1 Teoremi di Sylow. Esempio 2 Un S p sottogruppo del gruppo generale lineare GL(n,p) (il cui n ordine è p n(n 1)

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1 1 Teoremi di Sylow Definizione 1 Sia G un gruppo finito di ordine p α m con p numero primo e (p,m) = 1. Un qualsiasi sottogruppo P di G di ordine p α si dice S p sottogruppo. Esempio 2 Un S p sottogruppo del gruppo generale lineare GL(n,p) (il cui n ordine è p n(n 1) 2 (p i 1)), è. i=1 U(n,p) = {[a ij ] GL(n,p) a ii = 1,a ij = 0,j < i}. Proposizione 3 Sia G un gruppo ed H un suo sottogruppo. Se P è un S p sottogruppo di G, esiste un g G tale che P g H è un S p sottogruppo di H. Teorema 4 Sia G un gruppo finito di ordine p α m con p numero primo e (p,m) = 1. Allora: 1. G possiede un sottogruppo P di ordine p α. 2. Per ogni β, 0 β α, esistono in G sottogruppi di ordine p β. 3. I sottogruppi di ordine p α costituiscono una classe di coniugio in G. 4. Detto n p il numero dei coniugati di P, si ha che n p = [G : N G (P)] 1(modp). 5. Ogni sottogruppo di ordine p β è contenuto in qualche sottogruppo di ordine p α. Osservazione 5 Con le notazioni del teorema precedente, n p = [G : N G (P)] è G un divisore di p α = m. Una possibile dimostrazione è quella di Wielandt (1959) che utilizza il seguente Lemma 6 Sia p un numero primo ed m un intero positivo. Allora, α > 0, α Z, vale la seguente relazione: ( p α ) m m(modp). p α Osservazione 7 Il punto 1. del precedente teorema si può anche dimostrare verificando che ogni gruppo finito G di ordine n è isomorfo ad un sottogruppo di GL(n,p). Ricordiamo che si dice p-gruppo un gruppo i cui elementi hanno periodo uguale ad una potenza di p e che quindi un gruppo finito è un p-gruppo se e solo se il suo ordine è una potenza di p. 1

2 Definizione 8 Si chiama p-sottogruppo di Sylow di un gruppo G ogni sottogruppo massimale nella famiglia dei p-sottogruppi di G. Osservazione 9 In un gruppo infinito i p-sottogruppi di Sylow possono non essere coniugati. ad esempio si considerino G = Dr i N G i, G i S 3 e i sottogruppi H = Dr i N D i, D i (12) e K = Dr i N F i, F i (13). H e K sono 2-sottogruppi di Sylow ma non sono coniugati. Esercizio 10 Mostrare che in un gruppo finito un p-sottogruppo di Sylow P è normale in G se e solo se P è l unico del suo ordine. Esercizio 11 Dimostrare che un gruppo G di ordine pq (p e q numeri primi) con p < q, e q 1(modp) è ciclico. Esercizio 12 Mostrare che un gruppo di ordine 12 non è semplice. Esercizio 13 In generale, se p e q sono numeri primi, un gruppo G con ordine p 2 q, non è semplice. Osservazione 14 S n non ha sottogruppi di indice k con 2 < k < n. Invece ha sottogruppi di indice 2 e di indice n. Osservazione 15 A n non ha sottogruppi di indice k con 1 < k < n. Invece ha sottogruppi di indice n. Osservazione 16 A 5 non ha sottogruppi di ordine 15. Proposizione 17 sia G un gruppo finito e sia P un suo p-sottogruppo di Sylow. Se N G (P) H G H = N G (H) e [G : H] 1(modp). (In particolare il normalizzante di un p-sottogruppo di Sylow è autonormalizzante. Proposizione 18 (Argomento di Frattini) Sia G un gruppo ed H un suo sottogruppo normale finito. Se P è un p-sottogruppo di Sylow di H si ha che G = HN G (P). Teorema 19 (Di Burnside o dei complementi normali) (S.D.) Sia G un gruppo finito e P un suo p-sottogruppo di Sylow tale che N G (P) = C G (P). Allora H G tale che G = [H]P (cioè un p-complemento normale). 1.1 Applicazioni: criteri di non semplicità Esempio 20 Un gruppo di ordine 90 non è semplice. Esempio 21 Un gruppo di ordine 200 non è semplice. Esempio 22 Un gruppo di ordine 216 non è semplice. Esempio 23 Un gruppo di ordine 300 non è semplice. Esempio 24 Un gruppo di ordine 528 non è semplice. Esempio 25 Un gruppo di ordine 540 non è semplice. Esempio 26 Un gruppo di ordine 792 non è semplice. 2

3 1.2 Gruppi Abeliani Teorema 27 (fondamentale) Sia G un gruppo abeliano finito di ordine n. Allora G è isomorfo al prodotto diretto: G G 1 G 2 G t dove i gruppi G i sono ciclici di ordine e i, i {1,2,,t} con: 1 e i+1 e i per i {1,2,,t 1} ; 2 e 1 e 2 e t = G ; Osservazione 28 Gli interi e i sono univocamente determinati. Esempio 29 Determiniamo i gruppi abeliani di ordine 12. Poichè 12 = 2 2 3, si ottengono: e 1 = 6,e 2 = 2 (e 1 e 2 = 12) oppure e 1 = 12. Nel primo caso abbiamo G = C 6 C 2 (che non è ciclico) e nel secondo caso C 12 (ciclico). Non ci sono altre possibilità di spezzare 12 nel prodotto di interi che verifichino le proprietà richieste. Per dimostrare il teorema sono necessari due lemmi: Lemma 30 Sia G un gruppo abeliano finito ed x un elemento di G di periodo massimo m. Se y è un qualsiasi elemento di G, il periodo di y è un divisore di m. Lemma 31 Sia G un gruppo abeliano finito, x un elemento di G di periodo massimo m e H = x. Sia Hy un elemento di G/H di periodo m. Allora nel laterale Hy esiste un elemento di periodo m. Definizione 32 Gli interi e i descritti nel Teorema 27 si dicono fattori invarianti del gruppo G. Osserviamo che nel caso dei gruppi abeliani di ordine 12, determinati con i fattori invarianti, non abbiamo considerato il gruppo G = C 4 C 3 e neppure G = C 2 C 2 C 3, che sono isomorfi a qulli già trovati. Si possono infatti dare anche altre decomposizioni Decomposizione in componenti primarie e primarie cicliche Teorema 33 Sia G un gruppo abeliano finito di ordine n = p α1 1 pα2 2 pαr r.allora: 1. Gli elemeti di G aventi periodo una potenza di un primo p i costituiscono un sottogruppo P i. 2. Risulta G = P 1 P 2 P r con P i = p αi i i {1,2,,r}. Definizione 34 I sottogruppi P 1,P 2,,P r sono detti componenti primarie di G. 3

4 Proposizione 35 Sia P un gruppo di ordine p α (p primo). 1. Se P possiede un solo sottogruppo di ordine p α 1 allora P è ciclico. 2. Se P è abeliano e possiede un solo sottogruppo di ordine p allora P è ciclico. Definizione 36 Si definisce esponente di un gruppo abeliano il più piccolo intero positivo n per cui si abbia g n = 1 G, g G (se esiste). Nel caso non esista si dice che exp(g) =. Se G è finito l esponente è il massimo dei periodi degli elementi. Osservazione 37 Se il gruppo G è finito, l esponenete esiste, mentre può non esistere se il gruppo è infinito (ad esempio C p ). Osservazione 38 Per le osservazioni precedenti, se G è abeliano di esponente n allora G possiede un elemento di periodo n. Proposizione 39 Sia P un gruppo di ordine p α (p primo). Se p β è il massimo dei periodi (esponente) e se a è un elemento di periodo p β, allora il sottogruppo a è un fattore diretto di P. Corollario 40 Un gruppo abeliano P con P = p α è indecomponibile in prodotto diretto se e solo se è ciclico. Teorema 41 Un gruppo abeliano finito G è isomorfo al prodotto diretto di p- gruppi ciclici, gli ordini dei quali sono univocamente determinati; cioè G = a 1 a 2 a r con a 1 = p αi per i {1,2,,r}. (decomposizione primaria ciclica) Definizione 42 Gli elementi a i costituiscono una base principale di G. Proposizione 43 Due basi principali di G sono costituite dallo stesso numero di elementi, quindi il numero di elementi di una base è un invariante per il gruppo abeliano. Inoltre esiste una corrispondenza biunoca tra due basi in modo che elementi corrispondenti abbiano lo stesso periodo. Definizione 44 Gli ordini dei p-gruppi ciclici della precedente decomposizione costituiscono un sistema completo di invarianti per la classe di isomorfismo di un gruppo abeliano finito e si dicono divisori elementari di G. Corollario 45 Il numero dei p-gruppi abeliani non isomorfi di ordine p n è dato da p(n), il numero delle partizioni di n. Corollario 46 Il numero dei gruppi abeliani non isomorfi di ordine n = p α1 1 pα2 2 pαr r (con i p i primi distinti) è dato da: p(α 1 )p(α 2 ) p(α r ). 4

5 Esempio 47 I gruppi abeliani di ordine 2 3 (distinti rispetto agli isomorfismi) sono p(3) = 3 e precisamente C 2 C 2 C 2, C 4 C 2, C 8. Corollario 48 Un p-gruppo abeliano finito di divisori elementari p β1,p β2,...,p βs si dice di tipo (β 1,β 2,...,β s ). Esempio 49 Un p-gruppo abeliano elementare di ordine p n è di tipo (1,1,,1). Esercizio 50 Quante sono le classi di isomorfismo di gruppi abeliani di ordine 1024? Definizione 51 Un gruppo G si dice divisibile se e solo se x G e n N esiste y G tale che y n = x. Esempio 52 Il gruppo additivo (Q, +) dei razionali è un gruppo divisibile, mentre un gruppo finito non ridotto alla sola unità non è divisibile. 1.3 Esercizi vari I ] Un gruppo di ordine pqr (con p,q,r numeri primi) non è semplice. II ] Provare che i gruppi di ordine 2p (con p numero primo) sono isomorfi a Z 2p oppure a D 2p. III ] Se G è un gruppo ciclico di ordine n, il reticolo dei sottogruppi di G è isomorfo al reticolo dei divisori positivi di n. IV ] Si determinino i gruppi abeliani non isomorfi di ordine 40 e per ciascuno di essi si determini il gruppo degli automorfismi. V ] Sia G un gruppo semplice non abeliano e sia p il più piccolo primo che divide l ordine di G. Allora i p-sottogruppi di Sylow di G non sono ciclici e G è multiplo di 12 o di p 3. VI ] Un gruppo di ordine 396 non è semplice. VII ] Sia G un gruppo finito ed N un suo sottogruppo normale (N G). Sia P un p-sottogruppo di Sylow di N. Se P N P G. VIII ] Se a è un elemento di un gruppo G, allora Cl G (a) G. IX ] Il centro di un gruppo di Frobenius finito è banale. X ] Sia G un gruppo finito e sia p il più piccolo primo che divide l ordine di G. Se H è un sottogruppo di indice p in G allora H G. XI Sia G un gruppo finito. Allora G è ciclico se e solo se G/Φ(G) è ciclico. XII Se G = p 2 (p numero primo), allora Aut(G) = p(p 1) se G è ciclico ed è Aut(G) = p(p 1) 2 (p + 1) se G non è ciclico. XIII Determinare i gruppi di ordine 75 distinti rispetto agli isomorfismi. 5