Lezione 7. Relazione di coniugio. Equazione delle classi. { x} C( x) { } { }

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1 Lezione 7 Prerequisiti: Lezioni 2, 5. Centro di un gruppo. Struttura ciclica di una permutazione. Riferimenti ai testi: [H] Sezione 2.; [PC] Sezione 5. Relazione di coniugio. Equazione delle classi. Definizione 7. L applicazione ( g, x) gxg definisce un azione di su se stesso, detta coniugio. La relazione di equivalenza associata è detta relazione di coniugio. Due elementi in relazione di coniugio si dicono coniugati. Per ogni x, l orbita di x Co( x) = gxg g ed è detta classe di coniugio di x; lo stabilizzatore di x è ed è detto centralizzante di x. C( x) = g gxg = x = g gx = xg Osservazione 7.2 a) Dato x, si ha che Co( x) { x} = se e solo se g gxg = x, cioè gx = xg, ossia se e solo se x Z( ). Di conseguenza, per le Osservazioni 2.3 e 5.8, l azione di coniugio è banale se e solo se il gruppo è commutativo. b) Se è un gruppo finito, in base al Corollario 5.2 si ha, per ogni x Co( x ) =. C( x) Nota In notazione additiva, il coniugio è dato dall assegnazione ( g, x) g + x g. Esempio 7.3 Determiniamo le classi di coniugio degli elementi di S 3. Naturalmente si ha, anzitutto: Co(id)= { id }.

2 Per determinare la classe di coniugio di (2), consideriamo che, in base al Corollario 5.2 S3 Co((2)) =. C((2)) Sappiamo che C ((2)) = { id, (2)}, dunque Osserviamo quindi che 6 Co((2)) = = 3. 2 (3) = (23)(2)(23), analogamente Dunque (23) = (3)(2)(3). Co((2)) = {(2),(3),(23) } = Co((3)) = Co((23)) Inoltre si ha che C ((23)) = { id, (23), (32)}, dunque poiché le classi di coniugio formano una partizione, 6 Co((23)) = = 2. Allora, necessariamente, 3 Co((23)) = (23),(32) = Co((32)). In conclusione, le classi di coniugio di S 3 sono 3, di, 2 e 3 elementi rispettivamente. Nota Attualmente, non si conoscono altri gruppi finiti le cui classi di coniugazione abbiano cardinalità a due a due distinte. Una congettura, non ancora completamente dimostrata, asserisce che S 3 sia l unico esempio con questa proprietà. Tre ricercatori tedeschi, Knörr, Lempken e Thielcke, nel 995, hanno provato che S 3 è unico almeno tra i gruppi finiti risolubili. In S 3 gli elementi coniugati ad un 2-ciclo sono tutti e soli i 2-cicli, lo stesso vale per i 3-cicli. Ciò è parte di una proprietà generale, valida in tutti i gruppi di permutazioni: Proposizione 7.4 Due permutazioni di S n sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Premessa notazionale: Per comodità, nella dimostrazione e nel resto della lezione, includeremo nella decomposizione di una permutazione in cicli disgiunti anche gli eventuali cicli di lunghezza, che corrispondono ad elementi lasciati fissi. Ad esempio, scriveremo = ()(4)(23)(56) ed indicheremo la struttura ciclica della permutazione con (,,2,2). Dimostrazione: Siano σ Sn, e sia σ = ( a a... a )( b... b ) ( c... c ) () 2 r s t

3 la decomposizione di σ in cicli disgiunti (ivi compresi i cicli banali, di lunghezza ). Allora, per ogni τ S, infatti n τστ τ a τ a2 τ ar τ b τ bs τ c τ ct = ( ( ) ( )... ( ))( ( )... ( )) ( ( )... ( )), (2) ( ( a )) = ( ( a )) = ( a ), τστ τ τ σ τ 2 e analogamente si prova che le due permutazioni a primo e secondo membro della (2) coincidono su tutti gli altri elementi. I cicli a secondo membro della (2) sono disgiunti, come quelli a secondo membro della (), in virtù della iniettività di τ. Dunque σ e τστ hanno la stessa struttura ciclica. Viceversa, sia ρ Sn una permutazione avente la stessa struttura ciclica di σ, risultante dalla (). Allora ρ = ( v v... v )( w... w ) ( z... z ) 2 r s t Sia ω Sn definita da a v,, a v, b w,, b w,..., c z,, c z. r r s s t t Allora, per la prima parte della dimostrazione, ωσω = ρ. Corollario 7.5 Il numero delle classi di coniugio in S n è pari al numero delle partizioni di n, ossia delle decomposizioni di n nella somma di numeri interi positivi. Esempio 7.6 Le partizioni di 3 sono: + + = = 3 3 = 3 Esse corrispondono, nell ordine, alle strutture cicliche (,,), che è propria della sola permutazione identica (,2), che corrisponde ai 2-cicli (3), che corrisponde ai 3-cicli La relazione di coniugio ci fornisce un nuovo criterio di normalità: Proposizione 7.7 Un sottogruppo è normale se e solo se è l unione delle classi coniugate dei suoi elementi. Dimostrazione: In virtù della Proposizione 2.4 si ha:, Co( ). H x H = xhx H = xhx x h H = h Questo risultato, unitamente alla Proposizione 7.4, ci consente di verificare facilmente la normalità dei sottogruppi dei gruppi S n. Esercizio 7.8 Determinare tutti i sottogruppi normali di a) S 3 h H

4 b) S 4 Svolgimento: a) Le uniche unioni di classi coniugate di elementi di S 3 a dare luogo a sottogruppi sono: Co(id) = id (sottogruppo banale) - - Co(id) Co((23)) = { id, (23),(32) } = (23) - Co(id) Co((23)) Co((2)) = S3 (sottogruppo totale) b) Le classi coniugate di S 4 sono le seguenti: (6 elementi) { 23) } (3 elementi) Co(id)= id ( elemento) Co((2))= (2), (3), (4), (23), (24), (34) Co((23))= (23), (32), (24), (42), (34), (43), (234), (243) (8 elementi) Co((2)(34))= (2)(34), (3)(24), (4)( Co((234))= (234), (243), (324), (342), (423), (432) (6 elementi) I sottogruppi normali di S 4 sono tutti e soli i sottogruppi che sono unioni di questi insiemi. Ogni sottogruppo contiene necessariamente Co(id). Inoltre, per il Teorema di Lagrange (4.2), il suo ordine deve essere un divisore di S 4 = 4! = 24. Le uniche possibilità sono le seguenti: Co(id)= id Co(id) Co((2)(34))= id, (2)(34), (3)(24), (4)(23) (ruppo di Klein) Co(id) Co((2)(34)) Co((23))= A (2 elementi) Co(id) Co((2)) Co((2)(34)) Co((23)) Co((234))= S 4 Osservazione 7.9 Utilizzando la Proposizione 7.7, è possibile ridimostrare che, per ogni n, A. n Sn Basta osservare che la classe di coniugio di ogni elemento di A n è formata da elementi anch essi appartenenti ad A n : permutazioni aventi la stessa struttura ciclica hanno la stessa parità. Esercizio 7.0 Dire se il sottogruppo H = (2345) di S 5 è normale. Svolgimento: La risposta è negativa per la Proposizione 7.7, poiché H non contiene, per intero, la classe di coniugio Co((2345)). Infatti quest ultima è formata da tutti i 5-cicli di S 5, mentre e, dunque, (2354) H. H = { id, (2345),(3524),(4253),(5432) }, Osservazione 7. La relazione di coniugio si può applicare all insieme dei sottogruppi di un gruppo : due sottogruppi H e K di si dicono coniugati se K = ghg per qualche g. Lo stabilizzatore di un sottogruppo H rispetto alla relazione di coniugio così estesa è detto normalizzatore di H in : ( ) N H = g ghg = H. Evidentemente, H N ( H ) e, inoltre, N( H ) è il massimo sottogruppo di di cui H è sottogruppo normale. In particolare, H N ( ). H = 4

5 Osservazione 7.2 Sia un gruppo finito. Allora, se x,, xt è un sistema completo di rappresentanti per la relazione di coniugio su, si può decomporre nell unione disgiunta: t = i= Co( x ) i Supponiamo che x,, ( ), xs Z mentre x,, ( ). s+ xt Z Ora, come osservato in 7.2 a), gli elementi di Z() hanno tutti orbite banali, in particolare, sono a due a due non coniugati. Quindi Z( ) = x,, x e, pertanto, s+ t t s t s = Co( x ) = Co( x ) + Co( x ) = Co( x ) + Z( ). i i i i i= i= i= s+ i= In virtù del Corollario 5.2, si ha, allora che s = Z( ) + (3) C( x ) i= i dove x,, xs è un sistema di rappresentanti completo, per la relazione di coniugio, degli elementi non appartenenti a Z(). La (3) prende il nome di equazione delle classi. Esercizio 7.3 Verifichiamo l equazione delle classi per S 3. Dall Esempio 7.3 sappiamo che un sistema completo di rappresentanti per le classi di coniugio è formato da id, (2), (23). Si ha, come abbiamo visto nell Esercizio 2.4, Z( S ) = id, 3 Z S + S S 6 6 C((2)) + C((23)) = = + + =. 3 3 ( 3) Esercizio 7.4 Dimostrare che S 4 ha un sottogruppo di ordine 8. Basta osservare che Co((2)(34)) = {(2)(34),(3)(24),(4)(23) }, dunque Co(2)(34) = 3. Ma allora S4 24 C ((2)(34)) = = = 8, Co((2)(34)) 3 pertanto C ((2)(34)) è il sottogruppo cercato. Precisamente: C ((2)(34)) = { id,(2)(34),(3)(24),(4)(23),(2),(34), (324), (423)}, dove (2)(34) = (324) 2 = (423) 2. Esercizio* Verificare l equazione delle classi per S 4.

6 Domanda di riepilogo: In quanti modi diversi si può dimostrare che, per ogni n, A S? n n