Esercizi di Algebra Superiore. φ : k[x 1,..., X n ] k[t] φ(x i ) = t a i.,..., X n t a n X0 X 1 X 3 2 X 1 X 2 X 0 X 2 3.

Transcript

1 Esercizi di Algebra Superiore 1 Sia l omomorfismo definito da φ : k[x 1,, X n ] k[t] φ(x i ) = t a i, a i 1 Provare che Ker(φ) = (X 1 t a 1,, X n t a n ) k[x 1,, X n ] 2 Sia I l ideale di R = k[x 0,, X 3 ] generato dai minori di ordine due della matrice ( X0 X 1 X 3 2 X 1 X 2 X 0 X 2 3 a) Provare che I e il nucleo dell omomorfismo φ : R k[t, u] definito da φ(x 0 ) = t 7, φ(x 1 ) = t 5 u 2, φ(x 2 ) = t 3 u 4, φ(x 3 ) = u 7 b) Provare che X 0, X 3 e una R/I-successione c) Calcolare la serie di Hilbert di R/I d) Calcolare il polinomio di Hilbert di R/I e) Provare che nell ordinamento degrevlex con X 0 > X 1 > X 2 > X 3 risulta M(I) = (X2 4, X 1 X2 3, X1 2 ) 3 Sia I l ideale di R = k[x 0,, X 5 ] generato dai minori due per due della matrice X 0 X 1 X 2 X 1 X 3 X 4 X 2 X 4 X 5 Provare che I e il nucleo dell omomorfismo ) φ : R k[t, u, v] definito da φ(x 0 ) = t 2, φ(x 1 ) = tu, φ(x 2 ) = tv, φ(x 3 ) = u 2, φ(x 4 ) = uv, φ(x 5 ) = v 2 Calcolare la serie di Hilbert di R/I e provare che nel deglex definito da X 0 > X 1 > > X 5 si ha M(I) = (X 0 X 3, X 0 X 4, X 0 X 5, X 1 X 4, X 1 X 5, X 3 X 5 ) 4 Determinare due anelli graduati A e B tali che HS A (z) = 1 + 3z + z 2 + z 3 1

2 HS B (z) = (1 + 2z + z 3 )/(1 z) 5 Determinare due anelli graduati ridotti A e B tali che HS A (z) = (1 + 2z)/(1 z) HS B (z) = (1 + 2z + z 2 )/(1 z) 6 Sia R = k[x 0,, X n ] e L 1,, L r elementi del k spazio vettoriale R 1 Provare che se L 1,, L r sono linearmente indipendenti, allora sono una R-successione 7 Sia I un ideale omogeneo di R = k[x 0,, X n ] tale che dim(r/i) 2 Provare che per ogni polinomio omogeneo F R si ha: I + (F ) (X0,, X n ) Se k e algebricamente chiuso, cio prova che ogni varieta proiettiva di P n k positiva incontra ogni ipersuperficie di P n k di dimensione 8 Sia P P n un punto dello spazio proiettivo di coordinate P := (a 0,, a n ) Determinare un sistema di generatori per l ideale I di R = k[x 0,, X n ] generato dai polinomi omogenei F R tali che F (P ) = 0 Provare che I e primo, generato da una R-successione e determinare gli invarianti numerici di R/I 9 Sia N un modulo graduato finitamente generato su R = k[x 0,, X n ] Se 0 M N P 0 e una successione esatta di moduli graduati e omomorfismi omogenei, provare che e(n) = e(m) se dim(m) > dim(p ) e(n) = e(p ) se dim(m) < dim(p ) e(n) = e(m) + e(p ) se dim(m) = dim(p ) 10 Sia M un modulo graduato finitamente generato su R = k[x 0,, X n ] e F R t un polinomio omogeneo di grado t Se dim(m/f M) = dim(m) = d, provare che { e(m) se dim(m/0 :M F ) < d e(m/f M) = e(m) e(m/0 : M F ) se dim(m/0 : M F ) = d 2

3 Se invece dim(m) > dim(m/f M), provare che dim(0 : M F ) d 1 e si ha e(m/f M) = { t e(m) + e(0 :M F ) se dim(0 : M F ) = d 1 t e(m) se dim(0 : M F ) d 2 11 I seguenti esempi mostrano che nell esercizio 10 i casi anomali sono possibili Sia M = k[x, Y ]/(X 2 ), F = XY Provare che dim(m) = 1, e(m) = 2, dim(m/f M) = 1, e e(m/f M) = 1 Sia M = k[x, Y ]/(X 2, XY ) F := Y Provare che dim(m) = e(m) = 1, dim(m/f M) = 0, e(m/f M) = 2 12 Sia I = (F 1,, F r ) l ideale generato da una M-successione di elementi omogenei di R di gradi d 1,, d r Provare che e(m/im) = d 1 d 2 d r e(m) 13 Il Teorema di purezza di Macaulay afferma che se I = (F 1,, F r ) e un ideale generato da una R-successione in R = k[x 1,, X n ], allora per ogni primo Ass(R/I) si ha dim(r/i) = dim(r/ ) Sia I = (F 1,, F r ) ove F 1,, F r sono elementi omogenei di R di gradi d 1,, d r maggiori o eguali a 2 Provare che se e(r/i) = d 1 d 2 d r, allora F 1,, F r sono una R-successione 14 Il seguente esempio mostra che la conclusione dell esercizio 13 non vale se M e un modulo qualunque Sia M = k[x, Y, Z, T ]/(X, Y ) (X 2, Y 2, Z, T ), F := ZT Provare che e(m) = 1, e(m/f M) = 2 15 Provare che se M e un R-modulo graduato finitamente generato e N e T sono sottomoduli graduati di M, allora HS M/N T (z) = HS M/N (z) + HS M/T (z) HS M/(N+T ) (z) 16 Provare che se A e un anello graduato integro e I e un suo ideale omogeneo non nullo, allora dim(a/i) < dim(a) 17 Siano I e ideali omogenei di R tali che e primo, I e dim(r/i) = dim(r/ ) Provare che e(r/ I) = e(r/ ) + e(r/i) 18 Siano P 1,, P s s punti distinti dello spazio proiettivo P n 3

4 Se I e l ideale di R = k[x 0,, X n ] costituito dai polinomi omogenei F R tali che F (P i ) = 0 per ogni i = 1,, s, provare che dim(r/i) = 1 e(r/i) = s 19 Data la curva di P 3 di equazioni parametriche provare che il suo ideale e X 0 = t 11, X 1 = t 7 u 4, X 2 = t 6 u 5, X 3 = u 11, I = (X 3 2 X 0 X 1 X 3, X 4 1 X 2 0 X 2 X 3, X 3 1 X 2 2 X 3 0 X 2 3 ) Provare poi che {X 0, X 3 } e una R/I-successione e quindi determinare la dimensione, il grado e il genere della curva 20 Siamo F 1,, F r elementi omogenei di R e sia I l ideale che essi generano Si consideri l ordinamento deglex sui monomi di R Provare che M(F 1 ),, M(F r ) sono una successione regolare se e solo se M(I) = (M(F 1 ),, M(F r )) e F 1,, F r sono una successione regolare 21 Sia R = k[x 1,, X n ] e I un suo ideale omogeneo tale che R/I e artiniano Se t e il minimo grado tra i generatori di I, provare che ( ) n + t 1 e n 22 Sia I l ideale generato dai minori due per due della matrice ( X0 X 1 X n 1 Provare che I e il nucleo dell omomorfismo definito da X 1 X 2 X n ) φ : k[x 0,, X n ] k[t, u] φ(x i ) = t n i u i Calcolare la serie di Hilbert di R/I e verificare che il genere e 0 Il sottoinsieme di P n luogo degli zeri di I e una curva razionale che si chiama la curva razionale normale di P n Provare poi che I + (X 0, X n ) = (X 1,, X n 1 ) 2 + (X 0, X n ) 4

5 Dedurre che X 0, X n e una R/I successione Determinare infine M(I) rispetto all ordinamento deglex definito da X 0 > X 1 > > X n 23 Siano n, d interi positivi e R = k[t i0 i n ], i 0,, i n 0, i i n = d Sia I il nucleo dell omomorfismo φ : k[t i0 i n ] k[x 0,, X n ] definito da φ(t i0 i n ) = X i 0 0 Xi n n L ideale I definisce la d-immersione di Veronese di P n in P (n+d d ) 1 Determinare la funzione di Hilbert di R/I, dim(r/i) e e(r/i) 24 Sia I l ideale di R = k[x ij ] i = 1, 2 e j = 1,, n, generato dai minori di ordine due della matrice ( ) X11 X 12 X 1n X 21 X 22 X 2n E chiaro che I e contenuto nel nucleo dell omomorfismo: φ : k[x ij ] k[y 1, Y 2, Z 1,, Z n ] definito da φ(x ij ) = Y i Z j Sia J = (X 1n, X 21, X 1i X 2,i+1 ) i=1,,n 1 ; calcolare la Serie di Hilbert di R/(I + J) Dedurre che I = Ker(φ) e che X 1n, X 21, X 1i X 2,i+1, i = 1,, n 1, sono una R/Isuccessione Calcolare infine dim(r/i) e e(r/i) 25 Siano n e m interi positivi e I il nucleo dell omomorfismo: φ : k[x ij ] k[y 0,, Y n, Z 0,, Z m ] definito da φ(x ij ) = Y i Z j L ideale I definisce la Varieta di Segre, immersione di P n P m in P (n+1)(m+1) 1 Determinare la funzione di Hilbert di R/I, dim(r/i) e e(r/i) 26 Siano F e G due forme omogenee di gradi a e b di R = k[x 0,, X 3 ] Se F, G sono una R-successione, calcolare la dimensione, il grado e il genere della varieta di P 3 luogo degli zeri di F e G 27 Sia R = k[x 1,, X n ] e I un ideal lex-segmento tale che dim(r/i) = 0 Provare che : a) e(r/i) = e(r/i + (X n )) + e(r/(i : X n )) b) I : R 1 = I : X n 5

6 28 Sia A un anello graduato di dimensione uno tale che HF A (t) e per ogni t 0 Provare che per ogni t 0 si ha HF A (t) = e oppure HF A (t) t Sia I = (F 1,, F r ) ove {F 1,, F r } e una R-successione con deg(f i ) = d i Provare che e(r/i) = d 1 d 2 d r 30 Sia I l ideale di R = k[x 1,, X 6 ] generato dai minori di ordine massimo della matrice ( X1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 ) Sapendo che HS R/I (z) = 1 + 2z (1 z) 4 a) Provare che X 3, X 4, X 1 X 5, X 2 X 6 sono una R/I-successione b) Provare che R/I e Cohen-Macaulay 31 Sia I l ideale generato dai minori di ordine massimo della matrice Sapendo che ( ) X 3 0 X 1 X2 2 X 3 1 X 2 X 2 3 HS R/I (z) = 1 + 2z + 3z2 + 3z 3 + 2z 4 (1 z) 2, a) Determinare il polinomio di Hilbert di R/I b) Provare che X 0, X 3 sono una R/I successione c) Provare che R/I e Cohen-Macaulay d) Determinare M(I) nell ordinamento deglex 32 Siano f 1 = X 3 Y 2 Z 2, f 2 = Y Z X 4 e f 3 = XZ Y 3 Sia poi I = (f 1, f 2 ) e J = (f 1, f 2, f 3 ) Provare che Xf 1 + Y 2 f 2 + Zf 3 = 0 Dedurre che I non e primo Determinare poi interi a, b e c tali che J = Ker(φ) ove φ : k[x, Y, Z] k[t ] e l omomorfismo definito da: φ(x) = T a, φ(y ) = T b, φ(z) = T c Determinare infine i primi minimali di I 6

7 33 Sia I l ideale generato dai minori di ordine massimo F 1, F 2, F 3 della matrice: e sia φ l omomorfismo ( ) X0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 φ : k[x 0,, X 5 ] k[s, t, u, v, w] definito da φ(x 0 ) = su, φ(x 1 ) = sv, φ(x 2 ) = sw, φ(x 3 ) = tu, φ(x 4 ) = tv, φ(x 5 ) = tw Se J = Ker(φ), determinare la funzione di Hilbert e la Serie di Hilbert di R/J Usando l ordinamento deglex determinare la serie di Hilbert di Provare infine che si ha I = J R/(M(F 1 ), M(F 2 ), M(F 3 )) 34 Siano P 1, P 2, P 3, P 4 punti distinti in P 2 tali che, comunque si considerino tre punti tra questi, non sono allineati Sia I l ideale di R = k[x 0, X 1, X 2 ] cosi definito: I = {F R : F (P i ) = 0 perogni i = 1,, 4 e ( F/ X j )(P 1 ) = 0 perogni j = 0, 1, 2} a) Se indichiamo con i l ideale di R corrispondente al punto P i, provare che I = b) Determinare la funzione di Hilbert di R/I 35 Sia I un ideale omogeneo di R = k[x 0,, X n ] e sia A = R/I, dima = d > 0 a) Sia d = 1 e x un elemento di A 1 tale che dima/xa = 0 Allora HF A (n) λ(a/xa) b) Sia J = (x 1,, x d ) un ideale di A generato da elementi omogenei di grado uno tale che dima/j = 0 Allora HS A (z) 1 + (λ(a/j) 1)z/(1 z) d 36 Sia I un ideale omogeneo di R = k[x 1,, X n ] e sia A = R/I, dima = 1 Supponiamo HF A (n) non decrescente Provare che a) per ogni intero n si ha HF A (n) e dove e denota la molteplicita di A b) per ogni intero n si ha HF A (n) n + 1 c) e 1 ( e 2) ( h 2) dove h = HFA (1) 1 37 Sia X un insieme di punti distinti in P n di cardinalita s 2n con la proprieta non esiste un iperpiano di P n che contenga n + 1 punti di X Sia Y X di cardinalita n e sia Z = X Y a) Determinare le serie di Hilbert HS Y (z) e HS Z (z) Sia L = 0 un iperpiano contenente Y b) Provare che I(X) : L = I(Z) 7

8 Sapendo che HS X (z) = 1 + nz + (s n 1)z2 (1 z) c) Provare che I(X) + (L) = I(Y ) d) Sia M = 0 un iperpiano di P n non contenente nessuno dei punti di X Determinare HS A (z) dove A = k[x 0,, x n ]/I(X) + (L, M) 38 Sia X un sottoinsieme di P costituito da 6 punti distinti con la proprieta che ogni sottoinsiene di 4 punti non giace su un piano Sia A l anello delle coordinate di X Provare che la funzione di Hilbert di A e univocamente determinata 39 Sia I l ideale di R = k[x 0,, X 3 ] generato dai minori di ordine due della matrice ( X0 X 1 X 4 2 X 1 X 2 X 2 0 X 2 3 a) Provare che I e il nucleo dell omomorfismo φ : R k[t, u] definito da φ(x 0 ) = t 9, φ(x 1 ) = t 7 u 2, φ(x 2 ) = t 5 u 4, φ(x 3 ) = u 9 b) Provare che R/I e Cohen-Macaulay c) Calcolare il polinomio di Hilbert di R/I 40Sia A = k[t 2, tv, u 2, uv, v 2 ] a Determinare HS A (z) b Calcolare il polinomio di Hilbert di A ) 8