si vuole verificare: P5: pioverà

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1 Logica matematica ntroduzione alla logica matematica ilvana adaloni Paolo ison Fondamenti di nformatica AA niversità di Padova formalizzazione dei meccanismi di ragionamento la logica studia proposizioni una proposizione può essere vera o falsa logica a due valori di verità ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 Formalizzazione sintassi in che modo scrivere le proposizioni semantica significato delle proposizioni P: e fa caldo ed è umido allora pioverà P2: e è umido ed è estate allora fa caldo P: adesso è umido P4: adesso è estate si vuole verificare: P: pioverà ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p4 Ad ogni proposizione elementare viene associata una variabile proposizionale = fa caldo = è umido = è estate = pioverà La rappresentazione per l esempio è F: F2: F: F4: si vuole dimostrare che da FF4 segue logicamente: F: rappresenta la congiunzione rappresenta la implicazione logica ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p intassi Connettivi logici La logica proposizionale tratta formule na formula è composta da: formule atomiche o atomi A C connettivi logici parentesi not negazione or disgiunzione congiunzione if implicazione if only if biimplicazione ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p

2 Formule ben formate na formula è ben formata FF se e solo se essa è ottenibile applico le seguenti regole: un atomo è una FF 2 se è una FF allora è una FF se e sono FF allora lo sono anche e Priorità dei connettivi tabilendo un ordinamento tra i connettivi è possibile eliminare alcune parentesi L ordine adottato è il seguente: 2 ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p9 ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p0 emantica la semantica della logica proposizionale richiede l introduzione dei valori di verità dare una interpretazione vuol dire trovare una funzione Valore di verità di una formula i può calcolare il valore di verità di una espressione del Calcolo Proposizionale a partire dai valore di verità delle formule atomiche che la compongono interpretazioni e dalle tabelle di verità dei connettivi logici essendo l insieme delle formule ben formate FF del Calcolo Proposizionale ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 abelle di verità dei connettivi logici F F F F F F F F F F F F F autologie Alcune formule sono vere in tutte le interpretazioni F F F F F F F F autologie o formule valide ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p4 Contraddizioni formule che sono false in tutte le interpretazioni F F F F F F F F F F F Contraddizioni o formule inconsistenti Decidibilità della logica proposizionale Ogni formula è finita e contiene un numero finito di formule atomiche: quindi è sempre possibile determinare se essa è valida inconsistente o ne l uno ne l altro La logica proposizionale è decidibile ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p

3 Equivalenza Logica Due formule e sono equivalenti e si indica con se e solo se esse hanno lo stesso valore di verità in tutte le interpretazioni i può dimostrare che se e solo se la formula è una tautologia ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p elazioni di equivalenza logica identità doppia negazione idempotenza idempotenza esclusione ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p elazioni di equivalenza logica complementarietà associatività associatività commutatività commutatività distributività distributività legge di De Morgan legge di De Morgan ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p9 elazioni di equivalenza logica eliminazione implicazione proprietà implicazione proprietà implicazione 0 doppia implicazione ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p20 Esempio verificare che le seguenti formule sono equivalenti: a b : ; = A C D 9 E F ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 Esempio a Verificare se la seguente formula è una tautologia: 2 tabella di verità a F F F F F F F ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p22 Esempio b relazione di equivalenza propr impl elim impl elim impl distributiva neutri J K L neutri doppia neg compl M L ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 Deduzione logica Nell esempio introduttivo le formule N O P sono dette premesse e Q è detta conclusione o conseguenza logica na formula segue logicamente da un insieme di formule se è vera in tutte le interpretazioni in cui sono vere i scrive: ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p24

4 eorema di Deduzione eorema di Deduzione Date le formule se e solo se la formula: è una tautologia e la formula n teorema analogo stabilisce che: Date le formule e la formula se e solo se la formula: è una contraddizione ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 Metodi per provare teoremi Deduzione naturale diretto: si dimostra che 2 per refutazione: si dimostra che è una tautologia è una contraddizione E un metodo diretto per provare teoremi i applica una regola di inferenza a un insieme di premesse i continua fino a che si trova una formula che coincide con la formula da provare goal oppure quo non si possono dedurre più nuove formule il goal non è un teorema Deduzione di nuove proposizioni da altre per mezzo di un metodo formale Non è facile da incorporare in un programma automatico: ad ogni passo quale regola ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2 egole di inferenza Esempio if 2 if if 4 if if if if modus ponens modus tollens 2 4 da queste premesse proviamo per regola ; da e 2 per modus ponens; per regola ; D per modus ponens ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p29 ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p0 Do it yourself i dica se la seguente formula è una tautologia: i dica se le seguenti espressioni del calcolo proposizionale sono o non sono equivalenti: a b i dica se la seguente formula del calcolo proposizionale è una contraddizione Connettivi logici in Java operatore unario not operatori binari ˆ xor or esclusivo or condizionale or condizionale ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p2

5 Connettivi logici in Java tabelle di verità A e espressioni di tipo boolean A A A A Aˆ true true false true true false true false false false true true false true true false true true false false true false false false Esempi di espressioni k>=0 kn EAO 0=kn k0 k>=n k>=0 kn x>0 yxx=0 ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p4 Connettivi condizionali il secondo opero viene valutato se e solo se il primo è true se l operatore è il primo è false se l operatore è esempi k>=0 kn k0 k>=n a=0 ba>00 EAO a=0 ba>00 a==0 c=b>00 EAO a==0 c=b>00 Espressione condizionale sintassi expr0> expr> : expr2> semantica se il valore di expr0> è true si valuta expr> altrimenti expr2> esempi x>=0 x : x x>y x>z x : z : y>z y : z n=k>y ky : yk; if k>yn= ky; else n=yk; ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p Do it yourself esprimere il connettivo xor in termini degli altri connettivi ntroduzione alla logica matematica Paolo ison AA p