Ragionamento formalei. Ragionamento formale

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1 Ragionamento formale La necessità e l importanza di comprendere le basi del ragionamento formale, utilizzato in matematica per dimostrare teoremi all interno di teorie, è in generale un argomento piuttosto controverso tra gli informatici. C è chi sostiene che la scrittura di un programma dovrebbe scaturire o almeno essere affiancata da una dimostrazione della sua correttezza. Qualcun altro all estremo opposto sostiene che per verificare la correttezza di un programma l unica cosa sia eseguirlo. D altro canto, un programma minimamente complesso non può essere eseguito su tutti i possibili input. E quando il programma non calcola correttamente? Esercitarsi a ragionare in modo formale aiuta a definire i programmi che sono, appunto, delle specifiche formali. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 1

2 Ragionamento formale - continua I concetti che vengono introdotti in modo informale sono trattati formalemente in: logica proposizionale calcolo dei predicati. In questo corso non c è spazio per studiare tali formalismi, ma tratteremo solo alcuni aspetti che sono utili per la programmazione per gli aspetti più teorici degli studio dei linguaggi come gli automi e le grammatiche per ragionare sulla correttezza di un programma, ovvero su cosa calcola una funzione data la sua definizione (intensionale) E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 2

3 Ragionamento formale - continua II teoremi in generale vengono espressi attraverso formule che sono espressioni che possono risultare vere (true) o false (false). Tali espressioni contengono connettivi logici tra cui (l and e l or e il not ma anche altri) e fatti semplici (detti anche proposizioni) Ad esempio il Teorema di Pitagora per i triangoli rettangoli, ha il seguente enunciato: Se (a, b) sono i cateti di un triangolo rettangolo e c è l ipotenusa allora a 2 + b 2 = c 2. Tutto ciò che si trova tra Se e allora è detta ipotesi, costituita da uno o più fatti che vengono assunti essere veri. Ciò che appare dopo allora è la tesi: ciò che bisogna dimostrare. Questa forma di enunciato è una implicazione. Se p allora q. Si può anche scrivere p q. Una volta dimostrato un teorema con un tipo di enunciato di questo genere, se ci troviamo in una situazione in cui l ipotesi è vera possiamo dedurre che anche la tesi è vera, applicando il teorema. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 3

4 Sostituzione Le formule possono essere istanziate, sostituendo una o più variabili che vi compaiono, con un valore dell insieme. L operazione di sostituzione in un asserzione E del simbolo di variabile con un valore, viene indicata con E[v/x] Ad esempio se E = x 4 2 x x 2 E [4/x]= E [5/x]= In generale se ho un espressione E, indichiamo con E[q/p] l espressione risultante dalla sostituzione di tutte le occorrenze di p in E con q. p e q possono essere anche due espressioni equivalenti oppure il nome di una variabile e un suo possibile valore, come sopra. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 4

5 Implicazione L implicazione si può esprimere in vari modi, nel linguaggio comune: A implica B A solo se B B se A Quando A, segue B B è condizione necessaria per A È però importante comprendere il significato dell implicazione: se A è vero allora deve essere vero anche B. se viceversa A è falso non sappiamo nulla su B se invece B è falso allora deve essere falso anche A E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 5

6 Significato dell Implicazione L implicazione è un operatore (connettivo) logico simile all and e all or il cui valore true o false dipende dal valore dei suoi argomenti. Analogamente all and e or il significato di è riassunto nella seguente tabellina. A B A B true true true true false false false true true false false true E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 6

7 Quantificatori: Quando non è ovvio quale siano i valori che una variabile può assumere è possibile esprimere esplicitamente tale insieme, utilizzando un quantificatore universale il, che si legge per ogni Dopo un quantificatore compare la variabile e il simbolo seguito dall insieme. Il significato è quello già discusso che la formula deve essere vera per tutti gli elementi dell insieme. Ad esempio, se A = {0, 2, 6, 10} la formula x A, x%2 = 0, asserisce che tutti gli elementi di A sono pari. Un quantificatore universale può anche non specificare l insieme in questo caso si riferisce all universo U. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 7

8 Quantificatori, In altri casi vogliamo invece esprimere fatti che riguardano solo alcuni elementi di un insieme. In questo caso si usa il quantificatore, che si legge esiste Il significato è che la formula di cui si sta trattando deve essers vera per almeno un elemento dell insieme. Ad esempio, se A = {0, 3, 6, 1} la formula x A, x modulo 2 = 0, asserisce che almeno un elemento di A è pari. Ovviamente se A = {9, 3, 7, 1} la formula x A, x modulo 2 = 0, che asserisce che almeno un elemento di A è pari, risulta falsa. Anche in questo caso, se l insieme non è specificato, ci si sta riferendo all universo U. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 8

9 Enunciati Se e solo se È un enunciato di equivalenza di due proposizioni H e C. Si può esprimere in vari modi: H C H C H se e solo se C H iff (sse) C H equivalente C Un simile teorema è costituito da due implicazioni: H C e C H La dimostrazioni consta conseguentemente di due parti: la dimostrazione che H C e quella che C H. Tutte le proprietà enunciate sugli insiemi come ad esempio la proprietà distributiva A (B C) = (A B) (A C), sono teoremi se e solo se. (Potete provare a dimostrarle per esercizio). E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 9

10 Dimostrazioni per assurdo Per dimostrare H C alle volte è conveniente dimostrare che: H!C false in altre parole si dimostra che assumere che quando H è vero, C è falso fa seguire logicamente qualcosa di notoriamente falso. Ricordiamo la tabella di, H C H C true true true true false false false true true false false true Dimostrando che H e!c portano ad un assurdo, dimostriamo che il secondo caso non può verificarsi e quindi l implicazione è vera. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 10

11 Contronominale Per dimostrare H C alle volte è conveniente dimostrare che!c!h che è logicamente equivalente. Vediamo un esempio per convincerci di questa equivalenza, sia: H =piove C =la strada è bagnata H C può essere tradotto in: Se piove allora la strada è bagnata!c!h può essere tradotto in la strada non è bagnata allora non piove Esercizio Provate a dimostrare la seguente proprietà sugli insiemi: A B = B B A E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 11

12 Controesempi Spesso i teoremi sono proprietà di cui dovrebbero godere tutti gli elementi di un dato insieme (infinito). Ovvero enunciati del tipo Tutti i numeri primi sono dispari. Se cercando di dimostrare il teorema ci viene il sospetto che sia falso, è sufficiente trovare un controesempio. Nel caso precedente 2 è il controesempio che dimostra che il teorema è falso. Questo modo di operare ci tornerà utile in diversi casi. Ad esempio per dimostrare che un programma non è corretto è sufficiente trovare un caso in cui il risultato calcolato non è il risultato atteso. E. Occhiuto Fondamenti Teorici e Programmazione - Modulo B pag. 12