutti i punti nei quali la funzione

Dettagli

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione PROGRAMMA di Analisi Matematica A.A. 204-205, canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione Testo Consigliato: - Analisi Matematica, Teoria e Applicazioni, A. Marson, P. Baiti,

Dettagli

C. Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP. II. Cap. 2 NUMERI REALI

C. Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP. II. Cap. 2 NUMERI REALI Cap. NUMERI REALI In questo capitolo si richiamano le proprietà principali dei numeri reali. I numeri più semplici sono gli interi naturali: 0,,,. Essi formano un insieme che si denota con il simolo N

Dettagli

11. Misure con segno.

11. Misure con segno. 11. Misure con segno. 11.1. Misure con segno. Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 11.1.1. (Misura con segno). Si chiama misura con segno su A ogni funzione ϕ : A R verificante

Dettagli

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA 1 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali e reali) CALCOLO LETTERALE RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA I NUMERI COMPLESSI ELEMENTI DI GEOMETRIA

Dettagli

Massimo limite e minimo limite di una funzione

Massimo limite e minimo limite di una funzione Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.

Dettagli

Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: C = {2, 4, 6, 8, 10,...}.

Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. Teoria degli insiemi Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: A = {a, b, c} B = {1, 2} C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. 2. Enunciando una proprietà che è

Dettagli

Elementi di logica. 1. Introduzione. 2. Operatori logici (connettivi)

Elementi di logica. 1. Introduzione. 2. Operatori logici (connettivi) Elementi di logica. Introduzione La logica elementare si interessa della verità di affermazioni complesse a partire dalla verità di quelle più semplici che le compongono. Si può parlare di verità/falsità

Dettagli

Serie Borlini Alex

Serie Borlini Alex Serie numerica >> Prefazione Progressione lista ordinata e finita di elementi. Successione lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a n }=a 1, a 2, a 3 Successione di Fibonacci:

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe VB Anno Scolastico 014-015 Insegnante: Prof.ssa La Salandra Incoronata 1 Nozioni di topologia su Intervalli; Estremo superiore

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f).

Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora

Dettagli

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI SERIE NUMERICHE Si consideri una successione di elementi. Si definisce serie associata ad la somma Per ogni indice della successione, si definisce successione delle somme parziali associata a la somma

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI. Carlo Ravaglia

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI. Carlo Ravaglia CORSO DI ANALISI MATEMATICA ESERCIZI Carlo Ravaglia 6 settembre 5 iv Indice Numeri reali Ordine fra numeri reali Funzioni reali 4 Radici aritmetiche 7 4 Valore assoluto 9 5 Polinomi 6 Equazioni 7 Disequazioni

Dettagli

Analisi Matematica. Alcune dimostrazioni e verifiche relative al capitolo Limiti di successioni numeriche e di funzioni

Analisi Matematica. Alcune dimostrazioni e verifiche relative al capitolo Limiti di successioni numeriche e di funzioni a.a. 204/205 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Alcune dimostrazioni e verifiche relative al capitolo Limiti di successioni numeriche e di funzioni Avvertenza Per comodità degli studenti

Dettagli

II-2 Numeri reali. 1 Alcune considerazioni iniziali 1. 2 Struttura di ordine e struttura algebrica di R 1

II-2 Numeri reali. 1 Alcune considerazioni iniziali 1. 2 Struttura di ordine e struttura algebrica di R 1 2 STUTTUA DI ODINE E STUTTUA ALGEBICA DI 1 II-2 Numeri reali Indice 1 Alcune considerazioni iniziali 1 2 Struttura di ordine e struttura algebrica di 1 3 Insiemi limitati ed estremi di un insieme 2 4 Proprietà

Dettagli

Limiti e continuità Test di autovalutazione

Limiti e continuità Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia A R tale che sup A = 2 e inf A = 0. Allora, necessariamente 2 A (b) esiste x A tale che 0 < x < 2 (c) esiste x A tale che x > 1 0 A 2. Il prodotto delle funzioni x e ln x

Dettagli

SPAZI TOPOLOGICI. La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile.

SPAZI TOPOLOGICI. La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile. SPAZI TOPOLOGICI La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile. Definizione 1 Uno spazio topologico (X, τ) è una coppia costituita da un insieme X e da una famiglia τ

Dettagli

ARGOMENTI NECESSARI DI ANALISI MATEMATICA I

ARGOMENTI NECESSARI DI ANALISI MATEMATICA I 0.SIMBOLOGIA ARGOMENTI NECESSARI DI ANALISI MATEMATICA I t (tau) (x; y.z) = teorema a pagina x; numero y punto z. d (delta) (x; y.z) = dimostrazione del teorema a pagina x; numero y punto z. l (lambda)

Dettagli

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi INSIEMI E RELAZIONI 1. Insiemi e operazioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. Sia A un insieme di elementi qualunque. Per indicare che a è un elemento di

Dettagli

10 - Applicazioni del calcolo differenziale

10 - Applicazioni del calcolo differenziale Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Linguaggio della Matematica

Linguaggio della Matematica Linguaggio della Matematica concetti primitivi: elementi fondamentali di natura intuitiva (punto, retta, insieme, elemento di un insieme,...). assiomi: enunciati, proposizioni vere a priori (gli assiomi

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno

Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Programma del Corso di Matematica A Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Premessa (D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad

Dettagli

Completezza e compattezza

Completezza e compattezza 1 Completezza e compattezza Spazi metrici completi Data una successione x : N X, j x j, una sua sottosuccessione è la composizione x ν, ove ν : N N è strettamente crescente. Data una successione (x j )

Dettagli

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Copyright c 2007 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Teoremi

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 05 - Limiti Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano M. Tumminello,

Dettagli

Linguaggio della Matematica

Linguaggio della Matematica Linguaggio della Matematica concetti primitivi: elementi fondamentali di natura intuitiva (punto, retta, insieme, elemento di un insieme,...). assiomi: enunciati, proposizioni vere a priori (gli assiomi

Dettagli

I LIMITI DI FUNZIONI - TEORIA

I LIMITI DI FUNZIONI - TEORIA Autore: Enrico Manfucci - 21/1/212 I IMITI DI FUNZIONI - TEORIA Il concetto intuitivo di limite è relativamente mplice. Si pensi ad empio ad un paracadutista che si lancia da un aereo. Appena lanciato

Dettagli

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Abbiamo già visto che in un sistema di assi cartesiani ortogonali, è possibile determinare l equazione di una retta r non parallela agli assi coordinati,

Dettagli

Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi

Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi ESERCIZI DI GEOMETRIA 3 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi Esercizio 1. Sia (X, d) uno spazio

Dettagli