Algoritmi. per l Algebra e la Geometria

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1 Margherita Roggero Algoritmi per l Algebra e la Geometria Laurea Magistrale in Matematica A.A. 2006/2007

2 Indice Capitolo 1 - Anelli di polinomi 4 Prerequisiti di algebra commutativa Ideali di k[x 1,..., x n ] e varietà algebriche di k n Ideali omogenei e varietà proiettive Capitolo 2 - Algoritmo di divisione 11 Divisione in k[x] Ordinamento di monomi Ideali monomiali Ideali iniziali e basi di Gröbner L algoritmo di divisione L algoritmo di Buchberger Capitolo 3 - Applicazioni algebriche e geometriche 28 Eliminazione di variabili Varietà parametriche Numeri algebrici Somma di ideali Intersezione di ideali Radicale di un ideale Quoziente di due ideali Radicale di ideali zero-dimensionali Soluzioni reali di sistemi di equazioni polinomiali Il caso di una variabile reale La matrice compagna Numero degli zeri reali in regioni di R n Capitolo 4 - Poliedri 43 Basi di Grobner Universali Poliedri, coni, politopi La somma di Minkowski

3 INDICE 3 Politopo associato ad un polinomio Ideali e politopi Il politopo di stato di un ideale Politopi reticolari e varietà toriche Capitolo 5 - Funzioni di Hilbert, moduli e sizigie 54 Funzioni di Hilbert Proiezioni e sezioni Generalità sui moduli Moduli finitamente generati Ordinamenti monomiali sui moduli Moduli di sizigie di ideali Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

4 Capitolo 1 Anelli di polinomi Prerequisiti di algebra commutativa Sia A un anello commutativo con identità (nel seguito semplicemente anello). Ricordiamo che un ideale I di A è un sottogruppo additivo di A chiuso rispetto alla moltiplicazione per elementi di A ossia tale che : a A, b I = ab I. Se I è un ideale di A, al relazione in A data da a b se a b I è una relazione di equivalenza e il quoziente A/I è dotato di una struttura di anello indotta da quella di A: (a + I) + (b + I) = a + b + I, (a + I) (b + I) = ab + I. Parleremo allora di anello quoziente A/I di A modulo I. Un dominio (o dominio di integrità) è un anello A in cui vale la legge di annullamento del prodotto, ossia: a, b A, ab = 0 = a = 0 oppure b = 0. I campi sono domini. L anello di polinomi A[x 1,..., x n ] a coefficienti in un anello A nelle variabili x 1,..., x n è l insieme di tutte le somme formali di un numero finito di termini del tipo ax r xrn n con a A ed esponenti r i N e le operazioni di somma e prodotto definite in modo usuale. Se A è un dominio, anche A[x 1,..., x n ] lo è. Lemma 1.1. Sia A un anello. Le due condizioni seguenti sono equivalenti: 1. Ogni ideale di A è finitamente generato. 2. Ogni catena ascendente di ideali di A è stazionaria. Dim: Supponiamo che valga 1. e consideriamo una famiglia a i di ideali di A, dove i varia in un insieme totalmente ordinato I e a i a j per ogni coppia di indici i, j I tali che i < j. L unione a di tutti gli a i risulta essere un ideale (poichè gli a i 4

5 Anelli di polinomi 5 formano una catena); per ipotesi esiste un numero finito di elementi a 1,..., a r A che generano a. Scegliamo quindi degli indici i 1,..., i r I tali che a n a in e sia i 0 il loro massimo. Allora a 1,..., a r a i0 e quindi a i0 = a e la catena da quel punto in poi è stazionaria. Supponiamo esista un ideale a di A che non è finitamente generato; consideriamo una successione a n, con n N, di elementi di a tali che a n+1 / a n = (a 1,..., a n ): una tale successione esiste certamente perché in caso contrario a 1,..., a n sarebbero generatori di a. Abbiamo così ottenuto una catena strettamente crescente di ideali di A. Definizione 1.2. Un anello A si dice noetheriano se soddisfa le due condizioni equivalenti del lemma precedente. Teorema 1.3. (Teorema della base di Hilbert) Se A è un anello noetheriano allora anche l anello dei polinomi A[x] lo è. Definizione 1.4. Si dice che un dominio A è un dominio a fattorizzazione unica (in breve: è fattoriale o UFD) se ogni elemento non nullo e non invertibile di A si decompone nel prodotto di elementi irriducibili e tale decomposizione è unica (a meno dell ordine dei fattori e di unità ossia della moltiplicazione dei fattori per elementi invertibili). Teorema 1.5. (Teorema di Gauss) Se A è UFD allora anche A[x] lo è. Corollario 1.6. L anello dei polinomi k[x 1,..., x n ] a coefficienti in un campo è un dominio noetheriano fattoriale. Se A = k è un campo, possiamo anche pensare k[x 1,..., x n ] come k-spazio vettoriale; una base privilegiata è l insieme infinito T dei monomi, ossia dei termini con coefficiente a = 1: T := { x r 1 1 xrn n / r i N per i = 1,..., n }. Il grado di un monomio x r 1 1 xrn n è il numero intero non negativo r 1 + +r n ; il grado di un polinomio f, che indicheremo con f è il massimo grado di monomi che compaiono in f, dove con questa espressione intenderemo i monomi che di f con coefficiente non nullo. Esempio 1.7. Possiamo uniformare le scritture dei due polinomi f = x 2 3 e g = 2x + 4 di R[x] scrivendo f = x 2 + 0x 3 e g = 0x 2 + 2x + 4. Comunque il monomio x non compare in f e il monomio x 2 non compare in g; quest ultimo ha grado 1, anche se formalmente può essere scritto facendo comparire anche x 2 (o monomi di ogni altro grado superiore). Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

6 6 Capitolo 1 Ideali di k[x 1,..., x n ] e varietà algebriche di k n. La valutazione di un polinomio f(x) k[x] in un elemento α di k si ottiene sostituendo all indeterminata x l elemento α nell espressione formale di f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, ossia la valutazione di f(x) in α è data da f(α) = a 0 + a 1 α + + a n α n. La valutazione del polinomio nullo in ogni α k è 0. D altra parte può capitare che un polinomio non nullo abbia valutazione 0 in ogni elemento α k. Per esempio se k ha solo un numero finito di elementi, k = {α 1,..., α n }, allora il polinomio non nullo f(x) = (x α 1 ) (x α n ) ha valutazione 0 in ogni α i k. Mediante la valutazione possiamo associare ad ogni polinomio f k[x] una funzione f : k k che associa ad ogni a k la valutazione f(a). Le funzioni così ottenute si dicono funzioni polinomiali. Le funzioni polinomiali con le usuali operazioni di somma e prodotto punto per punto formano un anello che indichiamo con F k[x]. L applicazione canonica che associa ad ogni polinomio di k[x] la corrispondente funzione è, per costruzione, un omomorfismo suriettivo di anelli, ma, come mostra l esempio precedente, non sempre è anche iniettivo. Se però k è un campo infinito, allora l anello dei polinomi e l anello delle funzioni polinomiali sono canonicamente isomorfi e potremo considerare come concetti equivalenti polinomi e funzioni polinomiali (Principio di identità dei polinomi). Più in generale se f k[x 1,..., x n ], possiamo considerare la valutazione di f in un punto P = (a 1,..., a n ) k n che denoteremo con f(a 1,..., a n ) o con f(p ). Sef(a 1,..., a n ) = 0 diremio che (a 1,..., a n ) è una soluzione dell equazione f = 0 ovvero che (a 1,..., a n ) è uno zero del polinomio f. Dati i polinomi f 1,..., f r di k[x 1,..., x n ] indichiamo con V = V (f 1,..., f r ) il sottoinsieme di di k n degli zeri comuni ai polinomi f i. Un punto P = (a 1,..., a n ) di k n appartiene a V se f 1 (a 1,... a n ) = = f r (a 1,... a n ) = 0, ossia se è soluzione del sistema di equazioni: f 1 (x 1,..., x n ) = 0 f 2 (x 1,..., x n ) = f r (x 1,..., x n ) = 0 Più in generale, dato un qualsiasi sottoinsieme B di k[x 1,..., x n ], possiamo considerare il sottoinsieme V = V (B) degli zeri comuni a tutti i polinomi f B, ossia: V (B) = {P k n f(p ) = 0, f B}. Ogni sottoinsieme V di k n del tipo V = V (B) per un qualche B k[x 1,..., x n ] si dice insieme algebrico o varietà algebrica affine. M. Roggero

7 Anelli di polinomi 7 Possiamo notare che le relazioni di inclusione tra sottoinsiemi di k[x 1,..., x n ] corrispondono a inclusioni di verso rovesciato tra i corrispondenti insiemi algebrici, ossia: B 1 B 2 = V (B 1 ) V (B 2 ). Inoltre uno stesso insieme algebrico V k n può essere ottenuto a partire da molti sottoinsiemi diversi di k[x 1,..., x n ]; a seconda dei casi potremmo preferire un insieme di equazioni di V che sia più piccolo possibile oppure più grande possibile. Le due richieste sono però strettamente correlate, come mostra il seguente risultato. Lemma 1.8. Sia V = V (B) un insieme algebrico di k n. a. Se I è l ideale generato da B (ossia l insieme di tutte le combinazioni lineari finite di elementi di B a coefficienti in k[x 1,..., x n ]), allora V = V (I). b. L insieme I (V ) := {f k[x 1,..., x n ] f(p ) = 0 per ogni P V } che contiene tutte i polinomi nulli su V è un ideale. c. Esiste un insieme finito B k[x 1,..., x n ] tale che V = V (B ). Dim: Poiché B I, si ha intanto V = V (B) V (I). D altra parte, se P V (B), allora si ha anche P V (B); infatti per ogni f I se e solo se è del tipo f = g 1 f g r f r con f 1,..., f r B e quindi f(p ) = g 1 (P )f 1 (P ) + + g r (P )f r (P ) = 0. Considerazioni analoghe alle precedenti permettono di verificare che I (V ) è un ideale. Infine un insieme finito di equazioni per V è ad esempio un insieme finito di generatori di I (oppure di I (V )), che esiste per la noetherianità di k[x 1,..., x n ]. In particolare è possibile scegliere un insieme finito B B. Potremo allora definire un qualsiasi insieme algebrico V usando soltanto un numero finito di polinomi f 1,..., f r : V è quindi l insieme delle soluzioni comuni a un numero finito di equazioni polinomiali f i = 0. Se B = {f 1,..., f r }, indicheremo con (f 1,..., f r ) l ideale I generato da B. Si noti che I e I (V ) non sempre coincidono, ma si ha soltanto I I (V ). Esempio 1.9. Siano f k[x 1,..., X n ] un polinomio non nullo di grado positivo, B = {f 2 } e V = V (B). L ideale generato da B è l ideale principale (f 2 ), ma l insieme algebrico V può essere ottenuto anche come V ((f)), con (f 2 ) (f) e quindi (f 2 ) I (V ), poiché f / (f 2 ), mentre f I (V ). Definizione Il radicale di un ideale I è: I = {g k[x1,..., X n ] g h I per qualche h N}. Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

8 8 Capitolo 1 Si può facilmente verificare che I è un ideale e vale inoltre il risultato seguente che generalizza l esempio. Lemma Se I è un ideale di R = k[x 1,..., X n ] e V = V (I), allora si ha anche V = V ( I). Dim: Osserviamo intanto che I I e quindi (rovesciando le uguaglianze) si ha V (I) V ( I). D altra parte, se P V (I) e f I, allora f h I per un qualche esponente h e quindi f(p ) = 0 poichè (f(p )) h = f h (P ) = 0 e k è un campo. A partire da un ideale I possiamo quindi costruire due ideali, in genere più grandi di I, che definiscono lo stesso insieme algebrico, ossia I (V (I)) e I. Uno dei più importanti risultati dell algebra commutativa e della geometria algebrica stabilisce uno stretto legame tra questi due ideali. Teorema 1.12 (Nullstellensatz o Teorema degli zeri di Hilbert). Si consideri un campo k algebricamente chiuso. Se I è un ideale proprio di k[x 1,..., x n ], allora: Forma debole: V (I) Forma forte: I (V (I)) = I. Senza l ipotesi che il campo k sia algebricamente chiuso, non sempre I è il più grande ideale che definisce V (I), come mostra il seguente esempio. Esempio In R[x] l ideale I = (x 3 +x) individua la varietà V (I) = V (x 3 +x) = {0} ed è un ideale radicale, ossia I = I. Però vi sono anche polinomi che sono nulli su V (I), ma che non appartengono a I, come ad esempio x. Più precisamente si ha I (V (I)) = (x) I. La corrispondenza biunivoca tra ideali radicali e ideali di varietà ha quindi bisogno dell ipotesi relativa alla chiusura algebrica del campo. Tuttavia il risultato continua a valere, più generalmente, per l anello dei polinomi k[x 1,..., x n ] a coefficienti in un campo k qualsiasi purchè si considerino gli zeri a coordinate in un campo K estesione algebricamente chiusa di k (e quindi le varietà associate siano sottoinsiemi di K n ). Possiamo ad esempio applicare il Teorema degli zeri agli ideali di R[x 1,..., x n ] considerano le corrispondenti varietà in C n. Definizione Si dice che un insieme algebrico V è irriducibile se non è l unione di due insiemi algebrici strettamente contenuti in V ossia se: V = V 1 V 2 con V 1 e V 2 algebrici = V = V 1 oppure V = V 2. M. Roggero

9 Anelli di polinomi 9 V si dice riducibile se non è irriducibile, ossia se è l unione di due insiemi algebrici ciascuno strettamente contenuto in V. Si dice dimensione di un insieme algebrico V la massima lunghezza r delle catene: dove le V i sono varietà irriducibili. V 0 V 1 V r V Si può dimostrare che un insieme algebrico non vuoto V di k n è irriducibile se e soltanto se I (V ) è un ideale primo (ossia se fg I (V ) f I (V ) oppure g I (V )). Si può dimostrare, inoltre, per mezzo della teoria della decomposizione primaria degli ideali, che ogni insieme algebrico di k n può essere decomposto nell unione di un numero finito di varietà irriducibili. Sia V un sottoinsieme algebrico di k n e sia I = I (V ) l ideale associato. Ogni polinomio f k[x 1,..., x n ] definisce una funzione polinomiale: f : V k data da P f(p ). Definizione L anello k[v ] delle funzioni polinomiali su V, dotato delle operazioni di somma e prodotto punto per punto, si dice anello delle coordinate di V. Due polinomi f e g definiscono la stessa funzione polinomiale in k[v ] se e soltanto se la loro differenza f g definisce la funzione nulla, ossia se f g I. Allora k[v ] è canonicamente isomorfo a k[x 1,..., x n ]/I (V ). Ideali omogenei e varietà proiettive Un polinomio costituito da monomi tutti dello stesso grado si dice omogeneo rispetto alla graduzione standard. Ogni polinomio può essere scritto in modo unico come somma di polinomi omogenei di gradi distinti: le sue componenti graduate. Una caratterizzazione importante dei polinomi omogenei è la seguente: f k[x 1,..., x n ] è omogeneo di grado r f(tx 1,..., tx n ) = t r f(x 1,..., x n ). L insieme delle radici di un polinomio omogeneo è allora un cono di k n con vertice nell origine. Un ideale si dice omogeneo se contiene le componenti graduate dei suoi elementi; si verifica che un ideale è omogeneo se e soltanto se ammette un insieme di generatori costituito da polinomi omogenei. Se I è un ideale omogeneo, V (I) è quindi a sua volta un cono con vertice nell origine; tali varietà corrispondono biunivocamente alle varietà proiettive dello spazio proiettivo P n 1 di dimensione n 1 sul campo k. Viceversa, se un polinomio si annulla sui punti di un cono W, allora anche ciascuna sua componente omogenea vi si annulla e quindi I (W ) è un ideale omogeneo. Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

10 10 Capitolo 1 Per lo studio delle varietà proiettive sono quindi particolarmente interessanti gli ideali omogenei. D altra parte gli ideali omogenei hanno anche proprietà che in molte situazioni li rendono preferibili a quelli che non lo sono. Si può allora ricorrere al procedimento di omogenizzazione che trasforma un qualsiasi ideale I di k[x 1,..., x n ] in un ideale omogeneo di k[x 0, x 1,..., x n ] mediante l aggiunta di una nuova variabile. Possiamo generalizzare il concetto di polinomio e ideale omogeneo introducento una funzione peso che associa ad ogni variabile x i un numero intero d i (d i = 1 nel caso standard); si definisce quindi il grado pesato di un monomio x a 1 1 xan n come la somma a 1 d a n d n. M. Roggero

11 Capitolo 2 Algoritmo di divisione Divisione in k[x]. Ricordiamo che l anello dei polinomi in una variabile k[x] è un dominio euclideo con la valutazione data dal grado; quindi k[x] è un dominio a ideali principali e in esso vale la fattorizzazione unica. Gli ideali di k[x] sono allora tutti principali ossia del tipo (f) con f k[x]. Due ideali (f) e (g) coincidono se e solo se f e g sono associati tra loro. Quindi: Ideal(A) 1 1 k[x]/ dove è data da: f g f = ag con a k poichè gli elementi non nulli di k sono gli unici elementi invertibili in k[x]. La valutazione data dal grado e la conseguente struttura di dominio euclideo non forniscono solo informazioni di tipo generale sulle proprietà di k[x], ma anche un metodo effettivo di calcolo. Ad esempio, dati due ideali (f) e (g) di k[x] si ha: i) (f)+(g) = (h) dove h = MCD(f, g). Più in generale, se I = (f 1,..., f r ), allora si ha anche I = (f) con f = MCD(f 1,..., f r ). ii) (f) (g) = (l) dove l = mcm(f, g); iii) (f) (g) g (f) g/f ossia se esiste q k[x] tale che f = gq. iv) se I = (f), allora I = (g) dove g = f MCD(f,f ) e f è la derivata formale di f. In tutti questi casi l unico generatore dei vari ideali può essere esplicitamente calcolato mediante l algoritmo di divisione euclidea, che permette di trovare il MCD di due polinomi in una variabile. Inoltre: 11

12 12 Capitolo 2 v) Nell anello quoziente k[x]/(f) due classi g 1 e g 2 coincidono se e solo se i resti della divisione di g 1 per f e di g 2 per f coincidono. Quindi la divisione fornisce anche un metodo per lavorare nei quozienti di k[x]. Il resto della divisione di g per f è un rappresentante privilegiato di g poichè in ogni classe vi è uno e un solo rappresentante di questo tipo. Quindi se d = f, ogni classe è del tipo a 0 + a 1 x +..., a d 1 x d 1. vi) L anello quoziente k[x]/(f) ha dimensione d come k-spazio vettoriale, poiché {x r r = 0,..., f 1} è una sua base. Esempio 2.1. Consideriamo un polinomio f R[x] e sia V la varietà definita da f in C. Se MCD(f, f ) = 1, allora V è costituito da esattamente d = f punti. Come osservato in vi), d è anche la dimensione di R[x]/(f) come R-spazio vettoriale. Vedremo in seguito come questa uguaglianza valga più in generale per ogni varietà 0-dimensionale, ossia costituita da un numero finito di punti, V in R n (e anche in k n ) e come essa fornisca un metodo effettivo per calcolare appunto la cardinalità di V. Per eseguire materialmente la divisione tra due polinomi f e g per prima cosa li riordiniamo scrivendo i loro termini in ordine decrescente di grado: f = a n x n + a n 1 xn a 1 x + a 0, g = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 ; quindi iniziamo a confrontare tra loro i termini di grado massimo a n x n e b m x m : il quoziente tra f e g ha come termine di grado massimo il quoziente a n b m 1 x n m. Si ottiene così il resto provvisorio f 1 = f a n b m 1 x n m g e si procede nella divisione ripetendo la stessa procedura a partire da f 1. Anche l anello k[x 1,..., x n ] è un dominio a fattorizzazione unica (Lemma di Gauss), ma per n 2 non è un dominio a ideali principali (l ideale (x 1, x 2 ) non è principale); quindi non può essere neppure un dominio euclideo e non può possedere una divisione con resto come quella del caso di una sola variabile. Ciò nonostante, nei prossimi paragrafi vedremo come si può costruire un ordinamento dei monomi e una specie di divisione con resto che permetteranno di generalizzare anche al caso di più variabili alcune delle precedenti procedure. Sarà ad esempio possibile: 1. (Ideal membership) dati un ideale a e un elemento f di k[x 1,..., x n ], stabilire se f a; 2. stabilire se due ideali di k[x 1,..., x n ] assegnati mediante insiemi di generatori sono uguali; 3. stabilire se un polinomio f appartiene a a a partire da un insieme di generatori di a; M. Roggero

13 Algoritmo di divisione determinare a a partire da un insieme di generatori di a; 5. trovare una base di k[x 1,..., x n ]/a come k-spazio vettoriale; 6. trovare in ogni classe di k[x 1,..., x n ]/a un rappresentante speciale; 7. stabilire se due classi f e g di k[x 1,..., x n ]/a sono uguali. 8. determinare la tabella delle operazioni in k[x 1,..., x n ]/a. Molte altre procedure saranno poi esaminate nei capitoli successivi. Ordinamento di monomi Nel seguito denoteremo con T n il sottoinsieme di k[x] = k[x 1,..., x n ] di tutti i monomi, ossia: T n = {x a 1 1 xa xan n = x a a = (a 1,..., a n ) N n }. L usuale prodotto è una operazione interna a T n (associativa e commutativa): possiamo allora parlare del monoide T n. Vogliamo ora definire relazioni d ordine totale in T n compatibili con tale struttura algebrica L applicazione log : x a a è un isomorfismo di monoidi tra T n con l operazione di prodotto e N n con l operazione di somma componente per componente (ossia all usuale somma di vettori se pensiamo N n come sottoinsieme di R n ). Le relazioni d ordine in T n compatibili col prodotto corrispondono allora alle relazioni d ordine in N n compatibili con la somma. Le relazioni d ordine a cui siamo interessati dovranno soddisfare alcune propietà: Definizione 2.2. Diciamo term order ogni ordinamento su T n che: i) è un ordine totale ossia x α, x β T n si ha: x α x β oppure x β x α ii) rispetta l operazione di prodotto tra monomi ossia x α, x β, x γ T n si ha: x α x β = x α x γ x β x γ. iii) 1 x α per ogni x α T n Nel seguito oltre a useremo i simboli, e col significato usuale. Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

14 14 Capitolo 2 Osservazione 2.3. Sia un ordinamento totale in T n che rispetta il prodotto. Allora vale la cancellazione ossia x α, x β, x γ T n si ha x α x γ x β x γ x α x β. Se infatti si avesse x α x β allora per ii) si avrebbe anche x α x γ x β x γ. La condizione iii) nella definizione di term order può essere sostituita da altre, che, a seconda dei casi, possono risultare più convenienti. Proposizione 2.4. Sia ordinamento totale in T n che rispetta il prodotto. Sono allora equivalenti: iii1) 1 x α per ogni x α T n ; iii2) 1 x i per ogni indeterminata x i. iii3) se x α divide x β, allora x α x β. iii4) è un buon ordinamento. Dim: La proprietà di cancellazione permette di vedere immediatamente l equivalenza tra iii1) e iii3); è inoltre immediata l implicazione iii1) iii2). Per provare l implicazione inversa iii2) iii1) possiamo procedere per induzione sul grado dei monomi x α. Se il grado è 1, non c è nulla da provare. Se si ha 1 x α per tutti i monomi di un dato grado s, allora si ha anche 1 x α x i x α e quindi la proprietà vale anche per i monomi di grado s + 1. Proviamo ora che le prime condizioni sono equivalenti a iii4). Supponiamo che sia un ordinamento totale che rispetta il prodotto ma tale che 1 x i per una qualche indeterminata. Allora 1 x i x 2 i x n i... è una catena decrescente infinita e quindi non è un buon ordinamento. Supponiamo infine che valga iii3), ma che non sia un buon ordine, ossia supponiamo che esista una catena infinita strettamente decrescente x α i x α i+1... Possiamo costruire una catena di ideali di k[x 1,..., x n ]: a i = (x α 1,... x α i ) a i+1 = (x α 1,... x α i+1 )... Notiamo che ad ogni passo otteniamo un ideale strettamente più grande del precedente; infatti x α k+1 è più piccolo di ogni x α i con i k e quindi per iii3) non può essere un suo multiplo. Allora x α k+1 a k+1, ma non appartiene all ideale a k da cui M. Roggero

15 Algoritmo di divisione 15 a k a k+1. Otteniamo così un assurdo, poichè una catena strettamente crescente infinita di ideali è in contrasto con la noetherianità di k[x 1,..., x n ]. Notiamo che ogni term order definisce in particolare un ordinamento totale sull insieme delle variabili. A meno di un cambiamento di nome potremo sempre supporre che si abbia: x 1 x 2 x n 1. Esempio 2.5. L ordinamento più naturale in Z n è quello lessicografico che indicheremo con Lex o semplicemente con. Per ogni coppia di elementi (α 1,..., α n ), (β 1,..., β n ) di Z n si ha (α 1,..., α n ) (β 1,..., β n ) se vale una delle condizioni equivalenti: 1. (α 1,..., α n ) = (β 1,..., β n ) oppure α i = β i per ogni i < r e α r < β r ; 2. (α 1 β 1,..., α n β n ) è la n-upla nulla (0,... 0) oppure il suo primo elemento non nullo è negativo. Ovviamente tale ordinamento in Z n induce un ordinamento anche sul sottoinsieme N n e quindi anche su T n : chiameremo entrambi ordinamento lessicografico. Si verifica facilmente che Lex è un term order. Due classi molto vaste di ordinamenti su T n, che comprendono essenzialmente tutti i term orders che useremo, sono date dai risultati seguenti. Proposizione 2.6. Sia A una matrice n n a entrate intere di rango massimo. La relazione A in N n data da: (α 1,... α n ) A (β 1,..., β n ) A t (α 1,... α n ) Lex A t (β 1,..., β n ) è una relazione d ordine totale. Inoltre A è un term order se e solo se il primo elemento non nullo in ogni colonna di A è positivo. Dim: Lasciamo al lettore la verifica che si tratta di un ordinamento totale; osserviamo soltanto che la proprietà antisimmetrica discende dal fatto che la matrice ha rango massimo. Per provare la caratterizzazione dei term orders, ricordiamo la Proposizione 2.4. Grazie a tale risultato abbiamo che A è un term order se e solo per ogni j = 1,..., n si ha 1 A x j e quindi se e solo se A t (0,..., 1, 0,..., 0) ha il primo elemento non nullo positivo. Ma il primo elemento non nullo di A t (0,..., 1, 0,..., 0) è proprio il primo elemento non nullo della colonna j-esima di A. Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

16 16 Capitolo 2 Proposizione 2.7. Sia w = (w 1,..., w n ) un vettore generico di R n ossia tale che nessun w i sia combinazione lineare dei rimanenti a coefficienti interi. Allora la relazione in N n data da: (α 1,... α n ) w (β 1,..., β n ) w (α 1,... α n ) w (β 1,..., β n ) è una relazione d ordine totale. Inoltre w è un term order se e solo w i > 0 per ogni i = 1,..., n. Dim: Lasciamo al lettore la verifica che si tratta di un ordinamento totale; osserviamo soltanto che la proprietà antisimmetrica discende dal fatto che per la genericità delle coordinate di w si ha w α 0 per ogni stringa non nulla α Z n. La caratterizzazione dei term orders discende poi immediatamente dal Lemma 2.4. In alcuni caasi è utile considerare term orders definiti mediante vettori w non generici, ad esempio a componenti intere; in tal caso per avere un effettivo term order è necessario introdurre un term order di sostegno che interviene ogni volta che il vettore non è sufficiente ad assicurare la proprietà antisimmetria. Esempio 2.8. L unico term order su T 1 (ossia sui monomi di k[x]) è quello dato dal grado. Si ha infatti 1 < x e quindi, moltiplicando per x n, x n < x n+1. L applicazione log costituisce quindi una applicazione biunivoca che conserva l ordine tra T 1 e N. Esempio 2.9. L ordinamento lessicografico Lex in T n, per ogni n 2, si può pensare come il term order A scegliendo come A la matrice identità. Anche se T n è un insieme numerabile, tuttavia Lex è molto diverso dall ordinamento in N nel senso che non vi è nessuna applicazione biunivoca tra N e T n che conserva l ordinamento. Infatti tra due numeri naturali qualsiasi si trovano sempre un numero finito di altri numeri, mentre tra due monomi si possono trovare anche infiniti monomi: 1 < x 2 < x 2 2 < x 3 2 < < x k 2 < < x 1. L esempio precedente mostra anche come vi siano sottoinsiemi di T n (nel nostro caso {x 2, x 2 2,..., xi 2,... }) che non ammettono massimo rispetto a Lex, pur essendo superiormente limitati. Per questo motivo si preferisce talvolta un altro ordinamento, strettamente legato a Lex, ma in cui situazioni spiacevoli di questo tipo non si verificano. Esempio Consideriamo la matrice: A = M. Roggero

17 Algoritmo di divisione 17 Il term order A ad essa associato confronta innanzi tutto il grado totale dei monomi: il monomio più grande tra due è quello di grado maggiore; a parità di grado si confrontano poi gli esponenti a partire da quelli delle indeterminate maggiori, come in Lex. Perciò questo term order si chiama lessicografico graduato e si denota DegLex. In simboli: x α DegLex x β se (x α ) < (x β ) oppure (x α ) = (x β ) e x α Lex x β Poichè in ogni grado vi sono soltanto un numero finito di monomi, tra due monomi se ne trovano solo un numero finito di altri. Si tratta quindi di un ordinamento molto simile a quello di N. Esempio Vogliamo determinare tutti i term orders graduati su T 2, ossia sui monomi di k[x, y], supponendo y x. Se moltiplichiamo questa relazione per ogni monomio di grado r 1, otteniamo un unico possibile ordinamento tra i monomi di grado r: y r xy r 1 x r i y i x r i+1 y i 1 x r. Quindi vi sono solo due possibili ordinamenti graduati, questo e quello ottenuto ponendo x y. Tutte le matrici invertibili del tipo ( ) 1 1 a b individuano l uno o l altro a seconda del segno di a b. Esempio Vogliamo determinare tutti i term orders graduati su T 3, ossia sui monomi di k[x, y, z], supponendo z y x. Se moltiplichiamo questa relazione per ogni monomio di grado 1, otteniamo una serie di relazioni tra i monomi di secondo grado, ossia: z 2 yz xz xy x 2 e anche z 2 yz y 2 xy x 2 ma non otteniamo alcuna indicazione su quale sia il minore tra xz e y 2. Porre y 2 xz porta all unico ordinamento DegLex, ma vi è anche un term order per il quale xz y 2, ed è quello associato alla matrice: A = Esempio Generalizzando l esempio precedente, consideriamo la matrice: A = Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

18 18 Capitolo 2 Il term order A su T n ad essa associato, detto lessicografico inverso graduato e denotato abitualmente con RevDegLex, è un term order graduato, ossia confronta innanzi tutto il grado totale dei monomi; nel caso in cui (x α ) = (x β ), allora: x α < RevDegLex x β se r (1 r n) tale che α i = β i per ogni i > r e α r > β r. Nota bene: Il DegRevLex non è un ordinamento DegLex con una diversa gerarchia delle variabili poiché in entrambi i casi abbiamo fissato x n x 1. Esempio Siano x 1,... x n e y 1,..., y m due insiemi di indeterminate e sia I = (f 1,..., f r ) un ideale di k[x, y]. Eliminare le variabili x da I vuol dire determinare tutti gli elementi di I (cioè tutte le combinazioni lineari di f 1,... f r con coefficienti in k[x, y]), in cui compaiono solo le variabili y. In termini algebrici si tratta di determinare un insieme di generatori per l ideale J = I k[y] dell anello k[y]. Un ordinamento di eliminazione delle x è un term order rispetto al quale un monomio in cui compaia anche una x i è maggiore di ogni monomio nelle sole variabili y. Rispetto a un ordinamento siffatto per ogni polinomio f k[x, y]: il massimo dei monomi di f è y β f k[y]. È un ordinamento di eliminazione delle x ad esempio il Lex in cui le variabili sono ordinate in modo che le x i siano più grandi delle y j. Più in generale possiamo considerare due qualsiasi term orders x e y sui monomi nelle sole variabili x e y rispettivamente. Otteniamo un ordinamento di eliminazione delle variabili x nel modo seguente: x α y β x α y β x α x x α oppure x α = x α e y β y y β. Ideali monomiali Lemma Sia I un ideale di k[x 1,..., x n ] = k[x]. Le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. se f appartiene a I, allora ogni monomio di f appartiene a I; 2. I è generato dall insieme dei suoi monomi; 3. I = (x α 1,..., x αr ). Lasciamo al lettore la facile verifica dell equivalenza delle tre condizioni; notiamo soltanto che la prova dell implicazione segue immediatamente dal Teorema della Base di Hilbert. Si potrebbe anche dimostrare direttamente tale implicazione, nota come Lemma di Dickson e da essa dedurre poi il Teorema della Base. M. Roggero

19 Algoritmo di divisione 19 Definizione Un ideale I di k[x 1,..., x n ] = k[x] che soddisfa le condizioni equivalenti del Lemma 2.15 si dice ideale monomiale. Si dice base di un ideale monomiale I ogni insieme di generatori monomiali di I che sia minimale, ossia tale che nessun suo sottoinsieme proprio genera I. Proposizione Un ideale monomiale I possiede un unica base {x α 1,..., x αr }. Dim: Possiamo ottenere un insieme di generatori minimale a partire da un qualsiasi insieme (finito) di generatori monomiali, cancellando ogni monomio che sia multiplo di un altro. Se poi {x α 1,..., x αr } e {x β 1,..., x βs } sono due basi di I, allora per ogni i r il monomio x α i dovrebbe dividere un monomio x β j, il quale a sua volta dovrebbe dividere un monomio x α i. Per la proprietà transitiva, x α i dovrebbe dividere x α i. Poichè per costruzione nessun monomio di una base può dividerne un altro, allora x α i = x α i e quindi x α i = x β j. Segue immediatamente dalla definizione che un ideale monomiale è un ideale omogeneo rispetto ad una qualsiasi graduazione, standard o pesata, anche non compatibile col term order fissato. Se I = (x α 1,..., x αr ) è un ideale monomiale, è molto semplice trovare delle strategie operative per rispondere ai problemi posti all inizio di questo capitolo. Per sapere se un polinomio f appartiene a I, basta controllare se ogni termine di f è multiplo di uno dei monomi x α i. Una base di k[x 1,..., x n ]/I come k-spazio vettoriale è costituita dalle classi dei monomi che non appartengono a I, ossia che non sono multipli di alcun x α i ; quindi per determinare un rappresentante speciale (unico) in ogni classe g di k[x 1,..., x n ]/I basta cancellare da g ogni termine che è multiplo di uno degli x α i. Vedremo ora come un term order permetta di trovare strategie analoghe a queste, ma applicabili anche nel caso di un ideale qualsiasi. Ideali iniziali e basi di Gröbner Introduciamo alcune notazioni. Sia f un polinomio non nullo di k[x 1,..., x n ]. Supponiamo fissato un term order in T n. Definizione Consideriamo l unica scrittura f = s j=1 a jx γ j con 0 a j k per ogni j = 1,..., s. Si dice: monomio iniziale (in inglese leading monomial) di f, denotato Lm(f) il massimo (rispetto a ) degli x γ j ; Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

20 20 Capitolo 2 termine iniziale (in inglese leading term) di f, denotato Lt(f) il termine a j x γ j, dove x γ j = Lm(f); coefficiente iniziale o coefficiente direttivo (in inglese leading coefficient) di f, denotato Lc(f) il coefficiente a j in f di x γ j = Lm(f). Valgono le ovvie relazioni per ogni coppia di polinomi non nulli: i. Lt(f) = Lc(f)Lm(f); ii. Lm(fg) = Lm(f)Lm(g), Lc(fg) = Lc(f)Lc(g), Lt(fg) = Lt(f)Lt(g); iii. Lm(f + g) max{lm(f), Lm(g)} e vale = ogni volta che Lm(f) Lm(g). Definizione Se I è un ideale di k[x 1,..., x n ], si dice ideale iniziale di I (rispetto a ) l ideale monomiale In(I) generato da {x γ T n x γ = Lm(f) per qualche f I} Proposizione Sia I un ideale di k[x 1,..., x n ]. Consideriamo un insieme di generatori monomiali {x α 1,..., x αr } di In(I) e per ogni i, (1 i r) sia f i I tale che Lm(f i ) = x α i. Allora I = (f 1,..., f n ). Dim: Supponiamo per assurdo che ci siano polinomi di I che non si possono scrivere come combinazione lineare a coefficienti in k[x 1,..., x n ] degli f i ; nell insieme di tali polinomi, ve ne è (almeno) uno il cui monomio iniziale è minimo rispetto al prefissato term order: sia f un polinomio siffatto. Per costruzione si ha Lm(f) = x β In(I) = (x α 1,..., x αr ) e quindi vi sono un indice s r e un monomio x γ tali che x β = x γ x αs. Il polinomio f Lc(f) x γ f s appartiene quindi ad I, non è combinazione degli f j (altrimenti anche f lo sarebbe) e ha monomio iniziale minore di f, contro l ipotesi. Le proprietà sopra provate per gli ideali monomiali e le basi monomiali non valgono per ideali qualsiasi o per insiemi qualsiasi di generatori di un ideale, come mostra l esempio seguente. Esempio Consideriamo l ideale I = (x, y) di k[x, y]. Si tratta di un ideale monomiale e {x, y} è la sua base. Per ogni intero r 1, l ideale I possiede anche l insieme minimale di generatori B r = {x, y y 2, y 2 y 3,..., y r 1 y r, y r } costituito da r + 1 polinomi. Se fissiamo ad esempio l ordinamento DegLex e l intero r = 2, l insieme dei monomi iniziali di B 2 è {x = Lm(x), y 2 = Lm(y y 2 ) = Lm(y 2 )} = {x, y 2 } che non costituisce un insieme di generatori per In(I) = I. M. Roggero

21 Algoritmo di divisione 21 Esempio Consideriamo come prima l ordinamento DegLex e sia I l ideale di k[x, y, z] generato da {f 1 = xy y + 1, f 2 = y 2 z x}. Il polinomio g = x 2 + yz x appartiene ad I, poichè g = yz f 1 (x 1) f 2 ; però x 2 = Lm(g) / (xy = Lm(f 1 ), y 2 z = Lm(f 2 )). Definizione Chiamiamo base di Gröbner o base standard (in breve G- base) di un ideale I di k[x 1,..., x n ] (rispetto a un fissato term order) un insieme di polinomi {f 1,..., f r } I tali che (Lm(f 1 ),..., Lm(f r )) = In(I). Un base di Gröbner si dice ridotta se per ogni i r si ha Lc(f i ) = 1 e Lm(f i ) non divide alcun monomio che compare in f j se j i. Proposizione Ogni ideale I ha una sola base di Gröbner ridotta. Dim: Possiamo intanto osservare che due G-basi ridotte hanno lo stesso numero di elementi (tanti quanti ne ha l insieme minimale di generatori monomiali di In(I)). Se B 1 = {f 1,..., f r } e B 2 = {g 1,..., g r } sono due basi di Gröbner ridotte, possiamo supporre, riordinando eventualmente gli indici, che Lm(f i ) = Lm(g i ) per ogni i r. Allora il polinomio f i g i deve essere nullo, perchè altrimenti il suo monomio iniziale, che compare in f i oppure in g i, dovrebbe essere multiplo di un monomio iniziale Lm(f j ) = Lm(g j ), contro l ipotesi. In virtù della Proposizione 2.20, una G-base di I è anche un insieme (non necessariamente minimale) di generatori di I. Quando diremo che un insieme di polinomi B è una base di Gröbner senza specificare qual è l ideale, l ideale sottinteso sarà quello generato da B. L algoritmo di divisione In questo paragrafo supporremo fissato un term order in k[x 1,..., x n ] con la solita convenzione sull ordine delle indeterminate. Vogliamo estendere all anello k[x 1,..., x n ] l algoritmo di divisione che in k[x] porta a determinare il quoziente e il resto tra due polinomi. Sia B = {f 1,..., f r } un insieme finito di polinomi e sia I l ideale da essi generato. Preso un qualsiasi polinomio g possiamo considerare la sua scrittura g = s i=1 c jx α j con c j 0 e x α j x α j 1. Cerchiamo un monomio di g che sia multiplo di uno dei monomi Lm(f i ): se non ce ne sono diciamo che g non è riducibile mediante B; in caso contrario operiamo un passo di riduzione di g mediante B nel modo seguente. Sia x α h il maggiore dei monomi di g divisibile per qualche monomio iniziale dei polinomi in B: sia ad esempio x α h = x β Lm(f i ). Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

22 22 Capitolo 2 Costruiamo il nuovo polinomio g 1 = Lt(f i )g c h x β f i ; indicheremo la relazione così ottenuta col simbolo: g B g 1. In g 1 compaiono gli stessi monomi di g maggiori di x α h, ma non copare x α h. Possiamo poi ripetere il procedimento a partire da g 1 fino a che è possibile, ossia fino a che non otteniamo un polinomio non ulteriormente riducibile. Ad ogni passo si prende in considerazione un monomio più piccolo di quello esaminato al passo precedente; tali monomi formano una successione decrescente che è quindi finita, grazie al fatto che un term order è un buon ordine. Useremo il simbolo g B + g per dire che con un tale procedimento possiamo passare dal polinomio g a g. Osservazione Fissati un term order in T n e un insieme di polinomi B k[x], la costruzione precedente individua su k[x] una relazione d ordine (non totale) B data da g 1 g 2 se g 1 = g 2 oppure g 1 + g 2. Analogamente possiamo costruire un grafo orientato G (B) i cui vertici sono i polinomi e i cui spigoli sono le relazioni g B g. In particolare fissato un polinomio g possiamo considerare il sottografo orientato G g (B) il cui insieme dei vertici è {g k[x] g B + g } {g} che risulta essere un grafo finito. In caso contrario, potremmo considerare, nell insieme dei polinomi g per cui G g (B) è infinito, un polinomio g 0 che ha monomio iniziale minimo. Se al primo passo di riduzione di g 0 non si prende in considerazione Lm(g 0 ), il polinomio g 0 Lt(g 0 ) ha la stessa proprietà di g 0 ma monomio iniziale più piccolo, contro l ipotesi di minimalità di Lm(g 0 ). Quando, d altra parte, si prende in considerazione Lm(g 0 ), il primo passo di riduzione può essere effettuato al più in r = card(b) modi diversi; quindi almeno uno dei polinomi ottenuti dopo un primo passo di riduzione soddisfa la stessa proprietà e ha monomio iniziale minore, di nuovo contro l ipotesi. Di conseguenza, in ciascun insieme G g (B) vi sono solo un numero finito di possibili polinomi non ulteriormente riducibili. Il procedimento di riduzione prima definito risulta in generale insoddisfacente, in quanto non porta a determinare un unico resto e non risolve il problema dell ideal membership. Esempio Consideriamo l ordinamento DegLex in k[x, y] e l insieme di polinomi B = {f 1 = 2xy 2 + 4y 2 + 3x, f 2 = y 2 2y 2}. Il polinomio g = 2x 3 y 3 + 4y 2 si può ridurre ai due polinomi (entrambi non ulteriormente riducibili) g 1 = 3x 3 y 24x 2 y 16x 2 + 8y + 8 M. Roggero

23 Algoritmo di divisione 23 con la procedura g 1 = (((g x 2 yf 1 ) + 4x 2 yf 2 ) + 8x 2 f 2 ) 4f 2, ma anche a g 2 = 12x 3 y + 8x 3 + 8y + 8 con la procedura g 2 = ((g 2x 3 yf 2 ) 4x 3 f 2 ) 4f 2. Il polinomio f = f 1 (2x + 4)f 2 = 4xy + 7x + 8y + 8 appartiene ovviamente all ideale I generato da B; però, se non conoscessimo già la sua scrittura come combinazione di f 1 e f 2, il procedimento di riduzione non ci permetterebbe di ricavarla, poichè anzi f non è riducibile mediante B. Teorema Siano un term order in T n e B = {f 1,..., f r ) un sottoinsieme finito di un ideale I di k[x 1,..., x n ]. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1. B è una base di Gröbner di I; 2. g I, g 0, f i B tale che Lm(f i ) divide Lm(g); 3. g I, g 0, si ha g B + 0; 4. g I, g 0, si ha g = r i=1 h if i con Lm(g) = max i {Lm(h i f i )}. Dim: 4. = 1. e 1. = 2. seguono immediatamente dalla definizione di base di Gröbner. 2. = 3. Supponiamo valga 2.; allora ogni polinomio non nullo di I può essere ridotto mediante B. Come abbiamo già visto, ogni catena di riduzioni è finita. Quindi se g I, esiste g non ulteriormente riducibile tale che g B + g ; per costruzione g = g h i f i e quindi anche g appartiene a I. Allora g = = 4. Per come è stato definito l algoritmo di riduzione, se g B + 0, allora g = t j=1 h jf ij dove al crescere di i i monomi Lm(h j f ij ) sono strettamente decrescenti. In particolare Lm(g) = Lm(h 1 f i1 ) = max j { Lm(h j f ij ) }. Raccogliendo i coefficienti di ciascun f i otteniamo l asserto. Corollario Fissato un term order in T n, siano I un ideale di k[x 1,..., x n ] e B una base di Gröbner di I. Allora per ogni polinomio g k[x 1,..., x n ], esiste un unico polinomio non ulteriormente riducibile g tale che g B + g. Inoltre tale polinomio g è invariante nella classe g + I. Dim: Supponiamo che si abbia g B + g e h B + h con g h I. Per come è stato definito l algoritmo di riduzione si ha g = g l i f i e quindi g g I; analogamente anche h h I e quindi g h I. Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

24 24 Capitolo 2 In virtù del risultato precedente, g h B + 0. Se g e h non sono ulteriormente riducibili, allora nessun monomio che compare in essi è multiplo di uno dei Lm(f i ) e anche g h non è ulteriormente riducibile. Quindi g h = 0. Definizione L unico polinomio non ulteriormente riducibile modulo B nella classe g + I si dice resto (per analogia col caso di una sola indeterminata) o forma normale di g modulo B. I risultati precedenti mostrano che le basi di Gröbner sono la risposta ai problemi posti all inizio di questo capitolo. Tramite una G-base possiamo infatti sapere dopo un numero finito di passi di riduzione se un dato polinomio appartiene o meno a I e possiamo anche trovare un rappresentante speciale in ogni classe di equivalenza in k[x 1,..., x n ]/I Proposizione Siano I un ideale di k[x 1,..., x n ] e J il suo ideale iniziale rispetto a un prefissato un term order. 1) Le classi in k[x 1,..., x n ]/I dei monomi di T n \ J sono tutte distinte e costituiscono una base di k[x 1,..., x n ]/I come k-spazio vettoriale. 2) k[x 1,..., x n ]/I e k[x 1,..., x n ]/J sono isomorfi e quindi hanno la stessa dimensione come k-spazi vettoriali. Un isomorfismo di k-spazi vettoriali (ma NON di anelli!) è dato da f + I f + J, dove f è la forma normale di f. Dim: Per 1) basta osservare che in ogni classe f + I vi è uno e un solo rappresentante f (la forma normale di f) i cui monomi appartengono tutti a T n \ J; 2) segue immediatamente osservando che tale mappa è k-lineare e trasforma la base monomiale di k[x 1,..., x n ]/I presentata al punto precedente nella base monomiale di k[x 1,..., x n ]/J. Vediamo ora una importantissima conseguenza applicativa del risultato precedente, che riprenderemo e preciseremo nei capitoli successivi. Corollario Siano V una varietà algebrica e I = I (V ) l ideale corrispondente. Supponaimo per semplicità V k n e I k[x] con k campo algebricamente chiuso. Allora V è un insieme finito di punti se e soltanto se k[x]/i ha dimensione finita come k-spazio vettoriale. In tal caso si ha card(v ) = dim k (k[x]/i). Dim: Se V è infinita vi sarà almeno una variabile x i tale che le i-esime coordinate dei punti di V assumono infiniti valori diversi: sia x n. In tal caso le classi in k[x]/i di 1, x n, x 2 n,... x m n,... sono linerarmente indipendenti (in caso contrario, se vi fosse una relazione t j=0 c jx j n = 0 allora t j=0 c jx j n I = I (V ) e quindi tutti i M. Roggero

25 Algoritmo di divisione 25 punti di V avrebbero n-esima coordinata scelta tra le t soluzioni di t j=0 c jx j n = 0, contro l ipotesi. Supponaimo ora che V sia finito e costituito da r punti {P 1,..., P r }. A meno di un cambio di coordinate possiamo supporre che le n-esime coordinate dei punti P j siano tutte distinte. Proviamo che dim k (k[x]/i) = r e che una base di k[x]/i come k-spazio vettoriale è costituita dalle classi di 1, x n,..., x r 1 n. Fissiamo il term order Lex con il solito ordinamento delle variabili 1 x n x 1 e procediamo per induzione su r. Se r = 1, allora V = {P (a 1,..., a n )} e quindi I (P ) = (x 1 a 1,..., x n a n ) e In(I) = (x 1,..., x n ). L insieme differenza T n \ In(I) contiene soltanto 1 e da ciò segue l asserto grazie alla Proposizione Supponiamo l asserto vero per r 1 punti e proviamo che vale anche per r punti. Siano V 1 = {P 1,..., P r 1 } e I 1 = I (V 1 ) in modo che V = V 1 {P r (a 1,..., a n )} e I è costituito dai polinomi di I 1 che si annullano anche in P r. Grazie all ipotesi induttiva, sappiamo che ogni monomio x α / {1, x n,..., x r 2 n } è il monomio iniziale di un qualche polinomio g I 1. Se x β / {1, x n,..., x r 1 n }, allora si può sicuramente scrivere x β = x α x i con x α / {1, x n,..., x r 2 n }. Preso un g I 1 tale che Lm(g) = x α, allora f = g(x i a i ) I, poichè f si annulla in tutti i punti di V ; infatti f(p j ) = g(p j )(a ji a i ) = 0 se j r 1 perchè g(p j ) = 0 e d altra parte f(p r ) = g(p r )(a i a i ) = 0. Si ha quindi x β = Lm(g)Lm(x i a i ) = Lm(f) In(I) ossia T n \ In(I) {1, x n,, x r 1 n }. D altra parte le classi di 1, x n,, x r 1 n sono linearmente indipendenti in k[x]/i, poiché in caso contrario dovrebbe esservi in I un polinomio del tipo h(x n ) = r 1 i=0 c ix i n (di grado < r) avente tra le sue radici le r distinte n-esime coordinate dei punti di V. Come osservazione finale, notiamo che avremmo potuto utilizzare un term order qualsiasi oppure un altra delle indeterminate al posto di x n ; però con il Lex e la variabile più piccola x n, la base di k[x]/i trovata è costituita da monomi che sono tutti in forma normale rispetto a I. Utilizzando tale base, ogni classe di k[x]/i si scrive in modo unico come la classe di un polinomio del tipo r 1 i=0 b ix i n con b i k, dove tale polinomio è proprio l unico in forma normale rispetto a Lex nella classe. L algoritmo di Buchberger Vediamo ora come è possibile calcolare espressamente una base di Gröbner di un ideale di cui sia noto un inseme di generatori. Algoritmi per l Algebra e la Geometria (20 marzo 2007)

26 26 Capitolo 2 Definizione Sia un term order in k[x 1,..., x n ] = k[x] e siano g 1, g 2 k[x]. Si dice S-polinomio di g 1 e g 2 la loro combinazione lineare S(g 1, g 2 ) = ax α g 1 bx β g 2 Lt(g 2 ) Lt(g 1 ) MCD(Lm(g 1 ),Lm(g 2 )). con coefficienti i termini ax α = MCD(Lm(g 1 ),Lm(g 2 )) e bxβ = Quindi a = Lc(g 2 ), b = Lc(g 1 ) e Lt(x α g 1 ) = Lt(x β g 2 ) = MCM(Lt(g 1 ), Lt(g 2 )). Teorema 2.33 (Buchberger). Si consideri fissato un term order in k[x]. Siano I un ideale di k[x] e B = {g 1,..., g r } un insieme di generatori di I. Allora B è una base di Gröbner per I se e soltanto se per ogni coppia di elementi g i, g j di B si ha S(g i, g j ) B + 0. Dim: La condizione è ovviamente necessaria, poiché S-polinomi di elementi di I stanno in I e quindi, se B è una G-base, si riducono a 0. Proviamo allora che è anche una condizione sufficiente. Sia f un elemento non nullo di I. Poiché il numero di possibili passi di riduzione a partire da f è finito, ci basterà provare che si può eseguire almeno un passo di riduzione su f. Per ipotesi si può scrivere f come h i g i in molti modi diversi: scegliamone una in cui il monomio m, massimo tra i Lm(h i g i ) compare il minor numero di volte. Affermiamo che in tale scrittura m compare una sola volta. In caso contrario, sia m = Lm(h 1 g 1 ) = Lm(h 2 g 2 ); quindi m è un multiplo di MCM(Lt(g 1 ), Lt(g 2 )) ossia h 1 è un multiplo del coefficiente di g 1 in S(g 1, g 2 ). Allora nella scrittura di f come combinazione dei g i il prodotto Lt(h 1 )g 1 può essere sostituito con una espressione del tipo m (Lm(h 2 )g 2 + h i g i ) dove h i g i è la riduzione a 0 di S(g 1, g 2 ) e quindi ogni monomio m Lm(h i g i) è strettamente più piccolo di m. In questo modo otterremo un altra scrittura di f in cui m compare meno che nella precedente, contro l ipotesi. Se allora m compare una sola volta, allora coincide con Lm(f): sia Lm(f) = B Lm(h r )Lm(g r ). Possiamo perciò eseguire il primo passo di riduzione f f Lt(h r )g r. Algoritmo di Buchberger per determinare una G-base di un ideale a partire da un insieme di generatori B = {f 1,..., f n }. Fissato un qualche ordine tra le coppie (f i, f j ) si calcola l S-polinomio S(f i, f j ) e quindi una sua riuzione completa g ij rispetto a B. Se g ij = 0, si passa a considerare la coppia successiva. In caso contrario si considera l insieme di generatori B = B {g ij }. L algoritmo termina perché ad ogni passo i monomi iniziali degli elementi degli insiemi B via via considerati generano ideali monomiali sempre più grandi. Lasciamo come esercizio al lettore la dimostrazione del seguente risultato, che ci sarà utile in seguito. Proposizione Si consideri fissato un term order e siano I e J ideali di k[x]. Allora: M. Roggero