Complessi di Catene e Gruppi di Omologia. 28 febbraio 2007

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1 Complessi di Catene e Gruppi di Omologia 28 febbraio 2007

2 Complessi di Catene Definizione Un complesso di catene è una successione C di gruppi abeliani con i loro omomorfismi n+1 C n+1 n Cn Cn 1 infinita in entrambe le direzioni, tale che, per ogni n Z vale n n+1 = 0. N.B: Questo vuol dire che per ogni x C n+1, n n+1 (x) = 0 in C n 1.

3 Complessi di Catene Definizione Il gruppo C n è detto gruppo di catene n dimensionale del complesso C. Il nucleo dell omomorfismo n, ker n C n, è detto gruppo degli n cicli e viene denotato con A n. L immagine dell omomorfismo n+1, Im n+1 C n, è detto gruppo degli n bordi e viene denotato con B n. La condizione n n+1 = 0 implica che B n (C) A n (C) per ogni n Z.

4 Esercizio Trovare i gruppi di cicli e i gruppi di bordi per tutte le dimensioni del complesso di catene: 0 Z Z 2 Z 0, dove C 1 = Z, C 2 = Z Z, C n = 0, per n 1, 2 e l omomorfismo 2 è definito come 2 (m, n) = 3m + 3n. Svolgimento: 0 Z Z 2 Z 0 (h, h) 0 (h, k) 3(h + k) 0 z 0 A 2 = ker 2 = {(m, n) Z Z, n = m}, B 2 = Im 3 = {0} Gli altri sono banali. A 1 = ker 1 = Z, B 1 = Im 2 = 3Z

5 Complessi di Catene Definizione Il gruppo quoziente A n (C)/B n (C) è detto gruppo d omologia n dimensionale del complesso di catene C e viene indicato con H n (C). Terminologia: Gli elementi del gruppo A n sono detti cicli e quelli del gruppo B n sono detti bordi. Gli omomorfismi n sono detti omomorfismi di bordo. Due cicli a 1, a 2 A n sono detti omologhi se la lora differenza a 1 a 2 è un bordo, cioè un elemento di B n. Quindi, due cicli rappresentano lo stesso elemento del gruppo di omologia se sono omologhi. Indichiamo con {a} la classe di omologia del ciclo a.

6 Esercizio Consideriamo: 0 Z Z 2 Z 0, dove C 1 = Z, C 2 = Z Z, C n = 0, per n 1, 2 e l omomorfismo 2 è definito come 2 (m, n) = 3m + 3n. Allora, visto che A 2 = ker 2 = {(m, n) Z Z, n = m} = Z, B 2 = Im 3 = {0} si ottengono: A 1 = ker 1 = Z, B 1 = Im 2 = 3Z A n = B n = {0}, n 1, 2 H 2 (C) = Z {0} = Z, H 1(C) = Z 3Z = Z 3 H n (C) = 0, n 1, 2.

7 Complessi di Catene Definizione Siano C e C due complessi di catene. Una famiglia di omomorfismi ϕ = {ϕ n : C n C n, < n < } è detta mappa di catene se ϕ n n+1 = n+1 ϕ n+1 per ogni n. La condizione ϕ n n+1 = n+1 ϕ n+1 equivale a dire che tutti i quadrati del diagramma n+1 C n+1 n C n C n 1 ϕ n+1 n+1 C n+1 C n sono commutativi. ϕ n n ϕ n 1 C n 1

8 Esercizio Sia ϕ : C C una mappa di catene. Si provi che ϕ n (A n ) A n e ϕ n (B n ) B n, cioè ϕ manda cicli in cicli e bordi in bordi. n+1 C n+1 n C n ϕ n+1 n+1 ϕ n C n 1 ϕ n 1 C n+1 C n C n 1 Svolgimento: Sia a A n = ker n, allora n (a) = 0. Sia a = ϕ n (a). Allora: n (a ) = n (ϕ n (a)) = ϕ n 1 ( n (a)) = ϕ n 1 (0) = 0 Sia b B n = Im n+1, allora esiste c C n+1 tale che n+1 (c) = b. Sia b = ϕ n (b). Allora: b = ϕ n (b) = ϕ n ( n+1 (c)) = n+1 (ϕ n+1 (c)) n

9 Complessi di Catene Teorema Sia ϕ : C C una mappa di catene tra complessi di catene. Allora, se per ogni n Z, ogni ciclo x C n viene mandato nella catena ϕ n (x) C n, ϕ induce omomorfismi ben definiti ϕ n : H n (C) H n (C ).

10 Dimostrazione. n+1 C n+1 C n n C n 1 ϕ n+1 n+1 ϕ n ϕ n 1 C n+1 C n C n 1 Proviamo che ϕ è ben definito. Siano a 1, a 2 A n, con {a 1 } = {a 2 } H n (C). Vogliamo provare che ϕ n ({a 1 }) = ϕ n ({a 2 }) H n (C ). a 1 e a 2 omologhi, vuol dire che esiste c C n+1 tale che a 1 a 2 = n+1 (c), cioè a 1 = a 2 + n+1 (c). Allora: ϕ n (a 1 ) = ϕ n (a 2 ) + ϕ n ( n+1 (c)) = ϕ n (a 2 ) + n+1 (ϕ n+1 (c)), n da cui ϕ n (a 1 ) ϕ n (a 2 ) = n+1 (ϕ n+1 (c))

11 Complessi di Catene Gli omomorfismi ϕ n indotti da ϕ talvolta vengono indicati con H n (ϕ). Complessi di catene e mappe di catene costituiscono una categoria; la corrispondenza H n che associa ad ogni complesso di catene C il gruppo di omologia H n (C) e ad ogni mappa di catene ϕ l omomorfismo H n (ϕ) è un funtore covariante da questa categoria alla categoria dei gruppi abeliani e loro omomorfismi.

12 Presentazione di Gruppi Sul libro.

13 Esempi Gruppo libero su A: a 1,..., a m = Z m Gruppo libero abeliano su A: a 1, a 2 a 1 a 2 a 1 1 a 1 2 = Z2 Gruppo ciclico di ordine n: a a n = Z n Teorema Sia G un gruppo abeliano finitamente generato. Allora esistono k, t 1,..., t h Z, con k 0, t 1,..., t h 2, con t 1 t 2... t h tale che G = Z k Z t1... Z th detta decomposizione invariante (o canonica) di G. k si dice rango di G e t 1,..., t h fattori invarianti(o torsionali).

14 Gruppi di Omologia dei Complessi Simpliciali Sia K un complesso simpliciale orientato. Assegnamo ad esso un complesso di catene C(K) nel seguente modo. Gli elementi del gruppo C n (K) sono combinazioni lineari formali m 1 σ 1 + m 2 σ m k σ k, dove m i sono interi e σ 1,..., σ k sono tutti i simplessi n dimensionali. Dal punto di vista algebrico, C n (K) è il gruppo libero abeliano generato dall insieme di tutti i simplessi n dim. Il suo rango è uguale al numero di questi simplessi. Gli omomorfismi n : C n (K) C n 1 (K) sono definiti nel seguente modo: Sia σ un simplesso n dim di K, allora n (σ) = δ i Kε i δ i, dove i δ i sono tutti i simplessi n 1 dimensionali, e i numeri ε i, detti coefficienti d incidenza sono fatti nel seguente modo: 0, se δ i non e faccia di σ; ε i = 1, se δ i e una faccia di σ e le due orientazioni coincidono; 1, se δ i e una faccia di σ e le due orientazioni sono distinte.

15 Gruppi di Omologia dei Complessi Simpliciali Teorema Per ogni complesso K i gruppi C n (K) e gli omomorfismi n : C n (K) C n 1 (K) formano un complesso di catene (che denotiamo con C(K)). Questo equivale a dire che il bordo del bordo è vuoto.

16 Dimostrazione. C n (K) n C n 1 (K) n 1 C n 2 (K) Sia σ = v 0,..., v n un simplesso orientato n dim. Proviamo che n 1 n (σ) = 0. Ora n 1 n ( v 0,..., v n ) = = i=0 i 1 n ( 1) i n 1 ( v 0,..., v i,..., v n ) n ( 1) i [ ( 1) j v 0,..., v j,..., v i,..., v n + i=0 j=0 n ( 1) j+1 v 0,..., v i,..., v j,..., v n ] j=i+1 = ( 1) i+j v 0,..., v i,..., v j,..., v n j<i ( 1) i+j v 0,..., v i,..., v j,..., v n = 0 i<j

17 Gruppi di Omologia dei Complessi Simpliciali Definizione Sia K un complesso simpliciale orientato. Allora i gruppi di omologia del corrispondente complesso di catene C(K) sono detti gruppi di omologia di K e vengono denotati con H n (K). Quindi, il gruppo H n (K) è il gruppo quoziente ker n /Im n+1.

18 Gruppi di Omologia dei Complessi Simpliciali I gruppi di omologia H n (K) non dipendono dalla scelta dell orientazione di K. Si può provare anche che i gruppi di omologia di un poliedro (un sottoinsieme di R n può infatti essere sempre presentato come complesso simpliciale) non dipendono dalla particolare scelta della presentazione, cioè della triangolazione. Infine, è importante dire che i gruppi di omologia possono essere definiti non solo su poliedri, ma anche su spazi omeomorfi ad essi. Tali spazi sono detti poliedri topologici e su questi è possibile fare triangolazioni con simplessi curvilinei.

19 Gruppi di Omologia dei Complessi Simpliciali Per calcolare i gruppi di omologia di un dato spazio topologico, si può procedere con i seguenti passi: 1. Presentare lo spazio come poliedro e triangolarlo. 2. Scegliere un orientazione per il complesso simpliciale così ottenuto. 3. Calcolare i gruppi di catene C n. 4. Descrivere gli omomorfismi di bordo n. 5. Calcolare i gruppi di cicli A n. 6. Calcolare i gruppi di bordi B n. 7. Calcolare i gruppi quozienti H n = A n /B n.

20 Gruppi di Omologia dei Complessi Simpliciali Teorema I gruppi di omologia del punto sono i seguenti: { 0, n 0 H n ( ) = Z, n = 0 Dimostrazione. Basta osservare che il complesso di catene corrispondente ad un punto (visto come simplesso 0 dim) ha la forma: 0 Z 0, dove Z è lo 0 esimo gruppo di catene.

21 Esercizio Calcolare i gruppi di omologia del segmento e della circonferenza. Segmento: Allora: C 1 (K) 1 C0 (K) 0 {0} e 1 v 2 v 1 0 v 1 0 v 2 0 H 1 (K) = ker 1 Im 2 = {0} {0} = {0} H 0 (K) = ker 0 = v 1, v 2 Im 1 v 2 v 1 = v 1, v 2 v 1 = v 1 = Z v 2 v 1 Quindi: H n (K) = { 0, n 0 Z, n = 0

22 Circonferenza: C 1 (K) 1 C0 (K) 0 {0} a u w 0 b v u 0 c w v 0 u 0 v 0 w 0 H 1 (K) = ker 1 Im 2 = a + b + c {0} = Z

23 Circonferenza: H 0 (K) = ker 0 Im 1 = C 1 (K) 1 C0 (K) 0 {0} a u w 0 b v u 0 c w v 0 u 0 v 0 w 0 u, v, w u, u w, v u = = u = Z u w, v u u w, v u

24 Circonferenza: Quindi: C 1 (K) 1 C0 (K) 0 {0} a u w 0 b v u 0 c w v 0 u 0 v 0 w 0 H n (S 1 ) = { 0, n 0, 1 Z, n = 0, 1

25 Esercizio Calcolare i gruppi di omologia della sfera 2 dim S 2, del toro 2 dim T 2 = S 1 S 1 e del piano proiettivo reale RP 2.

26 Sfera: C 2 (S 2 ) 2 C1 (S 2 ) 1 C0 (S 2 ) 0 {0} E a + b c 0 0 F a + b c 0 0 a v u 0 b w v 0 c w u 0 u 0 v 0 w 0 H 2 (S 2 ) = ker 2 Im 3 = E F {0} = Z

27 Sfera: C 2 (S 2 ) 2 C1 (S 2 ) 1 C0 (S 2 ) 0 {0} E a + b c 0 0 F a + b c 0 0 a v u 0 b w v 0 c w u 0 u 0 v 0 w 0 H 1 (S 2 ) = ker 1 Im 2 = a + b c a + b c = {0}

28 Sfera: C 2 (S 2 ) 2 C1 (S 2 ) 1 C0 (S 2 ) 0 {0} E a + b c 0 0 F a + b c 0 0 a v u 0 b w v 0 c w u 0 u 0 v 0 w 0 H 0 (S 2 ) = ker 0 Im 1 = u, v, w u, v u, w u = = u = Z v u, w u v u, w u

29 Sfera: Quindi: In generale: H n (S 2 ) = H n (S k ) = { Z, n = 0, 2 0, altrimenti { Z, n = 0, k 0, altrimenti

30 Toro: C 2 (T ) 2 C1 (T ) 1 C0 (T ) 0 {0} E a + c b 0 0 F a b + c 0 0 a 0 0 b 0 0 c 0 0 v 0 H 2 (T ) = ker 2 Im 3 = E F {0} = Z

31 Toro: C 2 (T ) 2 C1 (T ) 1 C0 (T ) 0 {0} E a + c b 0 0 F a b + c 0 0 a 0 0 b 0 0 c 0 0 v 0 H 1 (T ) = ker 1 Im 2 = a, b, a b + c a b + c = a, b = Z Z

32 Toro: C 2 (T ) 2 C1 (T ) 1 C0 (T ) 0 {0} E a + c b 0 0 F a b + c 0 0 a 0 0 b 0 0 c 0 0 v 0 H 0 (T ) = ker 0 Im 1 = v {0} = Z

33 Toro: Quindi: 0, n 3 H n (T ) = Z, n = 0, 2 Z Z, n = 1

34 Piano Proiettivo: C 2 (RP 2 ) 2 C1 (RP 2 ) 1 C0 (RP 2 ) 0 {0} E a b c 0 0 F a b + c 0 0 a w v 0 b w v 0 c 0 0 v 0 w 0 H 2 (RP 2 ) = ker 2 Im 3 = {0} {0} = {0}

35 Piano Proiettivo: C 2 (RP 2 ) 2 C1 (RP 2 ) 1 C0 (RP 2 ) 0 {0} E a b c 0 0 F a b + c 0 0 a w v 0 b w v 0 c 0 0 v 0 w 0 H 1 (RP 2 ) = ker 1 Im 2 = a b,c a b c,a b+c = a b+c,c a b+c,2c = c 2c = Z 2

36 Piano Proiettivo: C 2 (RP 2 ) 2 C1 (RP 2 ) 1 C0 (RP 2 ) 0 {0} E a b c 0 0 F a b + c 0 0 a w v 0 b w v 0 c 0 0 v 0 w 0 H 0 (RP 2 ) = ker 0 Im 1 = v, w v, w v = = v = Z w v w v

37 Piano Proiettivo: Quindi: Z, n = 0 H n (RP 2 ) = Z 2, n = 1 0, n 2

38 Esercizio Calcolare i gruppi di omologia della bottiglia di Klein: