TEORIA DELLA DIMENSIONE DI ANELLI AFFINI

Transcript

1 Alma Mater Studiorum Università di Bologna SCUOLA DI SCIENZE Corso di Laurea in Matematica TEORIA DELLA DIMENSIONE DI ANELLI AFFINI Tesi di Laurea in Geometria Relatore: Chiar.mo Prof. Luca Migliorini Presentata da: Enrico Sintoni III Sessione Anno Accademico 2012/2013

2

3 So Long, and Thanks for All the Fish

4

5 Introduzione La tesi tratta la teoria della dimensione di anelli affini, che collega la teoria della dimensione sviluppata con metodi di algebra commutativa alla nozione intuitiva legata allo studio della geometria delle varietà algebriche. Alla fine del XIX secolo i matematici prestarono un certo interesse verso le superfici, intese come oggetti geometrici descritti come luoghi degli zeri di equazioni complesse in tre variabili. Il campo delle funzioni razionali definite su tali superfici, che giocava un ruolo centrale nella teoria, risulta avere grado di trascendenza su C pari a 2. Questo fatto fornì l interpretazione che fossero sufficienti due funzioni algebriche per poter parametrizzare i punti di tali superfici, a meno di ambiguità finita, motivando la dimensione come 2. Generalizzando tale studio a quello delle intersezioni di ipersuperfici nello spazio affine X k n, con k campo algebricamente chiuso, è stato possibile definire l anello delle coordinate su X come il quoziente k[x 1,..., X n ]/I, dove I è l ideale delle funzioni polinomiali che si azzerano in X; per il teorema della base di Hilbert tale ideale è finitamente generato. Se l anello delle coordinate è un dominio di integrità, ci si riferisce ad esso come anello affine e X si definisce varietà algebrica affine. Assumendo l assioma geometricamente inuitivo che uno spazio affine k n abbia dimensione n, nacque la definizione di dimensione geometrica per le varietà algebriche affini X come il grado di trascendenza su k del campo delle funzioni razionali definito su X, in altre parole il campo dei quozienti di k[x 1,..., X n ]/I. Grazie al teorema degli zeri di Hilbert (Hilbert Nullstellensatz) e ai lavori di Noether è stato possibile stabilire una relazione tra la geometria e l algebra, associando ad ogni varietà algebrica affine in k n un ideale radicale primo di k[x 1,..., X n ], incoraggiando così un rapporto di reciproco sostegno tra l algebra commutativa e la geometria algebrica. Nel merito della teoria della dimensione, ciò ha fornito numerose definizioni equivalenti di dimensione per le varietà algebriche affini. In questa tesi verrà mostrata l equivalenza tra la definizione di dimensione data dal grado di trascendenza su k del campo delle funzioni razionali e una puramente algebrica, che coinvolge la funzione di Hilbert, strumento i

6 ii dell algebra commutativa legato ai moduli graduati. In particolare, questa funzione coincide con un polinomio a coefficienti razionali per valori sufficientemente grandi, detto polinomio di Hilbert. Nel primo capitolo, di carattere puramente introduttivo, sono esposti i risultati e le nozioni fondamentali di algebra commutativa e di teoria dei campi necessarie per il secondo e il terzo capitolo. Nel secondo capitolo viene trattata la parte algebro commutativa. Vengono definiti i moduli graduati e la funzione di Hilbert, che viene mostrata essere polinomiale per valori sufficientemente grandi. In seguito viene definita la funzione di Hilbert-Samuel associata a un modulo finitamente generato su anello locale Noetheriano, anch essa di tipo polinomiale, il cui grado differisce di una costante da quello del polinomio di Hilbert. Quest ultima presenta notevoli vantaggi per la dimostrazione del teorema di dimensione, che afferma l equivalenza tra la dimensione di un modulo finitamente generato su un anello locale Noetheriano (quindi di un anello locale Noetheriano) e il grado del polinomio di Hilbert-Samuel. Nel terzo capitolo viene presentato il lemma di normalizzazione di Noether, necessario per dimostrare che il grado di trascendenza di un anello affine sul campo k è equivalente alla sua dimensione di Krull, che a sua volta è equivalente alla dimensione di Krull della sua localizzazione rispetto a un ideale massimale. Un altra conseguenza è il Nullstellensatz, che implica il legame tra i punti di una varietà algebrica affine e gli ideali massimali del suo anello delle coordinate. Infine, viene dimostrato il legame tra la definizione geometrica di dimensione per una varietà algebrica affine, e il grado del polinomio di Hilbert associato all anello affine localizzato in punto della varietà.

7 Indice Introduzione i 1 Richiami e Nozioni Preliminari Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani Anelli e Moduli di Frazioni Estensioni Intere di Anelli Primi Associati e Supporto di un Modulo Dimensione di Krull di un Anello Estensioni Trascendenti di Campi Teoria della Dimensione Anelli e Moduli Graduati Anelli e Moduli Graduati Associati I-filtrazioni e Lemma di Artin-Rees Serie di Poincaré e Funzione di Hilbert Polinomio di Hilbert e di Hilbert-Samuel Polinomio di Hilbert-Samuel Teorema di Dimensione Dimensione di Anelli Affini Lemma di Normalizzazione di Noether Varietà Algebriche Affini Dimensione di una Varietà Algebrica Affine Bibliografia 41 Ringraziamenti 43 iii

8

9 Capitolo 1 Richiami e Nozioni Preliminari Questo capitolo è destinato all esposizione di alcuni concetti ed enunciati necessari per i risultati esposti nel secondo e terzo capitolo. Per le dimostrazioni si vedano [1], [2] e [3] per le prime cinque sezioni. Per la sesta si veda [5]. 1.1 Anelli e Moduli Noetheriani e Artiniani A partire da questa sezione, proseguendo per tutto il documento, si considerano solo anelli commutativi con unità. Definizione Un anello R si dice anello Noetheriano se ogni catena ascendente di ideali { I n } n N di R è stazionaria. Proposizione Un anello R è Noetheriano se e solo se ogni ideale I di R è finitamente generato. Teorema (Teorema della Base di Hilbert). Sia R un anello Noetheriano, allora R[x] è un anello Noetheriano. Definizione Un R-modulo M si dice modulo Noetheriano se ogni catena ascendente di sottomoduli { M n } n N di M è stazionaria. Proposizione Un R-modulo M è modulo Noetheriano se e solo se ogni sottomodulo è finitamente generato. Proposizione Siano R un anello Noetheriano e M un R-modulo finitamente generato, allora M è un modulo Noetheriano. Definizione Un anello R si dice anello Artiniano se ogni catena discendente di ideali { I n } n N di R è stazionaria. Si dice che R soddisfa la condizione della catena discendente sugli ideali. 1

10 2 1. Richiami e Nozioni Preliminari Proposizione Un anello R è Artiniano se e solo se R è Noetheriano e ogni ideale primo di R è massimale. Definizione Un R-modulo M si dice modulo Artiniano se ogni catena discendente di sottomoduli { M n } n N di R è stazionaria. Proposizione Siano R un anello Artiniano e M un R-modulo finitamente generato, allora M è modulo Artiniano. 1.2 Anelli e Moduli di Frazioni Definizione Sia R un anello, un sottoinsieme U R si dice moltiplicativamente chiuso se 1 S e a, b U = ab U. Definizione Siano R un anello e U R un sottoinsieme moltiplicativamente chiuso. Poniamo su R U la relazione di equivalenza (x, u) (y, v) t U t(vx uy) = 0. Denotiamo le classi [(x, u)] con x/u. L anello quoziente R[U 1 ] := R U/ con le operazioni di somma e prodotto definite come (x/u) + (y/v) := (vx + uy)/uv, (x/u)(y/v) := xy/uv, ha una struttura di anello e viene detto anello delle frazioni di R rispetto a U. Definizione Siano M un R-modulo e U R un sottoinsieme moltiplicativamente chiuso. Poniamo su M U la relazione di equivalenza (x, u) (y, v) t U t(vx uy) = 0. Denotiamo le classi [(x, u)] con x/u. Il quoziente M[U 1 ] := M U/ con l operazione di somma (x/u) + (y/v) := (vx + uy)/uv, e col prodotto R[U 1 ] M[U 1 ] M[U 1 ] definito da (x/u) (y/v) := x y/uv ha una struttura di R[U 1 ]-modulo e viene detto modulo delle frazioni di M rispetto a U.

11 1.3 Estensioni Intere di Anelli 3 Osservazione In entrambi i casi definiti è indotto il morfismo naturale x x/1. Osservazione Siano R un anello e p R un ideale primo, allora R\p R è un sottinsieme moltiplicativamente chiuso, denotiamo R p := R[(R\p) 1 ]. Definizione Un anello R si dice anello locale se possiede uno e un solo ideale massimale m. Verrà indicato con la coppia (R, m). Proposizione Siano R un anello e p R un ideale primo, allora R p è un anello locale. Proposizione Siano I, p ideali di un anello R, con p ideale primo. Allora (R/I) p 0 se e solo se p I. 1.3 Estensioni Intere di Anelli Definizione Siano R S un estensione di anelli e α S. Si dice che α è intero su R se esiste p R[X] monico per cui è soddisfatta la relazione p(α) = α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0. Si dice che S è intero su R, o che R S è un estensione intera di anelli, se ogni α S è intero su R. Definizione Sia R S un estensione di anelli. integrale di R in S l insieme Si dice chiusura R C = { α S α è intero su R }. Si dice che R è integralmente chiuso in S se R = R C. Se R è un dominio di integrità, diremo che R è integralmente chiuso se lo è in Frac R. Osservazione La chiusura integrale R C contiene R ed è un sottoanello di S. In particolare è il più piccolo sottoanello di S integralmente chiuso in S contenente R. Teorema (Transitività delle Estensioni Intere). Siano A B e B C estensioni intere di anelli. Allora A C è un estensione intera di anelli. Proposizione Sia R S un estensione intera di anelli, allora S è una R-algebra finitamente generata se e solo se S è un R-modulo finitamente generato.

12 4 1. Richiami e Nozioni Preliminari Definizione Sia f : R S un morfismo di anelli e I R, J S ideali. Si dice che J giace su I se I = f 1 (J). Notazione Se R S è una estensione di anelli, si considera il morfismo di inclusione. Ovvero, J giace su I se I = i 1 (J) = R J. Proposizione Sia R un dominio a fattorizzazione unica, allora R è integralmente chiuso. Teorema (Going Up Theorem). Sia R S un estensione intera di anelli. Siano p 1, p n e q 1 q m catene di ideali primi, rispettivamente, di R e S, con m < n. Se q i giace su p i per ogni i = 1,..., m, allora esistono q m+1,..., q n ideali primi di S tali che q m q m+1 q n e q i giace su p i per ogni i = m + 1,..., n. Teorema (Going Down Theorem). Sia R S un estensione intera di domini di integrità, con R integralmente chiuso. Siano p 1, p n e q m q n catene di ideali primi, rispettivamente, di R e S, con 1 < m n. Se q i giace su p i per ogni i = m,..., n, allora esistono q 1,..., q m 1 ideali primi di S tali che q 1 q m 1 q m e q i giace su p i per ogni i = m + 1,..., n. 1.4 Primi Associati e Supporto di un Modulo Definizione Siano M un R-modulo e S M un sottoinsieme, si definisce l annichilatore di S come Ann S = { r R rs = 0 s S }. Definizione Sia M un R-modulo, si dice che un ideale primo p di R è un primo associato a M se esiste x M non nullo tale che p = Ann x. Si denota l insieme dei primi associati a M come Ass M. Proposizione Sia M un R-modulo. Allora p Ass M se e solo se esiste un morfismo iniettivo di R-moduli R/p M. Proposizione Siano R un anello Noetheriano e M un R-modulo. Allora M = 0 se e solo se Ass M =. Teorema Siano R un anello Noetheriano e M un R-modulo non nullo finitamente generato. Allora Ass M è finito. Proposizione Siano R un anello Noetheriano, m, I R ideali di R con m ideale massimale. Allora esiste n N tale che m n I m se e solo se Ass R/I = { m }.

13 1.5 Dimensione di Krull di un Anello 5 Definizione Sia M un R-modulo, si definisce il supporto di M, denotato Supp M, come l insieme degli ideali primi p di R tali che M p 0. Definizione Sia I un ideale di un anello R, si denota con V (I) l insieme degli ideali primi p di R con I P. Teorema Sia M un R-modulo finitamente generato, allora Supp M = V (Ann M). Teorema Siano R un anello Noetheriano e M un R-modulo finitamente generato. Allora Ass M Supp M e gli elementi minimali in Ass M e in Supp M coincidono. Proposizione Siano M e N due R-moduli finitamente generati, allora Supp M R N = Supp M Supp N. 1.5 Dimensione di Krull di un Anello Definizione Siano R un anello e p R un ideale primo. Si definisce la altezza di p, denotata ht p, come il massimo della lunghezza n delle catene di ideali primi p 0 p 1 p n = p di R. Definizione Siano R un anello e p R un ideale primo. Si definisce la coaltezza di p, denotata coht p, come il massimo della lunghezza n delle catene di ideali primi p = p 0 p 1 p n di R. Definizione Sia I R un ideale. Si definiscono l altezza di I come l estremo inferiore delle altezze degli ideali p I, e la coaltezza di I come l estremo superiore delle coaltezze degli ideali p I. Sono, rispettivamente, denotate con ht I e coht I. Definizione Si definisce la dimensione di Krull (o dimensione) di un anello R, denotata dim R, come l estremo superiore della lunghezza n delle catene di ideali primi p 0 p n di R. Proposizione Siano R un anello e p R un ideale primo, allora dim R p = ht p e dim R/p = coht p. Osservazione Sia k un campo, allora dim k = 0. Poiché ogni polinomio irriducibile di grado positivo genera un ideale massimale di k[x], si ha dim k[x] = 1. Più in generale si ha: Teorema Sia R un anello Noetheriano, allora dim R[X] = 1+dim R. In particolare dim R[X 1,..., X n ] = n + dim R.

14 6 1. Richiami e Nozioni Preliminari Proposizione Sia R S un estensione intera di anelli, allora dim R = dim S. Proposizione Siano R S un estensione intera di anelli e J S un ideale. Sia I = J R un ideale di R, allora coht J = coht I. 1.6 Estensioni Trascendenti di Campi Definizione Siano F e E campi. Il campo E si dice estensione di F se F è sottocampo di E. L inclusione i: F E si dice estensione di campi, si denota con F E. Definizione Sia F E un estensione di campi, si definisce il grado di F su E come [E : F ] := deg F E, la dimensione di E come F -spazio vettoriale. L estensione di campi F E si dice finita se il grado di F su E è finito. Definizione Siano F E un estensione di campi e α E. definisce morfismo di valutazione in α l omomorfismo di anelli: Si υ α : F [x] E p(x) p(α) Se Ker υ α 0, allora α si dice algebrico su F. Altrimenti, se Ker υ α = 0, si dice che α è trascendente su F. Definizione Un estensione di campi F E si dice estensione algebrica se ogni α E è algebrico su F, altrimenti si dice estensione trascendente. Proposizione Un estensione di campi F E è finita se e solo se è algebrica e E è una F -algebra finitamente generata. Definizione Siano F Ω un estensione di campi e α 1,..., α n Ω. Si definisce morfismo di valutazione in α = (α 1,..., α n ) il seguente omomorfismo di anelli: υ α : F [x 1,..., x n ] Ω p(x 1,..., x n ) p(α 1,..., α n ) Se Ker υ α = 0, allora α 1,..., α n si dicono algebricamente indipendenti su F. Altrimenti α 1,..., α n si dicono algebricamente dipendenti su F.

15 1.6 Estensioni Trascendenti di Campi 7 Definizione Sia F Ω un estensione di campi. Un sottoinsieme A Ω si dice algebricamente indipendente su F se ogni sottoinsieme U A finito è algebricamente indipendente su F. Altrimenti A si dice algebricamente dipendente su F. Definizione Siano F Ω un estensione di campi e α 1,..., α n Ω algebricamente indipendenti su F. Il campo F (α 1,..., α n ) si dice estensione puramente trascendente di F. Definizione Siano F Ω un estensione di campi, γ Ω e A Ω. Si dice che γ è algebricamente dipendente su A sopra F se γ è algebrico su F (A). Definizione Siano F Ω un estensione di campi e A, B Ω. Si dice che B è algebricamente dipendente su A (sopra F ) se ogni γ B è algebrico su F (A). Lemma (Proprietà di Scambio). Siano F Ω un estensione di campi e A = { α 1,..., α m } Ω. Se β Ω è algebricamente dipendente su A (sopra F ) e non è algebricamente dipendente su A = A \ { α m } (sopra F ), allora α m è algebricamente dipendente su A { β }. Lemma (Transitività della Dipendenza Algebrica). Siano F Ω un estensione di campi e A, B, C Ω. Se A è algebricamente dipendente su B (sopra F ) e B è algebricamente dipendente su C (sopra F ), allora A è algebricamente dipendente su C (sopra F ). Teorema Sia F Ω un estensione di campi. Siano A = { α 1,..., α m }, B = { β 1,..., β n } sottoinsiemi di Ω. Se A è algebricamente indipendente su F e A è algebricamente dipendente su B (sopra F ), allora m n. Definizione Sia F Ω un estensione di campi. Si dice base di trascendenza per Ω su F un sottoinsieme A Ω algebricamente indipendente su F tale che Ω sia algebrico su F (A). Lemma Siano F Ω un estensione di campi e A Ω. Se Ω è algebrico su F (A) e A è elemento minimale nell insieme dei sottoinsiemi di Ω algebrici su F (A), allora A è una base di trascendenza per Ω su F. Teorema Sia F Ω un estensione di campi. Se esiste A Ω finito tale che Ω sia algebrico su F (A), allora esiste B Ω base di trascendenza per Ω su F. Inoltre, ogni base di trascendenza di Ω su F è finita e hanno tutte la stessa cardinalità.

16 8 1. Richiami e Nozioni Preliminari Definizione Siano F Ω un estensione di campi, B Ω finito una base di trascendenza di Ω su F. Si definisce il grado di trascendenza di Ω su F come tr deg F Ω := B. Proposizione Sia F Ω un estensione di campi. Ogni elemento massimale A Ω nell insieme dei sottoinsiemi di Ω algebricamente indipendenti su F è una base di trascendenza per Ω su F.

17 Capitolo 2 Teoria della Dimensione In questo capitolo verrà dimostrata l equivalenza tra tre definizioni di dimensione per un modulo su un anello locale Noetheriano. In particolare, la definizione in termini di grado del polinomio di Hilbert presenta notevoli vantaggi da un punto di vista tecnico. 2.1 Anelli e Moduli Graduati Definizione Un anello R si dice anello graduato se esiste una famiglia di sottogruppo additivi { R n } n N tale che R i R j R i+j per ogni i, j N e R = R n. Gli elementi di R i si dicono omogenei di grado i. Definizione Sia R un anello graduato, il sottoinsieme R + = n=1 R n è un ideale e si dice ideale irrilevante di R. Proposizione Sia R = R n un anello graduato, allora: 1. R 0 è un sottoanello di R. 2. R è un anello Noetheriano se, e solo se, R 0 è un anello Noetheriano e R è una R 0 -algebra finitamente generata. Dimostrazione. (1.) Per definizione R 0 R 0 R 0. Mostriamo che 1 R 0. Si ha 1 = x n, dove x n R n. Per ogni a R m si ha a = x na, uguagliando le componenti per grado otteniamo a = x 0 a. Così per ogni b R si ha bx 0 = b, ovvero 1 = x 0 R 0. 9

18 10 2. Teoria della Dimensione (2.) Sia R un anello Noetheriano. Poichè R 0 = R/R+, si ottiene che R 0 è un anello Noetheriano. Per ipotesi R + è finitamente generato, diciamo da elementi omogenei a 1,..., a r, di grado n 1,..., n r rispettivamente. Sia R = R 0 [a 1,..., a r ]. Mostriamo che R n R per ogni n N, così R R. Procediamo per induzione su n. Sia n = 0, per definizione R 0 R. Supponiamolo vero per d n 1 e dimostriamolo per n > 0. Sia b R n R +, dunque b = x 1 a x r a r, dove, se n i n, ogni x i è omogeneo di grado n n i < n, altrimenti è x i è nullo. Per ipotesi induttiva x i R, quindi da a i R si ha b R. Viceversa, siano R 0 un anello Noetheriano e R una R 0 -algebra finitamente generata. Dunque R è isomorfo a un quoziente dell anello di polinomi R 0 [X 1,..., X n ], che è Noetheriano per il teorema della base di Hilbert. Quindi R è Noetheriano. Definizione Sia R = R n un anello graduato. Un R-modulo M si dice modulo graduato se esiste una famiglia di sottogruppi additivi { M n } n N tale che R i M j M i+j per ogni i, j N e M = M n Anelli e Moduli Graduati Associati Definizione Sia R un anello, una filtrazione R = R 0 R 1 R n di R è una successione di sottogruppi additivi tali che R i R j R i+j per ogni i, j 0. Un anello dotato di una filtrazione si dice anello filtrato. Definizione Siano R un anello filtrato, si definisce l anello graduato associato a R come gr R := R n /R n+1, dove il prodotto su gr I R è definito per ogni a R m e b R n come (a + R m+1 ) (b + R n+1 ) := ab + R m+n+1 R m+n /R m+n+1. Definizione Siano R un anello filtrato e M un R-modulo, una filtrazione M = M 0 M 1 M n di M è una successione di sottomoduli tali che R i M j M i+j per ogni i, j 0. Un modulo dotato di una filtrazione si dice modulo filtrato.

19 2.1 Anelli e Moduli Graduati 11 Definizione Siano M un R-modulo filtrato, si definisce il modulo graduato associato a M come gr M := M n /M n+1. Ammette una struttura di gr R-modulo, dove il prodotto per scalare è definito per ogni a R m e x M n come (a + R m+1 ) (x + M n+1 ) := a x + M m+n+1 M m+n /M m+n I-filtrazioni e Lemma di Artin-Rees Definizione Siano M un R-modulo filtrato e I R un ideale. Una filtrazione { M n } n N di M si dice I-filtrazione se IM n M n+1 per ogni n 0. Una I-filtrazione si dice I-stabile se esiste N N tale che IM n = M n+1 per ogni n N. Osservazione Siano I un ideale di un anello R e M un R-modulo, le successioni { I n } n N e { I n M } n N (si pone I 0 = R) sono filtrazioni I-stabili, rispettivamente, di R e M Proposizione Siano R un anello Noetheriano, M un R-modulo finitamente generato e I R un ideale. Sia { M n } n N una I-filtrazione. Definiamo l anello graduato R e il R-modulo graduato M come segue R = I n, M = M n. Allora sono equivalenti: 1. { M n } n N è I-stabile. 2. M è un R-modulo graduato finitamente generato. Dimostrazione. Sia N n = n i=0 M i, quindi poniamo M n = N n ( I i M n ) = M 0 M n IM n I 2 M n. i=1 Poiché M è Noetheriano, ogni suo sottomodulo è finitamente generato. Così N n è un R-modulo finitamente generato e M n è un R-modulo finitamente generato. Per definizione M = M n, M0 M 1 M n,

20 12 2. Teoria della Dimensione quindi M è un R-modulo finitamente generato se e solo se esiste m N tale che M n = M m per ogni n m, cioè equivale ad affermare che I n M m = M m+n per ogni n 0, ovvero { M n } n N è I-stabile. Lemma (Lemma di Artin-Rees). Siano R un anello Noetheriano, M un R-modulo filtrato finitamente generato e N M un sottomodulo. Siano I R un ideale e { M n } n N una filtrazione I-stabile di M, allora la filtrazione { N M n } n N indotta su N è I-stabile. Dimostrazione. Sia N n = N M n. Poiché IN n N, M n+1, deve essere IN n N M n+1 = N n+1, pertanto è una I-filtrazione. Ora poniamo R = I n, M = M n, Ñ = N n. Per ipotesi R è Noetheriano, quindi I è finitamente generato e così R è una R-algebra finitamente generata. Per (2.1.3) R è un anello Noetheriano e per (2.1.11) M è un R-modulo finitamente generato, quindi è un modulo Noetheriano. Allora il suo sottomodulo Ñ è finitamente generato e, di nuovo per (2.1.11) la filtrazione indotta è I-stabile. 2.2 Serie di Poincaré e Funzione di Hilbert Definizione Siano R un anello e C una sottoclasse della classe degli R-moduli. Una funzione λ: C Z si dice additiva se, per ogni successione esatta corta di R-moduli 0 M N P 0, M, N, P C, si ha λ(m) λ(n) + λ(p ) = 0 Osservazione Siano R un anello, C una classe di R-moduli con 0 C e λ: C Z additiva, allora λ(0) = 0. Posti M = N = P = 0 si ha una successione esatta corta, quindi λ(0) = λ(0) λ(0) + λ(0) = 0 Proposizione Siano R un anello, C una classe di R-moduli e la seguente una successione esatta 0 = M 1 M 0 M 1 M n M n+1 = 0.

21 2.2 Serie di Poincaré e Funzione di Hilbert 13 Sia N i l immagine dell omomorfismo M i 1 M i, per i = 0,..., n + 1. Se M i, N i C, allora per ogni λ: C Z funzione additiva si ha n ( 1) i λ(m i ) = 0. i=0 Dimostrazione. Osserviamo che N 0 = N n+1 = 0. Per ogni i = 0,..., n si ha la successione esatta corta e per ipotesi di additività 0 N i M i N i+1 0, λ(n i ) λ(m i ) + λ(n i+1 ) = 0 λ(m i ) = λ(n i ) + λ(n i+1 ). Sostituendo nella somma a segni alterni, per l osservazione precedente si ottiene n ( 1) i λ(m i ) = i=0 n ( 1) i (λ(n i ) + λ(n i+1 )) = λ(n 0 ) + ( 1) n λ(n n+1 ) = 0 i=0 Definizione Siano R un anello graduato Noetheriano, M un R- modulo graduato finitamente generato, C la classe degli R 0 -moduli finitamente generati e λ: C Z additiva. Si definisce la serie di Poincaré di M rispetto a λ come la serie di potenze P M (X) := λ(m n )X n Z[[X]]. Teorema (Teorema di Hilbert-Serre). Nelle ipotesi di (2.2.4), esistono f(x) Z[X] e k 1,..., k s N tali che P M (X) = f(x). s (1 X k i ) i=1 Dimostrazione. Poiché R è Noetheriano esistono x 1,..., x s R omogenei, rispettivamente di grado k 1,..., k s > 0, tali che R = R 0 [x 1,..., x s ]. Per dimostrare l asserto, procediamo per induzione su s. Sia s = 0, dunque R = R 0 e M è un R 0 -modulo graduato finitamente generato, pertanto esistono m 1,..., m t M omogenei, rispettivamente di grado

22 14 2. Teoria della Dimensione r 1,..., r t, che generano M. Segue M n = 0 per ogni n > r = max i=1,...,t {r i }. Dunque r P M (X) = λ(m n )X n = λ(m n )X n Z[X]. Supponiamo vero l asserto per s 1, quindi dimostriamolo per s > 0. Definiamo su M l endomorfismo χ dato da m x s m. Così per ogni n N otteniamo l omomorfismo di R 0 -moduli χ n : M n M n+ks m x s m È indotta la seguente successione esatta di R 0 -moduli per ogni n N χ n 0 Ker χ n M n Mn+ks M n+ks /x s M n 0. Per additività di λ, ne consegue Ora osserviamo che λ(m n+ks ) λ(m n ) = λ(m n+ks /x s M n ) λ(ker χ n ). R 0 [x 1,..., x s 1 ] = R/x s R = (R n + x s R)/x s R è un anello graduato finitamente generato come R 0 -algebra, con R 0 Noetheriano, quindi è Noetheriano. Inoltre K = Ker χ n = Ker χ, L = M n /(M n x s M) sono R 0 [x 1,..., x s 1 ]-moduli graduati finitamente generati in quanto, rispettivamente, sottomodulo e modulo quoziente di M. Ora osserviamo che (1 X ks )P M (X) = λ(m n )X n λ(m n )X n+ks k s 1 = λ(m n )X n + = p(x) + = p(x) + (λ(m n+ks ) λ(m n ))X n+ks (λ(m n+ks /x s M n ) λ(ker χ n ))X n+ks λ(m n+ks /x s M n )X n+ks X ks λ(ker χ n )X n.

23 2.2 Serie di Poincaré e Funzione di Hilbert 15 Le due serie sono, rispettivamente, P L (X) k s 1 λ(m n/(m n x s M))X n e P K (X). Quindi per ipotesi induttiva esistono f L, f K Z[X] tali che ( s 1 ) (1 X k i ) g(x) + f L (X) X ks f K (X) (1 X ks )P M (X) = i=1 s 1 (1 X k i ) Infine, denotando il polinomio a numeratore come f(x), si ottiene P M (X) = i=1 f(x). s (1 X k i ) i=1 Notazione Per convenzione, poniamo ( ) ( n 1 = 0 per n 0 e 1) = 1. Corollario Nelle ipotesi di (2.2.4). Se esistono x 1,..., x s R 1 tali che R = R 0 [x 1,..., x s ], allora esistono h M (X) Q[X] e N N tali che λ(m n ) = h M (n) n N. Si definisce h M (n) come il polinomio di Hilbert di M rispetto a λ. Inoltre, deg(h M (n)) = d 1, dove d è l ordine di 1 come polo di P M (X). Dimostrazione. Per il teorema precedente, e nelle sue notazioni, k i = 1 per ogni i = 1,..., s ed esiste f(x) Z[X] tale che P M (X) = λ(m n )X n = In particolare si avrà f(x) (1 X) = g(x), g(1) 0. s (1 X) d g(x) = a 0 + a 1 X + + a N X N Z[X], inoltre osserviamo che 1 (1 X) = d ( d + n 1 d 1 ) X n. Sostituendo i due valori nella prima equazione si ottiene N ( ) d + n k 1 λ(m n ) = a k n N, d 1 k=0

24 16 2. Teoria della Dimensione il cui grado è d 1. Infatti, osservando ( ) d + n k 1 (d + n k 1) (d + n k 2) (n k + 1) = d 1 (d 1)! = nd 1 + p(n), deg p(n) = d 2 (d 1)! si ottiene che il termine di grado massimo in λ(m n ) sia N k=0 a k (d 1)! nd 1 = g(1) (d 1)! nd Polinomio di Hilbert e di Hilbert-Samuel Definizione Sia M un R-modulo. Una catena finita di sottomoduli M = M 0 M 1 M n = 0 si dice serie di composizione se è una catena massimale o, equivalentemente, se M i 1 /M i è un modulo semplice per ogni i = 1,..., n. (Un R-modulo M si dice semplice se gli unici suoi sottomoduli sono 0 e M) Definizione Sia M un R-modulo. Si definisce la lunghezza di M, denotata len R M, come il minimo della lunghezza delle sue serie di composizione. Se M non ha serie di composizione, si definisce len R M =. Proposizione Un R-modulo M possiede una serie di composizione se e solo se M è un modulo Noetheriano e Artiniano. Inoltre, tutte le serie di composizione hanno la stessa lunghezza. Osservazione Siano R un anello Artiniano e M un R-modulo finitamente generato. Per (1.1.8) R è Noetheriano. Quindi per (1.1.6) e (1.1.10) M è un modulo Noetheriano e Artiniano. In particolare, vale la proposizione precedente. Proposizione Sia M la classe degli R-moduli di lunghezza finita, allora la funzione len R : M Z è additiva. Dimostrazione. Mostriamo che per ogni successione esatta corta di R-moduli 0 M α N β P 0

25 2.3 Polinomio di Hilbert e di Hilbert-Samuel 17 sia verificato len R M len R N + len R P = 0. Siano (M i ) 0 i m e (P j ) 0 j n serie di composizione di, rispettivamente, M e P. Mappando la prima per α si ottiene Im α = α(m 0 ) α(m 1 ) α(m m ) = 0, mentre, considerando la controimmagine della seconda per β, si ha N = β 1 (P 0 ) β 1 (P 1 ) β 1 (P n ) = Ker β. Per ipotesi di successione esatta Im α = Ker β, dunque la seguente è una serie di composizione di lunghezza m + n N = β 1 (P 0 ) β 1 (P n ) = α(m 0 ) α(m m ) = 0. Pertanto len R N = n + m e di conseguenza len R M len R N + len R P = m (n + m) + n = 0. Sotto opportune ipotesi, è possibile definire la funzione di Hilbert rispetto alla lunghezza per i moduli graduati. Ponendo ulteriori restrizioni tale funzione è polinomiale per n 0. Proposizione Sia R = R n un anello graduato. Siano R 0 un anello Artiniano e R una R 0 -algebra finitamente generata. Sia M = M n un R-modulo graduato finitamente generato. Allora M n è un R 0 -modulo finitamente generato per ogni n 0. Dimostrazione. Per (1.1.8) R 0 è Noetheriano e per (2.1.3) lo è anche R, pertanto M è un modulo Noetheriano. Sia N n = m n M m. Poiché M è Noetheriano, allora N n è finitamente generato su R, diciamo da x 1,..., x t N n. Poiché N n = M n ( m>n M m) possiamo scrivere x i = y i + z i, dove y i M n e z i m>n M m. Mostriamo che y 1,..., y t generano M n su R 0. Sia y M n N n, allora y = a i x i + + a t x t, con a i R. Possiamo scrivere a i = b i + c i, con b i R 0 e c i m>0 R m. Pertanto t y = (b 1 + c 1 )(y 1 + z 1 ) + (b t + c t )(y t + z t ) = b i y i + α, con α m>n M m, e uguagliando i gradi si ha α = 0. Così y = t i=1 b iy i. i=1

26 18 2. Teoria della Dimensione Proposizione Sia R = R n un anello graduato. Siano R 0 un anello Artiniano e R una R 0 -algebra finitamente generata. Sia M = M n un R-modulo graduato finitamente generato. Allora len R0 M n è finito per ogni n 0. Dimostrazione. Per la proposizione precedente M n è un R 0 -modulo finitamente generato. Per (2.3.4) len R0 M n è finito poiché R 0 è Artiniano. Definizione Sia R = R n un anello graduato. Siano R 0 un anello Artiniano e R una R 0 -algebra finitamente generata. Sia M = M n è un R-modulo graduato finitamente generato. Si definisce la funzione di Hilbert come H M (n) := len R0 (M n ). Teorema Sia R = R n un anello graduato. Siano R 0 un anello Artiniano e R = R 0 [x 1,..., x t ] con x i R 1. Sia M = M n un R-modulo graduato finitamente generato. Allora esistono h M (X) Q[X] e N N tali che H M (n) = h M (n) n N Inoltre, deg h M (n) t 1. Si definisce h M (n) come il polinomio di Hilbert di M. Dimostrazione. Per (1.1.8) R 0 è Noetheriano e per (2.1.3) R è Noetheriano. Per le proposizioni (2.3.6) e (2.3.7) ogni M n è R 0 -modulo finitamente generato e len R0 M n è finito per ogni n 0. Per (2.3.5) len R0 è additiva sugli R 0 - moduli di lunghezza finita. Per ipotesi R = R 0 [x 1,..., x t ] con x i R 1, quindi possiamo applicare il corollario (2.2.7) e, osservando che nella sua notazione deg h M (n) = d 1 t 1, si ha l asserto Polinomio di Hilbert-Samuel Definizione Una funzione f : N Q si dice polynomial-like se esistono N N e g Q[X] tali che f(n) = g(n) per ogni n N. Si definisce il grado di f come deg f := deg g. Osservazione Per il Teorema 2.3.9, la funzione di Hilbert H M (n) è polynomial-like. Definizione Sia (R, m) un anello locale Noetheriano. Un ideale I R si dice ideale di parametri se esiste n N tale che m n I m. Osservazione Un ideale I è di parametri se e solo se R/I è Artiniano.

27 2.3 Polinomio di Hilbert e di Hilbert-Samuel 19 Ora mostreremo che, per ogni modulo finitamente generato su un anello locale Noetheriano, è possibile definire la funzione di Hilbert sul modulo graduato associato rispetto alla filtrazione I-adica, con I ideale di parametri, in modo tale che sia polynomial-like. Osservazione Siano (R, m) un anello locale Noetheriano e I R un ideale di parametri. Se M è un R-modulo finitamente generato, allora M/IM è un R/I-modulo finitamente generato, con R/I Artiniano. Consideriamo l anello e il modulo graduati associati a R e M rispetto alla filtrazione I-adica gr I R = I n /I n+1, gr I M = I n M/I n+1 M. Per ipotesi I è finitamente generato su R, allora I/I 2 è finitamente generata su R/I. Poiché (I/I 2 ) n = I n /I n+1 per ogni n 0, si ha che gr I R è una R/Ialgebra finitamente generata da a 1,..., a t I/I 2. Inoltre (I n /I n+1 )M/IM = I n M/I n+1 M, quindi gr I M è un gr I R-modulo finitamente generato. Per quanto detto è ben definita la funzione di Hilbert H gri M(n) = len R/I (I n M/I n+1 M). e per (2.3.9) è polynomial-like di grado t 1. Osserviamo che se M è un R-modulo e l ideale I annulla M, allora M è un R/I-modulo, quindi len R/I (I n M/I n+1 M) = len R (I n M/I n+1 M). Introduciamo ora la funzione di Hilbert-Samuel. Risulterà evidente dalla dimostrazione del teorema della dimensione che questa presenta vantaggi rispetto alla funzione di Hilbert. Definizione Siano (R, m) un anello locale Noetheriano, I R un ideale di parametri e M un R-modulo finitamente generato, si definisce la funzione di Hilbert-Samuel come s I,M (n) := len R M/I n M. Dobbiamo ora mostrare che sia ben definita, per farlo utilizzeremo il seguente lemma. Lemma Una funzione f : N Q è polynomial-like di grado r se e solo se F (n) := f(n + 1) f(n) è polynomial-like di grado r 1. Proposizione Nelle ipotesi e notazioni di (2.3.15):

28 20 2. Teoria della Dimensione 1. s I,M (n) = n 1 i=0 len R I n M/I n+1 M per ogni n 1, in particolare è finito. 2. s I,M (n) è polynomial-like e deg s I,M (n) = deg H gri M(n) + 1. Inoltre, nella notazione di (2.3.14) deg s I,M (n) t. Con un piccolo abuso di linguaggio, ci riferiremo a s I,M come al polinomio di Hilbert- Samuel. Dimostrazione. Se n = 0, allora s I,M (0) = 0. Procediamo per induzione su n. Se n = 1 si ha s I,M (1) = len R M/IM per definizione. Supponiamo vero per n e dimostriamo per n + 1. Posta la successione esatta corta 0 I n M/I n+1 M M/I n+1 M M/I n M 0, per addività di len R e per ipotesi induttiva si ottiene len R M/I n+1 M = len R I n M/I n+1 M + len R M/I n M n 1 = len R I n M/I n+1 M + len R I n M/I n+1 M. Per l osservazione (2.3.14) sono tutti valori finiti, così è dimostrato (1.). Inoltre s I,M (n + 1) s I,M (n) = H gri M(n). Per il lemma precedente, da H gri M(n) polynomial-like si ottiene s I,M (n) polynomial-like di grado deg s I,M (n) = deg H gri M(n) + 1. Così è dimostrato anche (2.) Proposizione Siano (R, m) un anello locale Noetheriano e M un R-modulo finitamente generato. Siano I, J R ideali di parametri, allora i=0 deg s I,M = deg s J,M. Poiché il grado del polinomio di Hilbert-Samuel è indipendente dalla scelta dell ideale di parametri, verrà denotato con d(m). Dimostrazione. Sia I R un ideale di parametri e sia r N tale che m r I m. Per ogni n 1 si ha m rn I n m n. Quindi s m,m (rn) s I,M (n) s m,m (n). Siano i rispettivi gradi dei polinomi d 1, d 2 e d 3, allora O(n d 1 ) O(n d 2 ) O(n d 3 ). Poiché d 1 = d 3, ne consegue d 1 = d 2 = d 3.

29 2.3 Polinomio di Hilbert e di Hilbert-Samuel 21 Teorema Siano (R, m) un anello locale Noetheriano e I R un ideale di parametri. Sia 0 M M M 0 una successione esatta di R-moduli finitamente generati. Allora s I,M (n) + s I,M (n) = s I,M (n) + r(n), dove r(n) è una funzione polynomial-like di grado minore di d(m) con coefficiente direttore non negativo. Dimostrazione. Poniamo M n = M I n M, quindi la seguente successione è esatta 0 M /M n M/I n M M /I nm 0. Per addività di len R si ottiene s I,M (n) s I,M (n) = len R M /M n. dunque len R M /M n è polynomial-like. Per il lemma di Artin-Rees (2.1.12) la filtrazione { M n } è I-stabile. Quindi esiste N N tale che IM n = M n+1 per n N. Dunque per ogni n N si ha M n+n = M I n+n M I n+n M. Segue I n+n M M n+n = I n M N I n M. Ciò comporta s I,M (n+n) = len R M /I n+n M len R M /M n+n len R M /I n M = s I,M (n). Procedendo come nella proposizione precedente, si dimostra che len R M /M n e s I,M (n) abbiano lo stesso grado e lo stesso coefficiente direttore. Di conseguenza r(n) = s I,M (n) len R M /M n è polynomial-like di grado strettamente minore di deg len R M /M n s I,M (n) e positiva per n abbastanza grande. Ora s I,M (n) s I,M (n) = len R M /M n = s I,M (n) r(n), da cui segue s I,M (n) + s I,M (n) = s I,M (n) + r(n). Corollario Siano (R, m) un anello locale Noetheriano, M un R- modulo finitamente generato e M M un suo sottomodulo. Allora d(m ) d(m). Dimostrazione. Sia I R un ideale di parametri. Posta la successione esatta corta 0 M M M/M 0, per il teorema precedente s I,M (n) + s I,M/M (n) = s I,M (n) + r(n). Poiché deg r(n) < d(m), deve essere d(m ) d(m).

30 22 2. Teoria della Dimensione 2.4 Teorema di Dimensione In questa sezione dimostreremo l uguaglianza tra il grado del polinomio di Hilbert-Samuel e la dimensione di un modulo secondo la definizione di Krull e di Chevalley. Definizione Sia M 0 un R-modulo. Si definisce la dimensione di M come segue: dim M := dim R/Ann M. Se M = 0, si definisce dim M := 1. Osservazione Se M = R, allora Ann R = 0. Pertanto dim M coincide con la dimensione di Krull di R. Osservazione Siano R un anello Noetheriano e M un R-modulo non nullo finitamente generato. Per (1.4.4) esiste p Ass M. Per (1.4.9) p Ann M se e solo se p Supp M e per (1.4.10) gli elementi minimali in Ass M e Supp M sono gli stessi. Pertanto dim M = sup { coht p p Supp M } = sup { coht p p Ass M }. Proposizione Siano R un anello Noetheriano e M un R-modulo finitamente generato. Sono equivalenti 1. dim M = len R M è finito. 3. Ogni p Ass M è massimale. 4. Ogni p Supp M è massimale. Osservazione Sia (R, m) un anello locale Noetheriano. Per (1.4.9) Supp M/mM = V (Ann M/mM) = { m }, quindi per la proposizione precedente len R M/mM è finito. Per ipotesi m è finitamente generato su R, quindi esistono n N e a 1,..., a n m tali che len R M/mM sia finito. Definizione Siano (R, m) un anello locale Noetheriano e M un R- modulo. Si definisce la dimensione di Chevalley di M come δ(m) := min { n N a 1,..., a n m len R M/(a 1,..., a n ) < }. Se M = 0, si definisce δ(m) := 1.

31 2.4 Teorema di Dimensione 23 Prima di enunciare il prossimo lemma ricordiamo che il radicale di Jacobson J(R) di un anello, è, per definizione, l intersezione di tutti gli ideali massimali di R. Lemma Siano M un R-modulo finitamente generato e I R un ideale contenuto nel radicale di Jacobson J(R). Se IM = M, allora M = 0. Lemma Siano p 1, p 2,..., p s, per s 2, ideali di un anello R, con p i primo per i > 2. Sia I un ideale di R tale che I s i=1 p i, allora esiste 1 i s tale che I p i. Teorema (Teorema della Dimensione). Siano (R, m) un anello locale Noetheriano e M un R-modulo finitamente generato, allora dim M = d(m) = δ(m). Dimostrazione. La dimostrazione consta di tre parti. Osserviamo prima di tutto che, poiché d(m) è invariante per la scelta dell ideale di parametri, è possibile considerare m come ideale di parametri senza perdere in generalità. (1.) Dimostriamo che dim M d(m). Osserviamo che ciò implica dim M finito, poiché lo è d(m). Se d(m) = 1, allora esiste N N tale che s m,m (n) = len R M/m n M = 0 per ogni n N. Per (2.4.7) M = 0, così dim M = 1. Supponiamo ora d(m) 0. Per (1.4.5) Ass M è finito. Per (2.4.3) e (1.5.5) esiste p Ass M tale che dim M = coht p = dim R/p. Per (1.4.3) esiste un morfismo iniettivo R/p M, così per (2.3.20) vale d(r/p) d(m). Dimostriamo che dim R/p d(r/p), che comporta dim M = dim R/p d(r/p) d(m). È sufficiente osservare che per ogni catena di ideali primi p = p 0 p r in R la lunghezza è r d(r/p). Dimostriamolo per induzione su r. Se r = 0, allora da R/p 0 segue d(r/p) 1 e si ha l asserto. Supponiamo ora sia vero per r 1 e dimostriamolo per r > 0. Sia a p 1 \ p e consideriamo gli ideali primi q tali che Ra + p q p 1. Per (1.2.8) sappiamo che Ra + p q se e solo se (R/(Ra + p)) q 0, quindi scegliamo q Supp R/(Ra + p) minimale, e per (1.4.10) q Ass R/(Ra + p). Per (1.4.3) esiste un morfismo inettivo R/q R/(Ra + p), quindi per (2.3.20)

32 24 2. Teoria della Dimensione d(r/q) d(r/(ra + p). A questo punto la catena q p 2 p r ha lunghezza r 1 e per ipotesi induttiva r 1 d(r/q) d(r/(ra + p)). Posto su R/p l endomorfismo di R-moduli a: x ax, la seguente è una successione esatta 0 R/p a R/p R/(Ra + p) 0. e per (2.3.19) esiste r(n) polynomial-like di grado minore di d(r/p) tale che s m,r/p (n) + s m,r/(ra+p) (n) = s m,r/p (n) + r(n). Pertanto d(r/(ra + p)) < d(r/p), da cui segue r 1 < d(r/p) e di conseguenza r d(r/p), ottenendo la disuguaglianza cercata. (2.) Dimostriamo che d(m) δ(m). Se δ(m) = 1, allora M = 0 e d(m) = 1. Sia ora M 0 e poniamo r = δ(m) 0, quindi abbiamo a 1,..., a r m tali che len R M/(a 1,..., a r )M sia finito. Poniamo I = (a 1,..., a r ) e Q = I +Ann M. Osserviamo che per (2.4.7) se M/IM = 0, allora M = 0, giungendo a una contraddizione. Ora mostriamo che Supp R/Q = { m }. Poiché M/IM = M R R/I, per (1.4.11) Supp M/IM = Supp M R R/I = Supp M Supp R/I. Per (1.4.9) abbiamo Supp M = V (Ann M) e Supp R/I = V (I) e per definizione di Q vale V (Ann M) V (I) = V (Q), così Supp M/IM = V (Q) = Supp R/Q. Per (2.4.4) da len R M/IM segue Supp M/IM = { m } ed è dimostrata l ugaglianza. Di nuovo per (2.4.4) Ass R/Q = { m } e per (1.4.6) Q è ideale di parametri per R. Siano R = R/Ann M e Q = Q/Ann M e consideriamo M come R-modulo. In particolare R è locale e Noetheriano, mentre Q è un ideale di parametri per R generato dalle classi ā 1,..., ā r, dove ā i = a i + Ann M. Per (2.3.17) deg s Q,M (n) r e per il teorema di corrispondenza degli ideali con l anello quoziente len R M/ Q n M = len R M/Q n M, pertanto s Q,M (n) = s Q,M (n). Infine si ha d(m) = deg s Q,M (n) = deg s Q,M (n) r = δ(m).

33 2.4 Teorema di Dimensione 25 (3.) Dimostriamo che δ(m) dim M. Se dim M = 1, allora M = 0 e δ(m) = 1. Dunque, sia M 0 e procediamo per induzione su r = dim M. Se dim M = 0, per (2.4.4) len R M è finito, quindi il numero minimo di a i m tali che len R M/(a 1,..., a r )M < è δ(m) = 0. Sia ora dim M > 0, che per (1.) è finito. Supponiamo la disuguaglianza sia vera per dimensioni < dim M. Siano p 1,..., p t Ass M tutti e soli i primi associati tali che coht p i = dim M. Poiché dim M > 0 devono essere p i m per ogni i = 1,..., t, così per (2.4.8) m t i=1p i. Possiamo ora scegliere a m che non appartenga a t i=1p i, quindi poniamo N = M/aM e mostriamo che Supp N Supp M \ { p 1,..., p t }. Se N p 0 deve essere M p 0, quindi Supp N Supp M. Poiché a / p i e am = 0 in N, la localizzazione è N pi = 0, così p i / Supp N. Per ipotesi p i sono gli ideali di massima coaltezza in Supp M, pertanto dim N < dim M. Sia r = δ(n), poniamo a 1,..., a r m tali che len R N/(a 1,..., a r )N sia finito. Per il primo teorema di isormofismo M/(a, a 1,..., a r )M = N/(a 1,..., a r )N, dunque anche len R M/(a, a 1,..., a r )M è finito e di conseguenza δ(m) r+1. Per ipotesi induttiva δ(n) dim N, così δ(m) r + 1 = δ(n) + 1 dim N + 1 dim M.

34

35 Capitolo 3 Dimensione di Anelli Affini In questo capitolo tratteremo due definizioni di dimensione equivalenti per gli anelli affini, introducendo il concetto di varietà algebrica affine e mostrando che ad ogni anello affine ne è associata una. Quindi mostrermo l equivalenza tra la dimensione geometricamente intuitiva definita su una varietà algebrica affine e il grado del polinomio di Hilbert-Samuel dell anello affine associato localizzato in punto. D ora in poi con k verrà indicato un campo algebricamente chiuso. 3.1 Lemma di Normalizzazione di Noether Definizione Un dominio di integrità A si dice k-algebra affine se è un algebra finitamente generata su un campo k. In simboli x 1,..., x n A A = k[x 1,..., x n ]. Se non è richiesto specificare il campo k, ci riferiremo ad A come anello affine. Osservazione Sia A = k[x 1,..., x n ] un anello affine, allora esiste p k[y 1,..., Y n ] ideale primo nell anello dei polinomi in n indeterminate tale che A = k[y 1,..., Y n ]/p. Definito il morfismo di valutazione ϕ: k[y 1,..., Y n ] k[x 1,..., x n ] p(y 1,..., Y n ) p(x 1,..., x n ) si ha A = k[y 1,..., Y n ]/ ker ϕ, in particolare ker ϕ è un ideale primo poiché A è un dominio di integrità. 27

36 28 3. Dimensione di Anelli Affini Notazione Siano Y 1,..., Y n indeterminate e α = (a 1,..., a n ), con a i intero. Definiamo Y α := Y a 1 1 Y an n. Lemma Sia Y = { Y α i } i I una famiglia finita di monomi in Y 1,..., Y n indeterminate. Esistono interi positivi r 1,..., r n 1, r n = 1 tali che la funzione ρ: Y N Y α n k=1 r ka k sia iniettiva. Ovvero, sia tale che n n α i α j = r k a ik r k a jk. k=1 Dimostrazione. Dimostriamo l asserto per induzione su n. Per n = 1 ogni monomio in Y è della forma Y α = Y a 1 1, quindi per r 1 = 1 è verificato. Supponiamo vero l enunciato per n 1 e dimostriamolo per n > 0. È possibile scrivere ogni monomio come Y α = Y a 1 1 Y α, dove α = (0, a 2,..., a n ). Otteniamo così una famiglia finita Y = { Y α j }j J di monomi nelle n 1 indeterminate Y 2,..., Y n. Per ipotesi induttiva esistono r 2,..., r n 1, r n = 1 tali che ρ : Y N sia iniettiva. Scegliamo un intero r 1 > max ρ (Y α ). Y α Y k=1 Siano α i α j in Y, per fissare le idee sia a i1 a j1. Si ha n r k a ik = k=1 n r k a jk r 1 (a i1 a j1 ) + ρ (Y α i ) ρ (Y α j ) = 0. k=1 Se a i1 = a j1, allora ρ(y α i ) ρ(y α j ) = ρ (Y α i ) ρ (Y α j ) 0. Altrimenti, se a i1 a j1, si ha a i1 a j1 1. Per definizione di r 1 r 1 (a i1 a j1 ) > ρ (Y α j )(ai1 a j1 ) ρ (Y α j ). Applicando la disuguaglianza nella prima equazione si ottiene r 1 (a i1 a j1 ) + ρ (Y α i ) ρ (Y α j ) > ρ (Y α j ) + ρ (Y α i ) ρ (Y α j ) = ρ (Y α i ) 0. Teorema (Lemma di Normalizzazione di Noether). Siano A un anello affine e I 1 I r una catena di ideali propri di A non nulli. Esistono n N ed elementi x 1,..., x n A algebricamente indipendenti su k tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

37 3.1 Lemma di Normalizzazione di Noether A è intero su B = k[x 1,..., x n ]. 2. Per ogni i = 1,..., r esiste h i intero positivo tale che I i B sia generato da x 1,..., x hi come ideale di B. Dimostrazione. La dimostrazione procede in quattro punti. (i) È sufficiente studiare il caso in cui A = k[y 1,..., Y m ] sia un anello di polinomi. Sia A = k[x 1,..., x m ] un anello affine, per l osservazione (3.1.2) A = A /I 0, dove A = k[y 1,..., Y m ] e I 0 è un ideale primo. Nella stessa notazione, posto I i = ϕ 1 (I i ), otteniamo in A la catena di ideali propri I 0 I 1 I r. Supponiamo che valga il teorema per A, allora esistono x 0,..., x m A algebricamente indipendenti su k tali che A sia intero su B = k[x 0,..., x m] e per ogni i = 0,..., r esiste h i intero positivo tale, che come ideale di B, I i B = (x 1,..., x h i ). Poiché gli ideali formano una catena per l inclusione, per 0 i j si ha h 0 h i h j. Posto B = ϕ(b ) = k[ϕ(x 1),..., ϕ(x m)], poiché ϕ(i 0) = 0 deve essere ϕ(x 1) = = ϕ(x h 0 ) = 0, quindi B = k[x h0 +1,..., x m ], x i = ϕ(x i). Poiché A è intero su B, dalla suriettività di ϕ si ha A intero su B. Inoltre I i B = ϕ(i i B ) = ϕ((x 1,..., x h i )) = (x h0 +1,..., x hi ). Ora dimostriamo il teorema per A anello di polinomi. Procediamo per induzione su r. (ii) Sia r = 1. Consideriamo ora il caso in cui I 1 = (x 1 ) = x 1 A sia un ideale principale, con x 1 / k poiché ideale proprio. Per assunzione di A = k[y 1,..., Y m ] come anello di polinomi, x 1 = g(y 1,..., Y m ) è polinomio non costante a coefficienti in k. Dimostriamo che esistono interi positivi r i, per i = 2,..., m, tali che A sia intero su B = k[x 1,..., x m ], dove x i = Y i Y r i 1, i = 2,..., m. Poiché gli x i sono interi su B, se mostriamo che Y 1 è intero su B, allora ogni Y i è intero su B, così A è intero su B.

38 30 3. Dimensione di Anelli Affini Si osservi che da x 1 = g(y 1,..., Y m ) si ottiene la relazione g(y 1, x 2 + Y r 2 1,..., x m + Y rm 1 ) x 1 = 0. Scrivendo il polinomio g (nella notazione di (3.1.4)) come somma finita di monomi c α Y α, con α = (a 1,..., a n ), c α k, c α 0, la relazione diventa c αj Y a j1 1 (x 2 + Y 1 ) a j2 (x m + Y rm 1 ) a jm x 1 = 0, J <. j J Definiamo f(α) = a 1 + a 2 r a m r m e scegliamo gli r i tali che gli f(α j ) siano a due a due distinti. Tali r i esistono per il lemma (3.1.4). Esiste ed è unico β { α j } j J che massimizzi f rispetto agli α j. Scrivendo la relazione come polinomio in Y 1, diventa c β Y f(β) 1 + j<f(β) p j (x 1,..., x m )Y j 1 = 0, quindi, dividendo per c β, segue che Y 1 sia intero su B. Come abbiamo osservato sopra, A = k[y 1,..., Y m ] è intero su B = k[x 1,..., x m ]. Così è dimostrato il punto (1) dell enunciato per I 1 ideale principale. Poiché B A è una estensione intera di domini di integrità, si ha Frac B Frac A estensione algebrica di campi. Poiché x 1,..., x m / k e k è algebricamente chiuso, sono trascendenti su k. Per tr deg k Frac A = m e (1.6.16) ne consegue che x 1,..., x m sono algebricamente indipendenti su k. Inoltre B è isomorfo a un anello di polinomi in n indeterminate. Mostriamo che I 1 B = (x 1 ) = x 1 B. Da I 1 = x 1 A segue x 1 B x 1 A = I 1, quindi x 1 B I 1 B. Sia ora t I 1 B, allora t = x 1 u con u A, pertanto dividendo per x 1 si ottiene u A Frac B. Poiché B è isomorfo a un anello di polinomi, allora è un dominio a fattorizzazione unica e per (1.3.8) è integralmente chiuso. Poiché A è intero su B, si ha dunque u B. Così x 1 A B = x 1 B ed è dimostrato il punto (2) per I 1 ideale principale. (iii) Sia r = 1, mostriamo il caso per I 1 ideale proprio qualsiasi. Procediamo per induzione su m. Se m = 0 non c è niente da dimostrare. Per m = 1 si ha che A = k[x] è un dominio a ideali principali e ci si riconduce al punto (ii). Sia vero l enunciato per m 1 e dimostriamolo per m > 0. Sia x 1 I 1 non nullo, allora x 1 / k in quanto I 1 ideale proprio. Per il punto (ii) esistono t 2,..., t m A tali che x 1, t 2,..., t m siano algebricamente indipendenti su k, A sia intero su C = k[x 1, t 2,..., t m ] e x 1 A C = x 1 C. Consideriamo l anello affine k[t 2,..., t m ] e il suo ideale proprio I 1 k[t 2,..., t m ], per ipotesi induttiva esistono x 2,..., x m k[t 2,..., t m ] algebricamente indipendenti su k tali che k[t 2,..., t m ] sia intero su k[x 2,..., x m ] ed esiste un