Lezione 15. Omomorfismi di anelli e loro proprietà.

Transcript

1 Lezione 15 Prerequisiti: Lezioni 3, 9, 14 Rierimenti ai testi: [FdG] Sezione 54; [H] Sezioni 33-34; [PC] Sezione 44 Ricordiamo la seguente Omomorismi di anelli e loro proprietà Deinizione 151 Dati due anelli,, un applicazione : ' si dice un omomorismo di anelli se: a, a ' ( a + a ') = ( a) + ( a ') e ( aa ') = ( a) ( a ') In altri termini: un omomorismo di anelli è un applicazione che conserva la somma ed il prodotto Si osservi che un omomorismo di anelli è, in particolare, un omomorismo di gruppi additivi Esempi 15 a) L inclusione di Z in Q è un omomorismo di anelli: in generale, l inclusione di un sottoanello in un anello è un omomorismo iniettivo di anelli La suriezione canonica da Z a Z / nz è un omomorismo di anelli: in generale, la suriezione canonica di un anello su un suo anello quoziente è un omomorismo suriettivo di anelli La seguente nozione è presa in prestito dalla teoria dei gruppi Deinizione 153 Si dice nucleo di un omomorismo di anelli : ' il suo nucleo come omomorismo di gruppi additivi, ossia l insieme 1 { ' } Ker = a ( a) = 0 = (0 ) La Lezione 14 ha evidenziato una sorta di analogia tra la nozione di sottogruppo normale e quella di ideale bilatero Tale analogia è conermata dal seguente risultato, che è la naturale trasposizione della Proposizione 33 Proposizione 154 Il nucleo di un omomorismo di anelli è un ideale dell anello di partenza Dimostrazione: Utilizziamo le notazioni della Deinizione 153 Sappiamo che Ker è un sottogruppo del gruppo additivo di Siano a, x Ker llora ( ax) = ( a) ( x) = ( a)0 = 0, e quindi ax Ker nalogamente si prova che xa Ker Esercizio* Provare che l immagine di un omomorismo di anelli è un sottoanello dell anello di arrivo È vero che l immagine di un ideale è un ideale dell anello di arrivo? nche i seguenti teoremi sono naturali estensioni di proprietà valide per i gruppi Le dimostrazioni sono del tutto analoghe a quelle già viste, e non vengono dunque riportate '

2 Teorema 155 (Teorema ondamentale di omomorismo per gli anelli) Sia : ' un omomorismo di anelli llora esiste un unico omomorismo di anelli tale che * : / Ker Im = * π (*) Im π * / Ker ove π : / Ker è la suriezione canonica Inoltre Dimostrazione: v Teorema 38 * è un isomorismo Teorema 15 (Teorema di corrispondenza per gli anelli) Sia un anello, e sia I un suo ideale bilatero Sia S l insieme degli ideali bilateri (sottoanelli) di contenenti I, sia T l insieme degli ideali bilateri (sottoanelli) dell anello quoziente /I Sia π : / I la suriezione canonica llora l applicazione è biiettiva χ : S T C π ( C) = C / I Dimostrazione: v Teorema 9 Esercizio 157 Determinare tutti gli ideali ed i sottoanelli dell anello quoziente Z / Z = Z Svolgimento: Gli ideali di Z / Z sono tutti e soli i sottoinsiemi del tipo C / Z, ove C è un ideale di Z contenente Z In virtù dell Osservazione 13, si tratta di tutti e soli i sottoinsiemi del tipo mz tali che Z mz, ossia tali che m divide Gli ideali di Z / Z sono dunque i seguenti, che corrispondono, nell ordine, a m=1,, 3, : Z / Z { k Z k Z} { Z,1 Z, Z,3 Z,4 Z,5 Z} {[0],[1],[],[3],[4],[5] } = ([1] ) = (1 + Z) = { k + k } = { + } = { } = = + { k k } { } { } Z / Z = { Z} = {[0] } = ([0] ) = ( Z ) = + = = 3 Z / Z 3 Z Z Z,3 Z [0],[3] ([3] ) (3 Z ) Z / Z = + Z Z = Z, + Z,4 + Z = [0],[],[4] = ([] ) = ( + Z ) Questi, in virtù dell Osservazione 13, sono anche tutti e soli i sottoanelli

3 Osservazione 158 In generale: Gli ideali dell anello quoziente Z / n Z = Z n sono tutti e soli i sottoinsiemi mz / nz = ( m + nz ) Questi sono anche tutti i sottoanelli Esercizio 159 Determinare l anello quoziente Z / Z Z / Z Svolgimento: Consideriamo l omomorismo suriettivo di anelli : Z / Z 3 Z / Z a + Z 3a + Z (ossia [ a] [3 a] ) Si ha Ker = Z / Z Dunque, per il Teorema 155, vale l isomorismo Z / Z 3 / / Z Z Z Z Possiamo trovare un isomorismo con un altro anello se consideriamo l omomorismo di anelli g : Z / Z Z / Z a + Z a + Z (ossia [ a] [ a] ) (veriicare che è ben deinito!) pplicando il Teorema 155, si deduce che Questa proprietà si può acilmente generalizzare: Z / Z / / Z Z Z Z Esercizio* Siano n,m interi maggiori di 1 tali che m divide n Provare che allora Z nz Z m Z n Z m Z Osservazione 1510 Dagli isomorismi trovati nell Esercizio 158 segue, in particolare, che 3 Z / Z Z / Z Ciò non ci deve stupire: i due anelli hanno inatti entrambi due elementi, e sono quindi isomori come gruppi additivi Dal atto che siano isomori come anelli segue, in particolare, che 3 Z / Z è come Z / Z, un anello unitario: è immediato constatare che l unità è 3 + Z Non è diicile veriicare che ogni anello unitario avente esattamente due elementi è isomoro a Z / Z Esistono, però, anche anelli non unitari di cardinalità Un esempio è il seguente sottoanello (ideale) di Z / 4Z : { } = 4Z + 0, 4Z + = (4Z + ) Ogni prodotto in è uguale a [0] 4 Riassumendo, esistono solo due tipi di anelli di cardinalità : i) quelli unitari, che sono isomori a / Z Z, e la cui tavola di composizione per il prodotto è:

4 ii) quelli non unitari, isomori all anello, la cui tavola di composizione per il prodotto è: Osservazione 1511 Un elemento di un anello si dice idempotente se è uguale al proprio quadrato Sono certamente idempotenti lo zero e l unità di un anello Per certi anelli vale anche la proprietà inversa, ovvero: Proposizione 151 In un anello unitario integro gli unici elementi idempotenti sono lo zero e l unità Dimostrazione: Sia un anello unitario integro Sia a tale che a = a llora si ha a ( a 1) = a a = 0 La conclusione segue allora dalla legge di annullamento del prodotto Osservazione 1513 La conclusione non vale, però, in un anello non integro Sono controesempi: - l elemento [ 4] in Z ; la matrice M ( ), dove è un anello commutativo non banale 0 0 È però vero che Proposizione 1514 Se in un anello integro esiste un elemento idempotente non nullo, questo è l unità dell anello Dimostrazione: Sia un anello integro e sia u = u, e, per ogni a, u un elemento idempotente non nullo llora u a = ua, da cui u ( ua a) = 0 Essendo u 0, segue che ua = a nalogamente si prova che au = a Ciò prova che u = 1 Esercizio 1515 Sia : B un omomorismo tra anelli unitari a) È sempre vero che ( 1) = 1B?

5 b) È sempre vero che ( ) è un anello unitario? Svolgimento: a) La risposta è negativa Un controesempio è il seguente omomorismo di anelli, considerato già nell Esercizio 159, : Z / Z Z / Z a + Z 3a + Z Si ha { Z Z } ( Z / Z) = 0 +,3+ Tra gli elementi elencati non v è l unità di Z / Z b) La risposta è aermativa: 1 ) è l unità di ( ) Inatti, per ogni a si ha: ( 1 ) ( a) = (1 a) = ( a) = ( a1 ) = ( a) (1 ) ( Esercizio 151 Sia B un sottoanello unitario di un anello unitario È vero che Svolgimento: La risposta è negativa Controesempi sono: 1 B = 1? i) il sottoanello 3 Z / Z di Z / Z, che abbiamo studiato nell Esempio 159 e nell Osservazione 1510, e rivisto nell Esercizio 1515 a); ii) il sottoanello { 0} dell anello, essendo un anello unitario non banale: inatti 0 è ( 1,0) l unità di { }