1. Sia x un elemento nilpotente di A. Provare che 1 + x è un unità di A. Dedurre che la somma di un elemento nilpotente e di un unità è un unità.

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1 1. Sia x un elemento nilpotente di A. Provare che 1 + x è un unità di A. Dedurre che la somma di un elemento nilpotente e di un unità è un unità. 2. Sia p(x) = n i=0 a ix i A[x]. (a) p è invertibile se e solo se a 0 è invertibile e a 1,..., a n sono nilpotenti. (b) p è nilpotente se e solo se a 0,..., a n sono nilpotenti. (c) p è zerodivisore se e solo se esiste a A t.c. ap = 0. (d) f, g A[x] sono primitivi se e solo se fg è primitivo. Generalizzare l esercizio ad A[x 1,..., x n ]. 3. In A[x] il radicale di Jacobson e il nilradicale coincidono. 4. Sia p(x) = i 0 a ix i A[[x]]. (a) p è invertibile se e solo se a 0 è invertibile. (b) Se p è nilpotente allora a 0,..., a n sono nilpotenti. È vero il viceversa? Se A è Noetheriano? (c) p A[[x]] se solo se esiste a 0 A. (d) la contrazione di un ideale massimale m di A[[x]] è un ideale massimale di A e m è generato da m c e x. (e) Ogni ideale primo di A è la contrazione di un ideale primo di A[[x]]. 5. Siano I, p 1,..., p n ideali di A con p 1,..., p n ideali primi. Provare che se I n i=1 p i allora esiste i per cui I p i. 6. Siano p, I 1,..., I n ideali di A con p ideale primo. Provare che se n i=1 I i p, allora esiste i per cui I i p. 7. Sia {E α } α I una famiglia di sottoinsiemi di un anello A. Allora α E α = α Eα 8. Sia D l insieme degli zero divisori di un anello A. Provare che D = x 0 Ann(x). 9. Sia A un anello, Σ l insieme di tutti gli ideali in cui ogni elemento è uno zerodivisore. Allora Σ possiede elementi massimali e ogni elemento massimale è un ideale primo. (Quindi l insieme degli zerodivisori è unione di ideali primi). 10. Sia A un anello tale che per ogni ideale I non contenuto nel nilradicale esiste x 0, x I tale che x 2 = x. Allora il radicale di Jacobson e il nilradicale coincidono. 11. Sia A un anello in cui per ogni elemento x esiste n > 1 tale che x n = x. Allora ogni ideale primo è massimale. 1

2 12. Sia A un anello. Provare che l insieme degli ideali primi di A possiede elementi minimali rispetto all inclusione. 13. Sia A un anello. Provare che A = A 1 A 2 se e soltanto se esiste e 0, 1 tale che e 2 = e. 14. Siano I, J due ideali coprimi di un anello A. Allora I J = I J. 15. Sia A un dominio infinito con un numero finito di elementi invertibili. Allora A possiede un numero infinito di ideali massimali. 16. Sia A un anello, R il nilradicale. Allora sono fatti equivalenti: A possiede un unico ideale primo ogni elemento di A è invertibile oppure nilpotente A/R è un campo 17. Un anello locale non contiene idempotenti diversi da 0, Un anello si dice booleano se x 2 = x per ogni x A. Provare che se A è booleano allora: 2x = per ogni x A ogni ideale primo p è massimale e A/p è un campo con due elementi ogni ideale finitamente generato è principale. 19. Provare che in k[x, y] si ha 20. Provare che Hom A (A, M) = M. 21. Provare che Hom Z (Q, Z) = (0). (x 2, xy) = (x) (x 2, y) = (x) (x 2, xy, y 2 ) 22. Sia M un A-modulo finitamente generato. Provare che esiste r N ed N sottomodulo di A r tale che M = A r /N. 23. Sia A = k[x, y]. Presentare I = (x, y) come quoziente di un A-modulo libero. 24. Determinare due sistemi minimali di generatori di Z come Z-modulo. 25. Sia 0 M N P 0 una successione esatta di A-moduli. Provare che se M e P sono finitamente generati, allora anche N lo è. Vale il viceversa? 2

3 26. Siano M e N sottomoduli di un A-modulo L. Provare che c è una successione esatta 0 M N M N M + N 0 Dedurre che se M + N e M N sono finitamente generati, allora M e N sono finitamente generati. 27. Provare che la successione M u M v M 0 è esatta se e soltanto se per ogni A-modulo N la successione è esatta. 0 Hom(M, N) v u Hom(M, N) Hom(M, N) 28. Sia M un A-modulo finitamente generato e sia f : M M un omomorfismo di A-moduli. Provare che se f è surgettiva, allora f è un isomorfismo. Dare una diversa prova assumendo A Noetheriano (considerare la catena di sottomoduli {kerf n }... ) 29. Sia M un A-modulo finitamente generato, sia N un sottomodulo di M non nullo. Allora non esiste un isomorfismo di M in M/N. 30. Sia M un A-modulo finitamente generato, I un ideale di A. Provare che IM : M I + (0 : M). Dedurre che vale 0 : M/IM = I + 0 : M 31. Provare che 0 : (M + N) = (0 : M) (0 : N). 32. Sia A un anello tale che ogni ideale primo è principale. Allora A è un PID. 33. Sia A un anello tale che ogni ideale primo è finitamente generato. Allora A è un Noetheriano. 34. Sia S una parte moltiplicativa di un anello A e sia m un ideale massimale tale che m S =. Allora S 1 m è massimale in S 1 A. Vale il viceversa? 35. Sia S una parte moltiplicativa di un anello A. Se S è saturato allora S = {a A a 1 è invertibile in S 1 A}. 36. Sia S una parte moltiplicativa di un anello A. S saturato se e soltanto se S = A\ α I p α con p α primi e p α S =. Esiste S saturato tale che S 1 A = S 1 A. Sia I un ideale ed S = {1 + i i I}. Determinare S. 3

4 37. Se f è un elemento non nilpotente, allora vi è un ideale primo che non contiene f (Utilizzare S = {f n } n 0 }. 38. S 1 R A = R S 1 A, dove R è il nilradicale. 39. Sia A un anello. Allora A è ridotto se e soltanto se A p è ridotto per ogni ideale primo p. 40. Sia A un anello. Vale che A è un dominio se e soltanto se A p è un dominio per ogni ideale primo p? 41. Siano M un A-modulo f.g. ed S una parte moltiplicativa di A. Allora S 1 (Ann A (M)) = Ann A (S 1 M). 42. Sia A un dominio. Allora A = m Max(A) A m. 43. Siano A un dominio, M un A-modulo e T (M) il modulo di torsione di M. Provare che: T (M) è un sottomodulo di M; M/T (M) è libero da torsione; se f : M N è un omomorfismo, allora f(t (M)) T (N); se 0 M N P 0 è esatta allora 0 T (M) T (N) T (P ) 0 è esatta. 44. Siano A un dominio, M un A-modulo e S una parte moltiplicativa di A. Allora T (S 1 M) = S 1 T (M). Dedurre che l essere privo di torsione è una proprietà locale. 45. Sia A un anello, f A, f 0. Allora A f = A[x]/(xf 1). 46. Sia A un dominio con un numero finito di ideali primi. Provare che esiste a A tale che K(A) = A[ 1 a ]. 47. Sia A = k[x 1,..., x n ] l anello dei polinomi in n indeterminate. Sia p un ideale primo di altezza h. Mostrare che esistono v 1,..., v n A tali che: A è intero su k[v 1,..., v n ]; p k[v 1,..., v n ] = (v 1,..., v h ). 48. Sia A un dominio tale che sia una k-algebra f.g. e sia p un ideale primo. Allora height p + dim A/p = dim A. Dimostrare che tale formula non vale se A = k[x, y, z]/(xy, xz) e p = (y, z). 49. Sia A = k[x, y, z] e f : A 3 A l omomorfismo definito da f(a, b, c) = ax 2 + bxy + cz 2. Presentare Ker(f) come quoziente di un modulo libero. 4

5 50. Sia I = (xz y 2, x 3 yz) in k[x, y, z]. Determinare Min(I). 51. Provare che l ideale I = (xz y 2, x 3 yz, x 2 y z 2 ) è un ideale primo di k[x, y, z]. Provare che I 2 non è primario. 52. Sia M un A-modulo. Provare che p Ass(M) se e soltanto se esiste un omomorfismo iniettivo j : A/p M. 53. Consideriamo gli A-moduli M, N, P e sia 0 M N P 0 una sequenza esatta. Provare che Ass(M) Ass(N) Ass(M) Ass(P ). 54. Sia I un ideale generato da una A-successione regolare. Provare che I/I 2 è un A/I-modulo libero. 55. Sia p un ideale primo di A generato da una successione regolare. Provare che Ass(A/p 2 ) = {p}, ossia che p 2 è primario. 56. Sia M un A-modulo Noetheriano, sia a = 0 : A M. Provare che A/a è Noetheriano. Vale sostituendo artiniano a Noetheriano? 57. Sia A un anello Noetheriano, f = n 0 a nx n A[[x]]. Provare che f è nilpotente se e soltanto se a n è nilpotente per ogni n Sia A un anello Noetheriano sia a un ideale di A. Provare che ( a) m a per un certo m N. 59. Sia A un anello tale che A p è Noetheriano per ogni ideale primo p di A. Allora A è Noetheriano? (Pensare ad A = n 1 Z/2Z). 60. Sia A un anello tale che per ogni ideale massimale m l anello locale A m è Noetheriano e tale che per ogni elemento non nullo x l insieme degli ideali massimali di A che contengono x è finito. Provare che A è Noetheriano. 61. Sia A un anello Noetheriano, M 0 un A-modulo finitamente generato. Provare che esiste una catena di sottomoduli 0 M 1 M n = M tale che M i /M i 1 è della forma A/p i con p i ideali primi. 62. Sia A un anello Noetheriano, M un A-modulo finitamente generato non nullo. Allora Ass(M) è un insieme finito. 63. (Lemma di scansamento omogeneo). Sia A = n 0 A n un anello graduato, A 0 = k un campo. Siano p 1,..., p r ideali primi omogenei di A. Sia I un ideale omogeneo tale che I p i per ogni i = 1,..., r. Allora esiste un elemento omogeneo x I tale che x p i per ogni i = 1,..., r 64. Calcolare la decomposizione primaria, i primi mimimali ed i primi associati dell ideale I = (x 4, x 2 y 2, xyt, zt 2, zy 3, ty 2 ). 5

6 65. Sia A = k[x, y, z]/(x 2, y 2, xz, xy). Calcolare funzione di Hilbert e la serie di Poincaré-Serre di A. 66. Fare un esempio di un anello A tale che la serie di Poincaré di A sia P A (z) = 1+2z 1 z. 6