Richiami e complementi: Anelli, ideali, morfismi

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1 Parte I Richiami e complementi: Anelli, ideali, morfismi Indice I Richiami e complementi: Anelli, ideali, morfismi 1 1 Richiami e complementi di algebra: anelli, moduli, polinomi Anelli: centro, idempotenti, caratteristica, unità, nilpotenti e zero divisori Anelli ridotti, domini (d integrità), corpi e campi Anelli: sottoanelli e ideali. Anelli semplici Anelli: morfismi Quozienti di anelli Frobenius Ideali massimali, primi Anelli prodotto II Richiami e complementi: Moduli e Algebre Moduli III Richiami e complementi: Polinomi e Serie formali Serie formali e polinomi univariati Serie formali e polinomi multivariati Anelli e moduli di frazioni commutativi IV Estensioni di anelli e campi Estensioni intere ed algebriche Elementi interi, algebrici e trascendenti in una A-algebra unitaria Elementi e morfismi aritmetici. Proprietà Campi di spezzamento. Chiusura algebrica. Estensioni normali Estensioni separabili. Campi perfetti I campi finiti V Teoria di Galois Automorfismi e campi fissi Teorema di Galois Gruppo di Galois di un polinomio

2 VI Appendice: Condizioni sulle catene. Noetherianità, Artinianità Insiemi ordinati Noetheriani Lunghezze. 69 VII Appendice: Lemma di Zorn e sue applicazioni 69 5 Zorn Enunciato Basi di spazi vettoriali Ideali massimali Sottoggetti massimali in strutture finitamente generate Radicale e ideali primi Primi minimali Chiusura algebrica di un campo Richiami e complementi di algebra: anelli, moduli, polinomi. 1.1 Anelli: centro, idempotenti, caratteristica, unità, nilpotenti e zero divisori. Elementi centrali, idempotenti, Von Neumann regolari. Caratteristica. Sia R = (R, +, ) un anello. Diciamo che x R è: Centrale se xy = yx per ogni r R. Se X R il centralizzatore di X in R è c R (X):= {r R rx = xr per ogni x X}. Il centro di R è c(r):= {x R xy = yx per ogni r R}. R è commutativo se R = c(r). Idempotente se x 2 = x. Idem(R):= {x R x 2 = x}. Ovviamente 0 Idem(R). Due idempotenti x, y si dicono mutuamente ortogonali se xy = 0 = yx. Von Neumann regolare se x xrx. R si dice anello booleano se R = Idem(R). La caratteristica di R, char(r) N, è l esponente del gruppo additivo (R, +) se questo esponente è finito, altrimenti char(r) := 0. Ricordiamo che l esponente di un gruppo G è min{n N + g n = e per ogni g G}, (dove si pone, per definizione, min := + ). 2

3 ESERCIZI. Sia R un anello. 1. 0r = r0 = 0 e x( y) = ( x)y = xy, ( x)( y) = xy per ogni x, y, r R. 0 = r = (0 + 0)r = 0r + 0r e r0 = r(0 + 0) = r0 + r0 in (R, +) gruppo, quindi 0r = 0 = r0 per cancellazione. y + ( y) = 0 = x + ( x) xy + x( y) = x0 = 0 = 0y = xy + ( x)y in (R, +) gruppo, quindi x( y) = xy = ( x)y per l unicità degli opposti. Infine, da xy = x( y) = ( x)y si deduce xy = ( xy) = (x( y)) = ( x)( y). 2. (nx)(my) = (nm)xy = (mx)(ny) per ogni x, y R ed n, m Z. Dalla definizione di k x con k Z e grazie all esercizio 1. è sufficiente considerare n, m N +. Per (induzione su n e) distributività a destra di my su nx e poi (induzione su m e) distributività a sinistra di x su my abbiamo (nx)(my) = n(x(my)) = n(mxy) = (nm)xy. Da nm = mn in Z segue il resto. 3. R booleano R commutativo e char(r) = 2. x + y = (x + y) 2 0 = xy + yx per ogni x, y R. In particolare, per x = y R si ottiene 0 = 2x 2 = 2x. Si conclude facilmente. 4. R unitario, x 6 = x per ogni x R R booleano. 1 = ( 1) 2 = 1 char(r) = 2, quindi 1 + x = (1 + x) 6 x 2 = x 4 x 4 = x 6 = x. 5. Se char(r) = 2 e x 2n +1 = x, con n N fissato, per ogni x R R booleano. Traccia: x 2 + x = (x 2 + x) n+1 = (x 2n + x n )(x 2 + x) = 0 x 2 = x. 6. x R Von Neumann regolare a R con xax x Von Neumann regolare. Se x è Von Neumann regolare prendiamo a = 0. Sia xax x = (xax x)r(xax x) con a, r R. Ovviamente x = xax (xax x)r(xax x), ma (xax x)r(xax x) = x(axrxa axr rxa + r)x xrx, quindi x xrx è Von Neumann regolare. 7. R commutativo: x è Von Neumann regolare (x) = (x 2 ) (x) = (x) 2 e Idem(R) con (x) = (e). x = xrx = rx 2 (x) = (x 2 ), infatti x 2 (x). Viceversa, (x) = (x 2 ) x = rx 2 = xrx per qualche r R. In ogni anello commutativo (x) 2 = (x 2 ). Infine: x = xrx = rx 2 (rx) 2 = r 2 x 2 = r(rx 2 ) = rx, quindi e = rx Idem(R) e (x) = (e). Sia M n (R) l anello delle matrici a coefficienti in R (n N + ), e sia E i,j (r) M n (R) la matrice pseudounità con unica entrata possibilmente non nulla ed uguale ad r R in posizione (i, j). 8. Per r, s R e x M n+ (R) sussistono le identità standard E i,j (r)e j,k (s) = E i,k (rs) e E i,j (r)e h,k (s) = 0 se j h e, x = i,j Ei,j (x i,j ), xe h,k (r) = i Ei,k (x i,h r), E h,k (r)x = j Eh,j (rx h,j ). 9. char(m n (R)) = char(r). E c(m n (R)) = Diag n (c(r)) (matrici diagonali a coefficienti in c(r)). 3

4 Anelli unitari, unità. Radici n-esime dell unità. x R è: Elemento neutro (moltiplicativo) sinistro [destro]: xr = r [rx = r] per ogni r R. Ogni tale x Idem(R). Elemento neutro (moltiplicativo) o uno se è elemento neutro sia sinistro che destro, ed in tal caso diciamo che R è un anello unitario. In tal caso: 1, 0, 1 c(r) e 0, 1 Idem(R). Invertibile a sinistra [destra] se R è unitario ed esiste y R tale che yx = 1 [yx = 1], y si dice un suo inverso sinistro [destro]; Invertibile, o unità, se x è invertibile sia a destra che a sinistra. R =U(R) è il gruppo delle unità di R. Radice n-esima dell unità se x n = 1 con n N +. µ n (R):= {x R x n = 1} U(R). µ n (R) c(r) è un sottogruppo di U(R). R si dice Dedekind-finito se xy = 1 yx = 1 in R. ESERCIZI. Sia R un anello. 1. s elemento neutro sinistro, d elemento neutro destro R è unitario con 1 = e = d. Basta provare che s = d. Ma s = sd (d neutro a destra), ed sd = d (s neutro a sinistra). Commento: non abbiamo usato la struttura additiva di R, né l associatività di (R, ). 2. e elemento neutro sinistro [destro] e + re r [e + er r] elemento neutro sinistro [destro] per ogni r R. (s + rs r)x = x + rx rx = x per ogni x R. 3. Se R ha un unico elemento neutro sinistro [destro] allora R è unitario. s = s + rs r per ogni r R. Cioè: rs = r per ogni r R. ESERCIZI. Sia R un anello unitario. 1. (R, +) è un gruppo abeliano. x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b) = (x + y)a + (x + y)b, prendendo a = b = 1, per cancellazione si trova x + y = y + x. N.B. (G,, e) gruppo anello a prodotto nullo (xy := e). 2. xy = 1 = yz x = z. Scriviamo quindi x = z = y 1 (unicità dell inverso). In particolare (y 1 ) 1 = y. z = 1z = (xy)z = x(yz) = x1 = x. Commento: non si usa (R, +), ma è essenziale l associatività di (R, ). 3. x R ed u R ux = xu xu 1 = u 1 x. In particolare u c(r) u 1 c(r). 4

5 ux = xu x = u 1 ux = u 1 xu xu 1 = u 1 x. 4. R = n N + R = µ d (R) con d = R n 1. R è un gruppo finito. 5. (1 xy) invertibile a sinistra [destra] (1 yx) invertibile a sinistra [destra]. Sol 1. Euristicamente: (1 xy) 1 = 1 + xy + (xy)(xy) + = 1 + x(1 + yx + (yx)(yx) +... )y = 1 + x(1 yx) 1 y. Verifichiamo che se z R soddisfa 1 = z(1 yx), allora 1 + xzy è un inverso sinistro di 1 xy, infatti: (1 + xzy)(1 xy) = 1 xy + xzy xzyxy = 1 xy + x(z zyx)y = 1. Sol 2. R(1 yx) Rx(1 yx) = R(1 xy)x = Rx yx perchè R = R(1 xy). Quindi 1 = 1 yx + yx R(1 yx). 6. x n R x R. yx n = x n y = 1 x ha inverso sinistro (yx n 1 ) e destro (x n 1 y), quindi x R. Nilpotenti, zero-divisori x R è: Nilpotente se x n = 0 per qualche n N. Nil(R) := {x R x nilpotente }. Idem(R) Nil(R) = {0}. Zero-divisore sinistro [destro] se xy = 0 [yx = 0] per qualche y R \ {0}. Zero-divisore se è zero-divisore sinistro oppure destro. Zdv(R) := {x R x zero-divisore }. Osserviamo che: Nil(R) Zdv(R); se R è unitario: Idem(R) Zdv(R) = Idem(R) \ {1}. ESERCIZIO. Sia R un anello finito tale che Zdv(R) R. Allora R è unitario e R = R \ Zdv(R). Sia n := R 2, e sia r R\Zdv(R). Allora le applicazioni λ r : R R, x rx e ρ r : R R, x rx sono iniettive. R è finito λ r, ρ r sono biiezioni (che possiamo anche restringere a R \ {0}) e quindi λ r (n 1)! = λ (n 1)! r = Id R = ρ (n 1)! r = ρ r (n 1)!. Ovvero r (n 1)! è elemento neutro in R. L argomento usato sopra dimostra inoltre che R \ Zdv(R) µ (n 1)! (R) R. Ovviamente, a posteriori, R \ Zdv(R) µ d (R) con d n 1. Si confronti con gli esercizi DominioFinitoCampoDominio finito campo e DominioSVFinitoCorpoDominio spazio vettoriale finito implica corpo. 5

6 ESERCIZI. Sia R un anello. 1. x R, y Nil(R) e xy = yx xy Nil(R). (xy) n = x n y n per ogni n N. N.B. In M 2 (Z): ( ) ( = 0 1 ) ( x, y Nil(R) e xy = yx x + y Nil(R). (x + y) n+m = n+m ( n+m ) i=0 x i y n+m i. N.B. In M 2 (Z): ( i ) = ( ) + ( ) Nil(R). ) Nil(R). 3. x Nil(R), u R e xu = ux u + x, u x R. 1 x n+1 = (1 x)(1 + x + + x n ) = 1 1 x U(R). In generale si usa u + x = u(1 ( u 1 )x). N.B. In M 2 (Z): ( ) = ( ) + ( ) R. 4. e Idem(R) \ Zdv(R) R unitario con 1 = e. Da provare: ex = xe = x per ogni x R. Se x = 0 è ovvio. Sia x 0 allora 0 = ex e 2 x = e(x ex) x = ex, analogamente 0 = xe xe 2 = (x xe)e x = xe. ESERCIZI. Sia R un anello unitario. 1. x invertibile a sinistra [destra] x non è uno zero-divisore sinistro [destro]. Se x è Von Neumann regolare, cioè x xrx, vale il. Da yx = 1 segue che λ y : R R, r yr è un inversa sinistra di λ x : R R, r xr, quindi λ x è iniettiva, cioè x non è uno zero-divisore sinistro. Se x = xrx non è uno zero-divisore sinistro, allora x(1 rx) = 0 1 = rx. 2. yx = 1 [xy = 1] e x non è uno zero-divisore destro [sinistro] x R. Da yx = 1 segue (xy 1)x = 0, ma x non è uno zero-divisore destro, quindi xy = R finito R Dedekind finito. Da yx = 1 segue x non è zero divisore sinistro, quindi λ x : R R, r xr è iniettiva. Ma R è finito, quindi λ x suriettiva, da cui xy = Anelli ridotti, domini (d integrità), corpi e campi. Anelli ridotti, domini (d integrità), corpi e campi. Sia R un anello, diciamo che R è Ridotto se Nil(R) = 0. Dominio (d integrità), o integro, se R 0 e Zdv(R) = {0}. Corpo se R \ {0} è un gruppo (in particolare, R è unitario). Campo se R è un corpo commutativo. Si ha subito: 6

7 campo corpo dominio anello ridotto non nullo. Per un anello unitario R: corpo non ha ideali sinistri (destri) principali diversi da (0) e da R (0) ed R sono i suoi soli ideali sinistri (destri). In particolare: a) un corpo è un anello semplice, cioè privo di ideali bilateri non triviali (!!! M 2 (C) non ha ideali bilateri non triviali, ma non è un dominio). b) R è campo non ha ideali non triviali. ESERCIZI: Sia R un anello unitario. 1. e Idem(R) \ {0} e + ex(1 e) Idem(R) \ {0} per ogni x R. 2. Sia e Idem(R), posto e := 1 e, si ha: e Idem(R) ed ee = e e = 0. Inoltre: e c(r) ere = e Re = 0 er = Re ek = ke per ogni k Idem(R). 3. R ridotto Idem(R) c(r). 4. Sia e Idem(R), allora e c(r) ex = xe per ogni x Nil(R). 5. R ridotto R reversibile, cioè xy 0 yx 0. ESERCIZI. Sia R un anello. 1. R ridotto per ogni x 1,..., x r R ed ogni n 1,..., n r N + si ha x 1 x r 0 x n1 1 xnr r R ridotto R simmetrico, cioè xyz R yxz = Siano x, y R ridotto ed u, v N + relativamente primi, se x r = y r e x s = y s allora x = y. ESERCIZI: Sia R un anello finito. 1. R dominio R corpo (in part. 1 R). Per ogni anello c è l applicazione λ: R R R, r λ r, con λ r (x) := rx. Notiamo che λ r2 λ r1 = λ r2r 1. Poiché R è un dominio le applicazioni λ e λ r : R R, con r 0 sono iniettive. Poiché R è un insieme finito λ r : R R è biiettiva per ogni r 0. Quindi, tramite λ, R \ {0} è un sottoinsieme non vuoto, finito e chiuso del gruppo di tutte le biiezioni di R in sé: λ: R \ {0} Bij(R). Quindi R \ {0} è un gruppo. Si confronti con gli esercizi ZeroDivisoriAnelliFinitiZero divisori in anelli finiti e DominioSVFinitoCorpoDominio spazio vettoriale finito implica corpo. TEOREMA (Wedderburn, 1905). Corpo finito campo. 7

8 Quindi: dominio finito campo finito. 2. R unitario r R oppure r Zdv(R) per ogni r R. r non zero-divisore sinistro x rx è iniettiva, quindi biiettiva e di periodo finito. Quindi r µ n (R) R per qualche n N +. ESERCIZI. Sia R un dominio. 1. R è Dedekind-finito, cioè xy = 1 yx = 1 x invertibile a destra e non zero divisore sinistro x R. 2. char(r) = 0 oppure char(r) = p primo positivo. Sia n = char(r) 0. Allora nx = 0 x R, ed n N + è minimo per questa proprietà. Scelto r R \ {0}, se n = hk Z, allora 0 = nr 2 = (hr)(kr) hr = 0 oppure kr = 0 in R. Sia hr = 0. Allora, x R \ {0} abbiamo 0 = (hr)x = r(hx), e quindi hx = 0. Concludiamo per la minimalità di n. N.B. char(r) N + char(r) = m.c.m.{π(r) r R}. Nella dimostrazione è essenziale la distributività. Se R è un dominio unitario (e.g. se R è finito): Z/(n) R dominio n primo. ESERCIZI. Sia R un anello. 1. R è un corpo R 0 e per ogni x R \ {0} l equazione xyx = x ha un unica soluzione y R. 2. Sia R unitario. Allora R è un corpo per ogni x R \ {1} esiste y R tale che x + y = xy. ESERCIZIO. Sia K L un omomorfismo di anelli unitari con K un corpo ed L un dominio. Se L ha dimensione finita come spazio vettoriale sinistro, o destro, su K allora L è un corpo. DIM. (Ovviamente K L perché K è semplice.) Supponiamo che L sia finitamente generato come K-spazio vettoriale destro. Basta dimostrare che per ogni x L \ {0} l ideale destro xl è tutto L. Ciò segue immediatamente osservando che xl = Im(λ x ), dove λ x : L L è l applicazione λ x (l) := xl per ogni l L (ovviamente additiva). Infatti λ x è K-lineare rispetto alla struttura di spazio vettoriale destro su L perché λ x (lk) = x(lk) = (xl)k = λ x (l)k. Poiché x non è zero-divisore sinistro (L è un dominio) λ x è un endomorfismo iniettivo del K-spazio vettoriale destro finitamente generato L. Quindi λ x è suriettivo. Si confronti la soluzione di questo esercizio con quelle dei seguenti esercizi DominioFinitoCampoDominio finito implica campo e ZeroDivisoriAnelliFinitiZero divisori in anelli finiti. 8

9 1.3 Anelli: sottoanelli e ideali. Anelli semplici. Sottoanelli, ideali. Sia (R, +, ) un anello. Un sottoanello di R è un sottogruppo S di (R, +) chiuso rispetto al prodotto. Se R è unitario, S è un sottoanello unitario se S è un sottoanello ed 1 R S. Un ideale sinistro [destro] di R è un sottogruppo I di (R, +) tale che R I I [I R I]. Un ideale (bilatere) di R è un ideale sinistro e destro di R. Un ideale (sinistro, o destro) I di R si dice proprio se I R. I si dice non triviale se I è proprio e I {0}. R è un anello semplice se non ha ideali bilateri non triviali. N.B. R e 0 = (0) := {0} sono ideali e sottoanelli (triviali) di R. Il centro c(r) è sempre un sottoanello (unitario se R lo è). N.B. Ogni ideale sinistro, o destro, è sottoanello. N.B. I ideale (sinistro, o destro) di R unitario: I = R 1 I. N.B. I sottoanelli, e così gli ideali (sinistri, destri), sono stabili per intersezioni arbitrarie. N.B. R semplice R 0. ESERCIZI. Sia R un anello. 1. c R (X) è un sottoanello (unitario se R è tale) per ogni X R. X 1 X 2 R R c R (X 1 ) c R (X 2 ) c(r). 2. R corpo R semplice e c(r) campo. 3. Gli ideali (bilateri!) di M n (R) sono tutti e soli della forma M n (I) per un ideale (bilatero!) I di R univocamente determinato. In particolare R semplice M n (R) semplice. Se I è un ideale sinistro (risp. destro) di R l insieme M n (I) è ovviamente un ideale sinistro (risp. destro) di M n (R). Se M n (I 1 ) = M n (I 2 ) è chiaro che I 1 = I 2. Sia J un ideale di M n (R) allora I := {x 1,1 x = (x i,j ) J} è chiaramente un ideale di R e J = M n (I), come si vede usando le matrici unità E i,j (r) M n (R) e le identità standard precedentemente ricordate. 4. In M n (R), C i := {x = (x h,k ) x h,k = 0k i} sono ideali sinistri per ogni i = 1,..., n. yx = yc 1 (x) + + yc n (x) dove C h (x) è l h-esima colonna di x. ESEMPI. Anelli finiti di matrici. 9

10 R = M 2 (Z/(2)) È un anello unitario non commutativo con 16 elementi. c(r) = {0 2, I 2 } = Z/(2) è un campo. Idem(R) = {0 2, I 2, e 1,1, e 2,2, e 1,1 + e 1,2, e 1,1 + e 2,1, e 2,1 + e 2,2, e 1,2 + e 2,2 }. Nil(R) = {0 2 e 1,2, e 2,1, e 1,1 + e 1,2 + e 2,1 + e 2,2 }. R = GL 2 (Z/(2)) = {I 2, I 2 + e 1,2, I 2 + e 2,1, u 2 := e 1,2 + e S 3. µ 2 (R) = {I 2, I 2 + e 1,2, I 2 + e 2,1, u 2 } non è un sottogruppo! µ 3 (R) = {I 2, u 2 + e 1,1, u 2 + e 2,2 } = Z/3Z. Zdv(R) = Nil(R) (Idem(R) \ {I 2 }). R \ Zdv(R) = R. R = UT 2 (Z/(2)) è un sottoanello, non commutativo, unitario di M 2 (Z/(2)) con 8 elementi. c(r) = {0 2, I 2 } = Z/(2) è un campo. Idem(R) = {0 2, I 2, e 1,1, e 2,2, e 1,1 + e 1,2, e 1,2 + e 2,2 }. Nil(R) = {0 2, e 1,2 }. R = µ 2 (R) = {I 2, I 2 + e 1,2 } = Z/2Z. Zdv(R) = Nil(R) (Idem(R) \ {I 2 }). R \ Zdv(R) = R. ESEMPIO. Algebre quaternioniche su un campo K. Dati a, b K sia (a, b; K) l insieme K 4 = K 1 K u K v K uv (Kspazio vettoriale di base 1, u, v, uv) con moltiplicazione K-bilineare indotta da: u 2 = a, v 2 = b, uv = vu, se char(k) 2, e da u 2 = a, v 2 + v = b, uv = vu + u se char(k) = 2. Si verifica che R = (a, b; K) è un anello unitario e che K R, x x 1 è un omomorfismo unitario di anelli con immagine contenuta in c(r). Ad esempio ( 1, 1; R) = H è il corpo dei quaternioni di Hamilton. Come per H, per ogni q = x + yu + zv + tuv R si definisce il suo coniugato q:= x yu zv tuv, ottenendo così un involuzione K-lineare: q = q, αq = αq, se α K, q 1 + q 2 = q 1 + q 2, e q 1 q 2 = q 2 q 1. È facile provare che (a, b; K) è un anello semplice, cioè privo di ideali bilateri non triviali e che K 1 = c((a, b; K)). Generazione di sottoanelli e ideali. Operazioni. Sia (R, +, ) un anello ed X R. Il sottoanello generato da X in R, < X >, è l intersezione di tutti i sottoanelli di R contenenti X. Se R è unitario, < X > denota il sottoanello unitario generato da X. Se X = {r 1,..., r n } scriviamo < r 1,..., r n >; e se n = 1, l anello < r 1 > si dice ciclico o monogeno. L ideale [risp. sinistro, destro] generato da X in R, (X) [risp. RX, XR], è l intersezione di tutti gli ideali [risp. sinistri, destri] di R contenenti X. Se X = {r 1,..., r n } scriviamo (r 1,..., r n ) per (X); e se n = 1 gli ideali Rr 1, r 1 R, (r 1 ) si dicono principali, o anche ciclici o monogeni. Sia (I λ ) λ Λ una famiglia di ideali (risp. sinistri, destri) in R La somma degli ideali I λ è l ideale (risp. sinistro, destro) λ Λ I λ generato da λ Λ I λ. Se Λ = {1,..., n} si scrive anche λ Λ I λ = I I n. Se Λ = {1,..., n} è finito si definisce prodotto degli I λ l ideale (risp. sinistro, destro) λ Λ I λ=i 1 I n generato da {r 1 r n r λ I λ λ Λ}. 10

11 ESERCIZI. Sia R un anello ed X R. 1. Se X =, allora < X >= RX = XR = (X) = 0. Se R è unitario, < >=< 1 >, e RX = XR = (X) = Se X = {r}, si ha < r >= { k i=1 n ir i n i Z, k N + }, Rr = {nr + xr n Z, x R}, (r) = {nr + xr + ry + k j=1 z jxt j n Z, x, y, z j, t j R, k N + }. Se R è unitario, < r >= { k i=0 n ir i n i Z, k N}, e Rr = {xr x R}, (r) = { k j=1 x jry j x j, y j R, k N + }. N.B. I sottoanelli ciclici < r > sono tutti commutativi. 3. < X >= { somme di prodotti di elementi di X }. 4. RX [XR] = { somme di multipli destri [sinistri] in R di elementi di X (e loro multipli interi se R non è unitario) }. (X) è il sottogruppo di (R, +) generato da X RX XR RXR. 5. Sia R 0. Se R è privo di ideali sinistri non triviali allora: Rx = R per ogni x R \ {0}, oppure Rx = 0 per ogni x R. 6. Sia R 0. Allora: R semplice (x) = R per ogni x R \ {0}. 7. Siano I 1, I 2 ideali sinistri di R, I 1 I 2 è un ideale sinistro di R I 1 I 2 o I 2 I Sia (I λ ) λ Λ una famiglia di ideali sinistri (risp. destri) in R tale che α, β Λ γ Λ tale che I α I β I γ. Allora λ Λ I λ è un ideale sinistro (risp. destro) di R e λ Λ I λ = λ Λ I λ. 9. Sia S un sottoanello di R e sia r R. Definiamo S[r]:= {s 0 + n j=1 s jr j s j S Z, n N + }. Provare che r c(s) S[r] è un sottoanello di R, ed anzi S[r] =< S {r} >. È una condizione necessaria o solo sufficiente? I più semplici anelli semplici, unitari e non Un anello R è semplice se R 0 ed i soli ideali bilateri di R sono 0 ed R. Gli anelli non nulli privi di sottoanelli non triviali sono semplici e commutativi: R =< r > per ogni r R \ {0}. 1. Se R 0 non ha sottoanelli diversi da 0 ed R allora R N ed è un numero primo p. Quindi R = F p, oppure (R, +) = Z/pZ, ed xy = 0 per ogni x, y R. 2. Se R 0 è unitario e non ha sottoanelli unitari diversi da 0 ed R allora R = Z/(n) con n N. 11

12 1.4 Anelli: morfismi. Omorfismi. Siano R ed S anelli e sia f : R S un (omo)morfismo di gruppi. f è un (omo)morfismo di anelli se f(xy) = f(x)f(y) per ogni x, y R. Se R ed S sono unitari, f si dice (omo)morfismo unitario di anelli se f(1 R ) = 1 S. f è un antiomomorfismo di anelli se f(x y) = f(y)f(x) per ogni x, y R. Un involuzione di R è un antiomomorfismo i: R R tale che i 2 = i i = Id R. N.B. L identità Id R : R è un omomorfismo. Il composto di due omomorfismi è un omomorfismo. Anello opposto. Sia R un anello. L anello opposto R op di R è l anello che ha per gruppo additivo il gruppo additivo di R e moltiplicazione opposta a quella di R, cioè x y := yx per ogni x, y R op. L applicazione identica di R definisce un antiisomorfismo di anelli R R op. Ovviamente (R op ) op = R, e R = R op R è commutativo. Se S è un anello, allora f : R S è un antiomomorfismo di anelli se e solo se f : R op S è un omomorfismo di anelli. ESEMPI. M n (R) op = Mn (R op ) via x t x. H op = H via q = x + yi + zj + tk q = x yi zj tk. R := {( ) } q x 0 y q Q, x, y R = R op : R ha infiniti ideali sinistri, ma solo un numero finito di ideali destri. Se R è unitario, R op = {f End((R, +)) f(rx) = rf(x) r, x R} via r r con inverso f f(1). Nuclei ed immagini. Sia f : R S un omomorfismo di anelli. f 1 (J) è un ideale sinistro (risp. destro) di R per ogni ideale sinistro (risp. destro) J di S. In particolare Ker(f) = f 1 (0) è un ideale bilatero di R. f 1 (V ) è un sottoanello di R per ogni sottoanello V di S. f(u) è un sottoanello di S per ogni sottoanello U di S. Se f è suriettiva f(i) è un ideale sinistro (risp. destro) di S per ogni ideale sinistro (risp. destro) I di R. 12

13 ESERCIZI. Sia f : R S un omomorfismo di anelli. Ovviamente f conserva: idempotenti, elementi Von Neumann regolari, e nilpotenti. Se f è unitario conserva anche unità e radici dell unità. 1. R unitario, f suriettivo S unitario e 1 S = f(1 R ). Da provare: xf(1) = f(1)x = x per ogni x S. f suriettivo x = f(r) per qualche r R. r1 = r = 1r R xf(1) = f(r)f(1) = f(r) = f(1)f(r) = f(1)x S. 2. R unitario, f non nullo, S dominio S unitario e 1 S = f(1 R ). 1 R è un idempotente non nullo (1 = 0 f = 0) f(1) idempotente non nullo in S dominio. Quindi S è unitario con 1 S = f(1 R ). 3. f unitario, e non nullo char(s) char(r). 0 = f(char(r)1 R ) = char(r)1 S char(s) char(r). 1.5 Quozienti di anelli Congruenze e quozienti di anelli. Sia I un ideale bilatero di un anello R. I definisce una relazione d equivalenza su R, cioè x y : x y I. Si noti che [x] = x + I è la classe di equivalenza di x R. La relazione è una congruenza di anelli, cioè x y rx ry e xr yr r R. Quindi sull insieme quoziente R/I := R/ c è un unica struttura di anello tale che la proiezione canonica sul quoziente π I : R R/I (ovviamente suriettiva) sia un omomorfismo di anelli. Inoltre Ker(π I ) = [0] = I. La suriezione π I : R R/I è individuata a meno di isomorfismi dalla proprietà seguente: per ogni anello S, gli omomorfismi di anelli f : R/I S sono posti in biezione con gli omomorfismi di anelli ϕ: R S tali che ϕ(i) = 0 dalla mappa f ϕ f := f π I. (Proprietà universale di π I ). Gli ideali K (sinistri, destri, bilateri) di S = R/I corrispondono biettivamente agli ideali J (sinistri, destri, bilateri) di R contenenti I via: J = π 1 (K) K = J/I, ed in tal caso S/K = R/I. Se J è un ideale qualunque di R si ha: π 1 (π(j)) = J + I, e S/π(J) = R/I + J. ESERCIZI. Sia R un anello. 1. Gli omorfismi di anelli f : Z R corrispondono biiettivamente agli idempotenti di R via f f(1). Il generatore z Z del nucleo di ogni tale f è il periodo di f(1) in (R, +) o 0 se f è iniettivo, e z char(r). L immagine di ogni tale f è il sottoanello ciclico generato da f(1), isomorfo a Z/(z). 1 è idempotente in Z, quindi f(1) Idem(R). Viceversa: dato e = e 2 Idem(R), l applicazione f : n Z ne Z è ben definita e soddisfa f(n)f(m) = nme 2 = nme = f(nm) per ogni n, m Z. Si conclude facilmente. 13

14 2. R semplice R 0 ed ogni omomorfismo di anelli non nullo f : R S è iniettivo. In particolare, se R è semplice e non commutativo non esistono omomorfismi di anelli non nulli f : R S con S commutativo. Ker(f) è un ideale bilatero di R semplice, quindi o Ker(f) = R o Ker(f) = 0. f 0 Ker(f) = 0. Viceversa ogni ideale bilatero I è nucleo della sua proiezione al quoziente π I : R R/I e I è proprio se e solo se π I Se R è commutativo: R è semplice R è campo oppure (R, +) = Z/pZ, con p primo, ed xy = 0 per ogni x, y R. 4. Su R 1 := Z R poniamo (n, x) + (m, y) := (n + m, x + y) e (n, x)(m, y) := (nm, ny+mx+xy). Allora R 1 è un anello unitario, con 1 = (1, 0) e centro c(r 1 ) = Z c(r). Se R è unitario (0, 1 R ) Idem(R 1 ) c(r 1 ). C è un omomorfismo iniettivo di anelli R R 1, r (0, r). R è il nucleo dell omorfismo unitario suriettivo R 1 Z, (n, x) n, quindi R è un ideale bilatere di R Per ogni anello unitario S, gli omorfismi di anelli da f : R S corrispondono biiettivamente agli omomorfismi di anelli unitari ϕ: R 1 S via ϕ ϕ R e f ˆf con ˆf(n, x) := n 1 S + f(x). 6. Siano f, g : R S due omomorfismi di anelli (eventualmente unitari). Se f e g coincidono su un sistema di generatori di anello di R allora coincidono. Sia Eq(f, g):= {x R f(x) = g(x)} = (f, g) 1 ( S ) = Ker(f g) il sottospazio di coincidenza di f e g (equalizzatore). Eq(f, g) è un sottoanello (unitario se f e g lo sono) di R. Sono verifiche immediate. L opposto f di un omomorfismo di anelli f : R S, la somma f + g e la differenza f g di due omomorfismi di anelli, NON SONO omomorfismi di anelli in generale! 7. Sia S un dominio commutativo con char(s) 2. Se f, g : R S sono omomorfismi di anelli tali che f + g : R S è un omomorfismo di anelli allora f = g = 0. Siano f, g : Z Z/(6) tali che f(1) := 4 e g(1) := 3, allora f + g : Z Z/(6) è la proiezione sul quoziente! Quindi non è sufficiente assumere S ridotto. 8. R anello unitario semplice c(r) campo. R unitario semplice 1 c(r) 0. Osserviamo che se x U(R) allora x c(r) x 1 c(r). Per mostrare che c(r) è un campo è quindi sufficiente dimostrare che: R semplice c(r) \ {0} U(R). Sia x c(r) \ {0}, allora l ideale bilatero (x) generato da x in R coincide con R, quindi 1 (x). Ma x c(r) Rx = (x) = xr, pertanto x U(R). 14

15 1.6 Frobenius Frobenius Se R è un anello commutativo e char(r) = p, con p primo positivo, allora F p n : R R, x x pn è un omomorfismo di anelli (unitari se 1 R) per ogni n N. F p n = (F p ) n come applicazioni, quindi basta considerare n = 1. F p è ovviamente moltiplicativa (e 1 p = 1). (x + y) p = p ( p i=0 i) x i y p i = x p + y p perché p primo p ( ) p i = p! (p i)!i! = p (p 1)! (p i)!i! per ciascun i {1,..., p 1}. F p è detto omomorfismo di Frobenius. Ker(F p Id R ) = R Fp = {r R r p = r} è il sottoanello (unitario) di R dei punti fissi del Frobenius. Se R è unitario allora F p R e F p Ker(F p Id R ). Infatti F p è un gruppo (ciclico) di ordine p 1, quindi x p = x per ogni x F p. Z è l anello unitario iniziale. Sottoanelli primi. Per ogni anello unitario R esiste un unico omomorfismo di gruppi f : Z R tale che f(1 Z ) = 1 R. Esso è l unico omomorfismo unitario di anelli i R : Z R. Ker(i R ) = (char(r)). Im(i R ) = Z/(char(R)) e coincide con il più piccolo sottoanello unitario contenuto in R. Gli omomorfismi di gruppi f : Z R sono individuati dall immagine di un generatore. La richiesta f(1) = 1 R forza f(n) = nf(1) = n1 R per ogni n Z. Questa applicazione è omomorfismo di gruppi e di anelli. Il periodo di 1 R = i R (1) è la caratteristica (se finita): nr = n1r. L immagine di i R è il sottoanello di R generato da 1 R, quindi è contenuto in ogni altro sottoanello unitario di R. DEF. ll sottoanello Im(i R ) si dice sottoanello primo di R, è isomorfo a Z/(char(R)) con char(r) N. N.B. Il sottoanello primo di R è sempre commutativo e centrale (cioè contenuto in c(r)). Esercizi. Sia R un anello e p un primo positivo. 1. R = p R = F p := Z/(p) campo, oppure xy = 0 per ogni x, y R. Il gruppo additivo di R è, per Lagrange, necessariamente isomorfo a Z/pZ. Supponiamo xy 0, allora λ x : R R, r xr è un endomorfismo non nullo del gruppo additivo di R. Quindi λ x è una biiezione, ed una sua potenza λ n x = λ x n coincide con Id R. Allora R ha unità sinistra (x n ) e destra (y m ), quindi R è unitario. Pertanto c(r) 1 è un sottoanello non nullo, quindi R = c(r) e i R : Z c(r) è suriettivo con nucleo (p). 2. R unitario, R = p 2 R commutativo. Dare un controesempio nel caso non unitario. 15

16 Se i R : Z R non è suriettivo sia r R \ Im(i R ). Allora R = Z 1 R Z r, ovviamente commutativo. L ideale sinistro { ( ) x 0 y 0 x, y Fp } di M 2 (F p ) è un anello non unitario, non commutativo, con p 2 elementi. 3. R non commutativo, R = p 3? Basta prendere R = UT 2 (F p ): le matrici triangolari superiori in M 2 (F p ). 1.7 Ideali massimali, primi... Ideali massimali, irriducibili, primi e semiprimi. Sia R un anello ed I R un suo ideale sinistro [destro]. I è un ideale massimale sinistro [destro] di R se I R e I J J = I oppure J = R per ogni ideale sinistro [destro] J. N.B. Il ZornIdealiMassimaliLemma di Zorn assicura l esistenza di tali ideali se R è unitario e non nullo. I è un ideale irriducibile di R se I è un ideale bilatero, I R e I = U V I = U oppure I = V. I è un ideale primo di R se I è un ideale bilatero, I R e per ogni coppia di ideali (bilateri) U, V R tali che UV I si ha U I oppure V I. I è un ideale semiprimo di R se I è un ideale bilatero e per ogni ideale (bilatero) U R tali che U 2 I si ha U I. Se R è commutativo si dice che I è un ideale radicale. Radicale di Jacobson, anelli locali, radicale di un ideale. Il radicale (di Jacobson) di R è l intersezione di tutti gli ideali massimali sinistri. Si denota con rad(r) = J(R), è un ideale bilatero e coincide con l intersezione di tutti gli ideali massimali destri. R è un anello locale se R è unitario e possiede un unico ideale massimale sinistro M. In tal caso, M = J(R) è il radicale di R. Se I è un ideale bilatero, il suo radicale I è l intersezione di tutti gli ideali primi di R contenenti I. ESERCIZIO. Siano R un anello ed I un suo ideale proprio. Sono fatti equivalenti: 1. I è un ideale primo. 2. Per ogni x, y R si ha (x)(y) I x I oppure y I. 3. Per ogni x, y R si ha xry I x I oppure y I. 4. Per ogni coppia di ideali sinistri [destri] H, K R si ha HK I H I oppure K I. 16

17 Se R è un anello commutativo le condizioni sopra elencate sono equivalenti a: per ogni x, y R xy I x I oppure y I. ESERCIZI. Sia R un anello. 1. Se R è unitario ogni ideale massimale è primo. In A = 2Z (anello non unitario) l ideale I = 4Z è massimale non primo. 2. Sia I un ideale di R, allora R/I è semplice se e solo se I è massimale. 3. Sia I un ideale di R, se R/I è un dominio allora I è primo. In R = M 2 (C) l ideale (0) è massimale, quindi primo, eppure R non è un dominio. Se A è un anello commutativo ed I è un suo ideale allora A/I è un dominio se e solo se I è primo. 4. Un sottoinsieme non vuoto S R si dice un m-sistema se per ogni x, y S esiste r R tale che xry S. Ogni sottomonoide di (R, ) è un m-sistema, ma non vale il viceversa: per ogni x R l insieme {x, x 2, x 4, x 6,... } è un m-sistema che non è un sottomonoide. Sia I un ideale di R, allora: I è primo se e solo se R \ I è un m-sistema. Se A è un anello commutativo, allora: I è primo se e solo se A \ I è un sottomonoide di (A, ). 5. Sia S un m-sistema di R e sia I un ideale di R disgiunto da S e massimale per questa proprietà, allora I è un ideale primo di R. Spettro primo di un anello commutativo unitario. Sia A un anello commutativo unitario. DEFINIZIONE. Si dice spettro (primo) di A l insieme Spec(A) degli ideali primi di A. Il sottoinsieme di Spec(A) cosituito dagli ideali massimali si denota Max(A) ed è detto spettro massimale di A. ESEMPI. 1. Grazie al ZornMassimaliLemma di Zorn si ha Spec(A) = A = A è un dominio {0} Spec(A), e A è un campo Spec(A) = {0}. 3. Se A è un PID, allora Spec(A) = {0} Max(A) con Max(A) = {(f) f irriducibile in A}. Ad esempio: Spec(Z) = {(p) p = 0 oppure p primo }, e Spec(k[t]) = {(f) f = 0 oppure f irriducibile } per ogni campo k. 4. Max(C[t]) = {(t z) z C}. Max(R[t]) = {(f) deg(f) = 1, oppure deg(f) = 2 e f < 0}. 17

18 5. Osserviamo che (f) Spec(Z[t]) \ M ax(z[t]) per ogni f Z[t] tale che (f) Spec(Z) oppure f polinomio irriducibile di Z[t] (anello fattoriale). Mentre (f, p) Max(Z[t]) per ogni p numero primo in Z ed f Z[t] tale che f = f(t) Z[t]/(p) = F p [t] è irriducibile in F p [t]. Infatti Z[t]/(f, p) = F p [t]/(f). ESERCIZIO. Sia f : A B un omomorfismo di a.c.u. Ponendo f (q) := f 1 (q) per ogni q Spec(B) si definisce un applicazione f : Spec(B) Spec(A). Se g : B C è un altro omomorfismo di a.c.u. si ha (g f) = f g. Inoltre (Id A ) = Id Spec(A). ESERCIZIO. Per ogni a.c.u. A vi è un unica topologia su X := Spec(A), detta topologia di Zariski, i cui chiusi sono gli insiemi V (S) := {p S p} al variare di S fra i sottoinsiemi di A. Si dimostri che: 1. S 1 S 2 V (S 1 ) V (S 2 ),V (S) = V ((S)) = V ( (S)), V (S) = X S 0 A, V (S) = S A (occorre il ZornIdealiMassimaliLemma di Zorn). 2. Per ogni famiglia di sottoinsiemi (S λ ) λ Λ si ha V ( λ Λ S λ) = λ Λ V (S λ). 3. Per ogni coppia di ideali I, J A si ha V (I J) = V (IJ) = V (I) V (J). ESERCIZI. Sia A un a.c.u. e sia X := Spec(A). 1. Per ogni E X definiamo I(E) := p E p. Si ha E 1 E 2 I(E 1 ) I(E 2 ), V (I(E)) = E (chiusura topologica di E X) ed I(V (S)) = (S) per ogni S A. 2. I(E) = A E = e I(E) = 0 A E Min(A) dove Min(A) = Min(0 A ) è l insieme degli ZornMinimaliideali primi minimali di A. 3. Descriviamo una base di aperti per la topologia di X: gli insiemi aperti X f := X \ V (f) al variare di f A si dicono aperti fondamentali di X. Si osservi che: 1. Per ogni S A, X \ V (S) = X \ f S V (f) = f S X f. 2. X f X g = X fg, X f = f 0 A, e X f = X f A. 3. X f = X g (f) = (g). 4. Ogni X f è compatto, in particolare X è compatto. 5. Un aperto U di X è compatto se e solo se U è unione finita di aperti fondamentali. 18

19 4. Abbiamo visto che l operatore di chiusura nella topologia di X si caratterizza come segue: E = V (I(E)) per ogni E X. In particolare: un punto p Spec(A) è chiuso p Max(A) 5. Sia S un m-sistema di R e sia I un ideale di R disgiunto da S e massimale per questa proprietà, allora I è un ideale primo di R. 6. Ogni sottomonoide di (R, ) è un m-sistema, ma non vale il viceversa. Radicali in A anello commutativo unitario (I). I := {a A a n I per qualche n N} = π 1 I (Nil(A/I)), con π I : A A/I la proiezione canonica sul quoziente, è un ideale per ogni ideale I, detto radicale di I. Per ogni omomorfismo di anelli commutativi f : A B e per ogni J ideale di B si ha: f 1 ( J) = f 1 (J). L anello quoziente A/ I è ridotto e per ogni omomorfismo di anelli f : A R con R ridotto e f(i) = 0 esiste un unico omomorfismo di anelli f : A/ I R tale che f = f π I (proprietà universale). Per I = (0) ritroviamo Nil(A) = (0) e A red := A/ (0 A ) è l anello ridotto associato ad A. (A/I) red = A/ I. Radicali in A anello commutativo unitario (II). I 1 I 2 I 1 I 2 ; I I; I = I; 1 I 1 I. I si dice radicale se I = J (per qualche J) I = I. I 1 I 2 = I 1 I 2 = I 1 I 2, e I n = I per ogni n N +. In generale λ Λ I λ = λ Λ Iλ. Se p è primo si ha p n = p per ogni n N +. I 1 + I 2 = I1 + I 2. I = p Spec(A/I) p. Se x è un indeterminata su A: IA[x] = ( I)A[x]. 19

20 1.8 Anelli prodotto Anelli prodotto. (R λ ) λ Λ famiglia di anelli, Il prodotto P = λ Λ R λ è l anello { P := f : I } R λ f applicazione t.c. f λ = f(λ) R λ λ Λ λ Λ con operazioni definite componente per componente dalle operazioni di R λ : (f λ ) λ Λ + (g λ ) λ Λ := (f λ + g λ ) λ Λ, (f λ ) λ Λ (g λ ) λ Λ := (f λ g λ ) λ Λ. Le proiezioni canoniche pr λ : P R λ sono omomorfismi suriettivi di anelli per ogni λ Λ. Se R λ = R per ogni λ Λ, P = R Λ è l anello delle funzioni da Λ in R. Anelli prodotto. Proprietà. Per ogni anello R, gli omomorfismi di anelli f : R λ Λ R λ corrispondono biettivamente alle famiglie di omomorfismi di anelli (f λ : R R λ ) λ Λ via f (pr λ f) λ Λ (proprietà universale del prodotto). c(p ) = λ Λ c(r λ), Idem(P ) = i I Idem(R λ), Nil(P ) = λ Λ Nil(R λ). P è unitario R λ unitario λ Λ. In tal caso U(P ) = λ Λ U(R λ). Zdv(P ) = λ Λ pr 1 λ (Zdv(R λ)). In particolare P è un dominio R λ 0 per un solo λ Λ ed R λ è un dominio. Prodotti finiti vs infiniti di anelli unitari. Sia e (µ) Idem( λ Λ R λ) t.c. e (µ) (λ) = δ λ,µ. Esercizio. Se Λ è finito gli ideali (sinistri, destri, bilateri) di λ Λ R λ sono tutti e soli i prodotti di ideali (sinistri, destri, bilateri) I λ R λ. Se I è un ideale (sinistro, destro, bilatero) di λ Λ R λ allora pr λ (I) è tale in R λ (suriettività degli omomorfismi pr λ ). Tautologicamente: I λ Λ pr λ(i). Viceversa: dato f λ Λ R λ tale che f λ = pr λ (f (λ) ) con f (λ) I, abbiamo f = λ Λ e(λ) f (λ) I. N.B. È ovvio che se I è un prodotto è prodotto delle sue proiezioni. La somma considerata ha senso solo se Λ è finito. In generale, per Λ qualunque, λ Λ R λ possiede l ideale (bilatero) λ Λ R λ := {f {λ Λ f λ 0} N} tale che pr µ ( λ Λ R λ ) = R µ. Se gli R λ sono tutti unitari, è l ideale bilatero generato dagli e (µ). λ Λ R λ è un prodotto Λ è finito λ Λ R λ = λ Λ R λ. 20

21 ESERCIZIO. Anello delle parti. Sia X un insieme. L insieme delle parti P(X) di X è un anello booleano unitario con U + V := U V = (U V ) \ (U V ) (differenza simmetrica) ed U V := U V. L anello booleano (P(X),, ) delle parti di X è isomorfo all anello F X 2 delle funzioni da X nel campo F 2. La biiezione è data da f F X 2 f 1 (1) P(X), con inversa U P(X) χ U F X 2 (funzione caratteristica). È immediato osservare che (f + g) 1 (1) = f 1 (1) g 1 (1) (essendo = 0 in F 2 ), e (f g) 1 (1) = f 1 (1) g 1 (1). Quindi la biiezione è un isomorfismo. Si prova così trivialmente l associatività di... L ideale X F 2 =: F (X) 2 corrisponde all ideale di P(X) dei sottoinsiemi finiti di X. Se X è infinito F (X) 2 è un ideale non triviale e non primo: X ha due sottoinsiemi infiniti disgiunti. Anelli prodotto unitari e idempotenti centrali Sia (R λ ) λ Λ una famiglia di anelli unitari e sia P := λ Λ R λ. Per ogni µ Λ, e (µ) Idem(P ) c(p ), e P e µ è un ideale bilatero di P che è anello unitario con unità e µ isomorfo a R µ. (e (µ) ) µ Λ è una famiglia di idempotenti centrali a due a due mutuamente ortogonali dell anello prodotto P e, se Λ è finito: 1 P = λ Λ e λ. L esistenza di una tale famiglia caratterizza i prodotti finiti di anelli unitari. La decomposizione di Peirce. Sia R un anello unitario. Se e Idem(R) e := 1 e Idem(R), ee = e e = 0 e R = Re Re = er e R = ere ere e Re e Re (decomposizione di Peirce in sottogruppi additivi). I sottogruppi ere ed e Re sono sottoanelli di R con unità rispettivamente e ed e. Si caratterizzano come segue ere = {r R er = r = re} = {r R e r = 0 = re }, e Re = {r R e r = r = re } = {r R er = 0 = re}. e è centrale ere = 0 = e Re ed R = ere e Re anello prodotto. 21

22 Morfismi verso anelli prodotto Sia f : R λ Λ R λ un omomorfismo di anelli. Ker(f) = λ Λ Ker(pr λ f) Se R λ = R/I λ, con I λ ideale di R, e pr λ f = π Iλ per ogni λ Λ, posto I := λ Λ I λ = Ker(f) abbiamo un omorfismo iniettivo di anelli ϕ: R/( λ Λ I λ ) λ Λ R/I λ, [r] I ([r] Iλ ) λ Λ. Occupiamoci della suriettività di ϕ nel caso R unitario e Λ= {1,..., n} finito. Si noti che possiamo assumere n j=1 I j = 0 e ϕ = f. Teorema cinese dei resti Supponiamo che f sia suriettiva, allora per ogni h Λ esiste r h R tale che f(r h ) = e h, ovvero r h 1 I h e r h j h I j. Quindi 1 I h + I j per ogni j h. Si dice che gli ideali I j sono a due a due comassimali. Viceversa, supponiamo che gli I j siano a due a due comassimali. Abbiamo quindi 1 = x (j) h + x(h) j con x (j) h I h e x (h) j I j per ogni j h. Ora r h := j h x(h) j j h I j e r h = j h (1 x(j) h ) 1 (mod I h). Quindi f(r h ) = e h ed f è suriettiva! Se R è non commutativo, l elemento r h può cambiare a seconda dell ordine con cui si esegue il prodotto j h x(h) j. Ma le proprietà r h j h I j e r h 1 I h sono indipendenti dall ordine! TEOREMA (cinese dei resti). ϕ: R/( n j=1 I j) n j=1 R/I j è un isomorfismo gli ideali I 1,..., I n sono a due a due comassimali. ESERCIZIO. Se R è commutativo e I 1,..., I n sono a due a due comassimali n j=1 I j = I 1 I n. ESERCIZIO. Se R è infinito ed R/I è finito per ogni ideale I non nullo di R allora R è un dominio. Parte II Richiami e complementi: Moduli e Algebre 1.9 Moduli. Moduli su un anello R. 22

23 Sia R un anello ed M un gruppo abeliano. L insieme End Z (M) = End(M) degli endomorfismi di gruppo di M in sé è quindi un anello unitario, in generale non commutativo. DEFINIZIONE. Un(a struttura di) R-modulo (sinistro), R M, su M è un applicazione λ: R M M, m rm := λ(r, m) tale che r(m 1 + m 2 ) = rm 1 + rm 2, (r 1 +r 2 )m = r 1 m+r 2 m, (r 1 r 2 )m = r 1 (r 2 m) per ogni m, m 1, m 2 M ed r, r 1, r 2 R. Si dice che M è unitario se R è unitario e 1 R m = m per ogni m M. Gli R-sottomoduli di M sono i sottogruppi N di M tali che RN N. M e 0 sono sottomoduli di M, detti sottomoduli triviali. M è un R-modulo sinistro λ(r, ) End Z (M) per ogni r R e R End Z (M), r λ(r, ) è un omomorfismo di anelli. Un R-modulo semplice è un R-modulo M tale che M 0 ed i soli sottomoduli (sinistri) di M sono 0 ed M. DEFINIZIONE. Un(a struttura di) R-modulo destro, M R, su M è un applicazione ρ: M R M, m mr := ρ(m, r) tale che (m 1 + m 2 )r = m 1 r + m 2 r, m(r 1 + r 2 ) = mr 1 + mr 2, m(r 1 r 2 ) = (mr 1 )r 2 per ogni m, m 1, m 2 M ed r, r 1, r 2 R. Si dice che M è unitario se R è unitario e m1 R = m per ogni m M. Gli R-sottomoduli di M sono i sottogruppi N di M tali he NR N. M e 0 sono sottomoduli di M, detti sottomoduli triviali. M è un R-modulo destro ρ(, r) End Z (M) per ogni r R e R End Z (M), r ρ(r, ) è un antiomomorfismo di anelli. Un R-modulo (destro) semplice è un R-modulo destro M tale che M 0 ed i soli sottomoduli (destri) di M sono 0 ed M. Bimoduli. Siano R ed S due anelli. DEFINIZIONE. Un (R, S)-bimodulo è un gruppo abeliano M con una struttura di R- modulo sinistro ed una di S-modulo destro tali che r(ms) = (rm)s per ogni m M, r R, s R. Si dice che M è unitario se R ed S sono unitari e 1 R m = m = m1 S per ogni m M. L (R, S)-bimodulo M si denota anche R M S. Gli (R, S)- sotto(bi)moduli di M sono i sottogruppi N di M tali he RNS N. ESEMPI M = R è un (R, R)-bimodulo rispetto alle strutture indotte dalla moltiplicazione di R. I sottomoduli [risp. sinistri, risp. destri] di R sono gli ideali [risp. sinistri, risp. destri] di R. R = Z, uno Z-modulo unitario è un gruppo abeliano: per ogni M esiste un unico omomorfismo unitario di anelli Z End Z (M). I sottomoduli di M sono i suoi sottogruppi. 23

24 R = K corpo, un K-modulo (unitario) sinistro è uno spazio vettoriale sinistro V. I sottomoduli di V sono i suoi sottospazi. Se M = V è un K-spazio vettoriale su un campo K, le strutture di (K[x], K)- bimodulo unitario su M sono in corrispondenza biunivoca con l insieme End K (V ) degli endomorfismi K-lineari di V via λ T = λ(x, ) End K (V ). I sottomoduli di (V, T ) sono i sottospazi W di V che sono T -invarianti, cioè T (W ) W. Se M è uno Z-modulo unitario, le strutture di Z[x]-modulo unitario su M sono in corrispondenza biunivoca con l insieme End(V ) degli endomorfismi di M via λ T = λ(x, ) End(M). I sottomoduli di (M, T ) sono i sottogruppi N di M che sono T -invarianti, cioè T (N) N. Morfismi di moduli Siano M 1, M 2 due R-moduli. DEFINIZIONE. Un (omo)morfismo di R-moduli da M 1 ad M 2 è un omomorfismo di gruppi abeliani f : M 1 M 2 tale che f(rm) = rf(m) per ogni m M ed r R. In tal caso si dice anche che f è R-lineare. L identità Id M : M M è un (omo)morfismo di moduli per ogni modulo M. La composizione di due morfismi di moduli è un morfismo di moduli. L applicazione nulla 0: M 1 M 2 è un morfismo, detto morfismo nullo, per ogni coppia di moduli. Un isomorfismo di R-moduli è un morfismo f : M 1 M 2 per cui esiste un morfismo g : M 2 M 1 tale che gf = Id M1 e fg = Id M2. f : M 1 M 2 è un isomorfismo di moduli f è un morfismo, e come applicazione è biiettiva (ed in tal caso l inversa insiemistica g : M 2 M 1 di f é un morfismo). Sia f : M 1 M 2 un morfismo di R-moduli sinistri. DEFINIZIONE. L immagine Im(f) di f è {f(m) m M 1 }. È un sottomodulo sinistro di M 2. Il nucleo Ker(f) di f è f 1 (0) = {m M 1 f(m) = 0}. È un sottomodulo sinistro di M 1. Se U M 1, V M 2 sono sottomoduli sinistri, allora f 1 (V ) è un sottomodulo sinistro di M 1, ed f(u) è un sottomodulo sinistro di M 2. M R-modulo semplice End R (M) corpo (Lemma di Schur). L insieme Hom R (M 1, M 2 ):= {f Hom(M 1, M 2 ) f è R lineare} è un sottogruppo di Hom(M 1, M 2 ) (gruppo abeliano). Hom R (M 1, M 2 ) ha una struttura naturale di c(r)-modulo: (rf)(m) := rf(m) per ogni r c(r), f Hom R (M 1, M 2 ). Se R è unitario, ed M è un R-modulo Hom R (R, M) = M via f f(1). Essendo R un (R, R)-bimodulo, Hom R (R, M) è un R-modulo sinistro via rf(x) := f(xr), e l isomorfismo f f(1) è R-lineare. 24

25 Operazioni fra sottomoduli. Quozienti. Sia M un R-modulo. L intersezione λ Λ M λ di una famiglia arbitraria di sottomoduli (M λ ) λ Λ di M è un sottomodulo. Se X M il sottomodulo < X > generato da X è l intersezione di tutti i sottomoduli contenenti X. Equivalentemente: < X >= {n 1 x n k x k + r 1 x k r t x k+t k, t N, x 1..., x k, x k+1,..., x k+t X, n 1,..., n k Z, r 1,..., r t R}. Se R è unitario, allora < X >= {r 1 x r k x k k N, x 1..., x k X, r 1,..., r k R}. Se X = {m} allora < X >=< m > si dice ciclico. La somma degli (M λ ) λ Λ è per definizione M λ Λ M λ =< λ Λ M λ >. Se N è un sottomodulo di M allora l inclusione N M è un omomorfismo di moduli ed il gruppo quoziente M/N ha una struttura naturale di R-modulo che rende la proiezione quoziente π N : M M/N un omomorfismo di R-moduli. Prodotti e coprodotti (somme). Sia (M λ ) λ Λ una famiglia di R-moduli. Il prodotto λ Λ M λ è un R-modulo via r(m λ ) λ Λ := (rm λ ) λ Λ. Le proiezioni canoniche pr λ : λ Λ M λ M λ e le inclusioni canoniche i λ : M λ λ Λ M λ sono omomorfismi di R-moduli per ogni λ Λ. Per ogni R-modulo N gli omomorfismi di R-moduli f : N λ Λ M λ corrispondono biettivamente alle famiglie di omomorfismi (f λ : N M λ ) λ Λ via f (pr λ f) (proprietà universale). Ovvero: Hom R (N, λ Λ M λ) = λ Λ Hom R(N, M λ ). Il coprodotto λ Λ M λ, o somma diretta, degli (M λ ) λ Λ è il sottomodulo λ Λ M λ := {m λ Λ M λ {λ Λ m λ 0} N}. Le inclusioni canoniche i λ : M λ λ Λ M λ sono omomorfismi di R-moduli per ogni λ Λ. Per ogni R-modulo N gli omomorfismi di R-moduli f : λ Λ M λ N corrispondono biettivamente alle famiglie di omomorfismi (f λ : M λ N) λ Λ via f (f i λ ) (proprietà universale). Ovvero: Hom R ( λ Λ M λ, N) = λ Λ Hom R(M λ, N). Moduli Liberi. Sia R un anello unitario ed I un insieme. DEFINIZIONE Un R-modulo M si dice libero su I se esiste un isomorfismo di R-moduli M = R (I) = R. In particolare R è libero su {1}. I Per la proprietà universale del coprodotto R (I), e la descrizione dei morfismi da R ad M, gli omomorfismi f : R (I) M corrispondono biiettivamente alle famiglie di elementi (m i ) i I M I via m i := f(e (i) ). DEFINIZIONE Una famiglia di elementi (m i ) i I M I si dice (parte) libera di M se f : R (I) M, e (i) m i è iniettivo. (m i ) i I M I si dice sistema di generatori di M se 25

26 f : R (I) M, e (i) m i è suriettivo. M si dice finitamente generato se M ha un sistema di generatori finito. DEFINIZIONE Una base di M è un sistema di generatori libero di M. M è libero (su I) M ha una base (in biiezione con I). Sia R un anello unitario, M un R-modulo, ed (m i ) i I M I una famiglia di elementi di M. (m i ) i I M I è un sistema di generatori di M per ogni m M esiste un sottoinsieme finito J I e coefficienti r j R con j J tali che m = j J r jm j. (m i ) i I M I è una parte libera di M per ogni J I sottoinsieme finito e coefficienti r j R con j J tali che j J r jm j = 0 si ha r j = 0 per ogni j J. Infine: (m i ) i I M I è una base di M 0 per ogni m M esiste un sottoinsieme finito J I ed unici coefficienti r j R con j J tali che m = j J r jm j. L insieme vuoto è una parte libera (la minima possibile) di M. Ed M è libero su M = 0. L insieme M è un sistema di generatori (il massimo possibile) di M. M non è una parte libera di M perché 0 M. M è quoziente dell R-modulo libero R (M). Infatti f : R (M) M, e m m è suriettiva ed induce un isomorfismo R (M) / Ker(f) = M. Sia R un anello unitario. Gli R-moduli ciclici sono tutti e soli i quozienti dell R-modulo libero R (rispetto ad ideali sinistri). Se M =< m >, allora M = R/I dove I = Ker(f : R M, 1 m) è un ideale sinistro. L R-modulo I = Ann R (m) = {r R rm = 0} si dice annullatore sinistro di m. Se R = K è un corpo ogni R-modulo M è libero (si usa il ZornBasiLemma di Zorn) e tutte le basi di M sono equipotenti fra loro. Sono equivalenti: (a) R = è un corpo, (b) ogni R-modulo è libero, (c) ogni R-modulo ciclico è libero. R = Z è uno Z-modulo libero. Le basi di Z sono {1} e { 1}. Z =< 2, 3 > e: {2, 3} è un sistema di generatori minimale da cui non è possibile estrarre una base! {2} è una parte libera massimale che non si completa a base! Se R = Z[x], M = (x) è uno Z[x]-modulo libero di base {x}. N = (2, x) è uno Z[x]-modulo non libero. Algebra lineare su un anello. 26

27 ESERCIZI. Sia R un anello unitario. 0. Verificare che se M è un gruppo abeliano, allora l insieme degli omomorfismi di gruppi End(M) è un anello unitario rispetto alle operazioni: (f + g)(m) := f(m) + g(m) e (f g)(m) := (f g)(m) = f(g(m)) per ogni m M. Cosa succede se M non è abeliano? 1. Verificare che dare una struttura di R-modulo sinistro su M equivale ad assegnare un omomorfismo di anelli λ: R End(M), e, nel caso che R sia unitario, che M è unitario λ è un omorfismo unitario. Provare che rispetto a tale struttura di R-modulo su M, End R (M) = c End(M) (Im( λ)). 2. Dimostrare la proprietà universale del quoziente: Hom R (M/N, P ) = {g Hom R (M, N) g(n) = 0} via f f π N. 3. Siano M ed N due R-moduli sinistri ed H = Hom(M, N) il gruppo abeliano degli omomorfismi di gruppi abeliani da M ad N. Provare che H è un R-modulo sinistro via (rf)(m) := rf(m), che H è un R-modulo destro via (fr)(m) := f(rm), e che H è un (R, R)-bimodulo con queste due strutture. Cosa succede se M ed N sono R-moduli destri? Spiegare perché non si può usare Hom R (M, N) al posto di H. 4. M R-modulo semplice ogni morfismo suriettivo M N non nullo è un isomorfismo. Dimostrare il Lemma di Schur: M semplice End R (M) corpo. 5. M R-modulo semplice M ciclico, e Ann R (M) := {r R rm = 0 m M} è un ideale sinistro massimale in R. M = R/Ann R (M). Caratterizzare gli R-moduli semplici nei casi: R corpo, R = Z, R = k[x], k campo. 6. f : M 1 M 2 morfismo di R-moduli (sinistri) Graf(f) := {(m, f(m)) m M} R-sottomodulo di M 1 M 2 isomorfo ad M 1. Graf(f) 0 M 2 = 0. Quando Graf(f) 0 M 1 = 0? Come sono correlati i moduli Ker(f), Im(f) e Graf(f)? 7. Siano ϕ: R S un omomorfismo di anelli ed M un S-modulo (sinistro), allora M è R-modulo (sinistro), denotato ϕ M, via rm := ϕ(r)m. Se N è un altro S-modulo si ha Hom S (M, N) Hom R ( ϕ M, ϕ N). Provare con esempi che l inclusione può essere stretta. 8. Siano M 1, M 2, M 3 sottomoduli di un R-modulo M. Provare che vale la legge modulare: M 1 (M 2 +M 3 ) = M 1 M 2 +M 1 M 3 se M 1 M 2 oppure M 1 M Sia f : M 1 M 2 un omomorfismo di moduli. Provare che f induce una corrispondenza biunivoca (ordinata) fra i sottomoduli di Im(f) ed i sottomoduli di M 1 contenenti Ker(f). 10. Siano U, V sottomoduli di un modulo M. Provare che (U +V )/U = U/(U V ). 27